2.1函数的概念及其表示导学案——2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习讲义围绕函数的概念及其表示，将函数定义、三要素、表示法及分段函数等核心考点按“概念-要素-表示-应用”逻辑层次展开，通过知识清单梳理、自主诊断检测、命题点例析（含函数概念辨析、定义域求解、解析式求法、分段函数应用）、跟踪训练巩固等环节，帮助学生构建完整知识体系，突破高考高频难点。 讲义突出“考教衔接”特色，改编教材经典例题并融入最新模拟题，通过学霸笔记提炼方法（如换元法求解析式、抽象函数定义域分析），培养学生抽象能力与推理意识。设置分层练习（基础诊断、能力提升），配合即时反馈，确保高效复习，助力学生提升解题技能，为教师精准把控复习节奏提供清晰路径。

第一节　函数的概念及其表示 知识清单 1.函数的概念 (1)一般地，设A，B是非空的________，如果对于集合A中的________一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有________的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A. (2)在函数的定义域中，对于非空数集A，B，A即为函数的定义域，值域为B的子集． 2．函数的三要素 (1)函数的三要素：________、________和________. (2)两个函数只有当________和________分别相同时，这两个函数才相同． 3．函数的表示法 表示函数的常用方法有________、列表法、图象法． 4．分段函数 (1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数叫做分段函数． (2)分段函数表示的是一个函数，分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集． 【常用结论】 直线x＝a与函数y＝f(x)的图象至多有一个交点． 自主诊断 1.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y＝f(x)的图象可以是一条封闭的曲线.(　　) (2)直线x＝1与函数y＝f(x)的图象的交点最多有两个．(　　) (3)函数y＝1与y＝x0是同一个函数．(　　) (4)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数相等．(　　) 2．(人教A版必修一P66例3改编)下列函数中与函数y＝x是同一函数的是(　　) A．y＝()2 B．u＝ C．y＝ D．m＝ 3．(人教A版必修一P67T1(2)改编)函数f(x)＝－1的定义域为________． 4．(人教A版必修一P65例2改编)已知函数f(x)＝x＋3＋，若f(a)＝，则a＝________． 考教衔接·活用教材　探究式精练 收获一个“赢” 命题点一　函数的概念 例1 (1)下列各图象中，不能表示y是x的函数的是(　　) (2)(2026·黄冈二模)已知函数f(x)＝x2的定义域A⊆R，值域B＝{9}，则满足条件的f(x)有(　　) A．1个　　B．2个 C．3个　　D．4个 [笔记]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 学霸笔记：(1)函数的定义要求非空数集A中的任何一个元素在非空数集B中有且只有一个元素与之对应，即可以“多对一”，不能“一对多”，而B中有可能存在与A中元素不对应的元素． (2)构成函数的三要素中，定义域和对应关系相同，则值域一定相同． 　跟踪训练　下列从集合A到集合B的对应关系，其中y是x的函数的是(　　) A．A＝B＝R，对应关系f：x→y＝ B．A＝B＝R，对应关系f：x→y＝x2 C．A＝B＝R，对应关系f：x→y＝±x D．A＝B＝N，对应关系f：x→y＝ 命题点二　函数的定义域 例2 (1)函数y＝＋ln (2－x)的定义域为(　　) A．[0，2) B．[0，2] C．(－∞，2) D．(－∞，2] (2)若函数f(x)的定义域为[0，8]，则函数g(x)＝的定义域为(　　) A．(1，16) B．(1，16] C．(1，4) D．(1，4] [笔记]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 学霸笔记：(1)若函数的解析式是由多个基本初等函数通过四则运算构成，则函数的定义域是使构成解析式的各部分都有意义的集合的交集． (2)抽象函数定义域． ①若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f(g(x))的定义域由不等式a≤g(x)≤b求出； ②若复合函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则函数f(x)的定义域为g(x)在[a，b]上的值域． 　跟踪训练　(1)函数f(x)＝的定义域为(　　) A．[4，＋∞) B．[4，5) C．(4，5) (2)已知函数f(x＋3)的定义域为[－2，4)，则函数f(x)的定义域为________． 命题点三　函数的解析式 例3 (1)已知f(＋1)＝x＋2，求f(x)的解析式． (2)已知f(x)是一次函数，且f(f(x))＝4x＋3，求f(x)． (3)函数f(x)满足方程2f(x)＋f()＝2x，x∈R且x≠0，求f(x)． [笔记]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 学霸笔记： (1)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围． (2)配凑法：由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的表达式． (3)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，可用待定系数法． (4)方程组法：已知关于f(x)与f()或f(－x)等的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x)． 跟踪训练　(1)已知f()＝，则f(x)＝(　　) A．(x＋1)2(x≠1) 　 B．(x－1)2(x≠1) C．x2－x＋1(x≠1) 　D．x2＋x＋1(x≠1) (2)已知f(x)是二次函数且f(0)＝2，f(x＋1)－f(x)＝x－1，则f(x)＝________． (3)若f(x)对于任意实数x恒有3f(x)－2f(－x)＝5x＋1，则f(x)＝________． 命题点四　分段函数 例4 (1)(2026·江门模拟)已知函数f(x)＝则f(5)＝(　　) A．－2 B．4 C．10 D．16 (2)已知函数f(x)＝若f(27)＝3f(a)，则a＝(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 [笔记]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 学霸笔记： (1)根据分段函数解析式求函数值，首先确定自变量的值属于哪个区间，其次选定相应的解析式代入求解．当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值，直到求出最后的函数值为止． (2)已知函数值求自变量的值时，应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值是否符合相应段的自变量的取值范围． 　跟踪训练　(1)已知函数f(x)＝其中a为正实数，则f(f(0))＝________． (2)已知函数f(x)＝且f(a)＝4，则a＝________． 提示：请完成课时作业6 第一节　函数的概念及其表示 必备知识·助学教材 知识清单 1．(1)实数集　任意　唯一确定 2．(1)定义域　对应关系　值域 (2)定义域　对应关系 3．解析法 自主诊断 1．答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 2．解析：对于A，y＝2＝x(x∈{x|x≥0})，它与函数y＝x(x∈R)虽然对应关系相同，但是定义域不相同，所以这个函数与函数y＝x(x∈R)不是同一个函数；对于B，u＝＝v(v∈R)，它与函数y＝x(x∈R)不仅对应关系相同，而且定义域也相同，所以这个函数与函数y＝x(x∈R)是同一个函数；对于C，y＝＝|x|＝它与函数y＝x(x∈R)的定义域都是实数集R，但是当x<0时，它的对应关系与函数y＝x(x∈R)不相同，所以这个函数与函数y＝x(x∈R)不是同一个函数；对于D，m＝＝n(n∈{n|n≠0})，它与函数y＝x(x∈R)的对应关系相同但定义域不相同，所以这个函数与函数y＝x(x∈R)不是同一个函数．故选B. 答案：B 3．解析：要使函数f(x)＝－1有意义，则解得－3≤x≤1. 答案：[－3，1] 4．解析：由f(a)＝得a＋3＋，即3a2＋2a－5＝0，解得a＝1或a＝－. 答案：1或－ 考教衔接·活用教材 例1　解析：(1)根据函数的定义，在自变量x的取值范围内，任意的x取值，有且只有一个y值与之对应，从图象上看就是在自变量x的取值范围内作一条垂直于x轴的直线，直线与函数图象有且仅有一个交点，对于ABC三个选项中的图象，在自变量x的取值范围内作一条垂直于x轴的直线，与图象有且只有一个交点，从而能表示y是x的函数；对于D，在自变量x的取值范围内作一条垂直于x轴的直线，与图象有两个交点，从而不能表示y是x的函数．故选D. 解析：(2)令f(x)＝x2＝9，则x＝±3，则满足条件的f(x)有f(x)＝x2，x∈{3}；f(x)＝x2，x∈{－3}；f(x)＝x2，x∈{－3，3}，故满足条件的f(x)有3个．故选C. 答案：(1)D　 答案：(2)C 跟踪训练　解析：对于A，因为0∈A，但是没有意义，故A错误；对于B，因为对于任意一个实数x，都有唯一确定的实数x2与其对应，符合函数的定义，故B正确；对于C，显然2∈A，此时y＝±2，有两个不同的实数与之对应，不满足唯一性，故C错误；对于D，因为集合A，B是自然数集，1∈A，但是y＝∉N，所以y不是x的函数，故D错误．故选B. 答案：B 例2　解析：(1)由解得0≤x<2，所以函数y＝＋ln (2－x)的定义域为[0，2)．故选A. 解析：(2)依题意，函数g(x)＝有意义，等价于解得1<x≤4，即函数g(x)＝的定义域为(1，4].故选D. 答案：(1)A　 答案：(2)D 跟踪训练　解析：(1)要使函数f(x)＝有意义，则解得x≥4且x≠5，故函数f(x)的定义域为[4，5)∪(5，＋∞)．故选B. 解析：(2)由函数f(x＋3)的定义域为[－2，4)，得x∈[－2，4)，令t＝x＋3，则t∈[1，7)，所以f(t)的定义域为[1，7)，故f(x)的定义域为[1，7)． 答案：(1)B　 答案：(2)[1，7) 例3　解析：(1)设u＝＋1，则＝u－1(u≥1)， ∴f(u)＝(u－1)2＋2(u－1)＝u2－1(u≥1)， 即f(x)＝x2－1(x≥1)． (2)设f(x)＝ax＋b(a≠0)， 则f(f(x))＝f(ax＋b)＝a(ax＋b)＋b＝a2x＋ab＋b＝4x＋3. ∴解得或 故所求的函数为f(x)＝2x＋1或f(x)＝－2x－3. (3)(构造法)∵2f(x)＋f＝2x　①， 将x换成，则换成x， 得2f＋f(x)＝　②. 由①②消去f，得3f(x)＝4x－， ∴f(x)＝(x∈R且x≠0)． 跟踪训练　解析：(1)f＝＝2－＋1.令＝t(t≠1)，得f(t)＝t2－t＋1(t≠1)，即f(x)＝x2－x＋1(x≠1)．故选C. 解析：(2)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由f(0)＝2，得c＝2，f(x＋1)－f(x)＝a(x＋1)2＋b(x＋1)＋2－ax2－bx－2＝x－1，即2ax＋a＋b＝x－1，∴即∴f(x)＝＋2. 解析：(3)对∀x∈R恒有3f(x)－2f(－x)＝5x＋1　①，所以有3f(－x)－2f(x)＝－5x＋1　②，由①②解得f(x)＝x＋1. 答案：(1)C　 答案：(2)x＋2　 答案：(3)x＋1 例4　解析：(1)依题意，f(5)＝f(5－2)＝f(3)＝f(3－2)＝f(1)＝1＋3×1＝4.故选B. 解析：(2)由f(27)＝log327＝3＝3f(a)得f(a)＝1，当a>0时，由log3a＝1，解得a＝3；当a<0时，由a3＝1，解得a＝1(舍)．综上a＝3.故选C. 答案：(1)B　 答案：(2)C 跟踪训练　解析：(1)∵函数f(x)＝ ∴f(0)＝a0＝1，∴f(f(0))＝f(1)＝－3＋ln 1＝－3. 解析：(2)当a≥0时，f(a)＝a2＝4，解得a＝±2， ∵a≥0，故a＝2. 当a<0时，f(a)＝－＋5＝4，解得a＝±1. ∵a<0，故a＝－1. 验证：当a＝2时，f(2)＝22＝4，符合题意； 当a＝－1时，f(－1)＝－＋5＝4，符合题意． 答案：(1)－3　 答案：(2)2或－1 学科网（北京）股份有限公司 $