2026届高考数学解答题限时集训（七）

限时集训：2026高考数学解答题（七） 命题人：李文元 （考试时间：60分钟 试卷满分：77分） 班级： 姓名： 成绩： 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）在三角形ABC中，角的对边分别为．已知，，． (1)求A的值； (2)求c的值； (3)求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由正弦定理化边为角再化简可求； （2）由余弦定理，结合（1）结论与已知代入可得关于的方程，求解可得，进而求得； （3）利用正弦定理先求，再由二倍角公式分别求，由两角和的正弦可得. 【详解】（1）已知，由正弦定理， 得，显然， 得，由， 故； （2）由（1）知，且，， 由余弦定理， 则， 解得（舍去）， 故； （3）由正弦定理，且， 得，且，则为锐角， 故，故， 且； 故. 16．（15分）如图所示，正四棱台，其中，. (1)当时，求和平面所成角； (2)证明：平面；若棱台高为3，求三棱锥的体积. 【答案】(1) (2)证明见解析，体积为 【分析】（1）作到下底面的垂线，确定线面角的平面角，再通过边长计算该角的大小. （2）连接上下底面对角线的交点，利用正棱台性质证得线线平行，进而证明线面平行；利用线面垂直将三棱锥拆分为两个小棱锥，结合棱台的高计算其体积. 【详解】（1）过作平面ABCD于,连接， 过分别作于于,连接, 如图为在平面上的投影, 由于平面，所以， 由于平面， 所以平面.由于平面，所以. 所以,同理,,四边形为正方形, 所以，为在平面上的投影, 又因平面平面, 所以和平面所成角即，, 故和平面所成角为. （2）连接、交于,连接、交于, 如图,上下底面为正方形,由正棱台性质,可得,且, 所以四边形为平行四边形,所以， 因为平面,平面，所以平面. 由正棱台性质,与上下底面均垂直,则， 因为，平面， 所以平面,所求三棱锥体积可拆分成两个小三棱锥的体积之和, 即: 17．（15分）某项选拔共有四轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考核，否则即被淘汰．已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮的问题的概率分别为，且各轮问题能否回答正确互不影响． (1)求该选手进入第四轮才被淘汰的概率； (2)求该选手至多进入第三轮考核的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据相互独立事件和对立事件的概率公式计算可得； （2）根据相互独立事件的概率公式、互斥事件的概率公式和对立事件的概率公式计算可得. 【详解】（1）记表示该选手能正确回答第个问题，则 ． 该选手进入第四轮才被淘汰就是前三轮答题成功，第四轮没有成功， 各轮问题能否回答正确互不影响， 所以所求概率是. （2）该选手至多进入第三轮考核，即可能第一轮被淘汰，可能第二轮被淘汰， 可能第三轮被淘汰，这三种情况又是互斥的， 所以所求概率为 ． 18．（17分）已知椭圆的离心率为．左顶点为，下顶点为是线段的中点（O为原点），的面积为． (1)求椭圆的方程． (2)过点C的动直线与椭圆相交于两点．在轴上是否存在点，使得恒成立．若存在，求出点纵坐标的取值范围；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，使得恒成立. 【分析】（1）根据椭圆的离心率和三角形的面积可求基本量，从而可得椭圆的标准方程. （2）设该直线方程为：，， 联立直线方程和椭圆方程并消元，结合韦达定理和向量数量积的坐标运算可用表示，再根据可求的范围. 【详解】（1）因为椭圆的离心率为，故，，其中为半焦距， 所以，故， 故，所以，，故椭圆方程为：. （2） 若过点的动直线的斜率存在，则可设该直线方程为：， 设， 由可得， 故且 而， 故 ， 因为恒成立，故，解得. 若过点的动直线的斜率不存在，则或， 此时需，两者结合可得. 综上，存在，使得恒成立. 19．（17分）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)是否存在a，b，使得曲线关于直线对称，若存在，求a，b的值，若不存在，说明理由. (3)若在存在极值，求a的取值范围. 【答案】(1)； (2)存在满足题意，理由见解析. (3). 【分析】(1)由题意首先求得导函数的解析式，然后由导数的几何意义确定切线的斜率和切点坐标，最后求解切线方程即可； (2)首先求得函数的定义域，由函数的定义域可确定实数的值，进一步结合函数的对称性利用特殊值法可得关于实数的方程，解方程可得实数的值，最后检验所得的是否正确即可； (3)原问题等价于导函数有变号的零点，据此构造新函数，然后对函数求导，利用切线放缩研究导函数的性质，分类讨论，和三中情况即可求得实数的取值范围. 【详解】（1）当时，，则， 据此可得，函数在处的切线方程为， 即. （2）令， 函数的定义域满足，即函数的定义域为， 定义域关于直线对称，由题意可得， 由对称性可知，取可得， 即，则，解得， 经检验满足题意，故.即存在满足题意. （3）由函数的解析式可得， 由在区间存在极值点，则在区间上存在变号零点; 令，则， 令， 在区间存在极值点，等价于在区间上存在变号零点， 当时，，在区间上单调递减， 此时，在区间上无零点，不合题意; 当，时，由于，所以在区间上单调递增， 所以，在区间上单调递增，， 所以在区间上无零点，不符合题意； 当时，由可得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增，故的最小值为， 令，则， 函数在定义域内单调递增，，据此可得恒成立， 则，由一次函数与对数函数的性质可得，当时， ，且注意到， 根据零点存在性定理可知:在区间上存在唯一零点. 当时，，单调减， 当时，，单调递增，所以. 令，则， 则函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，所以， 所以 ， 所以函数在区间上存在变号零点，符合题意. 综合上面可知:实数的取值范围是. 学科网（北京）股份有限公司 $限时集训：2026高考数学解答题（七) 命题人：李文元 (考试时间：60分钟试卷满分：77分) 班级： 姓名： 成绩： 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分)在三角形ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知asin B=√5 bcosA, c-2b=1,a=√7. (1)求A的值： (2)求c的值； (3)求sin(A+2B)的值. 16.(15分)如图所示，正四棱台ABCD-ABCD,其中AB=4,AB=2. D A B B (1)当AA=2时，求A4和平面AB,CD所成角： (2)证明：A4∥平面BCD；若棱台高为3，求三棱锥A-BC,D的体积 17.(15分)某项选拔共有四轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考 核，否则即被淘汰.已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮的向题的概率分别为行行5” ,4321 且各轮问题能否回答正确互不影响 (1)求该选手进入第四轮才被淘汰的概率： (2)求该选手至多进入第三轮考核的概率。 18。《17分)已知杨丽号+茶=1a>6>0的度心率为分，左顶点为4，下顶点为.C是 线段OB的中点(O为原点)，△ABC的面积为3V3 2 (1)求椭圆的方程. (2)过点C的动直线与椭圆相交于P,Q两点.在y轴上是否存在点T,使得T严.TO≤0恒成 立.若存在，求出点T纵坐标的取值范围；若不存在，请说明理由. 1 19.(17分)已知函数f-（+ahd+). (1)当a=-1时，求曲线y=f(x)在点(1，f()处的切线方程； (2)是否存在a,b,使得曲线y=f 关于直线x=b对称，若存在，求4，b的值，若不存 在，说明理由， (3)若f(x)在(0，+o)存在极值，求a的取值范围，限时集训：2026高考数学解答题（七) 命题人：李文元 (考试时间：60分钟试卷满分：77分) 班级： 姓名： 成绩： 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.（13分)在三角形ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c.己知asin B=√3 bcos A, c-2b=1,a=√7. (1)求A的值； (2)求c的值； (3)求sin(A+2B)的值. 【答案]0背 (2)3 3)43 【分析】(1)由正弦定理化边为角再化简可求： (2)由余弦定理，结合(1)结论与已知代入可得关于b的方程，求解可得b,进而求得C: (3)利用正弦定理先求B,再由二倍角公式分别求sn2B,cos2B,由两角和的正弦可得. 【详解】(1)已知asin B=0,由正弦定理，a=b sin A sin B 得asin B=bsinA=√3 bcosA,显然cosA≠0， 得tanA=√3，由0<A<π， 放4号 (2)由①知c0sA-分且c=2b+1,a=万， 由余弦定理a2=b2+c2-2 bc cosA, 则7=b2+(2b+1)2-2×二b(2b+1)=3b2+3b+1, 解得b=1(b=-2舍去)， 故c=3: sinA-sinB=1.a-7,inA= (3)由正弦定理a=b 2 得sinB=bsin4-V2 ,且a>b,则B为锐角， a 14 故cOSB= 5万，故sm28=2sm8cosB= 5V5 1 14 且cos2B=1-2sin2B=1-2× √211 14=14 放sn(A+2B周=sincos2B+-cos Asin2B-5xL,是x5V5_4W5 2142147 16.（15分)如图所示，正四棱台ABCD-AB,CD,其中AB=4,AB,=2. A (1)当AA=2时，求A4和平面AB,CD所成角： (2)证明：AA∥平面BCD;若棱台高为3，求三棱锥A-BC,D的体积 【答案】(1)45° (2)证明见解析，体积为8 【分析】(1)作A到下底面的垂线，确定线面角的平面角，再通过边长计算该角的大小 (2)连接上下底面对角线的交点，利用正棱台性质证得线线平行，进而证明线面平行：利 用线面垂直将三棱锥拆分为两个小棱锥，结合棱台的高计算其体积」 【详解】(1)过A作AH⊥平面ABCD于H,连接AH, 过H分别作HE⊥AB于E,HF⊥AD于F,连接AE,AF, 如图HE为AE在平面ABCD上的投影， 由于ABC平面ABCD,所以AH⊥AB, 由于AH⌒HE=H,AH,HEc平面AHE, 所以AB⊥平面AHE.由于AEc平面AB,所以AE⊥AB 所以AB=4,2=1,同理4F1AD,AF=1,四边形ABH那为正方形， 2 所以AH=√2，AH为AA在平面ABCD上的投影， 又因平面ABCDI1平面AB,CD, 所以4和平面AB,CD所成角即∠AAH,cos∠4H=5 AA 2 故A4和平面ABCD所成角为45°. A B E (2)连接AC、BD交于O,连接AC1、B,D,交于O, 如图，上下底面为正方形，由正棱台性质，可得AC∥AC,且 4G=2V2,4AC=4W2,40=}4C=4G, 所以四边形ACOA为平行四边形，所以A41OC, 因为AA文平面BCD,OCC平面BCD,所以AA∥平面BCD 由正棱台性质，OO与上下底面均垂直，则O0=3, 因为OO,⊥BD,AC⊥BD,AC∩OO=O,AC,OO,C平面AOC1, 所以BD⊥平面AOC,所求三棱锥体积可拆分成两个小三棱锥的体积之和， 即so=g4a+as号088s+50DS BDs.4g-4xx25x3=8 2 D B 17.（15分)某项选拔共有四轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考 核，否则即被淘汰.已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮的问题的概率分别为亏亏·行行” 4321 且各轮问题能否回答正确互不影响， (1)求该选手进入第四轮才被淘汰的概率： (2)求该选手至多进入第三轮考核的概率. 【答案】 625 a器 【分析】(1)根据相互独立事件和对立事件的概率公式计算可得： (2)根据相互独立事件的概率公式、互斥事件的概率公式和对立事件的概率公式计算可得 【详解】(1)记A(i=1,2,3,4)表示该选手能正确回答第1个问题，则 PA)-P4)-P4)-号rA) 该选手进入第四轮才被淘汰就是前三轮答题成功，第四轮没有成功， 各轮问题能否回答正确互不影响， 所以断求概率是Pa44可=P产A)PA)PA)P同含号-)总 (2)该选手至多进入第三轮考核，即可能第一轮被淘汰，可能第二轮被淘汰， 可能第三轮被淘汰，这三种情况又是互斥的， 所以所求概率为P(A+AA,+AA,A,)=P4十P4A,HP4A,A) 1) 18.(17分)已知椭圆若+片=1a>6>0的离心率为 ,左顶点为A,下顶点为B,C是 线段OB的中点(0为原点)，△4ABC的面积为3W5 (1)求椭圆的方程。 (2)过点C的动直线与椭圆相交于P,Q两点.在y轴上是否存在点T,使得TP.TQ≤0恒成 立.若存在，求出点T纵坐标的取值范围；若不存在，请说明理由 【答案】)+上=1 129 ②在7Q43s1≤引，使得严.0≤0恒成立 【分析】(1)根据椭圆的离心率和三角形的面积可求基本量，从而可得椭圆的标准方程。 ②)设该直线方程为：y=-,P(5,y),Q(5,),T(0,),联立直线方程和椭圆方程 并消元，结合韦达定理和向量数量积的坐标运算可用k,t表示TP.TO,再根据TP.TO≤0可 求t的范围， 【详解】1)因为椭圆的离心率为e=分故a=2x,b=,其中c为半焦距， 所以4(-2,0)，B(0,-V3c),C 2 故=5，所以a=2,6=3,故随方起：行号1 (2) 若过点0，-的动直线的斜率存在，则可设该直线方程为：y=-3, 3.x2+4y2=36 设P(5,),2(x2,),T(0,t), 由 3 可得(3+4k2)x2-12-27=0, y=kx-- 2 故△=144k2+108(3+4k2)=324+576k2>0且x1+x2= 12k 27 3+4收=3+4k, 而T严=(5，水-)，T见=(5，⅓-， 敝师而+g小=+气号年多 =0+*小水--[层-小--)e)小侵-小 27271w127+6(3+2[62121453327 3+42 3+4k2 (3+2t)-12t-45≤0 因为T严.T可≤0恒成立，故 3g+°-27s0 ，解得-3≤ts3 2 3 若过点[0,2的动直线的斜率不存在，则P(0,3),Q(0,-3)或P(0,-3),Q(0,3), 3 此时需-3≤t≤3，两者结合可得-3≤t 3 综上，存在T(0,t)-3≤t≤，使得严.四≤0恒成立， 1 19.(17分)已知函数f=+ah+0 (1)当a=-1时，求曲线y=f(x)在点(1，f(1)处的切线方程： (2)是否存在a,b,使得曲线y=f 1-x 关于直线x=b对称，若存在，求a,b的值，若不存 在，说明理由， (3)若∫(x)在(0，+o)存在极值，求a的取值范围， 【答案】(1)(ln2)x+y-n2=0: (2)存在a= 2 】满足题意，理由见解析. 2 oo 【分析】(1)油题意首先求得导函数的解析式，然后由导数的几何意义确定切线的斜率和切 点坐标，最后求解切线方程即可： (2)首先求得函数的定义域，由函数的定义域可确定实数b的值，进一步结合函数的对称性利 用特殊值法可得关于实数a的方程，解方程可得实数a的值，最后检验所得的α，b是否正确 即可： (3)原问题等价于导函数有变号的零点，据此构造新函数g(x)=ax2+x-(x+1)ln(x+1), 然后对函数求导，利用切线放缩研究导函数的性质，分类时论a≤0，a号和0ca<中 情况即可求得实数a的取值范围 【详解】(1)当a=-1时，f(x)= 据此可得f(1)=0,f'(1)=-ln2,函数在(1，f(1)处的切线方程为y-0=-h2(x-1), 即(ln2)x+y-ln2=0 函数的定义域满足+1=+1>0，即函数的定义域为(-m,-1U(0,+), 1 定义域关于直线x=-】对称，由题意可得b=- ●】 2 由对称性可知（行叫行如》取m多可得g0=g(-2, 即(a+1)n2=(a-2)n,则a+1=2-a,解得a=2 1 经检验a= 6=满足题意，故a=即存在 2b= 2满足题意 3》由商数的解折式可得/)()+)任a x+1 由f(x)在区间(0，+∞)存在极值点，则∫(x)在区间(0，+∞)上存在变号零点： 令h(x+1+a0,则-+1h(x++(+)=0. 令g(x)=ax2+x-(x+1)ln(x+1), f(x)在区间(0，+o)存在极值点，等价于g(x)在区间(0，+o)上存在变号零点， 8'()=2m-lh(x+1),g"(x)=2a-1 +1 当a≤0时，g'(x)<0,g(x)在区间(0，+∞)上单调递减， 此时g(x)<g(0)=0,g(x)在区间(0，+o)上无零点，不合题意； 当a≥分2加≥1时，南于1，所以g(>0g(因在区间（Q+@)上单调通箱 所以g'(x)>g'(0)=0,8(x)在区间(0，+∞)上单调递增，g(x)>g(0)=0, 所以g(x)在区间(0，+∞)上无零点，不符合题意： 当0ca时，由g)=2a女=0可得x=女1k 2a 当x立刂时，g0,g单调递减。 当x(a1+]时：g()>0,名()单调递增，故g的最小值为212， 令m(g=1-x+hx(0<<1),则m()=-+L>0, 1 函数m(x)在定义域内单调递增，m(x)<m(1)=0,据此可得1-x+lnx<0恒成立， 则g石1-2a+h2a<0,由-次函数与对数数的性质可得，当→时 g'(y)=2ac-ln(x+1)→+∞，且注意到g'(0)=0, 根据零点存在性定理可知：g'(x)在区间(0，+o)上存在唯一零点x。: 当x∈(0，x)时，g(x)<0,g(x)单调减， 当x∈(x,+∞)时，g(x)>0,g(x)单调递增，所以g(x)<g(0)=0. 令m()=血x-G,则n(国)=，1=2-E x 2vx 2x 则函数(x)=nx-V在(0,4)上单调递增，在(4，+∞)上单调递减， 所以n(x)≤n(4)=ln4-2<0,所以hx<√， 所以g(月)g(信+（信+）-（传+）品-2a+1 >原++a-(传+)+a-1-2a+任后合话知 16 12 -1 所以函数g(x)在区间(0，+o)上存在变号零点，符合题意. 综合上面可知实数a的取值花围足(0》限时集训：2026高考数学解答题（七） 命题人：李文元 (考试时间：60分钟试卷满分：77分) 班级： 姓名： 成绩： 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(I3分)在三角形ABC中，角4B, 的对边分别为a,bc .己知asinB=V5 bcosA c-2b=1a=√7 (I)求A的值： (2)求c的值： sin(A+2B) (3)求 的值。 16.（15分)如图所示，正四棱台 BCD-4BCD,其中B=4,48=2 D A B C B (0当142 ，求14和平面 AB,CD所成角： (②)证明：A4 BCD 平面；若棱台高为3，求三棱锥 A-BCD 的体积。 17.(15分)某项选拔共有四轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮 考核，否则即被淘汰.己知某选手能正确回答第一、二、三、四轮的问题的概率分别为 4321 5’55’5,且各轮问题能否回答正确互不影响。 (1)求该选手进入第四轮才被淘汰的概率： (2)求该选手至多进入第三轮考核的概率. x2,y2 1 18.(17分)已知椭圆a+F=1(a>b>0) 的离心率为2.左顶点为A,下顶点为B,C 3v5 是线段OB的中点(O为原点)，△ABC的面积为2. ()求椭圆的方程. 2过点C的动直线与椭圆相交于P两点.在'轴上是香存在点T,使得严D≤0恒成 立.若存在，求出点T纵坐标的取值范围；若不存在，请说明理由 19.(17分)已知函数 )当a=-1时，求曲线y=f八在点f) 处的切线方程： (2)是否存在a,b,使得曲线 y=了关于直线x=b对称，若存在，求a,b的值，若不 在，说明理由。 6)若在0，+0)存在极值，求a的取值范围