北京市第九中学2025-2026学年高一下学期期中考试数学试题

2026北京九中高一（下)期中 数 学 (考试时间120分钟满分150分) 一、单选题（共60分） 1.复平面内表示复数z=i(-3+i)的点位于() A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.cos50°cos10°-sin50°sinl0°=() A.cos40° B.sin40° c D. 2 3.己知tan8= 3则tam0+还 44() A.9+10W2 B.2 C.2 D.3 17 4.“-骨是s=5的() 2 A.充分必要条件 B.必要不充分条件 C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件 5.已知向量a,b在正方形网格中的位置如图所示.若网格中每个小正方形的边长均为1，则a·b=() a A.-4 B.-2 C.2 D.4 6.函数y=√3sinx-cosx的最小值() A.2 B.-2 C.√5-1 D.-5-1 A.周期为π的偶函数 B.周期为2π的偶函数 C.周期为π的奇函数 D.周期为2π的奇函数 8.y=sin 3x- 的图象可以由y=sinx的图象作的变换得到() 6 A.先向左平移刀个单位，然后将横坐标变为原来的3倍，纵坐标不变 h B.先向右平移”个单位，然后将横坐标变为原来的，纵坐标不变 第1页/共17页 C.先将横坐标变为原来的3倍，纵坐标不变，然后向右平移”个单位 D.先将横坐标变为原来的，纵坐标不变，然后向右平移”个单位 h 9.若点(a,0)是函数y=2sim2x+ 的图象的一个对称中心，则a的最小值为() 3 A B. 6 C. D.? 10.下列函数中，最小正周期为π且是奇函数的是() A.y=sinx B.y=cosx C.y=tan2x D.y=sinxcosx π3 1.若cosa-4)5则sin2a=（） A.25 7 7 B.-25 c.8 12.已知函数)=Asi(ox十)(4>0，w>0,pS)的图象离原点最近的对称轴为=x,若满足，s 6 则称fx)为“近轴函数”.若函数y=2sin(2x一p)是“近轴函数”，则p的取值范围是() B. _π_π 26 c【 [ππ 6JL6'2 D.66 13.已知函数f)=5sn[爱x+到在区间k:+∈R)上的最大值记为g),则g回的最小值为 () A.、② B.-1 C.-2 D.0 2 14.如图，A是轮子外边沿上的一点，轮子半径为0.3m.若轮子从图中位置向右无滑动滚动，则当滚动的 水平距离为22m时，下列选项中，关于点A的描述正确的是（参考数据：7π≈21.991）() Lhn2jnnnnnnnkm7aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaan A A.点A在轮子的右上位置，距离地面约为0.56m B.点A在轮子的右上位置，距离地面约为0.45m C.点A在轮子的左下位置，距离地面约为0.15m D.点A在轮子的左下位置，距离地面约为0.04m l5.已知函数f(x)=sin(cosx)+cos(sinx),下列结论中错误的是() A.f(x)的图象关于直线x=π对称 B.f(x)的一个周期是2π 第2页/共17页 C.f(x)在区间 2元上单调递增 D.f(x)的最大值为sinl+1 二、填空题（共20分） 16.己知角α的顶点位于坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点(3，-4)，则sina=, 17.已知复数：=2二(1为虚数单位)，则z的共轭复数为 1+i 18.如图是以C为圆心的一个圆，其中弦AB的长为2，则AC,AB= 19.柯西不等式是数学家柯西(Cauchy)在研究数学分析中的“流数”问题时得到的一个重要不等式，而柯 西不等式的二维形式是同学们可以利用向量工具得到的：已知向量a=(x,y),方=(x,),由a-≤ 得到(xx2+y2)≤(x+)x号+y),当且仅当x2=xy时取等号.现已知a≥0，b≥0，a+b=9,则 √2a+4+√b+1的最大值为 20.(本题4分)已知f(x),g(x)都是定义在R上的函数，若存在实数m,n使h(x)=mf(x)+ng(x)对任 意x∈R都成立，则称h(x)为f(x),g(x)在R上生成的函数 ①函数y=n+写到为=血，g)=6s在R上生成的函数： ②y=2sin2x为f(x)=sinx,g(x)=cosx在R上生成的函数： ③函数y=sin2x为f(x)=sinx,g(x)=cos2x在R上生成的函数： ④若h(x)为f(x)=sinx,g(x)=cos2x在R上的一个生成函数，且m>0,n>0,h(x)的最小值为-2， 1 }1,则m=2n=2 3 其中所有正确结论的序号是 三、解答题（共70分） 21.(本题10分)已知向量d=(3,-1),b=(2,1). (1)求ab; (2)求a-2b: (3)求a与a+b的夹角0的余弦值. 第3页/共17页 22.(本题10分)如图，角的顶点与平面直角坐标系xOy的原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终 4 边与单位圆交于点P,若点P的坐标为5%>0). (I)求y的值及tana的值； (2)求 n(a-a)-3sm经+a的值 2cos(-au)-sin(3π+a) 23.(本题12分)已知函数f(x)=sin2x+acos2x(a>0)的最大值为2. (1)求∫(x)的解析式： (2)求曲线y=f(x)的对称轴方程和f(x)的单调递增区间. 24.(本题12分)已知商数f创-25cow心（径+2sn(g+owsr-5 (1)求f(x)的最小正周期： (2)当x∈ 42 求f(x)的最大值和最小值. 25.(本题13分)如图是两个齿轮传动的示意图，已知上、下两个齿轮的半径分别为1和2，两齿轮中心 O2,O,在同一竖直线上，且O,O2=5,标记初始位置A点为下齿轮的最右端，B点为上齿轮的最下端，以 下齿轮中心O,为坐标原点，如图建立平面直角坐标系xO少，已知下齿轮以每秒1弧度的速度逆时针旋转， 并同时带动上齿轮转动，转动过程中A,B两点的纵坐标分别为，y2、转动时间为t秒(t≥0)， A (1)当t=1时，求点B绕O2转动的弧度数； 第4页/共17页 (2)分别写出y,y2关于转动时间t的函数表达式，并求当1满足什么条件时，y2≥5.5； (3)求2-y的最小值. 26.(本题13分)对于集合2={日，62,0n}和常数0。，定义： 4=cos(@-8)+cos(8-8）++co(8,-8）为集合n相对6的r余弦方差： h (1)若集合2= 0。=0,求集合2相对8的“余弦方差”： (2)若集合2= π2π 33π 证明集合2相对于任何常数8。的“余弦方差”是一个常数，并求这个常数： (3)若集合2= π 4a,B, a∈[0，π)，B∈[π，2π)，相对于任何常数0的“余弦方差”是一个常数，求a,B 的值 第5页/共17页 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 个 8 9 10 答案 C C D B B D 题号 11 12 13 14 15 答案 B C B C 1.C 【分析】由复数运算可得z对应的点的坐标，由此可得结果。 【详解】z=i(-3+i)=-1-3i,z对应的点为(-1，-3)，位于第三象限. 故选：C 2.C 【详解】c0s50°c0s10°-sin50sinl0°=cos(50°+10)=cos60°=】 3.C 【分析】借助两角和的正切公式计算即可得. tan0+tanπ 1 +1 【详解】 an+ π 4=3 4 1-tan0.tan 1- 2 4 3 故选：C 4.C 【分析】利用充分条件、必要条件的定义，结合三角函数判断即可. 【详解】当x时nx多反之，当nx时，可以不取如x,有mB 3 2 2 所以“x=交"是sinr= 3 3 的充分不必要条件 2 故选：C 5.A 【分析】根据给定的图形，求出|a,bl,(a,b),再利用数量积的定义求解即得 【详解】观察图形，口=256=2a列=受所以a6-2x2x(号)=4 故选：A 6.B 【分析】利用辅助角公式将已知函数化成一角一函数状态即可求其最小值， 【详解】因为y=5smr-cos=25sim 1 、2 sinos-2 cossin x-sincosx =2sin 6 6 第6页/共17页 所以当x名-2-受e2,即r=2加号eZ时，函数有最小值-2 故选：B. 7.D 【分析】应用两角和差余弦公式计算化简，再应用周期公式及奇偶性判断即可. 详解】/w=cosx+4-cosx4}cos cossin xsin0 sxcos8 sin xsin 4 =-2sin xsin=-v2sinx, 所以f(x)周期是2π，且函数是奇函数. 故选：D. 8.B 【分析】根据三角函数的变换规则变换即可判断： 【详解】y=sn3x-的图象可以由y=simx的图象先向右平移及个单位，然后将横坐标变为原来的；的 6》 6 变换得到. 故选：B 9.B 【分析】利用正弦函数的图象和性质，结合己知条件求解. 【详解】~正弦函数y=n0的对称中心为0=机太c乙，a0)是函数y=2sn2x+智的图象的一个对称 中心， 2a+=kmk∈Z,解得a=-工+，k∈Z, 3 62 “回的最小值为 6 故选：B. 10.D 【分析】由题意，利用三角函数的奇偶性和周期性，得出结论 【详解】由于y=sinx是最小正周期为2π的奇函数，则A错误； 由于y=cosx为偶函数，则B错误； 由于y=tan2x是最小正周期为兀的奇函数，则C错误： 由于y=ino=sin2x,则y=no是最小正周期为元的奇函数：即D正确： 故选：D 第7页/共17页 11.B 【分析】由2“=2口-》子结合诱导公式和二倍角的余弦公式。计算即可得到所球值， 【详解】由于2a=2a}受所以n2a=ma到引cma}=2ase到12×13 故选：B 12.C 【分析】根据题意求出y=2sin(2x一p)靠近原点的对称轴x=x,解不等式os乙即可得到p的范围. 【详解】y=2sin(2x-p)靠近原点的对称轴为x=x, 则269=±号6-号±异 2 、要为近轴函数，则≤石，：不 46 p>0,x=2_π 24 0<0,=2+x 24’ 十 246 246 p>0 或{p<0 2 解得pe π 2 故选：C 13.B 【分析】判断函数f(x)的单调性，根据单调性对t进行分类讨论，解出g(t)的解析式，进而求得最值. 2二4 【详解】函数/)-万sn[经+到的周期为 ，由正弦函数的单调性， 2 9 42 解得x=令+ 42,解得x=5 冷%+5江 2 中42，解得 2 放高改e-i行+导引[日+k经上运流，在[臣+4子+e列上 「5 9 不妨看区间[t,t+在当k=0和k=1时函数f(x)图象上的分布状况， 第8页/共17页 =fx) U -√2 1 当 5 t+1≤ 2 2 当 I+1 2 即1s2时，结合函数)的图象知80)=/0)-万sm经：+4到 5 5 -t≥t+1- 2 2 当 5 t+1 即2<t≤ 时，结合面数脂图象知g0)-化+)-5sm经+)月 2 -1<t+1-2 5 t2 当 2。即≤17时， 由函数f(x) 2 [3引港抛知g0=+-5m〔经+片 22 t+1s 2 .9 当 ,:合版o间ec付 9 t+1≥ 2 区间[t,t+]继续沿着坐标轴往右移动时会按上述规律周期循环. √2sin ≤t≤2 、2 42 综上，g(={2sim 3π -t+ 24 ,2<12 9 当1≤2时， s1+s5，此时函数g)=2sim1+为减函数，则 22 44 2 4 g0）ng(2)-2sim5π-1： 4 第9页/共17页 y个 当2<1≤7时， 受+经s受时，此时函数0n(经+）为函数。则 4242 g()>g(2)-V2sim5π=-1. 4 则g(t)的最小值为-1. 故选：B 14.B 【分析】计算出车轮转动的周期数即可得确定位置和距地面的距离， 【详解】车轮的周长为2π×0.3=0.6πm,当滚动的水平距离为7元≈22m时， 7元=1 0.6π +名，即车轮转动11+子个周期，即点A在轮子的右上位置，如图所示， 3 A 距离地面约为0.3+0.3×c0os元=0.45m, 故选：B. 15.c 【分析】根据函数对称性的定文结合诱导公式可判断A:根据周期函数的定义可判断B:计算（和 f(π)可判断C;根据复合函数单调性以及正余弦函数的性质可判断D. 【详解】对于A: f(+x)=sin cos(+x)]+cos[sin(+x)=sin(-cosx)+cos(-sinx)=-sin(cosx)+cos(sinx), f(-x)=sin[cos(-x)]+cos[sin(-x)]=sin(-cosx)+cos(sinx)=-sin(cosx)+cos(sinx), 因此f(π+x)=f(π-x),即f(x)的图象关于直线x=π对称，故A正确： 第10页/共17页 对于B:f(x+2π)=sin cos(x+2π)]+cos[sin(x+2π)]=sin(cosx)+cos(sinx)=f(x), 因此2π是f(x)的周期，故B正确： 对于C:f 所以了()在区间子上不是单调道增函数，放C错误： 对于D:设u=cosxE[-l,,因y=sinu在[-1，】单调递增，则sin(cosx)最大值为sinl, 当且仅当cosx=l时取到，此时sinx=0,cos(sinx)=cos0=l,而cos(sinx)的最大值为1， 即当cosx=1,sin(cosx)和cos(sinx)同时取得各自的最大值， 因此f(x)最大值为sinl+1,故D正确. 16.等1-08 【分析】利用三角函数的定义直接求得结果 【详解】依题意，点(3，-4)到原点距离r=V32+(-4)2=5, -44 所以sina= 一 r5 故答案为：一5 4 17.z= 1,3 221 【分析】利用复数的四则运算，结合共轭复数的定义即可得解. 【详解】因为2=2i-2-0-D-2-3i+-}3:, 1+i(1+i01-i)222 13 所以共轭复数z=。+。i 22 13 故答案为：z=。+。i. 22 18.2 【分】析作CDLAB交AB于D,则4C=D+DC-B+DC,由此计算求解4C历即可得到结果 【详解】如图，作cD1AB交B于D,则4C=D+DC-40+DC 第11页/共17页 AC.AB-(AB+DC).AB-B-2. 故答案为：2. 【点睛】本题考查平面向量的几何应用，此类题型一般需要结合平面向量的基本定理进行计算化简，属中 档题 19.6 【分析】令x=√2，y=1,x2=√a+2,y2=Vb+1,代入公式即可得解. 【详解】令x=√2，y=L,x2=Va+2,y,=Vb+1, 又a≥0，b20,a+b=9, 所以(V2a+4+Vb+1≤(2+1)(a+2+b+1)=3×12=36, 所以√2a+4+b+1≤6， 当且仅当2√b+1=√a+2,即a=6,b=3时取等号， 所以√2a+4+√b+1的最大值为6. 故答案为：6 20.①④ 【分析】根据新定义可判断①④：通过反例可判断②③ 【0-香号r-raa 所以函数y=smx+写)为f()=simx,g()=cosx在R上生成的函数，①正确： 对②：假设存在实数m,n使得2sin22x=msinx+ncosx对任意x∈R都成立， 取x=0,得 n=0 2 m=0'则2sin22x=0-sinx+0-cosx=0, 显然对任意x∈R,2si2x=0不恒成立，假设不成立， 所以y=2sin22x不是f(x)=sinx,g(x)=cosx在R上生成的函数故，②错误； 对③：假设存在实数m,n使得sin2x=msinx+ncos2x对任意x∈R都成立， 取x=0,刀得 n=0 n=0 (m-n=0'即 m=0'则sin2x=0-sinx+0-cos2x=0, 显然对任意xeR,sin2x=0不恒成立，假设不成立， 第12页/共17页 所以y=sin2x不是f(x)=sinx,g(x)=cos2x在R上生成的函数故，③错误； 对④：若h(x)为f(x)=sinx,g(x)=cos2x在R上的一个生成函数， 则h(x)=msinx+ncos2x, 因为-1,所以 =m-n=1, 因为-1≤sinx≤1，-1≤cos2x≤1，h(x)的最小值为-2， 所以-m-n=-2→m+n=2, m-n=1 联立 】2、,解得2=号，n=2,4①正确. 21.(1)5 (2)10 3)30 10 【分析】(1)根据数量积的坐标表示计算可得： (2)首先求出ā-2b,再根据向量模的坐标表示计算可得： (3)首先求出a(a+b),,a+,再由夹角公式计算可得. 【详解】(1)因为a=(3,-1),b=(2,1), 所以ā.b=2×3+(-1)×1=5: (2)因为ā-2b=(3,-1)-2(2,1)=(-1,-3), 所以a-2b=v-12+(-3=0: (3)因为ā+b=(3,-1)+(2,1)=(5,0), 则a:(a+b)=3×5+(-)×0=15, 又d=V32+(12=10,a+=52+02=5, 则c0s0=a-(a+D-153i0 |a+10×510, 即a与a+6的夹角0的余弦值为3而 10 3 3 2.(0=5tana=-4 第13页/共17页 (2)-3 【分析】(1)由三角函数定义求得cosa,再由平方关系求得sina,从而得y的值，再由切化弦可得tana 的值： (2)根据诱导公式化简已知式子，再根据商数关系齐次转化即可得答案。 【详解】(1)依题意，由三角函数定义得cosa= 子，且α为第三象限的角， 故sina>0, 3 所以y%=sina=V1-cos2a= J 则ana=冬- 3 4 4 55 (2) sia(-a)-sin 3 -3 sina-3cosa_tana-3- 2cos(-a)-sin(3π+a) 2cosa+sina 2+tana 33. 4 2a.0=22x+到 (②对称销方程为x=音+受∈2)，单调递增区间为 (kez) 【分析】(1)利用辅助角公式可得+a2=2,即可求得a=√5： (2)利用整体代换法解方程可求得对称轴方程，解不等式可得单调增区间. 【详解】(1)因为f(x)=sin2x+acos2x=V1+a'sin(2x+p), a 1 其中sinp= ,cosp= V1+a2 +a,所以+a=2, 解得a=±V5, 又因为a>0,所以a=√5 故f()=sm2x+5co2r=2sn2x+到}， (2)由正弦函数对称轴方程可得2x+亚=T+m(k∈Z), 32 解得x=合经c2列， 所以曲线y=f(x)的对称轴方程为x=石+(k∈Z): 122 由2-号<2+号≤2点+eZ)将倍≤sa+=Z, 3 12 第14页/共17页 即f(x)的单调递增区间为 (k∈Z) 12 24.(1)f(x)的最小正周期为π. (2)最大值为2，最小值为1. 【分标】1)先化商)=25co{经+2sn(红+eos-5,求出)-2n2x-引 然后由最 小正周期公式求解即可. (2)求∫(x)在闭区间上的最大值和最小值即可. 【详解】1)f(=25cos{径+-2n(红+x)cosx--5, =2v3sin2x+2sinxcosx-3=3(1-cos2x)+sin 2x-3, in2x-cox2sin) 所以f(x)的最小正周期为：T=2 =K 2)由D可知，f)=2m2x-} 因为x∈ ππ 4'2 所以2x-∈2红 36’3 所以当2x-=时，fx)=2,当2x--时，f)m=1. 32 36 所以当x∈ 元元 42 f(x)的最大值为2，最小值为1. 25.(1)2 (2)y=2sint,为2=5+sin 2t- 2 7 33 【分析】(1)由点A与点B处转过的弧长相等，求点B绕O2转动的弧度数： (2)由分别点A与点B处转过的圆心角，结合正弦函数，写出y,,y2关于转动时间t的函数表达式，并解 不等式y2≥5.5： (3)利用诱导公式和倍角公式化简y2-y,结合二次函数的性质求最小值. 【详解】(1)当t=1时，点A绕O转动1弧度，点A与点B处转过的弧长相等，则点B绕O2转动的弧度数 为1x2-2 1 (2)转动时间为t秒，点A绕O,转动t弧度，点B绕O2转动2t弧度， 第15页/共17页 月-2sn,=5+sm2-】 当⅓=5+m-}255,2a+名21-s2+ 6 由1≥0解得m+≤1≤m+2,kEN. 3 则满足条件的的集合为口红+号1≤知+子keN 0》为-=5-25-2-2-2-3m4=m+ 当m时，为有最小值子 26.g 2)证明见解析，这个常数为)： 〔11π 7π Q= X= 12 12 (3) 或 19π 12 B= 23π 12 【分析】(1)根据集合Ω相对0的“余弦方差”的定义及特殊角的三角函数值即可求解： (2)根据集合Ω相对于常数的“余弦方差”的定义及两角差的余弦公式即可求解； (3)根据集合2相对于常数0的“余弦方差”的定义及三角恒等变换公式即可求解. 【详解】()解：当集合Q=?,》,8,=0时，集合Ω相对0，的“余弦方差” 3’4 cos3-0+cos(年-0)3 3 4 8 (2)证明：当集合2= π2π】 33,π时， 集合0相对于常数@的“余孩方差”写a空-8wg-双 3 3 sin)+cos cossin+cos 3 “此时“余弦方差”是一个常数，且常数为)： (3)解：当类合n={子aA,ae0,.Bcx,2)时， 第16页/共17页 集合0相对于任何常数8，的“余弦方差”cosC-8)+cosa-8)+cos'0-8) 以=一 3 cc(+sin2a+sin2B)sinsinsinBsin, 3 要使上式对任何常数0，是一个常数，则1+sin2a+sin2B=0且}+cos'a+os'B=} +sina+sinB, cos2a+cos2阝=0 所以 sin2a+sin2cos2a+(-1-sin 2a), 整理得到sm2a=号，而2ae0,2）,故2a=7或2u-h 6 6 11元 所以a 7r或a= 1 12 cos2A=3 当a三2时，有 而2B∈2π，4n),故2B=23r即B=23z sin2B=-2 1 6 12 当a=时，有 os2B=-3 ，而2B∈[2π，4z),故20=19即B=19 12 1 in28=-2 6 12 11π 7π = Q= 故 12 12 19π 或 23π 12 B、 12 第17页/共17页