限时集训：2026届高考数学解答题（六）

限时集训：2026高考数学解答题（六) 命题人：李文元 (考试时间：60分钟试卷满分：77分) 班级： 姓名： 成绩： 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分)设等差数列{an}的公差为d,且d>1.令bn= =+”，记S,工分别为数列 a. {an},{b}的前n项和. (1)若3a2=3a1+a3,S+T=21,求{an}的通项公式； (2)若{bn}为等差数列，且S-Tg=99,求d. 16.(15分)如图，在四棱锥P-ABCD中，BCI/AD,AB=BC=1,AD=3,点E在AD上， 且PE⊥AD,PE=DE=2. D B←A C (I)若F为线段PE中点，求证：BF∥平面PCD. (2)若AB⊥平面PAD,求平面PAB与平面PCD夹角的余弦值. 17.(15分)为研究某疾病与超声波检查结果的关系，从做过超声波检查的人群中随机调查 了1000人，得到如下列联表： 超声波检查结果组别 正常 不正常 合计 患该疾病 20 180 200 未患该疾病 780 20 800 合计 800 200 1000 (1)记超声波检查结果不正常者患该疾病的概率为卫，求p的估计值； (2)根据小概率值=0.001的独立性检验，分析超声波检查结果是否与患该疾病有关 附x2= n(ad-be)2 (a+b)(c+d)(a+c)b+d)' P(x2≥K) 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 8,7分)已圆C:花+片a>h>0的离心率eB ,a+b=3. 2 (1)求椭圆C的方程； (②)如图所示，A,B,D是椭圆C的顶点，P是椭圆C上除顶点外的任意点，直线DP交x轴于 点N,直线AD交BP于点M,设BP的斜率为k,MN的斜率为m,求证：2m-k为定值. 19.(17分)己知函数fx=ax-(Inx)2 (1)a=1时，求f(x)在点(1，f(1)处的切线方程： (2)f(x有3个零点，，2，x3且x<x2<x3) (i)求a的取值范围； (i)证明(ln,-nx小-lnx,<。- 4e 限时集训：2026高考数学解答题（六） 命题人：李文元 （考试时间：60分钟 试卷满分：77分） 班级： 姓名： 成绩： 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）设等差数列的公差为，且．令，记分别为数列的前项和． (1)若，求的通项公式； (2)若为等差数列，且，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等差数列的通项公式建立方程求解即可； （2）由为等差数列得出或，再由等差数列的性质可得，分类讨论即可得解. 【详解】（1），，解得， ， 又， ， 即，解得或（舍去）， . （2）为等差数列， ，即， ，即，解得或， ，， 又，由等差数列性质知，，即， ，即，解得或（舍去） 当时，，解得，与矛盾，无解； 当时，，解得. 综上，. 16．（15分）如图，在四棱锥中，，，,点在上，且，． (1)若为线段中点，求证：平面． (2)若平面，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）取的中点为，接，可证四边形为平行四边形，由线面平行的判定定理可得平面. （2）建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面和平面的法向量后可求夹角的余弦值. 【详解】（1）取的中点为，接，则， 而，故，故四边形为平行四边形， 故，而平面，平面， 所以平面. （2） 因为，故，故， 故四边形为平行四边形，故，所以平面， 而平面，故，而， 故建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 则 设平面的法向量为， 则由可得，取， 设平面的法向量为， 则由可得，取， 故， 故平面与平面夹角的余弦值为 17．（15分）为研究某疾病与超声波检查结果的关系，从做过超声波检查的人群中随机调查了1000人，得到如下列联表： 超声波检查结果组别 正常 不正常 合计 患该疾病 20 180 200 未患该疾病 780 20 800 合计 800 200 1000 (1)记超声波检查结果不正常者患该疾病的概率为p，求p的估计值； (2)根据小概率值的独立性检验，分析超声波检查结果是否与患该疾病有关. 附， 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】(1) (2)有关 【分析】（1）根据古典概型的概率公式即可求出； （2）根据独立性检验的基本思想,求出,然后与小概率值对应的临界值比较,即可判断. 【详解】（1）根据表格可知，检查结果不正常的人中有人患病，所以的估计值为； （2）零假设为：超声波检查结果与患病无关， 根据表中数据可得，， 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为超声波检查结果与患该病有关，该推断犯错误的概率不超过. 18．（17分）已知椭圆：的离心率． (1)求椭圆的方程； (2)如图所示，是椭圆的顶点，是椭圆上除顶点外的任意点，直线交轴于点，直线交于点．设的斜率为的斜率为，求证：为定值． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据离心率和，联立即可求解得椭圆方程， （2）联立直线与椭圆方程可得，联立两直线方程可求解，进而根据三点共线的向量坐标关系可求解，即可由斜率公式求解. 【详解】（1）因为，故，所以． 由，得． 所以椭圆的方程为． （2）因为不为椭圆顶点，则的方程为且．① 将①代入，， 故，解得，故． 又直线的方程为．② ①与②联立解得． 由得, 由三点共线可得，求得． 所以的斜率，则（定值）． 19．（17分）已知函数 (1)时，求在点处的切线方程； (2)有3个零点，且. （i）求a的取值范围； （ii）证明． 【答案】(1) (2)（i）；（ii）证明见解析. 【分析】（1）利用导数的几何意义，求导数值得斜率，由点斜式方程可得； （2）（i）令，分离参数得，作出函数图象，数形结合可得范围；（ii）由（2）结合图象，可得范围，整体换元，转化为，结合由可得，两式作差，利用对数平均不等式可得，再由得，结合减元处理，再构造函数求最值，放缩法可证明不等式. 【详解】（1）当时，，， 则，则，且， 则切点，且切线的斜率为， 故函数在点处的切线方程为； （2）（i）令，， 得， 设， 则， 由解得或，其中，； 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减； 且当时，； 当时，； 如图作出函数的图象， 要使函数有3个零点， 则方程在内有个根，即直线与函数的图象有个交点. 结合图象可知，. 故的取值范围为； （ii）由图象可知，， 设，则， 满足，由可得， 两式作差可得， 则由对数均值不等式可得， 则，故要证， 即证，只需证， 即证，又因为，则， 所以，故只需证， 设函数，则， 当时，，则在上单调递增； 当时，，则在上单调递减； 故，即. 而由， 可知成立，故命题得证. 学科网（北京）股份有限公司 $限时集训：2026高考数学解答题（六) 命题人：李文元 (考试时间：60分钟试卷满分：77分) 班级： 姓名： 成绩： 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 5(13分)设等差数列a的公差为d,且d>1.令b.=。,记S,工分别为数列 {a},{b}的前n项和. (1)若3a,=3a+a,S,+T=21,求{an}的通项公式； (2)若bn}为等差数列，且S。-T=99,求d. 16.(15分)如图，在四棱锥P-ABCD中，BC//AD,AB=BC=1,AD=3,点E在AD上， 且PE⊥AD,PE=DE=2. D (I)若F为线段PE中点，求证：BF∥平面PCD. (2)若AB⊥平面PAD,求平面PAB与平面PCD夹角的余弦值. 17.(15分)为研究某疾病与超声波检查结果的关系，从做过超声波检查的人群中随机调查 了1000人，得到如下列联表： 超声波检查结果组别 正常 不正常 合计 患该疾病 20 180 200 未患该疾病 780 20 800 合计 800 200 1000 (1)记超声波检查结果不正常者患该疾病的概率为p,求p的估计值： (2)根据小概率值α=0.001的独立性检验，分析超声波检查结果是否与患该疾病有关. 附x2= n(ad-be)2 (a+b)(c+d)(a+c)(b+d0' P(x2≥k) 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 18.(17分)己知椭圆C:元+京=1(a>6>0)的离心率eV3 ,a+b=3. 2 YA (1)求椭圆C的方程： (2)如图所示，A,B,D是椭圆C的顶点，P是椭圆C上除顶点外的任意点，直线DP交x轴于 点N,直线AD交BP于点M.设BP的斜率为k,N的斜率为m,求证：2m-k为定值. 19.(17分)已知函数f(x)=ax-(nx)2 (1)a=1时，求f(x)在点(1，f(1)处的切线方程； (2)f()有3个零点，x,x2,x3且(<x2<x). (i)求a的取值范围： )证明@，-)此。北限时集训：2026高考数学解答题（六) 命题人：李文元 (考试时间：60分钟试卷满分：77分) 班级： 姓名： 成绩： 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分)设等差数列a,}的公差为d,且d>1.令b=心+”，记3，工分别为数列 a. {a},{b}的前n项和. (1)若3a2=3a+a,S,+T=21,求{a}的通项公式： (2)若b}为等差数列，且S。-T。=99,求d. 【答案】(1)a,=3n d 【分析】(1)根据等差数列的通项公式建立方程求解即可； (2)由b}为等差数列得出a=d或a=2d,再由等差数列的性质可得ao-bo=1,分类 讨论即可得解 【详解】(1)3a=3a+a,∴3d=a+2d,解得a=d, .S3=3a=3(q+d)=6d, 26.129 又I,=么+b,+6=23刘d 3+r=6d+=2 即2d-7d+3=0,解得d=3或d=1(舍去)， 2 ∴a.=a+(n-l)d=3n (2)仍}为等差数列， 26=么+4.即2.2+12 a244 :6(1-1)=6d-1 424a244 ,即aG-3ad+2d2=0,解得4=d或a=2d, d>1,.am>0, 又S,g-T9=99,由等差数列性质知，99ao-99b5o=99,即ao-bo=1, 2550 .0- aso =1,即a。-4。-2550=0,解得a0=51或a0=-50(舍去) 当a=2d时，a4o=a+49d=51d=51,解得d=1,与d>1矛盾，无解： 当a=d时，a。=a+49d=50d=51,解得d= 50 综上，d= 50 16.(15分)如图，在四棱锥P-ABCD中，BC/AD,AB=BC=1,AD=3,点E在AD上， 且PE LAD,PE=DE=2. B (I)若F为线段PE中点，求证：BF∥平面PCD. (2)若AB⊥平面PAD,求平面PAB与平面PCD夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (②30 30 【分析】(1)取PD的中点为S,接SP,SC,可证四边形SFBC为平行四边形，由线面平行 的判定定理可得BF∥平面PCD (2)建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面APB和平面PCD的法向量后可求夹角的余 弦值 【详解】(1)取PD的中点为s,接SP,SC,则SF1ED,SF=ED=1, 而ED//BC,ED=2BC,故SF∥BC,SF=BC,故四边形SFBC为平行四边形， 故BF∥SC,而BF丈平面PCD,SCc平面PCD, 所以BF∥平面PCD (2) ZA D 因为ED=2,故AE=1,故AE∥BC,AE=BC, 故四边形AECB为平行四边形，故CE∥AB,所以CE⊥平面PAD, 而PE,EDC平面PAD,故CE⊥PE,CE⊥ED,而PE⊥ED, 故建立如图所示的空间直角坐标系， 则A(0,-1,0),B(1,-1,0),C(1,0,0),D(0,2,0),P(0,0,2), 则PA=(0,-1,-2),PB=1,-1,-2)PC=4,0,-2)PD=0,2,-2) 设平面PAB的法向量为m=（x,y,z), 可得y-2z=0 mPA=0 则由 m.PB= x-y-22=0取m=(0,-2,1, 设平面PCD的法向量为i=(a,b,c), iPC=0 「a-2b=0 则由 i.PD=0 2b-2c=0'取=(2,11)， 可得 故cos(m列=5x6 -1 V30 30 故平面PAB与平面PCD夹角的余弦值为y30 30 17.(15分)为研究某疾病与超声波检查结果的关系，从做过超声波检查的人群中随机调查 了1000人，得到如下列联表： 超声波检查结果组别 正常 不正常 合计 患该疾病 20 180 200 未患该疾病 780 20 800 合计 800 200 1000 (1)记超声波检查结果不正常者患该疾病的概率为p,求p的估计值； (2)根据小概率值α=0.001的独立性检验，分析超声波检查结果是否与患该疾病有关。 附X2= n(ad-be) (a+b)(c+d)(a+c)(b+d) P(x≥k) 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 9 【答案】 (2)有关 【分析】(1)根据古典概型的概率公式即可求出： (2)根据独立性检验的基本思想，求出X2,然后与小概率值α=0.001对应的临界值10.828比 较，即可判断 【详解】(1)根据表格可知，检查结果不正常的200人中有180人患病，所以P的估计值为 1809 200=10 (2)零假设为H。：超声波检查结果与患病无关， 眼据表中数据可得，7=1000×(20×20-780×180765.625>10.828=x, 800×200×800×200 根据小概率值=0.001的x2独立性检验，我们推断H。不成立，即认为超声波检查结果与患 该病有关，该推断犯错误的概率不超过0.001 8.(17分)已知椭圆c6C+若茶1a>b>0)的离心率esVB 2,a+b=3. (1)求椭圆C的方程： (2)如图所示，A,B,D是椭圆C的顶点，P是椭圆C上除顶点外的任意点，直线DP交x轴于 点N,直线AD交BP于点M.设BP的斜率为k,MN的斜率为m,求证：2m-k为定值. 【答案1a+少-1 (2)证明见解析 【分析】(1)根据离心率和a+b=3,联立即可求解a=2,b=1得椭圆方程， 2》联立直线与圆方程可得然行一）：联立两直线方作可求解 (4k+24k (2k-1'2k-1 进而根据三点共线的向量坐标关系可求解w(4化- (2k+1 ,0,即可由斜率公式求解 【详解1(1)因为e=5-S,故S=a- b_3,所以a=2b =1- 2a’a2a2 a241 由a+b=3,得a=2,b=1. 所以精脑C的方程为于y少-1 （2)因为B(2,01,P不为椭圆顶点，则BP的方程为y=k(:-2k≠0且k幸±习》① 入+y三1，+4x-2=4=0→1+4kk16kx+H62 8k2-24k 、故2x,-16水4解得，故P 又直线AD的方程为y=x+1.② 2 ①与②联立解得M (4k+24k 2k-1'2k-1 由D(0,1),P 8k2-24k 4k2+1’4k2+1 N(x,0)得DP 82-24k+4k2+1 4k2+11 4k2+1 DN=(x,-). 由三点共线可得- 4k+4k2+1.8k2-2 x= ,求得 4k-2。 0 4k2+1 4k2+1 2k+1 4k -0 所以MN的斜率m= 2k-1 2k+1 4k+24k-2 ,则2m-k=2+1-k= 4 2 2 （定值). 2k-12k+1 19.（17分)已知函数f(x)=ax-(nx)2 (1)a=1时，求f(x)在点(1，f(1)处的切线方程： (2)f(x)有3个零点，x,x2,x且(：<七，<x) (i)求a的取值范围； (i)证明(lnx2-lny)hx3< 4e e-1 【答案】(1)y=x 4 ②)①)0，。)：()证明见解析 【分析】(1)利用导数的几何意义，求导数值得斜率，由点斜式方程可得： (2)①令f)=0,分离参数得a-血，作出函数)-图象，数形结合可得 a范围；(ii)由(2)结合图象，可得x,x2,x范围，整体换元nr1=4,x2=t2,nx3=t,转 ae=t① (Ina+t,2Int, 化为{a=②，结合由②③可得 两式作差，利用对数平均不等式可得 Ina+=2Int ae=t好③ 华<4，再由(=a心<a得-4<，结合a=三减元处理，再构造函数求最值，放缩法可 e 证明不等式 【详解】(1)当a=1时，f(x)=x-(hnx)2,x>0, 则/e)-1.则f0=1,nf0=1 则切点(1,1)，且切线的斜率为1， 故函数f(x)在点(1，f(1)处的切线方程为y=x: (2)(i)令f(x)=ax-(lny2=0,x>0, 得a=y) 设g(x)=（ >0, nx.x-(lnx)Inx(2-lnx), 则gx)=x x2 x2 由g()=0解得x=1或2，其中g0)=0,8(e): 当0<x<1时，g'(x)<0,g(x)在(0,1)上单调递减： 当1<x<e2时，8'(x)>0,g(x)在(1，e2)上单调递增： 当x>e2时，g'(x)<0,g(x)在(e2,+o)上单调递减： 且当x→0时，g(x)→+o;当x→+0时，g()→0： 如图作出函数g(x)的图象， 珠 y=g(x) e y-a 01 e 要使函数f(x)有3个零点， 则方程a=g(x)在(0，+o)内有3个根，即直线y=a与函数g(x)的图象有3个交点. 结合图象可知，0<a<。 4 故a的取值范围为0，。 4 (ii)由图象可知，0<x1<1<x2<e2<x, 设nx=t,nx2=t2,lnx3=t,则<0<t2<2<t3, aei=t① 满足 ae=t②，由②③可得 Ina+t 2lnt, ae=t好③ Ina+=2Int 两式作差可得，-t2=2(lnt,-lnt), 则由对数的均的不将式可得2=风， 则4<4，故要证(x,-x)nx, e-1' 台，贝需证4- 4e 即证t,站-t屯< e-1 即证-4s号又因为4<0-心<a,则-<a 所以华<应，= 飞，故只需证专 、4 e2 e-1 2-re( 设函数p0)-1>2.则p0- 2 e2 e2 当2<t<4时，p(t)>0,则p(t)在(2,4)上单调递增： 当t>4时，p'(t)<0,则p(t)在(4，+∞)上单调递减： 故0s=o6.即0)9 而由4e2-16e+16=4(e-2)2>0, 可为兰号成立，故合超得证