甘肃古浪三中等校2025-2026学年度第二学期高三第七次诊断考试数学试卷

★★★202605 高三数学·答案 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分 1.答案B 命题透析本题考查集合的补与并运算 解折由-4+3≥0，解得x≤1或≥3，所以0，A=1<x<3,又B=到2x-3>0={xx>2}所以 (CmA)UB={xlx>1}=(1,+). 2.答案C 命题透析本题考查复数的模的性质。 解析1z1·21=1z1·|z21=2×2=4. 3.答案A 命题透析本题考查平面向量的数量积. 解折由题意知6，·6=-之，所以ab=(-名+36，)·(2，-4e,)=-2G+10e,·62-12G=-19, 4.答案D 命题透析本题考查等差数列的性质。 解析设{an}的公差为d.依题意，S偶-S奇=20=5d,解得d=4,又S春=5a5=60,解得as=12,则a3=a5-2d=4. 5.答案D 命题透析本题考查空间几何体的表面积与体积. 解析依题意，M=4,则AM,=4,而球0为正方体ABCD-AB,CD,的棱切球，故其半径R=45=22,故 2 所求表面积S=4πR2=32π. 6.答案A 命题透析 本题考查对数的运算性质、对数函数的图象与性质。 解析lg(只)=lg(停)=lg,(瓷%1g,a=logb=lg,e=i≠0.在同一直角坐标系中分别作出y= log2x,y=logx,y=log6x的图象，因为a,b,c互不相等，观察可知，当t>0时，a<b<c,当t<0时，c<b<a. 7.答案B 命题透析本题考查等比数列的运算、等比数列的性质. 一1 解析因为S,=9-2①，所以当n=1时，S=9-2,解得@=6，当n≥2时，5.1=9-82②，①-②可得， a=子41，所以a写品，则S,=9-写高>0，故由a+13≥分可得S.(a,+13)≥A,其中(a+13)S.= (3品+1B93)}@.令x=3,则)=(2+13)(9-))在(0，)上单调递增，在（子，3上单调 递减，当n=1时，x=3,f(3)=114,当n=2时，x=1,f(1)=120,当n>2时，x<1,f(x)<120,故③式最大值为 120,则入≤120. 8.答案C 命题透析本题考查排列组合、古典概型的概率， 解析每次抽取小球的情况有C3+C?+C3=7种，先后两次共有7×7=49种情况.两次抽到的小球上的数字 之和为7的情况有：第一次的数字之和为1，第二次的数字之和为6，共有CC2=4种；第一次的数字之和为2， 第二次的数字之和为5，共有1种；第一次的数字之和为6，第二次的数字之和为1，共有4种；第一次的数字之 和为5，第二次的数字之和为2，共有1种.故所求概率P=4+1+4+1=10 49 -49 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.每小题全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的 得0分. 9.答案AC 命题透析本题考查三角函数的图象与性质 解析f(x)=sim2xf(x)=-Icos的最小正周期均为T,且在(0，平）上单调递增，故A,C正确；f(x)= 2tan 2 =anx(x≠7+m且x≠m+2km,ke乙的最小正周期为2m,故B错误f(x)=sin2x+cos2x= 1-tan 2sim(2x+平)在(0，平）)上先增后减，故D错误 10.答案BC 命题透析本题考查函数的性质， 行由题意知八)是奇函数因为奇函数的定文域关于原点对称，放m1,则儿)三山十引。。 -2)+2)=h3-。二+h写。二1-0解得=2，放m+=3,放A错误)=h 1e2 x+1 号-子)。士图为=4司)》女1.+上分别年调遥增和单摄遥藏故 —2 f(x)在(1，+∞)上单调递增，故f(x)在(-∞，-1)和(1，+∞)上单调递增，故f(2026)<f(2027),故B正 确；令g(x)=0,得f(x)=-x,在同一直角坐标系中分别作出y=f(x),y=-x的大致图象如图所示，观察可 12x-11>1, 知，C正确：f(I2x-11)<f(Ix+2)台Ix+21>1, 分-了<x<0或1<x<3,故D错误 112x-11<|x+21 11.答案BCD 命题透析本题考查抛物线的方程与几何性质。 解析设M(x1,出)，N(x22),则P(x1,-1),依题意，-号=-1，则p=2,C:x2=4y. 2 对于A,因为MP⊥L,点G在1上，所以√MG·M=√MP=1M=IM,故A错误； y=3x+1, 对于B,联立得 得x2-12x-4=0,则x1+x2=12,故1MN1=y1+y2+2=3x1+3x2+4=40,故B x2=4y, 正确； x好1 对于C,由题可知M(,)。,）,因为y=之，故C在M处的切线方程为y-=(x-),得 (0,-）又F0,1),所以0=(0,1+)P成=(o,1+),得=P成，又1=1P网1，所以四边形 MFQP为菱形，其对角线互相垂直平分，故C正确； 对于D,不纺设>0，由C可知，△MrG≌△MPc,所以S-25e=lMP1e=+手名- a,设划=4，c0+)则了(e-±-，e)=0得后做e在 8x1 8x2 (0,上单调遥减，在（后+上单调递增放当x后时有最小值为%5，放D正确 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.答案4√3 —3 命题透析本题考查双曲线的几何性质 解析设C:号-号=A,将4,2)代人可得入=2，则C:苔-苦=1，焦距为2,84=45 13.答案0.44 命题透析本题考查离散型随机变量的分布列的性质、期望与方差 a+b+c=1, a=0.5, 解析设P(X=0)=a,P(X=1)=b,P(X=2)=c,则b+2c=0.6,解得b=0.4,故D(X)=0.5×(0-0.6)2+ la+b=0.9, c=0.1, 0.4×(1-0.6)2+0.1×(2-0.6)2=0.44. 14答案号 命题透析本题考查空间几何体的结构特征、空间线面的位置关系、空间角的解法」 解析如图，过点D'作D'MLAB,垂足为M,连接CM,易知AB⊥平面D'CM,所以平面D'CM⊥平面ABC,则点 D'在平面ABC内的射影O在直线CM上.过点O分别向AC,BC引垂线，垂足分别为S,T,连接D'S,D'T,则四 边形OSCT是矩形.由于AC⊥OS,AC⊥D'0,D'0∩OS=0,且两直线在平面D'OS内，所以AC⊥平面D'OS,从 而4C1Ds,因比a=∠DS0,同理B=∠rm因此ma=S知B-册从而儡g-g-答m2 tan BOS OStan∠ACM= 1 an乙4BC=2,则anB=2ana,由题易知tana>0,故an(B-a)=0-ang 1 一≤ 1+tan atan B 1+2tan a tan a -妥，当且仅当m《=受时等号成立，放am(8-)的最大值为号 2 1x2tan a 2入tan 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.命题透析本题考查利用导数研究函数的性质. 解析(1)依题意f(x)=ex2-2(x-1)e,f'(x)=2ex-2xe=2x(e-e).…（1分) 令f(x)=0,解得x=0或x=1.…(2分)》 故当x∈(-0,0)时，f'(x)<0,fx)单调递减；当xe(0,1)时，f'(x)>0,f(x)单调递增；当xe(1,+∞)时， f(x)<0,f八x)单调递减。…(4分) -4 所以f八x)的极小值为(0)=2，极大值为f八1)=e.…(6分) (2)依题意，f(x)=2ax-2xe=2x(a-e*).…… (7分) 因为a>1,xe(0,+),令f'(x)=0,解得x=lna>0, (8分) 当xe(0,lna)时，f'(x)>0f(x)单调递增， 当xe(lna,+o)时f'(x)<0f代x)单调递减. (10分) 故当x=lna时，f(x)取得极大值，也是最大值， (11分) 则flna)=a(lna)2-2a(lna-1)≥2a,解得a≥e2, 故实数a的取值范围为[e2,+0).… (13分) 16.命题透析本题考查线性回归模型的应用. 解析(1)平均电池容量元=600 10 60(kW·h), (2分) 平均续航里程)=5000=500(km）. 10 …(4分） 10 10 (2)r= --列 -10 …(7分) 10 10 (号-10)(2-10） 320200-10×60×500 √38750-10×602√/2650000-10×500 F7h70X800o80-09g% 20200 (11分) (3)由样本数据，可知续航里程与电池容量的比值约为之=50_25 x=60=3 故新款车型续航里程的估计值为100X名≈833(km）.………(15分 17.命题透析本题考查正弦定理和余弦定理的应用. 解析(1)因为(3c-2 asin B)sinC=√3(bsin B-asin A), 所以由正弦定理可得5c2-2 acsin B=√5b2-5a2, 整理可得a2+c2-b=23 30C51n乃，”55*55**5… (2分) 由余孩定理可得sB+公-2C2B-得nB,所以mB=万，…（4分》 2ac bac 因为Be(0,m),故B=牙 31 …(5分) (2)因为BE为LABC的平分线，所以LABE=∠CBE=T, 6 -5 因为SAc=Soue+ScaE,即2acsn号-=c·B6sin石+7a·BEsn 3 6 6 又因为E=1,所以得=+，散a ac …（(9分） (3)因为Ci=2Di,所以B励-B武=2(B-B励)，即3B励=B武+2BA, 所以9B=(B武+2BA)2=B心+4B+4B武.BA, 即36=公2+4c2+4ac0s号=a2+4e2+2ac≥2√·4+2ac=6ac,即ac≤6，… (12分) a=2c, a=25, 当且仅当 即当 时，等号成立， Lac=6, c=√3 所以S=宁n号-停c≤孕×6=9，即△ABC面积的最大值为望 1 3 2 …（15分) 18.命题透析本题考查椭圆的方程与几何性质，椭圆与直线的位置关系. 解析(1)设C的半焦距为c(c>0).由离心率为e=合-公。五-，可得=26，…2分) a a 又C经过点(，1)，所以品+-1，得-2，心2=4 故C的方程为片+兮=1 (4分) (2)(1)由题意知A(-2,0),B(2,0),P(0,t)(0<It<√2) 因为00=30，所以Q(0,3t).…(5分） 直线40：y=兰(x+2),与椭圆方程联立得(2+92)2+36x+362-8=-0, 则又-2所以- 2+9r2, 从而6+2=2所以台2) …(7分) 直线BP:y=-乞(x-2),与椭圆方程联立，得(2+)2-4x+4-8=0, 则xBxg= 分又=2所以 22-4 2+t2, 从面=宁-2)出所u(答) …(9分)》 若直线DE与x轴相交于点G(m,0), 12t 4t 则有kc=kgc,得4-18F-m(（2+9)22-4-m(2+)' —6 因为t≠0，上式化简可得m=-4, 因此，直线DE与x轴相交于定点(-4,0).… (11分)》 （)由题意知aPQg的周职为S-宁P心：宁引2=答，是 2r-4t …(13分) 由对称性，不妨取1>0，又因为11<2，所以22-4<0，所以S=4=2 2+2 S()=(4-6)(2+)-24(41-2)-8-16t2-22 (14分) (2+t2)2 (2+2)2, 令S'(t)=0,则t4+82-4=0,解得2=25-4（负值舍去）. 当0<t<√25-4时，S'(t)>0,当t>√25-4时，S'(t)<0, 故当S取最大值时，=2W5-4.…(17分)》 19.命题透析本题考查三角形的面积公式，空间线面的位置关系、表面积与体积，向量法求空间角. 解析(1)易知AB=√13，AC=2√5，BC=5,…(1分) C0s L BAC=AB+AC-BC2 2 2AB·AC√6⑤ …(2分) 则sin _BAC=V-os2LBMC=√6 ，…(3分)》 √65 C=)AB·AC…sinLBAC=6. (2)(1)以D为坐标原点，DA,DB,DC所在直线分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则D(0,0,0), A(20,0),B(0,3,0),C(0,0,4),P0,2,)D1=(2,0,0),i=(0,2,号)=(-22,3）…(5分) 设动-A市-(-2,2A,号小0≤A≤)，则(2-2A,2,号或-(2-2,2A-3,号…(6分) 设n=(x,y,z)为平面QAD,即平面DAP的法向量， 亦=2y+子=0， 则 令y=-2,则n=(0,-2,3),…(8分) n·DA=2x=0, 7 则直线BQ与平面QAD所成角的正弦值为m· 18√13 In11B 1·√2-202+(2A-3)2+58 91 解得A=A=7舍去)，即架= …(10分） (ⅱ)球0的体积最大时，球0的半径最大 设球0的半径为，DE=,DF=y,DG=,x,>0(i)可知Q11,号）)所以成=成+亦+成， 由于Q,8上，G四点共面，放+}+名1 y V,-G=石2，四面体D-EFG的表面积S表=2(y+z+w)+S6G' 3V段-匹，…(11分) S表 由勾股定理，可得EF=√+y,EG=√+，FG=√+Z,…(12分) ?+子·V+所以sin∠G=+设浮 x2 由余弦定理，可得cos∠FEG= √x+.√+2 所以Sm=方+孕+7，所以r= xyz y+2+x+y+x22+y2 (13分) 所以r= 1 1品是++- y 所以T≤一 …(14分) 设)=1+t+√㎡-2+2，则F(0=1+11- 1 112-2+2 当品≤<2时f(0>0, 当0ct<分时，令f(e)=0,即1-1-√㎡-2+分解得%1085， 110 当(o,10品5时<00)单调递减， 当e(0品5}时0>00单递塔， 所以)m=)=1++1-11=2-10。=12+35 11, 所以≤4,5（当=6时取等号）。 故当球0的体积最大时，球0的半径为4,5 (17分) 3 8-★★★202605 高三数学 注意事项： 1.答题前，务必将自己的个人信息填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定 位置。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需 改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题 卡上。 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的 1.设全集U=R,集合A={x|x2-4x+3≥0}，B={x2x-3>0},则(CuA)UB= A.[1,+o∞) B.(1,+0） c(，+ (33到 2.已知名1=1+3i,2=√2+√2i,则1名1·21= A.1 B.2 C.4 D.8 3.已知e1,e2是夹角为120的两个单位向量，a=-e1+3e2,b=2e1-4e2,则a·b= A.-19 B.-9 C.19 D.9 4.已知等差数列{an}共有10项，其所有奇数项和为60，所有偶数项和为80，则a3= A.10 B.8 C.6 D.4 5.已知正方体ABCD-AB,C,D1的体积为64，若球0与该正方体的所有棱都相切，则球0的 表面积为 A.16m B.48m C.64m D.32m 6.已知互不相等的正数a,b,c满足log2 √2 =log3 1W6 36 ,则下列关系式可能成立 的是 A.c<b<a B.c<a<b C.b<c<a D.b<a<c 7.已知数列1a,}的前n项和S,=9-受，若3neN~,使得a,+13≥令成立，则实数入的取值 范围为 A.[120,+0) B.(-∞，120] C.[114,+∞) D.(-∞，114] 数学第1页（共4页） 8.小明在某超市购物后参加抽奖活动，活动如下：一个盒子中放有红、绿、蓝色的小球各一个， 红球上标有数字5，蓝球和绿球上标有数字1，参与者必须有放回地抽取小球两次，每次可 以抽取1个、2个或3个小球，若两次抽到的小球上的数字之和为7，则可以获得奖品，假设 每种符合要求的小球组合被抽到都是等可能的，则小明获得奖品的概率为 A B. c 8 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.下列函数中，最小正周期为π，且在0，）上单调递增的为 2tan 2 A.f(x）=sin2x B.f(x)= 1-a2号 C.f(x)=-Icos xI D.f(x）=sin2x+cos2x 10已知函数)=h+。三(m≠-1，a≠0)的图象关于原成对称，则 A.m+n=2 B.f(2026)<f(2027) C.函数g(x)=f(x)+x存在两个零点 D.f(I2x-1I)<f|x+2I)的解集为{x|1<x<3} 11.已知抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F,准线l:y=-1,过点F的直线'与抛物线C交 于M,N两点，过M作抛物线C的切线m,点Q(0,yo),G(xc,-1)在m上，过点M作 MP⊥l,垂足为P,则 A.√MG.M证>1MI B.若'的斜率为3，则IMN1=40 C.线段MQ,FP互相垂直平分 D.四边形MFCP的面积的最小值为16,3 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 2.若双曲线C过点4,2)与双曲线C-1有相同的渐新近线，则C的焦距为 13.某地区为了提升养老保障机制，组织相关的保险公司在该地区推广养老保险的相关产品，现 在该地区随机抽取1名老人，其购买的养老保险产品的数量X的所有可能取值为0,1,2，且 P(X≤1)=0.9，E(X)=0.6,则D(X)= 数学第2页（共4页） I4如图，在四边形8G中，BD=BC=4C-D=答48=5，现沿AB进行翻折，使得点 D到达D'的位置，连接CD',得到三棱锥D'-ABC,记平面D'AC与平面ABC所成的角为 ,平面D'BC与平面ABC所成的角为B,则tan(B-&)的最大值为 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骡 15.(13分) 已知函数f代x)=ax2-2(x-1)e. (1)若a=e,求f(x)的极值； (2)若a>1,且3x∈(0，+0)，使得f代x)≥2a,求实数a的取值范围. 16.(15分) 某新能源汽车公司为研究电池容量对续航里程的影响，随机选取了10辆不同配置的车进 行测试，测量每辆车的电池容量（单位：kW·h)和续航里程（单位：km),得到如下数据： 样本号 1 2 2 5 6 P 10 总和 电池容量x 35 40 45 50 55 65 70 75 80 85 600 续航里程y: 330 350 390 410 480 520 560 620 640 700 5000 10 并计算得∑花=38750，∑ =2650000, ￥：y:=320200. (1)估计这10辆车的平均电池容量与平均续航里程； (2)求电池容量与续航里程的样本相关系数；（精确到0.001） (3)现该公司计划推出新款车型，电池容量为100.kW·h,己知续航里程与电池容量近似 成正比，利用以上数据给出新款车型续航里程的估计值.（精确到1） (-)(- 附：相关系数r √2750×15≈203. --) 数学第3页（共4页） 17.(15分) △ABC的内角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知（√3c-2 asin B)sinC=√5(bsin B-asin A). (1)求B; (2)若点E在边AC上，BE为∠ABC的平分线且长度为1，求4+C; ac (3)若D是AC边上的一点，且C⑦=2DA,BD=2,求△ABC的面积的最大值. 18.(17分) 已知椭圆C:21(a>b>0)的离心率为二，且C经过点(21 (1)求C的方程. (2)已知A,B是C的左、右顶点，P(0,t)是C的短轴上的动点（与短轴端点和原点O均不 重合)，点Q满足00=30护，直线AQ与C的另一个交点为D,直线BP与C的另一个 交点为（与D不重合）： (i)证明：直线DE与x轴相交于定点； (ⅱ)当△PQE的面积最大时，求2的值， 19.(17分) 已知四面体A-BCD如图所示，其中DA,DB,DC两两互相垂直，DA=2,DB=3,DC=4,点 P满足BP=BC,点Q在线段AP上. (1)求△ABC的面积， (2)已知直线Q与平面Q4D所成角的正弦值为]18V13 91 (i求器的值： (ⅱ)过点Q的动平面a分别交射线DA,DB,DC于点E,F,G(均与点D不重合)，球O 与四面体D-EFG的每个面都相切，则当球O的体积最大时，求球O的半径 数学第4页（共4页）