精品解析：云南昆明市第一中学西山学校2026年初中学业水平模拟考试 数学 试题卷

昆一中西山学校2026年初中学业水平模拟考试数学试题卷 （全卷三个大题，共27个小题，共8页；满分100分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．本卷为试题卷．考生解题作答必须在答题卷（答题卡）上．答案书写在答题卷（答题卡）相应位置上（不能改动答题卡上的标题题号），在试题卷、草稿纸上作答无效． 2．考试结束后，请将试题卷和答题卷（答题卡）一并交回． 一、选择题（本大题共15小题，每小题只有一个正确选项，每小题2分，共30分） 1. 我国魏晋时期的数学家刘徽在为《九章算术》作注时指出：“今两算得失相反，要令正、负以名之．”意思是说，遇到具有相反意义的量时，要用正、负加以区别．在学校足球比赛中，如果某班足球队进2个球记作，那么该队失1个球记作（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 2. 6G目前仍处于全球标准预研和关键技术验证阶段，商用时间大致指向2030年．据IMT-2030（6G）推进组发布的白皮书，实验室在太赫兹频段、超大规模等理想条件下，测得的峰值速率可达每秒以上．数据用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 要使分式有意义，x的取值范围为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，，若，，则（ ） A. B. C. D. 6. 如图是某几何体的三视图，该几何体是（ ） A. 长方体 B. 三棱柱 C. 圆锥 D. 圆柱 7. 一个多边形的内角和，则这个多边形是（ ） A. 八边形 B. 七边形 C. 六边形 D. 五边形 8. 若反比例函数的图象经过点，则k的值为（ ） A. 6 B. C. D. 9. 如图，已知与的相似比为，若的面积为，则四边形的面积为（ ） A. B. C. D. 10. 下列图形中，一定是轴对称图形的是（ ） A. 平行四边形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 四边形 11. 按一定规律排列的代数式：，，，，，…，第个代数式是（ ） A. B. C. D. 12. 如图，在中，，，则等于（ ） A. B. C. D. 13. 为传承傣族剪纸技艺，某中学社团记录了5个小组完成一幅剪纸作品的耗时（单位：分钟）：28，30，32，29，29，则这组数据的中位数是（ ） A. 28 B. 29 C. 30 D. 32 14. 换季时节流感高发，某社区发现一例流感患者，经过两轮传播后，总感染人数达到 81 人．设每一轮传播中每个患者平均传染x 人，则可列方程为 （ ）． A. B. C. D. 15. 圆锥的侧面展开图是一个圆心角，半径的扇形，则该圆锥的高是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题2分，共8分） 16. 分解因式：__________． 17. 二次函数的图像与x轴有两个公共点，则m的取值范围为______． 18. 如图，将一块正方体货柜静止放在斜面上，其受力分析如图所示，重力G的方向竖直向下，摩擦力的方向与斜面平行，支持力的方向与斜面垂直．若摩擦力与重力G的夹角，则斜面的坡角________度． 19. 为了解某年级学生每周课外阅读时长，随机抽取部分学生进行调查，并绘制了如图所示的频数分布直方图（每组数据含最小值，不含最大值）．如果该年级有600名学生，估计该年级平均每周阅读时长不少于6小时的学生约有______名． 三、解答题（本大题共8小题，共62分） 20. 计算：． 21. 如图，和相交于点O，，求证：； 22. 云南拥有得天独厚的气候条件和生态环境，优良空气天数占比99%以上，“旅居云南”成为新时尚．寒假期间，某家庭到云南某地旅居，已知该家庭用1500元租到民宿的入住天数与用1200元租到民宿的入住天数相同，民宿每天的租金比民宿每天的租金少20元，求，两种民宿每天的租金． 23. 为了拓宽学生的视野，探索云南的历史和文化，昆明某中学初中部和高中部将分别从A：云南民族村，B：世博园，C：七彩云南欢乐世界，D：云南野生动物园四个地点中选择一个学生最喜爱的地点进行研学活动． （1）该中学初中部选择去“七彩云南欢乐世界”研学的概率是 ； （2）请用列表法或画树状图的方法求该中学初中部和高中部选择去同一地点研学的概率． 24. 如图，在平行四边形中，对角线的垂直平分线与相交于点E，与相交于点F，连接，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若四边形的周长是40，两条对角线的和是28，求四边形的面积． 25. 根据以下素材，探索完成任务． 如何进货利润最大 素材1 云南特色农产品直播带货成为乡村振兴新路径，某主播直播间销售普洱茶和鲜花饼两种特产． 素材2 通过调查，销售1盒普洱茶和2盒鲜花饼，共可获利50元；销售2盒普洱茶和3盒鲜花饼，共可获利85元． 素材3 该直播间计划购进两种特产共1000盒，其中普洱茶的数量不少于200盒，且不超过鲜花饼数量的． 问题解决 （1）任务1：请你运用所学知识，求出每盒普洱茶和每盒鲜花饼的利润． （2）任务2：该直播间如何进货，才能使销售完后获得的总利润最大？并求出最大利润． 26. 已知a是常数，函数，记． （1）若，，求y的值； （2）若，，比较T与30的大小． 27. 如图，已知，正方形内接于以对角线为直径的．点E在劣弧上，连接并延长至点F，使得，连接，连接． （1）求的度数； （2）求证：是的切线； （3）探究，发现与证明：是否存在常数a和b，使等式成立？若存在，请直接写出一个a的值和一个b的值，并证明你写出的a的值和b的值，使等式成立；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 昆一中西山学校2026年初中学业水平模拟考试数学试题卷 （全卷三个大题，共27个小题，共8页；满分100分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．本卷为试题卷．考生解题作答必须在答题卷（答题卡）上．答案书写在答题卷（答题卡）相应位置上（不能改动答题卡上的标题题号），在试题卷、草稿纸上作答无效． 2．考试结束后，请将试题卷和答题卷（答题卡）一并交回． 一、选择题（本大题共15小题，每小题只有一个正确选项，每小题2分，共30分） 1. 我国魏晋时期的数学家刘徽在为《九章算术》作注时指出：“今两算得失相反，要令正、负以名之．”意思是说，遇到具有相反意义的量时，要用正、负加以区别．在学校足球比赛中，如果某班足球队进2个球记作，那么该队失1个球记作（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查正负数表示相反意义的量，根据题目给定的规则，即可得到失球的记法． 【详解】解：∵进球与失球是相反意义的量，题目规定进球记为正， ∴与进球相反的失球应记为负，因此失1个球记作个，故选B． 2. 6G目前仍处于全球标准预研和关键技术验证阶段，商用时间大致指向2030年．据IMT-2030（6G）推进组发布的白皮书，实验室在太赫兹频段、超大规模等理想条件下，测得的峰值速率可达每秒以上．数据用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为，其中，为整数，解题关键是正确确定和的值． 【详解】解：． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查整式合并同类项法则和幂的运算法则，根据对应法则逐一验证选项即可得到正确结果． 【详解】解：A、，该选项不符合题意； B、，该选项不符合题意； C、，该选项符合题意； D、，该选项不符合题意． 4. 要使分式有意义，x的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用分式有意义的条件（分母不为0），求解的取值范围． 【详解】解：分式有意义， 分式的分母不能为，可得， 解得． 5. 如图，在中，，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据余弦的定义，计算即可． 【详解】解：在中，，，， 则． 6. 如图是某几何体的三视图，该几何体是（ ） A. 长方体 B. 三棱柱 C. 圆锥 D. 圆柱 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵主视图和左视图均为长方形 ， ∴该几何体为柱体， ∵俯视图为长方形， ∴该几何体为长方体． 7. 一个多边形的内角和，则这个多边形是（ ） A. 八边形 B. 七边形 C. 六边形 D. 五边形 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查多边形的内角和公式，掌握边形的内角和为是解题关键，根据内角和公式列方程求解即可得到边数． 【详解】解：设这个多边形的边数为， 边形的内角和为，该多边形内角和为， ， 解得：， 这个多边形是六边形． 8. 若反比例函数的图象经过点，则k的值为（ ） A. 6 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的性质，反比例函数图象上的点的坐标满足函数解析式，将已知点坐标代入解析式即可求出的值． 【详解】解：∵ 反比例函数的图象经过点， ∴ 把，代入，得， 解得 ． 9. 如图，已知与的相似比为，若的面积为，则四边形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解本题的关键．由与相似，利用相似三角形面积之比等于相似比，求出两三角形面积之比，即可求出与四边形的面积比，即可解答． 【详解】解：∵，且相似比为， ∴， ∵， ∴， ∵的面积为， ∴， 故选：B． 10. 下列图形中，一定是轴对称图形的是（ ） A. 平行四边形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 四边形 【答案】C 【解析】 【分析】根据轴对称图形的定义，即沿一条直线对折后直线两侧部分能完全重合的图形是轴对称图形，逐一判断各选项即可得到答案． 【详解】解：∵ 普通平行四边形无法找到一条直线使对折后两侧完全重合，只有特殊平行四边形才是轴对称图形，不是所有平行四边形都满足， ∴A不符合题意； ∵ 一般直角三角形找不到对称轴，只有特殊的等腰直角三角形才是轴对称图形， ∴B不符合题意； ∵ 等边三角形沿任意一条边上的高所在直线对折，直线两侧部分都能完全重合，一定是轴对称图形， ∴C符合题意； ∵ 任意四边形不一定存在这样的对称轴， ∴D不符合题意． 11. 按一定规律排列的代数式：，，，，，…，第个代数式是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分别分析代数式的系数和的次数，各自找到通项规律后再合并，得到第个代数式． 【详解】解：∵这几个代数式的系数分别为，，，，， ∴第个代数式的系数为， ∵这几个代数式的次数分别为，，，，， ∴第个代数式的次数为， ∴第个代数式是． 12. 如图，在中，，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由，得，进而利用等边对等角及三角形的内角和定理即可得解． 【详解】解：∵， ， ． 13. 为传承傣族剪纸技艺，某中学社团记录了5个小组完成一幅剪纸作品的耗时（单位：分钟）：28，30，32，29，29，则这组数据的中位数是（ ） A. 28 B. 29 C. 30 D. 32 【答案】B 【解析】 【分析】根据中位数的计算规则，先将这组数据从小到大排序，数据个数为奇数，最中间的数就是这组数据的中位数，求解即可． 【详解】解：给出的这组数据为28，30，32，29，29， 将数据从小到大排序得 这组数据共有5个数，个数为奇数，中位数是排序后最中间的数， 最中间的数为第3个数，即这组数据的中位数是． 14. 换季时节流感高发，某社区发现一例流感患者，经过两轮传播后，总感染人数达到 81 人．设每一轮传播中每个患者平均传染x 人，则可列方程为 （ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，正确理解题意并抽象成数学模型是解题关键． 根据流感传播模型，初始患者平均每轮会传染x人，第一轮后总感染人；第二轮中，第一轮的个患者各传染x人，新增人，相加得到结果． 【详解】解：设初始患者为1人， ∵ 第一轮传播，每个患者传染x人， ∴ 第一轮后总感染人数为， ∵ 第二轮传播，第一轮的个患者各传染x人， ∴ 第二轮新增感染人数为， ∴ 两轮后总感染人数为， 又∵ 总感染人数为81， ∴ ． 故选：D． 15. 圆锥的侧面展开图是一个圆心角，半径的扇形，则该圆锥的高是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据扇形的弧长等于圆锥的底面周长列方程求出圆锥的底面半径，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：设圆锥底面半径为， 则，解得， 则该圆锥的高． 故选：C． 【点睛】本题考查了圆锥的底面周长和弧长的计算，解题的关键是熟练的掌握圆锥的计算公式． 二、填空题（本大题共4小题，每小题2分，共8分） 16. 分解因式：__________． 【答案】## 【解析】 【分析】利用完全平方公式分解即可．完全平方公式为． 【详解】解：原式 17. 二次函数的图像与x轴有两个公共点，则m的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与x轴的交点的个数问题，熟练掌握二次函数与一元二次方程的联系是关键．二次函数图像与 x 轴有两个公共点，等价于对应的一元二次方程有两个不相等的实数根，因此判别式大于零，据此求解即可． 【详解】解：二次函数的图像与x轴有两个公共点， ， 解得． 故答案为：． 18. 如图，将一块正方体货柜静止放在斜面上，其受力分析如图所示，重力G的方向竖直向下，摩擦力的方向与斜面平行，支持力的方向与斜面垂直．若摩擦力与重力G的夹角，则斜面的坡角________度． 【答案】26 【解析】 【分析】根据题意，由平行线的性质得到，根据三角形的外角性质即可求解． 【详解】解：如图所示， ∵摩擦力的方向与斜面平行．摩擦力与重力方向的夹角， ∴， ∵重力的方向竖直向下， ∴， ∴， 19. 为了解某年级学生每周课外阅读时长，随机抽取部分学生进行调查，并绘制了如图所示的频数分布直方图（每组数据含最小值，不含最大值）．如果该年级有600名学生，估计该年级平均每周阅读时长不少于6小时的学生约有______名． 【答案】 【解析】 【分析】先求出样本中平均每周阅读时长不少于小时的学生的频率，再用年级总人数乘以对应频率得到估计结果． 【详解】解：由频数分布直方图可得，抽取的样本容量为： 样本中平均每周阅读时长不少于小时的学生频数为：（人） 样本中对应频率为： 因此估计该年级符合条件的学生人数为：（人）． 三、解答题（本大题共8小题，共62分） 20. 计算：． 【答案】 【解析】 【详解】解： ． 21. 如图，和相交于点O，，求证：； 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：，熟练掌握知识点是解题的关键．利用证明全等即可． 【详解】证明：在与中， ， ∴． 22. 云南拥有得天独厚的气候条件和生态环境，优良空气天数占比99%以上，“旅居云南”成为新时尚．寒假期间，某家庭到云南某地旅居，已知该家庭用1500元租到民宿的入住天数与用1200元租到民宿的入住天数相同，民宿每天的租金比民宿每天的租金少20元，求，两种民宿每天的租金． 【答案】民宿每天的租金为100元，民宿每天的租金为80元 【解析】 【分析】本题考查的是分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．设民宿每天的租金为元，则民宿每天的租金为元，根据该家庭用1500元租到民宿的入住天数与用1200元租到民宿的入住天数相同，列出分式方程，解方程即可． 【详解】解：设民宿每天的租金为元，则民宿每天的租金为元， 由题意得， 解得， 经检验：是原分式方程的解，且符合题意， ， 答：民宿每天的租金为100元，民宿每天的租金为80元． 23. 为了拓宽学生的视野，探索云南的历史和文化，昆明某中学初中部和高中部将分别从A：云南民族村，B：世博园，C：七彩云南欢乐世界，D：云南野生动物园四个地点中选择一个学生最喜爱的地点进行研学活动． （1）该中学初中部选择去“七彩云南欢乐世界”研学的概率是 ； （2）请用列表法或画树状图的方法求该中学初中部和高中部选择去同一地点研学的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了列表法或树状图法以及概率公式，通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率． （1）直接由概率公式求解即可； （2）列表得出共有16种等可能的结果，其中两所学校选择相同目的地有4种情况，再由概率公式求解即可； 【小问1详解】 解：∵从A，B，C，D四个地点中选择一个，共有4种等可能结果， ∴选择去“七彩云南欢乐世界”研学的概率是； 【小问2详解】 列表如下： A B C D A B C D 由上表可知，共有16种等可能结果，其中初中部和高中部选择去同一地点研学的等可能结果有4种，分别为， 所以选择去同一地点的概率为， 即：P（选择去同一地点） 24. 如图，在平行四边形中，对角线的垂直平分线与相交于点E，与相交于点F，连接，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若四边形的周长是40，两条对角线的和是28，求四边形的面积． 【答案】（1）见解析 （2）96 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质可证，根据垂直平分线的性质可证，，利用可证，根据全等三角形的性质可证，根据对角线互相平分的四边形是菱形可证结论成立； （2）根据菱形的性质可知，设、，根据勾股定理可得，利用完全平方公式可以求出，根据菱形的面积公式求出结果即可． 【小问1详解】 证明：是的垂直平分线， ，； ∵四边形是平行四边形， ， ， 在和中， ， （）， ， ∴四边形是平行四边形， ， ∴四边形是菱形； 【小问2详解】 解：∵四边形是菱形， ， ∵四边形的周长是40， ∴， 设、， 则有，，， ， 在中，由勾股定理得：， ， ， ， 整理可得：， ∴． 25. 根据以下素材，探索完成任务． 如何进货利润最大 素材1 云南特色农产品直播带货成为乡村振兴新路径，某主播直播间销售普洱茶和鲜花饼两种特产． 素材2 通过调查，销售1盒普洱茶和2盒鲜花饼，共可获利50元；销售2盒普洱茶和3盒鲜花饼，共可获利85元． 素材3 该直播间计划购进两种特产共1000盒，其中普洱茶的数量不少于200盒，且不超过鲜花饼数量的． 问题解决 （1）任务1：请你运用所学知识，求出每盒普洱茶和每盒鲜花饼的利润． （2）任务2：该直播间如何进货，才能使销售完后获得的总利润最大？并求出最大利润． 【答案】（1）每盒普洱茶的利润为元，每盒鲜花饼的利润为元 （2）购进普洱茶盒，鲜花饼盒时，销售完后获得的总利润最大，最大利润为元 【解析】 【分析】（1）设每盒普洱茶的利润为元，每盒鲜花饼的利润为元，根据题意列出二元一次方程组，据此求解即可； （2）设购进普洱茶盒，则购进鲜花饼盒，总利润为元，根据题意列得不等式组，求得，再求得总利润，根据一次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：设每盒普洱茶的利润为元，每盒鲜花饼的利润为元， 根据题意得， 解得， 答：每盒普洱茶的利润为元，每盒鲜花饼的利润为元； 【小问2详解】 解：设购进普洱茶盒，则购进鲜花饼盒，总利润为元， 根据题意得， 解得， 总利润， ∵，∴随的增大而增大， ∴当时，取得最大值，最大值为（元）， ， 答：购进普洱茶盒，鲜花饼盒时，销售完后获得的总利润最大，最大利润为元． 26. 已知a是常数，函数，记． （1）若，，求y的值； （2）若，，比较T与30的大小． 【答案】（1）3 （2）当时，；当时，． 【解析】 【分析】（1）代入数据求解即可； （2）将，代入求得 ，即或，再分两种情况讨论，计算求解． 【小问1详解】 解：当，时， ； 【小问2详解】 解：当，时， ， 即 ， 即 ， ∴或， ∴或， 当时， ， 此时； ∵， 当时，整理得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ， ∴ ， ∴ ，， ∴当时，；当时，． 27. 如图，已知，正方形内接于以对角线为直径的．点E在劣弧上，连接并延长至点F，使得，连接，连接． （1）求的度数； （2）求证：是的切线； （3）探究，发现与证明：是否存在常数a和b，使等式成立？若存在，请直接写出一个a的值和一个b的值，并证明你写出的a的值和b的值，使等式成立；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）； （2）见解析； （3）存在，当，时，成立，理由见解析． 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定，圆的有关性质和切线的判定，正方形的性质，勾股定理等内容，解题的关键是熟练掌握相关基础性质，理解题意，构造出合适的辅助线． （1）根据正方形的性质可得，，再根据同弧所对的圆周角相等，即可求解； （2）根据直径所对的圆周角为可得，，根据等量代换可得，，即可求证； （3）作，可以得到为等腰直角三角形，，再将进行平方，通过等量代换可得，同理可得，即可求解． 【小问1详解】 解：∵正方形内接于以为直径的， ∴，， 由题意可得，点都在上，， ∴； 【小问2详解】 证明：∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴，即， 又∵为半径， ∴是的切线； 【小问3详解】 解：存在，当，时，成立，理由如下： 作， 由题意可得，，， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， 作，连接，如下图： 同理可证，为等腰直角三角形，， 得到，， ， 由题意可得，，，， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $