2026届高考数学解答题限时集训（十）

限时集训：2026高考数学解答题（十） 命题人：李文元 （考试时间：60分钟 试卷满分：77分） 班级： 姓名： 成绩： 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知函数，其中. (1)求函数的最小正周期； (2)从条件①、条件②、条件③中选择一个条件作为已知，使得函数存在且唯一确定，当时，求函数的最大值和最小值. 条件①：； 条件②：函数在上单调递减； 条件③：函数为偶函数. 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】(1) (2)选条件①或③：最大值为1，最小值为；不能选条件② 【分析】（1）先根据三角恒等变换公式化简可得，进而结合周期公式求解即可； （2）选①：结合题设可得，进而求出，再根据正弦函数的性质求解；选②：由正弦函数的单调性结合题设可得到无解，因此不能选择此条件；选③：先得到，再结合正弦型函数的奇偶性求出，再根据正弦函数的性质求解. 【详解】（1）由， 则函数的最小正周期为. （2）选条件①：由，则， 所以（舍去）或， 即，又，则，即， 当时，，则， 所以函数的最大值为1，最小值为. 选条件②：当时，，因为函数在上单调递减， 所以，，无解，则函数不存在，不满足题意； 选条件③：由， 因为为偶函数，所以， 则，又，则，即， 当时，，则， 所以函数的最大值为1，最小值为. 16．（15分）如图，在斜三棱柱中，，，，，，分别为的中点． (1)证明：平面； (2)若，求平面与平面的夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，延长，得出是的中位线，根据线面平行的判定定理结合中位线的性质即可证明. （2）以为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，根据求出点的坐标，然后求出平面和平面的法向量，最后根据平面与平面夹角的向量公式即可求解. 【详解】（1）连接，延长，因为斜三棱柱中，侧面是平行四边形，对角线与互相平分，又是的中点，因此是的中点. 又因为是中点，所以在中，是中位线，故， 又平面，平面，因此平面. （2）以为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 由已知条件得： ，，，设，由得， 是中点，故；是中点，故. 由，得，代入解得，，即. 向量，.设平面的法向量为. 由得，取得，. 向量， .设平面的法向量为. 由得，取得，. 设平面与平面的夹角为，则. 17．（15分）某光伏板工厂将质检测得的转换效率不低于某数值的光伏板分类为高效板，其余为普通板，该工厂有两条生产线： A线：日产能为400块光伏板，其中高效板占比为15%； B线：日产能为600块光伏板，其中高效板占比为45%. 两条生产线当天生产的产品会先混合存放在同一仓库，销售时随机混合装成标准箱配送，一个标准箱中装有4块光伏板. (1)从仓库某天的产品中随机抽取一块光伏板，求抽到高效板的概率； (2)若普通板利润为25元/块，则要使一个标准箱利润的期望值不低于133元，高效板的利润至少为多少元? 【答案】(1)0.33 (2)50 【分析】（1）结合两条生产线的日产能和高效板占比，分别求出各生产线的高效板数量，从而求出抽到高效板的概率； （2）易判断一个标准箱有4块光伏板，其中高效板的数量服从二项分布，设高效板的利润， 再根据期望公式列出不等式，进而求出高效板的最低利润. 【详解】（1）由题意知，A线日产能400块，其中高效板占比为15%，则A线高效板数量为块； B线日产能600块，其中高效板占比为45%，则B线高效板数量为块， 所以高效板总数为块，因此抽到高效板的概率. （2）设高效板的利润为元/块， 由（1）知，抽到高效板的概率为，则抽到普通板的概率为， 一个标准箱有4块光伏板，设其中高效板的数量为随机变量，则， 根据数学期望公式，可得一个标准箱中高效板的期望数量为块， 普通板的期望数量为块. 已知普通板利润为25元/块，要使一个标准箱利润的期望值不低于133元， 则，解得， 因此，要使一个标准箱利润的期望值不低于133元，高效板的利润至少为50元. 18．（17分）已知椭圆的左、右焦点分别为，且，点 在椭圆上，满足. (1)求椭圆的标准方程； (2)斜率为1的直线与椭圆交于、两点，点为坐标原点，若，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意求出的值，结合的值，可得出的值，由此可得出椭圆的标准方程； （2）设点、，将直线与椭圆联立，列出韦达定理，结合弦长公式可得出关于的方程，求出参数，再应用点线距离公式、三角形面积公式求的面积. 【详解】（1）由椭圆的定义可得，可得， 因为，所以，故， 因此椭圆的标准方程为. （2）设点、，且， 联立可得， ， 由韦达定理可得，， 所以，解得， 所以，则到直线的距离， 所以. 19．（17分）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)若有极小值，且，求a的取值范围. 【答案】(1) (2)当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增 (3) 【分析】（1）先对函数求导得到导函数表达式，代入已知条件确定参数后，算出处的导数值即切线斜率，再求出对应的函数值即切点坐标，最后用点斜式列出切线方程并整理成一般式即可. （2）先把导函数通分并因式分解，结合定义域，按参数的正负分类讨论；时判断导函数在定义域内恒正，直接得出函数单调递增；时以为分界点，分别判断区间内导函数正负，进而得到函数的递减、递增区间，最后汇总两种情况的单调结论. （3）先借助第二问单调性确定时函数在处取极小值也是最小值，代入求出最小值表达式；由恒成立转化为最小值大于等于0，化简不等式后构造新函数；通过求导判断新函数单调递减，结合特殊点，利用单调性分析出使不等式成立的的取值区间. 【详解】（1）当时，，所以 所以切线方程为即， （2）， 若，可得时，，所以在上单调递增； 若时，当时，，所以在上单调递减； 当时，，所以在上单调递增； 综上所述：当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （3）由（2）可知当时，有极小值，极小值为， 此时极小值也是最小值，由，可得，， 又，所以 令，求导得， 所以在上单调递减，又， 当时，，当时，， 所以时，，此时满足，所以a的取值范围。 学科网（北京）股份有限公司 $限时集训：2026高考数学解答题（十） 命题人：李文元 (考试时间：60分钟试卷满分：77分) 班级： 姓名： 成绩： 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤， 15.(13分)已知函数fx=sin2xsin 行+pcos2xsnp,其中p2) (1)求函数f(x)的最小正周期： (2)从条件①、条件②、条件③中选择一个条件作为已知，使得函数∫(x)存在且唯一确定， 当xe[0时， 求函数f(x的最大值和最小值， 条件①：了 条件②：函数八国在（行上单调递减： 条件@：函数/+ 为偶函数 注：如果选择的条件不符合要求，第(2)问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解 答，按第一个解答计分 16.(15分)如图，在斜三棱柱ABC-A,B,C中，AA⊥AB,AB⊥BC,A4=BC=2, AB=1,D,E分别为AB,A,C的中点. B C E (I)证明：DE/1平面BCCB; (2)若DE=√3，求平面ADE与平面ACC,A,的夹角的余弦值. 17.(15分)某光伏板工厂将质检测得的转换效率不低于某数值的光伏板分类为高效板，其 余为普通板，该工厂有两条生产线： A线：日产能为400块光伏板，其中高效板占比为15%； B线：日产能为600块光伏板，其中高效板占比为45%. 两条生产线当天生产的产品会先混合存放在同一仓库，销售时随机混合装成标准箱配送，一 个标准箱中装有4块光伏板 ()从仓库某天的产品中随机抽取一块光伏板，求抽到高效板的概率： (2)若普通板利润为25元/块，则要使一个标准箱利润的期望值不低于133元，高效板的利润 至少为多少元？ 1.7分)已知后三+芳=a>60的左、右熊点分别为5.，且FE=2N5, 点P在椭圆上，满足PF+PF,=4. (1)求椭圆E的标准方程； ②斜率为1的直线1与椭圆E交于A、B两点，点0为坐标原点，若HB=45,求△O4B 3 的面积 19.17分)已知函数f到=号-anx-a-小x-号 (I)当a=-1时，求曲线y=f(x)在点x=1处的切线方程； (2)讨论(x的单调性； (3)若f(x)有极小值，且f(x)≥0，求a的取值范围限时集训：2026高考数学解答题（十) 命题人：李文元 (考试时间：60分钟试卷满分：77分) 班级： 姓名： 成绩： 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.（13分)已知函数f()=m2xsn(7+9+cos2xm9,其中@∈（2 π (1)求函数f(x)的最小正周期； (2)从条件①、条件②、条件③中选择一个条件作为已知，使得函数∫(x)存在且唯一确定， 当e0时， 求函数f(x)的最大值和最小值， 条件0：)[) 条件②： 函数（四在（网上单调递减： 条什@：函数+君)为同函数 注：如果选择的条件不符合要求，第(2)问得0分：如果选择多个符合要求的条件分别解 答，按第一个解答计分 16.(15分)如图，在斜三棱柱ABC-AB,C中，AA⊥AB,AB⊥BC,A4=BC=2,AB=1, D,E分别为AB,AC的中点. A B C E (1)证明：DE/平面BCC,B; (2)若DE=V3,求平面ADE与平面ACCA的夹角的余弦值. 17.(15分)某光伏板工厂将质检测得的转换效率不低于某数值的光伏板分类为高效板，其 余为普通板，该工厂有两条生产线： A线：日产能为400块光伏板，其中高效板占比为15%： B线：日产能为600块光伏板，其中高效板占比为45%. 两条生产线当天生产的产品会先混合存放在同一仓库，销售时随机混合装成标准箱配送，一 个标准箱中装有4块光伏板， (1)从仓库某天的产品中随机抽取一块光伏板，求抽到高效板的概率； (2)若普通板利润为25元/块，则要使一个标准箱利润的期望值不低于133元，高效板的利润 至少为多少元？ 18（17分)已知随圆名否芳-〔a60的东、右焦点分别为，只，且RR2N5, 点P在椭圆上，满足P+PF=4. (1)求椭圆E的标准方程： 率为1的直线与椭圆E交于A、B两点，点O为坐标原点，若48=45，求△ 的面积 19.(17分)已知函数)-=号ahx-a-1号 (1)当a=-1时，求曲线y=f()在点x=1处的切线方程； (2)讨论∫(x)的单调性： (3)若f(x)有极小值，且f(x)≥0，求α的取值范围.限时集训：2026高考数学解答题（十) 命题人：李文元 (考试时间：60分钟试卷满分：77分) 班级： 姓名： 成绩： 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.（13分)已知函数f()=m2xsn(7+p+cos2xm9,其中@∈（2 (1)求函数f(x)的最小正周期： (2)从条件①、条件②、条件③中选择一个条件作为已知，使得函数∫(x)存在且唯一确定， 当e0时， 求函数f(x)的最大值和最小值， 条件0：))： 条件②： 函数∫(x)在匹，元上单调递减： 3 条什@：函数+君司为偶函数 注：如果选择的条件不符合要求，第(2)问得0分：如果选择多个符合要求的条件分别解 答，按第一个解答计分 【答案】(1)π 1 ②选条件0或③：最大值为1，最小值为-2：不能选条件@ 【分析】(1)先根据三角恒等变换公式化简可得f(x)=sn(2x+p),进而结合周期公式求解 即可： (2)选①：结合题设可得二+9+ 6 +2+p=+2kk∈乙，进而求出9=汇，再根据正弦函数 6 的性质求解：选②：由正弦函数的单调性结合题设可得到P无解，因此不能选择此条件：选 @:先得到Jx+-m2x+子+9 再结合正弦型函数的奇偶性求出=亚，再根据正 6 弦函数的性质求解 【详解】(1)由f(x)=sin2xsin cos 2x sinsin 2x cos cos 2x sin p=sin ex+), 则函数f()的最小正周期为2亚 =元 2 ②选条件0：由1合-用则m[目m经： 所以匹+p= 6 0+2加ke7(含去)设君+p+p=x+2ke7, 6 即0石uc乙，又-（引则中君即=m2x+君 当写时2 +[后则m2x+e 所以函数f(x)的最大值为1，最小值为2 选条价②：当仔河时，2a+任2x+9 因为函数f()在（行上单调递减， 所以 ,k∈Z,无解，则函数f(x)不存在，不满足题意： 2π+p 3死+2k 选条件③： 因为Jx+为偶函数，所以+0-于+kez, 2 所以函数f(:)的最大值为1，最小值为2 16.(15分)如图，在斜三棱柱ABC-AB,C中，A4⊥AB,AB⊥BC,A4=BC=2,AB=1, D,E分别为AB,AC的中点. A B (I)证明：DE/平面BCC,B: (2)若DB=V3,求平面ADE与平面ACCA的夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 4 【分析】(1)连接BC,延长AE,得出DE是△ABC的中位线，根据线面平行的判定定理 结合中位线的性质即可证明 (2)以B为原点，分别以BA,BC,Bz所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系，根据DE=√5 求出点A的坐标，然后求出平面ADE和平面ACCA的法向量，最后根据平面与平面夹角的 向量公式即可求解 【详解】(1)连接BC,延长AE,因为斜三棱柱ABC-AB,C中，侧面ACCA是平行四边 形，对角线AC与AC互相平分，又E是AC的中点，因此E是AC,的中点： 又因为D是AB中点，所以在△ABC中，DE是中位线，故DE/IBC1, 又DEC平面BCCB,BC1C平面BCCB,因此DE/I平面BCCB. (2)以B为原点，分别以BA,BC,Bz所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系， 由已知条件得：B(0,0,0),A1,0,0),C(0,2,0),设A1,y,z),由A4=2得y2+z2=4, D是中点，放D20小是4C中点，放行生 由s=5符生侣3.代入+=4解得y1,=5,即41 .设平面ADE的法向量为h=(x,y,3) 由AD=0 元D亚-0得{3y+52=0,取y=1得4=(0.1-)，网=2 { 51=0 向量A4=(0,1,√5)，AC=(←1,2,0)设平面ACC14的法向量为h,=(2,y2,2) 山石80，%6-阿4 x2=2y2 设平面ADE与平面ACCA的夹角为B,则 0×25+1x5+(3(1 235 cos 0= 2×4 8 4 17.(15分)某光伏板工厂将质检测得的转换效率不低于某数值的光伏板分类为高效板，其 余为普通板，该工厂有两条生产线： A线：日产能为400块光伏板，其中高效板占比为15%： B线：日产能为600块光伏板，其中高效板占比为45% 两条生产线当天生产的产品会先混合存放在同一仓库，销售时随机混合装成标准箱配送，一 个标准箱中装有4块光伏板 (1)从仓库某天的产品中随机抽取一块光伏板，求抽到高效板的概率： (2)若普通板利润为25元/块，则要使一个标准箱利润的期望值不低于133元，高效板的利润 至少为多少元？ 【答案】(1)0.33 (2)50 【分析】(1)结合两条生产线的日产能和高效板占比，分别求出各生产线的高效板数量，从 而求出抽到高效板的概率； (2)易判断一个标准箱有4块光伏板，其中高效板的数量服从二项分布，设高效板的利润， 再根据期望公式列出不等式，进而求出高效板的最低利润 【详解】(1)由题意知，A线日产能400块，其中高效板占比为15%，则A线高效板数量 为400×15%=60块： B线日产能600块，其中高效板占比为45%，则B线高效板数量为600×45%=270块， 330 所以高效板总数为60+270=330块，因此抽到高效板的概率P= =0.33」 400+600 (2)设高效板的利润为x元/块， 由(1)知，抽到高效板的概率为0.33，则抽到普通板的概率为1-0.33=0.67， 一个标准箱有4块光伏板，设其中高效板的数量为随机变量X,则X~B(4,0.33), 根据数学期望公式E(X)=吧，可得一个标准箱中高效板的期望数量为4×0.33=1.32块， 普通板的期望数量为4×0.67=2.68块 已知普通板利润为25元块，要使一个标准箱利润的期望值不低于133元， 则1.32x+2.68×25≥133，解得x≥50， 因此，要使一个标准箱利润的期望值不低于133元，高效板的利润至少为50元， 1817分)卫知精园若茶=(a≥6~的左、有东直分别为只，人，且KR25 点P在椭圆上，满足P+P=4. (1)求椭圆E的标准方程： (②斜率为1的直线1与椭圆五交于A、8两点，点0为坐标原点，若H=5,求△04B 3 的面积 【客10片号1 (210 3 【分析】(1)由题意求出a的值，结合c的值，可得出b的值，由此可得出椭圆E的标准方 程 (2)设点A(:,)、B(x2,2),将直线1：y=x+m与椭圆联立，列出韦达定理，结合弦长 公式可得出关于m的方程，求出参数，再应用点线距离公式、三角形面积公式求△OAB的 面积 【详解】(1)由椭圆的定义可得P+PF=2a=4,可得a=2, 因为=2=25，所以c=V2,故b=a-c=V2-(2列=5， 因此椭圆E的标准方程为子+父-1. 42 (2)设点A(5,y)、B(化2,2)，且1：y=x+m, y=x+m 联立 x2+2y2=4 可得3x2+4x+2m2-4=0,△=162-12(2m2-4)=48-82>0, 由韦达定理可得x+3=-, 3,2 2m2-4 3 所以A=1+及V氏+x-4=V2 m42--V645,解得m=1, 3 3 3 所以：y=x1，则O到直线1的距离d= 10-0±11 √2 -外台方5 3 19.17分)已知函数1)-an-a-1号 (1)当a=-1时，求曲线y=f(x)在点x=1处的切线方程： (2)讨论∫(x)的单调性： (3)若∫(x)有极小值，且f(x)≥0，求a的取值范围. 【答案】(1)4x-y-1=0 (2)当a≤0时，∫(x)在(0，+o)上单调递增；当a>0时，f(x)在(0，d上单调递减，在(a,+o 上单调递增 (3)(0,1] 【分析】(1)先对函数求导得到导函数表达式，代入己知条件确定参数后，算出x=1处的 导数值即切线斜率，再求出x=1对应的函数值即切点坐标，最后用点斜式列出切线方程并 整理成一般式即可 (2)先把导函数通分并因式分解，结合定义域x>0,按参数a的正负分类讨论：a≤0时判 断导函数在定义域内恒正，直接得出函数单调递增：a>0时以x=a为分界点，分别判断区 间内导函数正负，进而得到函数的递减、递增区间，最后汇总两种情况的单调结论， (3)先借助第二问单调性确定α>0时函数在x=a处取极小值也是最小值，代入求出最小 值表达式：由f(x)≥0恒成立转化为最小值大于等于0，化简不等式后构造新函数g(；通 过求导判断新函数单调递减，结合特殊点g(1)=0,利用单调性分析出使不等式成立的α的 取值区间. 【详解】(1)当a=-1时，f(x)=x-a-(a-1)=x++2,所以f'()=4,f)=3 所以切线方程为y-3=4(x-1),即4x-y-1=0, (2)f)=x-g-a-1y-a-1r-ak-a)+1D,xe(0,+四) 若a≤0，可得x∈(0，+∞)时，：f'(x)>0,所以f(x)在(0，+o)上单调递增： 若a>0时，当x∈(0，a)时，f'(x)<0,所以f(x)在(0，a)上单调递减： 当x∈(a,+o)时，∫"(x)>0,所以f(x)在(a,+o)上单调递增： 综上所述：当a≤0时，f(x)在(0，+o)上单调递增： 当a>0时，f(x)在(0，a)上单调递减，在(a,+o)上单调递增. (3)由(2)可知当a>0时，f(x)有极小值，极小值为 yag咖a(aag号a咖a号 a 此时极小值包是最小值，由f(c≥0，可行号aha受0,0a2ha20, 2 又a>0,所以1-a-2lna≥0 令8(@=1-a-2ha,求导得g(a)=-1-2<0, a 所以g(a在(0，+∞)上单调递减，又g(1)=1-1-2n1=0, 当a∈(0,1)时，g(a)>g(1)=0,当a∈(1，+o)时，g(a)<g(1)=0, 所以a∈(0,1]时，g(a)≥0，此时满足f(x)≥0，所以a的取值范围(o,]。