限时集训：2026届高考数学解答题（九）

限时集训：2026高考数学解答题（九） 命题人：李文元 （考试时间：60分钟 试卷满分：77分） 班级： 姓名： 成绩： 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）在三角形ABC中，点在线段上，. (1)若，求的值； (2)若，求的余弦值； (3)求的最大值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用余弦定理即可求解； （2）利用余弦定理以及即可求解； （3）设，利用正弦定理和直角三角形的边角关系可得，再根据三角函数的最大值即可求解. 【详解】（1）因为，所以，所以. 在中，利用余弦定理可得， 即，解得（负数舍去）. （2）设，可得， 利用余弦定理可得， 即，解得，又，所以的余弦值为. （3）设，可得. 在三角形ABC中，利用正弦定理可得，即， 整理可得，当时，取最大值. 16．（15分）如图，四棱锥的底面为矩形，，，平面平面ABCD．    (1)若，， ①求四棱锥的体积； ②求平面APD与平面CPD的夹角的余弦值． (2)设点B在直线AP上的射影为H，点H到平面ABCD的距离为d，求的最大值． 【答案】(1)① ；② (2) 【分析】（1）①作出辅助线，由线面垂直得到线线垂直，求出各边长，由锥体体积公式得到答案； ②建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，得到面面角的余弦值； （2）设，，表达出其他各边长，结合余弦定理，换元法，导函数求出的最大值． 【详解】（1）①如图，作于点E，连接BE． 因为平面平面ABCD，且平面平面，平面， 所以平面ABCD，即PE为四棱锥的高． 因为四边形ABCD为矩形，，， 所以，． 因为，，AC为公共边，所以， 故，所以， 故． 所以四棱锥的体积． ②如图所示，以B为坐标原点建立空间直角坐标系B-xyz， 则，，，， 所以，，． 设平面CPD的法向量为， 则，即，可取， 所以平面CPD的一个法向量为． 同理，设平面APD的一个法向量为， ， 解得，令，则， 可得平面APD的一个法向量为． 设平面APD与平面CPD的夹角为， 则．    （2）作，垂足为I，与（1）同理，可得平面ABCD． 设，，则，，． 由平面ABCD，可得，所以． 在中，由余弦定理可得， 在中，， 因为，所以． 设，，则， 设，，则，令，可得， 当时，，单调递增，当时，，单调递减， 所以，所以的最大值为． 17．（15分）甲、乙、丙三人进行羽毛球比赛，规定：第一局由甲、乙对打，丙轮空；每局的比赛的胜者与轮空者进行下一局对打，负者下一局轮空，如此循环．设甲对乙、丙的胜率均为，乙、丙之间的胜率互为． (1)求甲连续打前四局比赛的概率； (2)前四局中，求在第二局乙获胜的条件下甲轮空两局的概率； (3)如果甲胜一局得2分，输一局不得分，记打完前三局后甲的得分为，求的分布列和期望． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）分析甲连续打前四局比赛的情形，利用乘法求出概率即可； （2）利用条件概率求解即可； （3）先分析得分的情况，然后求出对应的概率，列出分布列计算数学期望即可. 【详解】（1）由甲连续打前四局比赛，说明甲在前3局都获胜， 第一局：甲、乙对打，甲胜，概率为， 第二局：甲、丙对打，甲胜，概率为， 第三局：甲、乙对打，甲胜，概率为， 所以甲连续打前四局比赛的概率为：. （2）设事件：前四局中第二局乙获胜，事件：第二局乙获胜，前四局中甲轮空两局， 对于前四局中第二局乙获胜： 即第一局：甲、乙对打，乙胜，概率为， 第二局：乙、丙对打，乙胜，概率为， 所以， 在第二局乙获胜的前提下，甲要轮空两局，只能是第4局甲轮空 第三局：乙、甲对打，乙胜，概率为， 第四局：乙、丙对打，概率为， 所以， 根据条件概率知：. （3）由题意知得分的可能值为：， ， ， ， ， 所以的分布列为： 6 所以得分的数学期望为：. 18．（17分）已知为坐标原点，双曲线的离心率为为的左顶点，过右焦点的直线与的右支交于两点，当直线垂直于轴时，的面积为9． (1)求的方程． (2)求面积的最小值． (3)试问轴上是否存在定点，使得为定值，若存在，求出的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)6 (3)存在定点 【分析】（1）当直线垂直于轴时，求出，通过面积和离心率求出双曲线方程． （2）设出直线方程，与双曲线方程联立，写出面积表达式，从而求得最值． （3）设，整理表达式，由分子分母系数比例关系可求出． 【详解】（1）设的焦距为，则．当直线垂直于轴时， 将代入的方程，得，解得， 所以，又， 所以的面积为． 由，解得， 所以的方程为． （2）由（1）知，易知直线斜率不为0， 设直线． 由，得， ， 易知，所以． ， 设，则， 因为函数在上单调递减， 所以当时，取得最大值，最大值为1， 则，所以面积的最小值为6． （3）假设存在，不妨设， 则 将和代入， 可得 若为定值，则， 解得，此时， 所以轴上存在定点，使得为定值． 19．（17分）已知函数． (1)当时，求曲线的斜率为的切线方程； (2)若不等式在上恒成立，求m的取值范围； (3)当时，若，且，证明：． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）由导数的意义求解可得； （2）分离参数后求导判断单调性和最值可得； （3）由（2）的单调性得到和，进而得到，然后构造新函数，利用导数分析单调性得到隐零点后可证明. 【详解】（1）设曲线的斜率为的切线的切点为，， 令，则， 所以在上单调递增，即在上单调递增， 又，所以，则， 故曲线的斜率为的切线方程为，即． （2）由题意知在上恒成立， 令，则， 令，则， 所以在上单调递减，且， 所以当时，，即，当时，，即， 所以在上单调递增，在上单调递减，所以． 由题意可知， 即实数m的取值范围为． （3）证明：由（2）可知，当时，在上恒成立， 所以当时，在上恒成立，当且仅当时等号成立． 因为，所以，， 所以，所以， 同理，则，所以， 因为，所以． 由，得当时，，所以在上单调递增； 当时，令，则， 令，则， 所以在上单调递减，所以，，即在上恒成立，所以在上又单调递增． 又，，所以存在，使得， 当时，，即，当时，，即， 所以在上单调递减，在上单调递增． 又，，故存在唯一的，使得，所以当时，，当时，． 由上可知，，且，在上单调递增，所以，即，因为，所以，又，则， 所以，则，由，所以． 学科网（北京）股份有限公司 $限时集训：2026高考数学解答题（九) 命题人：李文元 (考试时间：60分钟试卷满分：77分) 班级： 姓名： 成绩： 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.（13分)在三角形ABC中，点D在线段BC上，BD=2,AC=√3，∠BAD=90° (I)若∠ADB=60,求CD的值； 2)若CD=2,求∠ADB的余弦值 (3)求sinC的最大值. 16.（15分)如图，四棱锥P-ABCD的底面为矩形，PA=AB,PC=BC,平面PAC⊥平 面ABCD H D A B C (1)若∠ACB=30°，AC=2, ①求四棱锥P-ABCD的体积： ②求平面APD与平面CPD的夹角的余弦值， 2设点B在直线4AP上的射影为H,点H到平面ABCD的距离为d,求d的最大值. CD 17.(15分)甲、乙、丙三人进行羽毛球比赛，规定：第一局由甲、乙对打，丙轮空；每局 的比赛的胜者与轮空者进行下一局对打，负者下一局轮空，如此循环.设甲对乙、丙的胜率 均为子乙、丙之间的雕率互为， (1)求甲连续打前四局比赛的概率； (2)前四局中，求在第二局乙获胜的条件下甲轮空两局的概率： (3)如果甲胜一局得2分，输一局不得分，记打完前三局后甲的得分为X,求X的分布列和 期望. 1817分》已知0为坐标原点，双重线C手若-1a>0b>0形离心率为2A为c的左 顶点，过右焦点F的直线与C的右支交于P,Q两点，当直线PQ垂直于x轴时，△AP2的面 积为9. (1)求C的方程. (2)求△POQ面积的最小值. (3)试问x轴上是否存在定点T,使得T严PT四为定值，若存在，求出T的坐标；若不存在，请 说明理由. 1 19.(17分)己知函数f(x)=x+二+mex. x (1)当m=1时，求曲线y=f(x>0)的斜率为-1的切线方程： (2)若不等式f(x)≥2血x在(0，+w)上恒成立，求m的取值范围 (a)当m=-2时，若abe0+,且fa)+f月)-0，证明：8)f日)限时集训：2026高考数学解答题（九) 命题人：李文元 (考试时间：60分钟试卷满分：77分) 班级： 姓名： 成绩： 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.（13分)在三角形ABC中，点D在线段BC上，BD=2,AC=√3，∠BAD=90°. (I)若∠ADB=60,求CD的值： ②若CD=求ADB的余弦值 (3)求sinC的最大值. 【答案】(1)CD=1 (2)V66 3)3 12 3 【分析】(1)利用余弦定理即可求解； (2)利用余弦定理以及∠ADB+∠ADC=π即可求解： 3)设∠ADB三p,利用正弦定理和直角三角形的边角关系可得nC-、3,再根据三角 函数的最大值即可求解 【详解】(1)因为∠ADB=60所以A =c0s60°，所以AD=1,∠ADC=120 BD 在△ADC中，利用余弦定理可得cos∠ADC=AD+CD-AC, 2xADXCD 即-1=1+CD2-3 ,解得CD=1(负数舍去). 22×1×CD (2)设∠ADB=0,可得AD=2cos8CD= =5∠ADC=π-0， 利用余弦定理可得cos∠ADC=AD'+CD-AC 2×ADXCD 4c0s20+1-3 即-cos0= 4 ,解得cos'8=11,又cos6>0,所以∠ADB的余弦值为V66 2×2cos0× 12 2 (3)设∠ADB=P,可得AB=2sing,∠ABD= 29. 2sino √5 AB AC 在三角形ABC中，利用正弦定理可得 sinc sin2A8D'即sinc sin / (2 、整理可得simc",当sn24=1时，5imc取最大值V3 3 16.（15分)如图，四棱锥P-ABCD的底面为矩形，PA=AB,PC=BC,平面PAC⊥平 面ABCD. (1)若∠ACB=30°，AC=2, ①求四棱锥P-ABCD的体积： ②求平面APD与平面CPD的夹角的余弦值， 2)设点B在直线AP上的射影为H,点H到平面ABCD的距离为d,求d的最大值。 CD 【案100片：②号 223 9 【分析】(1)①作出辅助线，由线面垂直得到线线垂直，求出各边长，由锥体体积公式得到 答案： ②建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，得到面面角的余弦值： (2)设BC=x(x>0),AB=y(y>O),表达出其他各边长，结合余弦定理，换元法，导函 数球出云的最大位 【详解】(1)①如图，作PE⊥AC于点E,连接BE, 因为平面PAC⊥平面ABCD,且平面PAC∩平面ABCD=AC,PEC平面PAC, 所以PE⊥平面ABCD,即PE为四棱锥P-ABCD的高. 因为四边形ABCD为矩形，∠ACB=30°，AC=2, 所以AB=1,BC=√5. 因为PA=AB,CB=CP,AC为公共边，所以△ACP≌△ACB, 故∠ACB=∠ACP,所以△ECP≌△ECB, 故PB=BE=-}BC= 2 2 所以四棱锥P-ABCD的体积r=XV5x5={。 3 ②如图所示，以B为坐标原点建立空间直角坐标系Bxz 则A(0,10), 333 4’4’2 D(51,0),C(3,0,0), 所以PD 3W31V3 442 CD=(0,1,0),AD=(V3,0,0). 设平面CPD的法向量为i=(x,y,z), 3515 -X+一V- 2=0 [x=2 iPD=0 则 即 4 41 2 ,可取{y=0, CD=0 y=0 z=3 所以平面CPD的一个法向量为i=(2,0,3)。 同理，设平面APD的一个法向量为m=(x,y,二)， mAD=(k,,)(5,0,0）5x=0 m.PD=(8y2) 解得x=0,令y,=2V3,则5=1， 可得平面APD的一个法向量为=(0,2√3,1. 设平面APD与平面CPD的夹角为O, nm3 则cos8cos(i= 1m13 B (2)作HⅢ⊥AC,垂足为，与(1)同理，可得HⅡ⊥平面ABCD. 设BC=x(x>0),AB=yG心>0)，则AC=√+y,PE=BE=- ,4B= x2+y2 由PB⊥平面ABCD,可得PB⊥BB,所以BP=VPB=V2w vx2+v2 在aPAB中，由余弦定理可得cos∠BAP=P+AB-PB2y+y2、2ry 2AP.AB 2y2 x2+y2 在△AHB中，AH=ABcos∠BMP=y x2+2, 因为I=AHsin.∠PAB=AH·PE d HI AP 、3 （x2+y2 所以CDCD （x2+2 d 2 设t=y,t>0,则c +) 设f)= (+r月，>0，则f0=2-) t ,令f")=0,可得t=√2， 1+t2)2 当0<t<√2时，f')>0,f)单调递增，当t>√互时，f')<0,f)单调递减， 所以0三同-25，所以品的最大值为 CD 9 17.(15分)甲、乙、丙三人进行羽毛球比赛，规定：第一局由甲、乙对打，丙轮空：每局 的比赛的胜者与轮空者进行下一局对打，负者下一局轮空，如此循环，设甲对乙、丙的胜率 均为子乙、丙之间的胜幸红为行， (1)求甲连续打前四局比赛的概率： (2)前四局中，求在第二局乙获胜的条件下甲轮空两局的概率： (3)如果甲胜一局得2分，输一局不得分，记打完前三局后甲的得分为X,求X的分布列和 期望。 【答案】) 8 a时 器 【分析】(1)分析甲连续打前四局比赛的情形，利用乘法求出概率即可： (2)利用条件概率求解即可： (3)先分析得分的情况，然后求出对应的概率，列出分布列计算数学期望即可. 【详解】(1)由甲连续打前四局比赛，说明甲在前3局都获胜， 第一局：甲、乙对打，甲胜，概率为了， 2 第二局：甲、丙对打，甲胜，概率为， 2 第三局：甲、乙对打，甲胜，概率为？， 2 所以甲生埃打的四局比的底幸为：P一子号会 (2)设事件A:前四局中第二局乙获胜，事件B:第二局乙获胜，前四局中甲轮空两局， 对于前四局中第二局乙获胜： 即第一局：甲、乙对打，乙胜，概率为1-2-} 33 第二局：乙、丙对打，乙胜，概率为行， 111 所以P(A=32。 在第二局乙获胜的前提下，甲要轮空两局，只能是第4局甲轮空 第三局：乙、甲对打，乙胜，概率为1子3 2_1 第四局：乙、丙对打，概率为1， 1111 所以P(aB)=3x23X1=i 18 1 根据条件概率知：P(81A)=PL1B)_8_1 P(A)13 6 (3)由题意知得分X的可能值为：0,2,4,6， x0叭1) P(X=4)=2x2x-4 33327 p(X=6)= 2×2×2=8 33327 所以X的分布列为： X 0 2 4 6 1 49 8 27 所以得分X的数学期望为：五(X)=0×+2x4+4x +6x888 4 9 27 2727 18.17分)已知0为坐标原点，双曲线C:￡广 d b2 =1(a>0,b>0)的离心率为2，A为C的左 顶点，过右焦点F的直线与C的右支交于P,O两点，当直线PQ垂直于x轴时，△APQ的面 积为9. (1)求C的方程. (2)求△PO0面积的最小值. (3)试问x轴上是否存在定点T,使得严.T⊙为定值，若存在，求出T的坐标；若不存在，请 说明理由. 【答案】)x-y 1 (2)6 (3)存在定点T(-1,0) 【分析】(1)当直线P9垂直于x轴时，求出PQ,通过面积和离心率求出双曲线方程. (2)设出直线PQ方程，与双曲线方程联立，写出面积表达式，从而求得最值. (3)设T(t,0),整理严.T可表达式，由分子分母系数比例关系可求出t 【详解】(1)设C的焦距为2c,则c2=a2+b2.当直线P9垂直于x轴时， 将代入c的方程，得号茶-1，解得)=± ,b2 a 所以pg女，ac, 所以△MPO的面积为PgH=a+c). a b2 (a+c)=9 a a=1 的 =2 ，解得b=5, a a2+b2=c2 c=2 所以C的方程为x2- =1 3 (2)由(1)知F(2,0),易知直线P9斜率不为0， 设直线P2:x=y+2,P(5,),2(x2,2). c=m+2·得(3-+12w+9=0. 由 [3x2-y2=3 12m 9 y+y2= 3m-4F3m1' 1 易知yy2<0,所以2<二 3 s.o-y=2、 122 9 -4× 61+m2 3m2-1 3m2-1-1-3m2 6 设p=+m∈2） 6p 3 则.oe43p4-3p p 因为函数y=4p在1 23 上单调递减， 所以当p=1时，y= 4-3p取得最大值，最大值为1， 6 则ae=4 26 3p ,所以△PO0面积的最小值为6. (3)假设存在，不妨设T(t,0), 则T严.T四=(x-)(5-)+% =(%+2-t)(%2+2-t)+2 =(t+1)3y+(2-t)m(3+2)+(2-t)°， 将y+,= 2m和w3代入 9 32-1 可得亦范-：+小”（包-小m 12u+(2-t 3m2-1 2r-15)m+9+2-t. 37m2-1 若币.0为定值，则121-159 3 -1 解得t=-1,此时T严.T四=0， 所以x轴上存在定点T(-1,0),使得T严.T可为定值. 19.(17分)己知函数f(x)=x+二+mex. (1)当m=1时，求曲线y=f(xr>0)的斜率为-1的切线方程： (2)若不等式f(x)≥2血x在(0，+o)上恒成立，求m的取值范围： 8当以=2时，者abe+树，且r@+[8-0,证明：8[日@ 【答案】(1)x+y-4=0 (2)[-2,+0) (3)证明见解析 【分析】(1)由导数的意义求解可得： (2)分离参数后求导判断单调性和最值可得： 3直2的年请性得到@>日和/公)@.进而将到U日/®)0，然 后构造新函数(x),利用导数分析单调性得到隐零点后可证明 【详解】(1)设曲线y=f(x(x>0)的斜率为-1的切线的切点为(xo,f(x。)(x。>0), 令g0=1卡心，则g)子+e>0, 所以g(x)在(0，+o)上单调递增，即f'(x)在(0，+w)上单调递增， 又f')=-1,所以x。=1,则f(x)=1+1+e°=3， 故曲线y=f(x(x>0)的斜率为-1的切线方程为y-3=-(x-1),即x+y-4=0. (2》由题意知m≥2nx-x-c在0，+切上恒成立， 所以m(x)在(0，+∞)上单调递减，且)=0， 所以当x∈(0,1)时，(x)>0,即h(x)>0,当x∈L,+o)时，(x)<0,即h1(x)<0, 所以h(x)在(0,1D上单调递增，在(L,+o)上单调递减，所以h(x)max=h)=-2. 由题意可知≥-2， 即实数m的取值范围为[-2，+o). (3)证明：由(2)可知，当≥-2时， 2nx-x-二e1≤-2在(0，+w)上恒成立， 所以当m=-2时，fw)=x+1-2e≥2nx在(0，+四)上恒成立，当且仅当x=1时等号成立. 因为a,b∈(1，+w),所以f(a>2ha,」 所以@r日 同理fb)+ 周0，则-o,m以@+店-信@]。 因为/@+180，所以[日+@>0. 由f"(x)=1- 2 +2e-,得当x≥1时，f"(x)>0,所以f(x)在1，+o)上单调递增： 当0<1时，令o0=1-+2e,则wW=子-2g0-re） 令v(x)=1-x2e(0<x<1),则v(x)=x2e-'(x-3)<0, 所以(x)在(0,1)上单调递减，所以x∈(0,1)，v(x)>v(I)=0,即(x)≥0在(0,1)上恒成立， 所以a(x)在(0,1)上又单调递增。 又)2e-82-80,am0=2>0,所以存在 使得(x)=0, 当x∈(0，x)时，o(x)<0,即f"(w)<0,当xe(,l)时，o(x)>0,即f"(x)>0, 所以f(x)在(0，)上单调递减，在(x,1)上单调递增。 又得后+6-26-2>0，)水四0.酸有在唯-的（后小使刊 1 f(5)=0,所以当x∈(0，x)U(1,+o)时，f)>0,当xe(:,1)时，fx)<0. 由上可知，f@-f公f,且abeL+,在L+)上单调递增，所以a<b: 即g1,因为周-0<0，所以1，又a>1,则会 所以名1，期f》0,由f0,所以)日f®)。限时集训：2026高考数学解答题（九） 命题人：李文元 (考试时间：60分钟试卷满分：77分) 班级： 姓名： 成绩： 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分)在三角形ABC中，点D在线段BC上，BD=2,AC=V3,∠BAD=90° (I)若∠ADB=60,求CD的值； (2)若CD=1 '求∠ADB的余弦值： (3)求sinC的最大值. 16.(15分)如图，四棱锥P-ABCD的底面为矩形，PA=AB,PC=BC,平面PAC⊥平 面ABCD. p D (1)若LACB=30°，AC=2, ①求四棱锥P-ABCD的体积； ②求平面APD与平面CPD的夹角的余弦值 (2)设点B在直线AP上的射影为H,点H到平面ABCD的距离为d,求 d的最大值. C 17.(15分)甲、乙、丙三人进行羽毛球比赛，规定：第一局由甲、乙对打，丙轮空；每局 的比赛的胜者与轮空者进行下一局对打，负者下一局轮空，如此循环.设甲对乙、丙的胜率 均为号，乙、丙之间的胜率互为· ()求甲连续打前四局比赛的概率； (2)前四局中，求在第二局乙获胜的条件下甲轮空两局的概率； (③)如果甲胜一局得2分，输一局不得分，记打完前三局后甲的得分为X,求X的分布列和 期望。 8,17分)已知0为坐标原点.双线C:号若=a>06>0的商心率为2为C的左 顶点，过右焦点F的直线与C的右支交于P,Q两点，当直线PQ垂直于x轴时，△APQ的面 积为9. (1)求C的方程. (2)求△POQ面积的最小值 (3)试问x轴上是否存在定点T,使得TP.TO为定值，若存在，求出T的坐标；若不存在，请 说明理由. 19.(17分)已知函数f(x)=x+二+me-. (1)当m=1时，求曲线y=f(x)(x>0)的斜率为-1的切线方程； (2)若不等式f(x)≥2nx在(0，+o)上恒成立，求m的取值范围： ⑧当m=-2时，若aae+*w,且f@)+f[月-0，证男：8}日+o)