限时集训：2026届高考数学解答题（八）

限时集训：2026高考数学解答题（八) 命题人：李文元 （考试时间：60分钟试卷满分：77分) 班级： 姓名： 成绩： 四、解答题：本题共5小题。共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.（13分)在递增数列{a}中，4=3，a1（a1-1)+a(a+1)=2aa1 (1)求4的值，并证明：数列{a}是等差数列： 1 (2)若等比数列地}中，b2=4,b=a,数列 的前n项和Sn,证明：Sn<2 【答案】(1)a4=4,证明见解析 (2)证明见解析 【分析】(1)代入n=1可求a,对条件等式进行变形可化简得到a,a1的关系式，由此完 成证明： (2)根据条件先求{a}的通项公式，由此可知b}的通项公式，再采用放缩法完成证明. 【详解】(1)由题意a2(a-1)+a(a+1)=2a4,解得42=4或a2=3, 又因为{a}是一个递增的数列，所以a,=4, 下面证明数列{a,}是一个等差数列：因为a(a1-1)+a(a.+1)=2aaaH, 所以a1-2a.a1+=an1-a。，即(a+1-a)=a1-a., 又因为a1-a.≠0，所以a1-a。=1,故数列{a}是一个等差数列： (2)由(1)知，{a}是一个公差为1的等差数列，且4=3，所以a.=n+2, 由题意b}是一个等比数列， 设物3的公比为9，由么4，得{ b3=a6 9=8”解得4=2 bg=4 q=2’故b=2, 由于当n21时，2”-1=21+2-1-1≥2-1>0，所以 1-1≤1 1 1 1 222 1- 2 故Sn<2. 16.(15分)如图，在直角梯形ABCD中，BC=CD=AD=2,AD11BC,BC⊥CD,E是AD 的中点，现将△ABE沿BE翻折至△PBE,连接PC,PD,F是PD的中点 (1)求证：EF⊥PC; (2)当四棱锥P-EBCD的体积取最大值时，过点E作垂直于PC的平面与直线PC相交于点 M,求MD与平面PBC所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 o号 【分析】(I)先由翻折的垂直关系证出BE⊥平面PED,再结合BE/CD推出CDL平面PED, 从而得到CDL EF,再由等腰三角形中线性质得EF⊥PD,最后由线面垂直判定定理证得 EF⊥平面PCD,进而得到EF⊥PC. (2)当四棱锥体积最大时，以B为原点建立空间直角坐标系，先根据P☑=】PC求出点M 坐标及向量M而，再通过平面PBC的法向量公式求出法向量=(1,0，)，最后利用线面角的 向量公式计算得D与平面P8C所成角的正弦值为5 2 【详解】(1)证明：由题可知BE⊥AD,翻折之后有BE⊥PB,BE⊥DE, 又PE∩DE=E,PE,DEC平面PED,所以BE⊥平面PED. 又由题易得四边形BCDE为矩形，所以BE //CD 所以CD⊥平面PED,EFC平面PED,所以CD⊥EF, 由PE=ED=2,F是PD的中点，可得EF⊥PD, 又CDO PD=D,CD,PDc平面PCD,所以EF⊥平面PCD PCC平面PCD,所以EF⊥PC. (2)当四棱锥P-EBCD的体积取最大值时，四棱锥以EBCD为底面的高最大. 此时可知PE⊥平面BCDE,PE为四棱锥P-EBCD以EBCD为底面的高， 如图，过点F作FM⊥PC,交PC于点M 因为EF⊥PC,FM⊥PC,EFFM=F, 所以PC⊥平面EFM,可得平面EFM为平面a 在APCD中，CD=2,PD=25,C=25,PM=25 可得PM=PC, 3 以E为原点，EB,ED,EP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标 系： 可得E(0,0,0),B(2,0,0),D(0,2,0),P(0,0,2),C(2,2,0) 由PM=}pc,P元=(2,2-2》，则pM=33.2 333 244 设平面PBC的一法向量为i,取PB=(2,0,-2),PC=(2,2,-2), iPB=0 设i=(x,y,z),则 nPC=0 x+y-2-0'令x=1,得z=1,J=0,所以平面P8C的-个法向量为i=10,D x-z=0 即 2 4 MD.n 设MD与平面PBC所成角为日，则sinO 3 3 √2 D园 2x2 2 17.(15分)小张、小李、小王、小周周日都喜欢打球，这4人只打羽毛球或乒乓球，不打 其他球，同一天中每人最多打一种球，且小张和小李两种球都会打，小王只打羽毛球，小周 只打乒乓球在雨天的情况下，小张、小李、小周打乒乓球的概率均为0.3，小张、小李、小 王打羽毛球的概率均为03；在晴天或阴天的情况下，小张、小李、小周打乒乓球的概率均 为0.4，小张、小李、小王打羽毛球的概率均为0.5；在其他天气这4人不打球.已知周日出 现晴天或阴天的概率为0.5，出现雨天的概率为0.1.假设这4人打球的选择相互独立、互不 影响. (1)求小张周日打羽毛球的概率； (2)若某个周日是晴天或阴天，求当天这4人中打乒乓球的人数不少于2的概率； (3)若某个周日是雨天，设小李、小王、小周这3人中当天打球的人数为X,求X的数学期 望 【答案】(1)0.28 (2)0.352 (3)1.2. 【详解】(1)设小张周日打羽毛球为事件A, 根据题目可知，周日下雨的概率为01，周日晴天或阴天的概率为0.5，小张在雨天打羽毛 球的概率为0.3，小张在晴天或阴天打羽毛球的概率为0.5， 由全概率公式可得P(A=0.5×0.5+0.1×0.3+(1-0.5-0.1)×0=0.28 (2)设晴天或阴天打乒兵球的人数为Y, 根据题目可知，小张晴天或阴天打乒乓球的概率为0.4，小李晴天或阴天打乒乓球的概率为 0.4,小王晴天或阴天打乒乓球的概率为0，小周晴天或阴天打乒乓球的概率为0.4， P(Y≥2)=1-P(Y=0)-P(Y=1), P(Y=0)=(1-0.4)×(1-0.4)×(1-0.4)×(1-0)=0.63=0.216, P(Y=1)=0.4×0.6×0.6x1+0.6×0.4×0.6×1+0.6×0.6×0.4×1=0.144×3=0.432, 故P(Y22)=1-0.216-0.432=0.352 (3)根据题目可知，因为同一天中每人最多打一种球，所以小李打羽毛球和打乒乓球是互 斥事件，所以在雨天的情况下，小李打球的概率为0.3+0.3=0.6， 小王雨天打球的概率为0.3，小周雨天打球的概率为0.3， X可能的取值为0,1,2,3， 则P(X=0)=(1-0.6)×1-0.3)2=0.196, P(X=1)=0.6×(1-0.3)2+0.3×(1-0.6)×(1-0.3)×2=0.462, P(X=2)=0.6×0.3×1-0.3)×2+(1-0.6)×0.32=0.288, P(X=3)=0.6×0.3×0.3=0.054, 则E(X)=0×0.196+1×0.462+2×0.288+3×0.054=1.2 1817分)已知就园c等+若1(a>b0的左、右焦点分别为g(L0.EL0,点 3 在C上，M,上x轴，且M- (1)求C的方程： (2)过点P(4,O)的直线交C于不同的两点A、B,AH⊥ME于点H, ①求△OAB面积的最大值： ②判断直线HB是否过定点，若是，求出定点坐标；若不是，说明理由. 【路10片号1 (2①√5：②过定点(2,0) 【分析】(1)先由焦点得c=1,建立a2-b2=1;再利用M2⊥x轴，将点M横坐标代入椭 圆，联立方程组，求出α，b的解，得到椭圆方程； (2)①设直线x=y+4,联立椭圆得一元二次方程，由韦达定理写出y+y2、y2:将△OAB 面积转化为2y一，，换元后用均值不等式求最值，得最大值即可： ②由AH⊥M,得H(1,y),写出直线HB方程，令y=0求x:代入x2=w,+4并结合韦达 定理化简，消去参数后得x=2,即可得到直线HB的定点。 【解】D因为情周C若答gb>0,焦点R(-1D,0o0)。 c=1,a2-b2=1, 鱼观上抽，点的熊坐标为L,代入椭圆方程：+1，生创 3b23 IMF2l=2a-2 [ad2-b2=1 联立方程组： b23，解得a=2,b2=3, a-2 椭圆C的方程为： +少=1 43 产 2由知点M引c为直线=1，由A1R,得H0, 设直线AB的方程为x=y+4,A(x1,y1),B(x2,y2), x=y+4 则联立： 2 -=1 4 3 消元得： (（32+4)y2+24y+36=0,△=576m2-144(3m2+4)>0,所以m2>4, 24m 36 由韦达定理：y1+y2=32+4y1y2=3nm2+4 ①8eo4-小2g-,则-y川=+P-4- 12Wm2-4 3m2+4 24t-24 合t=vm4>0:则m=f+4,所3-1636， t 由均值不等式+16≥85，当且仅当3=16时取等号， ②直线B过点HQ,y)和B(化，y),方程为：y-y=当(K-) x2-1 令=0，得：X=1-色，将5=网+4代入：=当mw以4 v-V y2-y 30 3 由韦达定理得y2=-(y+y),代入化简：x=白 出2+24+y)-4y3g2八)5 2 y2-为 V2-y ∴直线HB恒过定点 19.(17分)己知函数f(x)=x(1-hx). (1)求函数f(x)在x=e处的切线方程： (2)讨论f(x)的单调性： (3)设a,b为两个不相等的正数，且bha-al血b=a-b,证明：2<+ a. 【答案】(1)x+y-e=0 (2)∫(x)在区间(0,1]上为增函数，在区间[1，+0)上为减函数 (3)证明见解析 【分析】(1)先求切点，再求斜率即可 (2)讨论导数的正负，从而得到原函数的单调性 (3)分别证明不等式的两个方向，先将函数变形成∫(x)的极值点偏移问题，构造对称函数 即可证明，另一个方向构造新函数，研究新函数的最值. 【详解】(1)f(e)=e(1-lhe)=0,所以切点(e,0) 由f(x)=x(1-lnx)得，f'(x)=-lnx,kf'(e)=-lne=-1 所以切线方程为：y-0=-1(x-C),即：x+y-e=0 (2)f(x)的定义域为(0，+∞). 由f(x)=x(1-lnx)得，f"(x)=-lnx, 当x=1时，f'(x)=0:当x∈(0,1)时f'(x)>0:当x∈(1，+o)时，f'(x)<0. 故f(x)在区间(0，]内为增函数，在区间[1，+∞)内为减函数， (3》bha-ahb=a-b变形为血a_b=1,所以血a+1血b+1 a bb a a b 。形，方=n,则上式变为m1-nm)=n0-nm办 于是命题转换为证明：2<+n<e. 因为f(x)=x(1-nx),则有f(m)=f(n),不妨设m<n. 由(2)知0<m<1,1<n<e,先证m+n>2. 要证：m+n>2台n>2-m台f(n)<f(2-m)台f(m<f(2-m台f(m)-f(2-m<0. 令g(x)=f(x)-f(2-x),xe(0,1), 则g(x)=-lnx-ln(2-x)=-nx(2-x)]≥-h1=0, .g(x)在区间(0,1)内单调递增，所以g(x)<g(1)=0,即m+n>2. 再证m+n<e. 因为0<m<1,所以1-nm>1,所以n(1-lnn)=m(1-m)>,所以需证 n1-nm+n<e→m+n<e.令h(x)=x(1-lnx)+x,x∈(L,e), 所以h(x)=l-lnx>0,故h(x)在区间(L,e)内单调递增. 所以h(x)<h(e)=e.故h(n)<e,即m+n<e. 综合可知2<+<e. a b限时集训：2026高考数学解答题(八) 命题人：李文元 (考试时间：60分钟试卷满分：77分) 班级： 姓名： 成绩： 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分)在递增数列 $$\left\{ a _ { n } \right\}$$ 中， $$a _ { 1 } = 3 ， a _ { n + 1 } \left( a _ { n + 1 } - 1 \right) + a _ { n } \left( a _ { n } + 1 \right) = 2 a _ { n } a _ { n + 1 } .$$ (1) 求 $$a _ { 2 }$$ 的值，并证明：数列 $$\left\{ a _ { n } \right\}$$ 是等差数列； (2)若等比数列 $$\left\{ b _ { n } \right\}$$ 中， $$b _ { 2 } = a _ { 2 } ， b _ { 3 } = a _ { 6 } ，$$ ，数列 $$\left\{ \frac { 1 } { b _ { n } - 1 } \right\}$$ 的前 n 项和 $$S _ { n } ，$$ ，证明： $$S _ { n } < 2 .$$ 16.(15分)如图，在直角梯形ABCD中，BC=CD=AD=2,AD1IBC,BC⊥CD,E是AD 的中点，现将△ABE沿BE翻折至△PBE,连接PC,PD,F是PD的中点 E (I)求证：EF⊥PC; (2)当四棱锥P-EBCD的体积取最大值时，过点E作垂直于PC的平面与直线PC相交于点 M,求MD与平面PBC所成角的正弦值. 17.(15分)小张、小李、小王、小周周日都喜欢打球，这4人只打羽毛球或乒乓球，不打 其他球，同一天中每人最多打一种球，且小张和小李两种球都会打，小王只打羽毛球，小周 只打乒乓球在雨天的情况下，小张、小李、小周打乒乓球的概率均为0.3，小张、小李、小 王打羽毛球的概率均为0.3；在晴天或阴天的情况下，小张、小李、小周打乒乓球的概率均 为0.4，小张、小李、小王打羽毛球的概率均为0.5；在其他天气这4人不打球已知周日出 现晴天或阴天的概率为0.5，出现雨天的概率为0.1.假设这4人打球的选择相互独立、互不 影响 ()求小张周日打羽毛球的概率； (2)若某个周日是晴天或阴天，求当天这4人中打乒乓球的人数不少于2的概率； (3)若某个周日是雨天，设小李、小王、小周这3人中当天打球的人数为X,求X的数学期 望 S.G7分)已知椭图C。+a>h>0的左、右焦点分别为F-0,L0,圆 M在C上，ME上x轴，且ME= (1)求C的方程： (2)过点P(4,0)的直线交C于不同的两点A、B,AH⊥MF,于点H, ①求△OAB面积的最大值； ②判断直线HB是否过定点，若是，求出定点坐标；若不是，说明理由. 19.(17分)己知函数f(x)=x(1-ln). (I)求函数∫x)在x=C处的切线方程； (2)讨论f(x的单调性； 11 (3)设a,b为两个不相等的正数，且blna-alnb=a-b,证明：2<二+，<e. a b 限时集训：2026高考数学解答题（八） 命题人：李文元 （考试时间：60分钟 试卷满分：77分） 班级： 姓名： 成绩： 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）在递增数列中，. (1)求的值，并证明：数列是等差数列； (2)若等比数列中，，数列的前项和，证明：. 【答案】(1)，证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）代入可求，对条件等式进行变形可化简得到的关系式，由此完成证明； （2）根据条件先求的通项公式，由此可知的通项公式，再采用放缩法完成证明. 【详解】（1）由题意，解得或， 又因为是一个递增的数列，所以， 下面证明数列是一个等差数列：因为， 所以，即， 又因为，所以，故数列是一个等差数列； （2）由（1）知，是一个公差为的等差数列，且，所以， 由题意是一个等比数列， 设的公比为，由，得，解得，故， 由于当时，，所以， 所以， 故． 16．（15分）如图，在直角梯形中，是的中点，现将沿翻折至，连接是的中点. (1)求证：； (2)当四棱锥的体积取最大值时，过点作垂直于的平面与直线相交于点，求与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先由翻折的垂直关系证出平面，再结合推出平面，从而得到，再由等腰三角形中线性质得，最后由线面垂直判定定理证得平面，进而得到. （2）当四棱锥体积最大时，以为原点建立空间直角坐标系，先根据求出点坐标及向量，再通过平面的法向量公式求出法向量，最后利用线面角的向量公式计算得与平面所成角的正弦值为. 【详解】（1）证明：由题可知，翻折之后有， 又，平面，所以平面. 又由题易得四边形为矩形，所以. 所以平面，平面，所以. 由是的中点，可得， 又平面，所以平面 平面，所以. （2）当四棱锥的体积取最大值时，四棱锥以为底面的高最大. 此时可知平面，为四棱锥以为底面的高. 如图，过点作，交于点. 因为， 所以平面，可得平面为平面. 在中，，可得， 以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系： 可得，，，，. 由，，则， 所以，故. 设平面的一法向量为，取，， 设，则 即，令，得，，所以平面的一个法向量为. 设与平面所成角为，则. 17．（15分）小张、小李、小王、小周周日都喜欢打球，这4人只打羽毛球或乒乓球，不打其他球，同一天中每人最多打一种球，且小张和小李两种球都会打，小王只打羽毛球，小周只打乒乓球.在雨天的情况下，小张、小李、小周打乒乓球的概率均为0.3，小张、小李、小王打羽毛球的概率均为0.3；在晴天或阴天的情况下，小张、小李、小周打乒乓球的概率均为0.4，小张、小李、小王打羽毛球的概率均为0.5；在其他天气这4人不打球.已知周日出现晴天或阴天的概率为0.5，出现雨天的概率为0.1.假设这4人打球的选择相互独立、互不影响. (1)求小张周日打羽毛球的概率； (2)若某个周日是晴天或阴天，求当天这4人中打乒乓球的人数不少于2的概率； (3)若某个周日是雨天，设小李、小王、小周这3人中当天打球的人数为，求的数学期望． 【答案】(1)0.28 (2)0.352 (3)1.2． 【详解】（1）设小张周日打羽毛球为事件， 根据题目可知，周日下雨的概率为， 周日晴天或阴天的概率为，小张在雨天打羽毛球的概率为，小张在晴天或阴天打羽毛球的概率为， 由全概率公式可得. （2）设晴天或阴天打乒乓球的人数为， 根据题目可知，小张晴天或阴天打乒乓球的概率为，小李晴天或阴天打乒乓球的概率为，小王晴天或阴天打乒乓球的概率为，小周晴天或阴天打乒乓球的概率为， ， ， ， 故. （3）根据题目可知，因为同一天中每人最多打一种球，所以小李打羽毛球和打乒乓球是互斥事件，所以在雨天的情况下，小李打球的概率为， 小王雨天打球的概率为，小周雨天打球的概率为， 可能的取值为0，1，2，3， 则， ， ， ， 则． 18．（17分）已知椭圆的左、右焦点分别为，点在上，轴，且． (1)求的方程； (2)过点的直线交于不同的两点于点， ①求面积的最大值； ②判断直线是否过定点，若是，求出定点坐标；若不是，说明理由． 【答案】(1) (2)① ；② 过定点 . 【分析】（1）先由焦点得，建立；再利用轴，将点横坐标代入椭圆，联立方程组，求出的解，得到椭圆方程； （2）①设直线，联立椭圆得一元二次方程，由韦达定理写出、；将面积转化为，换元后用均值不等式求最值，得最大值即可； ②由得，写出直线方程，令求；代入并结合韦达定理化简，消去参数后得，即可得到直线的定点. 【详解】（1）因为椭圆，焦点， ， 由 轴，点的横坐标为，代入椭圆方程：，， 联立方程组：，解得， ∴椭圆的方程为：. （2）由（1）知点 ， 为直线 ，由 ，得 ， 设直线 的方程为，， 则联立：， 消元得：，，所以 由韦达定理： ①，则， 令，则，所以， 由均值不等式，当且仅当 时取等号， ②直线 过点 和，方程为： 令，得：，将 代入：， 由韦达定理得 ，代入化简：， ∴直线恒过定点. 19．（17分）已知函数． (1)求函数在处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)设为两个不相等的正数，且，证明：． 【答案】(1) (2)在区间上为增函数，在区间上为减函数 (3)证明见解析 【分析】（1）先求切点，再求斜率即可. （2）讨论导数的正负，从而得到原函数的单调性. （3）分别证明不等式的两个方向，先将函数变形成的极值点偏移问题，构造对称函数即可证明，另一个方向构造新函数，研究新函数的最值. 【详解】（1），所以切点 由得，， 所以切线方程为：，即： （2）的定义域为． 由得，， 当时，；当时；当时，． 故在区间内为增函数，在区间内为减函数， （3）变形为，所以． 令．则上式变为， 于是命题转换为证明：． 因为，则有，不妨设． 由（2）知，先证． 要证：． 令， 则， ∴在区间内单调递增，所以，即． 再证． 因为，所以，所以，所以需证．令， 所以，故在区间内单调递增． 所以．故，即． 综合可知． 学科网（北京）股份有限公司 $限时集训：2026高考数学解答题（八) 命题人：李文元 (考试时间：60分钟试卷满分：77分) 班级： 姓名： 成绩： 四、解答题：本题共5小题。共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分)在递增数列{a}中，4=3，a1（a1-1)+a(an+1)=2aa1 (1)求4的值，并证明：数列{a}是等差数列： ②若等比数列，子中，么=4,4，=4，数列1} b-1 的前n项和Sn,证明：Sn<2 16.(15分)如图，在直角梯形ABCD中，BC=CD=AD=2,AD11BC,BC⊥CD,E是AD 的中点，现将△ABE沿BE翻折至△PBE,连接PC,PD,F是PD的中点 E---- (I)求证：EF⊥PC; (2)当四棱锥P-EBCD的体积取最大值时，过点E作垂直于PC的平面与直线PC相交于点 M,求MD与平面PBC所成角的正弦值. 17.(15分)小张、小李、小王、小周周日都喜欢打球，这4人只打羽毛球或乒乓球，不打 其他球，同一天中每人最多打一种球，且小张和小李两种球都会打，小王只打羽毛球，小周 只打乒乓球在雨天的情况下，小张、小李、小周打乒乓球的概率均为0.3，小张、小李、小 王打羽毛球的概率均为03：在晴天或阴天的情况下，小张、小李、小周打乒乓球的概率均 为0.4，小张、小李、小王打羽毛球的概率均为0.5；在其他天气这4人不打球.已知周日出 现晴天或阴天的概率为0.5，出现雨天的概率为0.1.假设这4人打球的选择相互独立、互不 影响 (1)求小张周日打羽毛球的概率； (2)若某个周日是晴天或阴天，求当天这4人中打乒乓球的人数不少于2的概率： (3)若某个周日是雨天，设小李、小王、小周这3人中当天打球的人数为X,求X的数学期 望. 18.17分)已知椭圆c:号+茶1(a>b0的左、右焦点分别为(-10，RL0,点M 在Ck,烟Ix轴，且 (1)求C的方程： (2)过点P(4,0)的直线交C于不同的两点A、B,AH⊥M于点H, ①求△OAB面积的最大值： ②判断直线HB是否过定点，若是，求出定点坐标；若不是，说明理由. 19.(17分)己知函数f(x)=x(1-nx). (1)求函数f(x)在x=e处的切线方程； (2)讨论f(x)的单调性： 3)设a,b为两个不相等的正数，且bua-alhb=a-b,证明：2<1+1< a.