5.4数列求和方法课件-2026届高三数学二轮专题复习

专题五 数列 【新高考二轮复习专题】 专题5.4 数列求和方法 目录 典例精讲·通性通法·变式训练 1 2 3 考点概览 知识点拨 重点题型 数列求和方法 倒序相加法 数学归纳法 数列通项首尾项和为定值 数列通项为等差×等比 数列通项为分数形式 证明数列前项和 错位相减法 裂项相消法 分组求和法 分部求和法 数列通项为等差+等比 奇偶项或绝对值求和 考点概览 考点一 倒序相加法 注: 该考点在近年真题中未有出现与涉及. 但近年各地模考中偶有出现. 26 年高考亦有考查可能.因此高三毕业班授课教师与考生应适当关注, 建议根据自身情况选择学习. 20-25 年真题统计 具体考查方式 考频统计 1．适用条件：若一个数列的首项、尾项能构建出特殊的关系,则可以反向构建关系,先把数列倒着写一遍再和原来的数列相加,从而得到题中所证或所求. 2．格式步骤如下：以等差数列为例，其前项和为例 ① ② ③ ④ 考点一 倒序相加法 倒序相加法 知识点拨 考点一 倒序相加法 已知数列满足：，数列满足 ． 求数列的通项公式； 求． 当  时，  ； 当  时，  ，  ， 得：  ，  ，当  时，  ，  ． 重点题型 考点一 倒序相加法   ，   ，   ，  ， 又  得：    重点题型 考点一 倒序相加法 已知函数关于点对称，其中为实数． 求实数的值 若数列的通项满足，其前项和为，求 由题知：即， 整理得，解得 由题知，，且， 则， 又， 故，即． 重点题型 解题通法 倒序相加法 1．通过倒序观察函数或数列并发现倒序之前每组自变量之间的关系； 2．证明每组自变量之间的函数值或者数列值和为定值，奠定求和基础 考点一 倒序相加法 倒序相加法的考查通常是以函数背景的求和问题，即通常以函数的某个性质（对称中心）为基础，确定多个函数值的问题。 我们通常的处理方法是： 归纳总结 20-25 年真题统计 具体考查方式 2025全国一卷第16题 利用错位相减法求和 2025天津卷第19题 利用错位相减法求和 2024全国甲卷数学（理）第18题 利用错位相减法确定数列的前项和 2023全国甲卷数学（理）第17题 利用错位相减法确定数列的前项和 2023天津卷第18题 利用错位相减法确定数列的前项和 2020全国I卷（理）第17题 利用错位相减法确定数列的前项和 2020全国II卷数学（理）第17题 利用错位相减法确定数列的前项和 2020天津卷第19题 利用错位相减法确定数列的前项和 2021浙江卷第20题 利用错位相减法确定数列的前项和 2022全国乙卷数学（文）第19题 利用错位相减法确定数列的前项和 考点二 错位相减法 考频统计 1.适用条件：如果数列是等差数列，是等比数列，那么求数列的前项和时，可采用错位相减法．用错位相减法求和时，应注意： (1)等比数列的公比为负数的情形； (2)在写出和的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便准确写出的表达式． 错位相减法 考点二 错位相减法 知识点拨 2.格式步骤如下：以，其前项和为例 (1)表示: (2)表示: (3)两个式子相减： (4)化简处理： 错位相减法 考点二 错位相减法 知识点拨 两式作差可得 是以2为首项，2为公比的等比数列， 已知数列的前项和为，且有． 求数列的通项公式； 若，求数列的前项和． 考点二 错位相减法 ，， ， 两式作差可得： ．  重点题型 根据题意：，当时，， 两式相减即得：， 因时，，满足上式，故； ， 则， ， 两式相减可得：， 故． 已知数列的前项和为，满足． 求数列的通项公式； 若，求数列的前项和 考点二 错位相减法 重点题型 （1）由题意证明如下，， 在数列中，，， ∴，即， ∴是以为首项，1为公差的等差数列. （2）由题意及（1）得，， 在数列中，首项为3，公差为1， ∴，即， 设数列满足， (1)证明：为等差数列； (2)设，求． 考点二 错位相减法 重点题型 在中，， ∴， 当且时， ∴， ∴ ∴ . 设数列满足， (1)证明：为等差数列； (2)设，求． 考点二 错位相减法 重点题型 （1）设数列的公差为d，数列公比为， 则由题得， 所以； 已知数列是等差数列，是等比数列，． (1)求，的通项公式； (2)，，有， （i）求证：对任意实数，均有; （ii）求所有元素之和． 考点二 错位相减法 重点题型 （2）（i）证明：由（1）或，， 当时， 设 ， 所以， 所以 ， 所以，为中的最大元素， 此时恒成立， 所以对，均有. 已知数列是等差数列，是等比数列，． (1)求，的通项公式； (2)，，有， （i）求证：对任意实数，均有; （ii）求所有元素之和． 考点二 错位相减法 重点题型 （ii）由（i）得，为中的最大元素， 由题意可得中的所有元素由以下系列中所有元素组成： 当均为1时：此时该系列元素只有即个； 当中只有一个为0，其余均为1时： 此时该系列的元素有共有个， 则这个元素的和为； 当中只有2个为0，其余均为1时： 此时该系列的元素为共有个， 则这个元素的和为； 当中有个为0，其余均为1时：此时该系列的元素为共有个， 则这个元素的和为； 已知数列是等差数列，是等比数列，． (1)求，的通项公式； (2)，，有， （i）求证：对任意实数，均有; （ii）求所有元素之和． 考点二 错位相减法 重点题型 … 当中有个为0，1个为1时： 此时该系列的元素为共有个， 则这个元素的和为； 当均为0时：此时该系列的元素为即个， 综上所述，中的所有元素之和为 ； 已知数列是等差数列，是等比数列，． (1)求，的通项公式； (2)，，有， （i）求证：对任意实数，均有; （ii）求所有元素之和． 考点二 错位相减法 重点题型 解题通法 错位相减法 1．明确使用错位相减法的条件，数列为等差数列和等比数列乘积的时候考虑错位相减； 2．两式相减后的最后一项是减项 3．错位相减后的等比数列求和的时候，数列项数一般为项 考点二 错位相减法 归纳总结 20-25 年真题统计 具体考查方式 2022新高考全国I卷第17题 利用裂项相消法确定数列的前项和 2020浙江卷第20题 利用裂项相消法确定数列的前项和 考点三 裂项相消法 考频统计 1.适用条件：适用于题干所给数列通项结构为分式的数列求和 2.常见裂项方式 (1) (2) (3) (4) (5) (6) 裂项相消法 考点三 裂项相消法 知识点拨 由题意所以 且 所以 所以且，所以 因为， 所以 已知数列的前项和为，且是公差为的等差数列， 求的通项公式 设，求数列的前项和为． 考点三 裂项相消法 重点题型 由题意知，，解得， 所以，所以． ，，所以． 考点三 裂项相消法 已知等比数列的前项和为，公比，． 设，求； 设，求数列的前项和． 重点题型 解题通法 1．观察数列的通项，将通项拆成两项差的形式，拆分之后记得通分验证； 2．将数列裂项后的项进行累加； 3．将中间可以消去的项相互抵消，将剩余的项相加，得到数列的前项和 考点三 裂项相消法 裂项相消法 归纳总结 20-25 年真题统计 具体考查方式 2022新高考全国I卷第17题 利用分组求和法确定数列的前项和 2025全国甲卷数学（文）第17题 利用分组求和法确定数列的前项和 考点四 分组求和法 考频统计 1.适用条件：如果数列是等差数列，是等比数列，那么求数列的前项和时，可采用分组求和法 2.格式步骤如下：以数列，其前n项和为例 分组求和法 考点四 分组求和法 知识点拨 由解得 所以 由题可知 所以 在等差数列中，已知，． 求数列的通项公式； 若数列是首项为，公比为的等比数列，求数列的前项和 考点四 分组求和法 重点题型 设数列的公差为，数列的公比为 因为所以 所以所以 已知为等差数列，是等比数列，且． 求和的通项公式； 若，求的值． 考点四 分组求和法 重点题型 解题通法 1．将数列的通项公式分成等差数列和等比数列相加减的形式； 2．对拆分后的等差数列或等比数列分别求和，之后相加减得到数列的前项和 考点四 分组求和法 分组求和法 归纳总结 20-25 年真题统计 具体考查方式 2023新课标全国II卷第18题 利用分离奇偶项分部求和法确定数列的前项和 2023全国乙卷数学（文）第18题 利用去绝对值分部求和法确定数列的前项和 2020新高考全国I卷第18题 利用分部求和法确定数列的前项和 考点五 分部求和法 考频统计 1.适用条件：如果数列的前项和中，可以两两结合求解，可采用分部求和法，形如 2.格式步骤如下：以相邻项可以两两结合的数列为例 分部求和法 考点五 分部求和法 知识点拨 设等差数列的公差为，由已知，得 ，解得，故． 由 得 ． 已知等差数列，满足，． 求数列的通项公式 令，求的前项和 考点五 分部求和法 重点题型 1设的公差为，因为，，成等比数列， 所以， 即，解得舍去， 所以． 2设，因为，所以． 当为偶数时， 当为奇数时，． 已知等差数列的各项均为整数，，且，，成等比数列． 1求的通项公式 2设，求数列的前项和． 考点五 分部求和法 重点题型 解题通法 1．研究数列通项公式奇偶项或相邻项之间的关系，把数列的前项和分成若干部分； 2．把数列的前项和拆分之后，分别求和，最后相加减 考点五 分部求和法 分部求和法 归纳总结 20-25 年真题统计 具体考查方式 考点六 数学归纳法 注: 该考点在近年真题中未有出现与涉及. 但近年各地模考中偶有出现. 26 年高考亦有考查可能.因此高三毕业班授课教师与考生应适当关注, 建议根据自身情况选择学习. 考频统计 1.适用条件：当要证明某一个命题对不小于某个正整数的所有正整数都成立时，可采用数学归纳法 2.格式步骤如下： (1)证明当时命题成立 (2)假设时命题成立，证明时命题也成立 数学归纳法 考点六 数学归纳法 知识点拨 ，猜想， 利用数学归纳法证明：当时，猜想的显然成立； 假设当时，成立， 则当时， ，即当时，也成立． 综合，猜想的数列前项和的公式成立． 若数列，，，，，的前项和为，计算，，， 由此推测计算的公式，并用数学归纳法进行证明． 考点六 数学归纳法 重点题型  ；；； 猜想． 证明：当时，结论显然成立；假设当时，结论成立， 即，则当时， ， 当时，结论也成立，综上可知，对任意， 已知数列，，，，，，记数列的前项和． 1计算，， 2猜想的表达式，并用数学归纳法证明． 考点六 数学归纳法 重点题型 解题通法 1．明确始值并验证真假（必不可少） 2．假设“”时命题成立，并写出命题形式 3．分析“”时命题是什么．并找出与“”时命题的关系，弄清楚左端应该增加的项 4．明确左端变形的目标，掌握恒等式变形常用的方法，如配方，因式分解，添拆项等，并用上假设 考点六 数学归纳法 数学归纳法 归纳总结 博学深思 未来可期 $