精品解析：福建莆田市2026届高中毕业班适应性练习数学试题

莆田市2026届高中毕业班适应性练习数学 本试卷共4页，19小题，满分150分．考试时间120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知，则在复平面内， 所对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知集合，则的元素个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 3. 已知角 为第一象限角，且，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数，则曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 5. 已知向量满足，则（ ） A. 1 B. C. D. 2 6. 若直线交抛物线于 两点，则（ ） A. B. 4 C. D. 8 7. 已知等比数列的前 项和为，则函数的最大值为（ ） A. B. C. D. 1 8. 已知定义域为的函数满足：对任意 ，都有，则（ ） A. 是奇函数 B. C. 在上具有单调性 D. 若在上单调递增，且，则 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率为 ．点为上的动点，且的取值范围为，则（ ） A. B. 的周长为8 C. 存在点 ，使得 D. 当时，的内心坐标为 10. 设函数，则（ ） A. 有三个零点 B. 是的极小值点 C. 当时， D. 曲线上存在无数多对互相平行的切线 11. 如图，木块的底面 为矩形，平面 ，四边形，是两个全等的等腰梯形，，则（ ） A. B. 的体积为 C. 沿的表面从经过棱 到作任意线条，则该线条长度的最小值为 D. 将加工成一个球，则这个球半径的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知数列满足，且，则___________． 13. 如图，为函数的图象，为最高点，，为最低点．若，则___________． 14. 有6个球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中每次随机取出一个，取出的球不放回，直到6个小球都取完为止．记第 次取出球的号码为，在和至少有一个大于的条件下，数列是递增数列的概率为___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，． （1）求； （2）若，求的周长． 16. 如图，在斜三棱柱中，， ，， ，， 分别为的中点． （1）证明：平面； （2）若，求平面与平面的夹角的余弦值． 17. 篮球运动员甲做分组投篮训练，投篮5次为一组，投中一次得1分，未投中一次得-1分．假设甲每次投中的概率为． （1）若，求甲在一组投篮训练中累计得分为1分的概率； （2）收集甲以往100组训练数据，分别计算每组累计得分，如下表所示： 累计得分 -5 -3 -1 1 3 5 频数 1 8 24 34 26 7 （i）求表中累计得分的平均数； （ii）用 表示一组投篮训练的累计得分．将（i）中的平均数作为 的数学期望的估计值，求 的值． 18. 已知函数有两个不同的极值点． （1）求实数 的取值范围； （2）证明：； （3）证明：． 19. 已知双曲线的左、右焦点分别为到的一条渐近线的距离为． （1）求的方程； （2）点为上的动点，点分别位于直线与直线上，且． （i）记直线的斜率分别为，证明：； （ii）若与的面积相等，求． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 莆田市2026届高中毕业班适应性练习数学 本试卷共4页，19小题，满分150分．考试时间120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知，则在复平面内， 所对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【详解】因为，所以，所以 对应的点为，位于第四象限. 2. 已知集合，则的元素个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】首先根据函数的定义域求出集合，然后根据交集的定义即可求解. 【详解】集合是函数的定义域，根据二次根式的要求，被开方数非负，得 ， 即，故，共有2个元素. 3. 已知角 为第一象限角，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据同角三角函数基本关系求出，再根据诱导公式求解. 【详解】且 为第一象限角， ， . 4. 已知函数，则曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】曲线 的导数，则在的切线斜率为， 由点斜式求得切线方程为， 化成一般式为. 5. 已知向量满足，则（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【详解】由， ，得． ． 故． 6. 若直线交抛物线于 两点，则（ ） A. B. 4 C. D. 8 【答案】D 【解析】 【详解】已知抛物线方程，则焦点，准线为 ， 设， 联立直线方程与抛物线方程得， 则， 因为直线过焦点， 所以由抛物线焦点弦的性质可得． 7. 已知等比数列的前 项和为，则函数的最大值为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】求出公比和首项后得通项，再判断数列的单调性后可得最大值. 【详解】因为，故，而， 故，故，故，故 ， 故，故. 而， 故当 时，；当时，； 当 时，；故， 故. 8. 已知定义域为的函数满足：对任意 ，都有，则（ ） A. 是奇函数 B. C. 在上具有单调性 D. 若在上单调递增，且，则 【答案】D 【解析】 【详解】A选项错误，由于定义域为，所以不是奇函数． B选项错误，存在反例，若，， 则． C选项错误，存在反例；；． 此时不具有单调性． D选项正确，由，得． 由定义域得，，即． 由 单调递增得，即解得或（舍去）． 综上，． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率为 ．点为上的动点，且的取值范围为，则（ ） A. B. 的周长为8 C. 存在点 ，使得 D. 当时，的内心坐标为 【答案】AD 【解析】 【分析】先根据椭圆上动点到焦点距离范围求出，进而得到 ，离心率和椭圆方程，再分别对各选项依据椭圆性质、均值不等式、勾股定理及内切圆半径公式等进行判断. 【详解】根据椭圆性质，椭圆上动点到左焦点的距离范围为， 又因为，所以，解得， 所以，离心率，椭圆方程为， 在A选项中，，A正确， 在B选项中，的周长为，B错误， 在C选项中，若，设，则， 整理可得，由均值不等式，相互矛盾， 所以不存在这样的点，C错误， 在D选项中，将代入椭圆可得， 即，因为， ，所以是直角三角形， 直角在，内切圆半径​， 内心坐标为，D正确. 10. 设函数，则（ ） A. 有三个零点 B. 是的极小值点 C. 当时， D. 曲线上存在无数多对互相平行的切线 【答案】BCD 【解析】 【详解】对于A，令，解得 或，所以有两个零点，A错误； 对于B， ， 所以当 时，，当时，，当 时，， 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 所以 是的极小值点，B正确； 对于C， ， 当时，，所以， 所以当时，，C正确； 对于D，， 所以对于任意的实数，都有两个解， 所以曲线上存在无数多对互相平行的切线，D正确. 11. 如图，木块的底面 为矩形，平面 ，四边形，是两个全等的等腰梯形，，则（ ） A. B. 的体积为 C. 沿的表面从经过棱 到作任意线条，则该线条长度的最小值为 D. 将加工成一个球，则这个球半径的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】过 作交于点，连接，利用勾股定理计算可判断A；利用分割法求得体积可判断B；将绕 转动到使与侧面在同一个平面内，利用余弦定理可求得判断C；作交于，过 作交于 ，可得内的最大球，即为四棱锥的内切球，进而求得球的最大半径即可判断D. 【详解】过 作交于点，连接， 因为是等腰梯形，所以，所以四边形是平行四边形， 所以，，所以， 又因为底面 为矩形，且， 所以，所以， 所以，所以，所以，故A正确； 过 作于，过 作于，过 作于， 过 作于 ，过 作于 ， 因为，所以，又，平面， 所以 平面，又平面 ，所以平面平面， 又平面，所以平面 ， 由题意可得，所以， ， 所以的体积为，故B正确； 将绕 转动到使与侧面在同一个平面内，如图所示： 由题意可得， 由余弦定理可得 ， 所以， 所以沿的表面从经过棱 到作任意线条，则该线条长度的最小值为，故C错误. 作交于，过 作交于 ， 由题意可知四棱锥为正四棱锥， 则可得内的最大球，即为四棱锥的内切球， 设内切球的半径为，由题意得， 所以，即， 解得， 所以将加工成一个球，则这个球半径的最大值为，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知数列满足，且，则___________． 【答案】## 【解析】 【分析】利用代入法，求出数列前几项，进而判断该数列是周期数列，运用数列的周期进行求解即可. 【详解】因为数列满足，且， 所以，，， 所以该数列的周期为 ，因此. 13. 如图，为函数的图象，为最高点，，为最低点．若，则___________． 【答案】 【解析】 【详解】因为函数的最小正周期为， 所以，又因为， 又因为，所以，所以. 14. 有6个球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中每次随机取出一个，取出的球不放回，直到6个小球都取完为止．记第 次取出球的号码为，在和至少有一个大于的条件下，数列是递增数列的概率为___________． 【答案】 【解析】 【分析】设事件为“在和至少有一个大于”，事件 为“数列是递增数列””，根据组合数可求数列的种数，再由条件概率公式可求题设中的概率. 【详解】设事件为“在和至少有一个大于”， 事件 为“数列是递增数列”，则， 因为在和至少有一个大于， 故数列是先减后增或递增或递减数列， 考虑排列 左侧的元素的个数及种类，则不同的排列有， 故，故. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，． （1）求； （2）若，求的周长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）运用余弦二倍角公式，结合三角形内角的性质、余弦函数的性质进行求解即可； （2）运用正弦定理和余弦定理进行求解即可； 【小问1详解】 ，解得，或， 因为，所以方程无实数解； 由； 【小问2详解】 设所对的边分别为， 因为， 所以根据正弦定理，由， 由余弦定理，得， 所以的周长为. 16. 如图，在斜三棱柱中，， ，， ，， 分别为的中点． （1）证明：平面； （2）若，求平面与平面的夹角的余弦值． 【答案】（1）证明：连接，延长，因为斜三棱柱​中，侧面是平行四边形， 对角线与​互相平分，又 是的中点，因此 是的中点. 又因为是中点，所以在中， 是中位线，故​， 又平面，平面，因此平面. （2） 【解析】 【分析】（1）连接，延长，得出 是的中位线，根据线面平行的判定定理结合中位线的性质即可证明. （2）以 为原点，分别以所在直线为 轴建立空间直角坐标系，根据求出点的坐标，然后求出平面和平面的法向量，最后根据平面与平面夹角的向量公式即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以 为原点，分别以所在直线为 轴建立空间直角坐标系， 由已知条件得： ，，， 设，由得，  是中点，故； 是中点，故. 由​，得，代入解得 ，，即. 向量，. 设平面的法向量为. 由得， 取得，. 向量， . 设平面的法向量为. 由得， 取​得，. 设平面与平面的夹角为 ，则. 17. 篮球运动员甲做分组投篮训练，投篮5次为一组，投中一次得1分，未投中一次得-1分．假设甲每次投中的概率为． （1）若，求甲在一组投篮训练中累计得分为1分的概率； （2）收集甲以往100组训练数据，分别计算每组累计得分，如下表所示： 累计得分 -5 -3 -1 1 3 5 频数 1 8 24 34 26 7 （i）求表中累计得分的平均数； （ii）用 表示一组投篮训练的累计得分．将（i）中的平均数作为 的数学期望的估计值，求 的值． 【答案】（1） （2）（i）0.94; （ii）0.594. 【解析】 【小问1详解】 设甲在一组投篮训练中累计得分为1分为事件A，则甲在一组训练中，投中3次，未投中2次， 则. 【小问2详解】 （i）设累计得分的平均数为，则. （ii）设投中次数为 ，则，所以, 累计得分, 所以 又因为，所以，解得. 18. 已知函数有两个不同的极值点． （1）求实数 的取值范围； （2）证明：； （3）证明：． 【答案】（1） （2） 由（1）可知，是的两个不相等的正根， 即，可得，则， （由三次方程韦达定理：，，， 因，则其中必有一根为负，记为，则，）， 则， （*）， 由，得，同理可得， 则， 将其代入（*）可得： ， ， 又因为，则，可得， 则， 令，则，， 求导得，则在上单调递增， 故有，即. （3） 令，求导可得： ， 所以在上单调递减， 则当时，， 即，移项可得， 令，，则，即. 因，，，， 将以上 个不等式左右相加得：（**）， 又因，， 则（**）为， 两边乘以 可得：， 故得得证. 【解析】 【分析】（1）先求导得，将问题转化为在有两正根，再通过研究函数的单调性和极值确定 范围. （2）由韦达定理和极值点关系得到，将化简为关于的表达式，令，可得，，利用求导判断函数单调性即可证明. （3）令，求导判断其单调性，即得当时，，令代入并运用累加法与对数的运算性质即可得证. 【小问1详解】 已知，其定义域为， 对求导可得：， 因为函数有两个不同的极值点， 所以在上有两个不同的正根， 令，对求导可得：， 当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以在处取得极小值，也是最小值，， 又因为当时，，当时，， 要使在上有两个不同的正根，则需， 解得，因此 的取值范围是. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 19. 已知双曲线的左、右焦点分别为到的一条渐近线的距离为． （1）求的方程； （2）点为上的动点，点分别位于直线与直线上，且． （i）记直线的斜率分别为，证明：； （ii）若与的面积相等，求． 【答案】（1） （2）（i）设，， 则，， ，， 所以，， 所以，即得证.； （ii）. 【解析】 【分析】（1）利用点到直线的距离公式可以求得 和 的关系，代入计算即可； （2）（i）设出点坐标，直接计算直线斜率，然后求得乘积即可； （ii）利用点坐标计算直线方程，再根据点到直线的距离公式以及三角形的面积公式求出两个三角形的面积，使其相等即可求解. 【小问1详解】 由题可得：，双曲线的渐近线方程为：，则到渐近线的距离为：，所以， 则，，因此曲线方程为：. 【小问2详解】 （i）略 （ii）由题可知：，，，，，所以， 因为，所以，即：， 化简得：，所以，，则， 所以直线 方程为：，化简得：. 因此点到直线 距离为：，而， 所以. 又因为，， 所以， 因为，所以，即：. 当时，，化简得：， 解得：，又因为定义域为，所以舍去，因此； 当时，，化简得：，无实数解. 综上所述，的取值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $