山东省泰安英雄山中学2026届高三下学期五月自检数学模拟卷

2026届高考高三五月自检数学模拟卷 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚. 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效. 3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟. 第一卷（选择题，共58分） 一．单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知集合A＝{x|﹣2＜x＜3}，B＝{x|y＝ln（4﹣x）}，则A∩B＝（　　） A．（﹣2，4） B．（﹣2，3） C．（3，4） D．（﹣∞，4） 2．已知复数，则z的虚部为（　　） A．﹣2 B．﹣2i C．2 D．2i 3．已知x＞0，y＞0，且3x+y﹣xy＝0，则x+3y的最小值为（　　） A．12 B． C．16 D． 4．筒车亦称为“水转筒车”，一种以流水为动力，取水灌田的工具，筒车发明于隋而盛于唐，距今已有1000多年的历史．如图，假设在水流量稳定的情况下，一个半径为3米的筒车按逆时针方向做每6分钟转一圈的匀速圆周运动，筒车的轴心O距离水面BC的高度为1.5米，设筒车上的某个盛水筒P的初始位置为点D（水面与筒车右侧的交点），从此处开始计时，下列结论错误的是（　　） A．t分钟时，以射线OA为始边，OP为终边的角为 B．t分钟时，该盛水筒距水面距离为米 C．1分钟时该盛水筒距水面距离与3分钟时该盛水筒距水面距离相等 D．1个小时内有20分钟该盛水筒距水面距离不小于3米 5．已知正六棱柱ABCDEF﹣A′B′C′D′E′F′的底面边长为1，P是正六棱柱内（不含表面）的一点，则的取值范围是（　　） A．（，） B．（，） C．（，1） D．（0，） 6．已知在数列{an}中，a1+a2+a3＝2，且{anan+1an+2}是公比为3的等比数列，则数列{an}的前30项和为（　　） A．310﹣1 B．315﹣1 C．320﹣1 D．330﹣1 7．已知圆C：x2+y2﹣2x﹣4y﹣20＝0与直线l：（2m+1）x+（m+1）y﹣7m﹣4＝0相交于A，B两点，当∠ACB最小时，m的值为（　　） A． B． C． D． 8．已知函数f（x）＝cosx+ex，且a＝f（3），，c＝f（ln3），则a，b，c的大小关系（　　） A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．c＜b＜a D．a＜c＜b 二．多项选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．下列选项正确的是（　　） A．若随机变量，则 B．一组不全相等的数x1，x2，⋯，xn（n≥2）的平均数为，方差为，若再插入一个数，则这n+1个数的方差为，则 C．若随机变量X∼N（1，4），Y∼N（2，4），则P（X＜﹣1）＜P（Y＞4） D．若，，，则 10．已知函数，则下列说法正确的是（　　） A．f（x）的最小正周期是π B．f（x）的图象关于对称 C．f（x）在区间上单调递增 D．由函数y＝cos2x图象向右平移个单位可得到函数f（x）的图象 11．古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”算出椭圆面积等于圆周率、椭圆的长半轴长、短半轴长三者的乘积．如下图，已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，上、下顶点分别为B1，B2，左、右顶点分别为A1，A2，，，设C的离心率为e，则（　　） A．若B1F2∥P1A2，则 B．四边形F1B1F2B2的面积与C的面积之比为 C．四边形F1B1F2B2的内切圆方程为 D．设椭圆外阴影部分的面积为S外，椭圆内阴影部分的面积为S内，则S外＜S内 第二卷（非选择题，共92分） 三．填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12．已知正实数a、b满足，aa＝bb，则a+b＝　 　 ． 13．有A，B两种类型的车床各一台，现有甲、乙、丙三名工人，其中甲．乙都会操作两种车床，丙只会操作A种车床，现在要从三名工人中选2名分别去操作以上车床，不同的选派方法有 　 　 种． 14．设函数，若f（x）在上有且仅有2个零点，则实数ω的取值范围为 　 　 ． 四．解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．某航天材料实验室要对比两种新型高温合金材料的性能稳定性，现有A合金部件样本900件，B合金部件样本500件，采用分层抽样抽取140件做耐热疲劳测试，以部件能承受1000次热循环不失效为合格标准，得到以下部分列联表：单位：件 材料配方类型 耐热疲劳性能 合计 测试合格 测试不合格 A配方材料试样 75 B配方材料试样 20 合计 140 （1）请完成上述列联表； （2）依据α＝0.05的独立性检验，能否认为不同的材料配方与耐热疲劳性能有关联？ 附：，其中n＝a+b+c+d． 附表： α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 16．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，BC＝CD＝2，AB＝4，PC＝PD＝3，平面PCD⊥平面ABCD，PD⊥BC，Q是棱PC的中点． （1）求证：BC⊥平面PCD； （2）求平面ABQ与平面PBC夹角的余弦值． 17．已知正项数列{an}的前n项和为Sn，且． （1）求数列{an}的通项公式an； （2）若，数列{bn}的前n项和为Tn，求使Tn＞2025的最小的正整数n的值． 18．已知函数f（x）＝（x+a）ln（x+1）（a∈R），g（x）＝lnx﹣bx（b＞0）． （1）若a＝2，求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程； （2）当x＞0时，f（x）＞2x恒成立，求实数a的取值范围； （3）若存在x1，x2∈（0，+∞），使得g（x1）＝g（x2）（x1≠x2）．证明：． 19．已知椭圆的离心率为，且经过点． （Ⅰ）求椭圆E的方程； （Ⅱ）若直线与椭圆E交于P，Q两点，线段PQ的中点为R（xR，yR），求xR的取值范围及的值； （Ⅲ）点A，B两点在椭圆E上，且关于坐标原点O对称，过点A与AB垂直的直线与椭圆E的另一个交点为C，AM⊥x轴，垂足为M，直线BC与x轴交于点N，△AOM的面积和△BON的面积分别记为S1，S2，求的值． 参考答案 一．选择题 1．B． 2．C． 3．C． 4．B． 5．A． 6．A． 7．A． 8．B． 二．多选题 9．ABD． 10．ABC． 11．ABD． 三．填空题 12．． 13．4． 14．． 四．解答题 15．解：（1）由分层随机抽样的定义可知，抽取的140件中A合金部件有90，B合金部件有140＝50， 补全表格如下： 材料配方类型 耐热疲劳性能 合计 测试合格 测试不合格 A配方材料试样 75 15 90 B配方材料试样 30 20 50 合计 105 35 140 （2）零假设H0：不同的材料配方与耐热疲劳性能无关联， 则χ29.333＞3.841， 所以依据α＝0.05的独立性检验，我们推断H0不成立，即认为不同的材料配方与耐热疲劳性能有关联． 16．解：（1）证明：如图，取CD的中点O，因为PC＝PD＝3，所以PO⊥CD， 因为平面PCD⊥平面ABCD，平面PCD∩平面ABCD＝CD，PO⊂平面PCD， 所以PO⊥平面ABCD， 又BC⊂平面ABCD，所以PO⊥BC， 又BC⊥PD，PO⊂平面PCD，PD⊂平面PCD，PD∩PO＝P， 所以BC⊥平面PCD． （2）因为PC＝PD＝3，O为CD的中点，CD＝2， 所以， 过点O作OE∥BC交AB于点E，由BC⊥平面PCD，CD⊂平面PCD， 可得BC⊥CD，则OE⊥CD， 以O为坐标原点，OE，OC，OP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以． 设平面ABQ的法向量为， 则，则， 令x＝1，得．设平面PBC的法向量为， 则，则， 令c＝1，得， 设平面ABQ与平面PBC的夹角为θ， 则， 故平面ABQ与平面PBC夹角的余弦值为． 17．解：（1）当n＝1时，由， 可得，解得a1＝1， 当n≥2时，由， 得， 两式相减得， 即2an+1＝（an+1）2． ∵{an}是正项数列， ∴an+1＝an+1． ∴数列{an}是以a1＝1为首项，1为公差的等差数列， ∴an＝n． （2）由（1）知， ∴， ， 两式相减得（1﹣n）2n+1﹣2， ∴． ∴， ∴Tn单调递增， 当n＝7时，， 当n＝8时，， ∴使Tn＞2025的最小的正整数n的值为8． 18．解：（1）当a＝2时，f（x）＝（x+2）ln（x+1），，所以f′（0）＝2． 又因为f（0）＝0，所以切线方程为y＝2x． （2）设h（x）＝f（x）﹣2x＝（x+a）ln（x+1）﹣2x，只需h（x）＞0在x＞0时恒成立即可， 又，且h（0）＝0，所以h′（0）＝a﹣2≥0，即a≥2． 下面证明a≥2的充分性： ①当a≥2时，由x＞0，h（x）＝（x+a）ln（x+1）﹣2x≥（x+2）ln（x+1）﹣2x， 令φ（x）＝（x+2）ln（x+1）﹣2x，x＞0，所以， 所以， 所以φ′（x）在[0，+∞）上单调递增，则φ′（x）≥φ′（0）＝0， 所以φ（x）在[0，+∞）上单调递增，则φ（x）≥φ（0）＝0，所以h（x）≥φ（x）≥0恒成立． 综上所述，实数a的取值范围是[2，+∞）． （3）证明：由函数g（x）＝lnx﹣bx．可得， 设x1＜x2，由g（x1）＝g（x2），可得lnx1﹣bx1＝lnx2﹣bx2， 则， 由（2）知，当x＞0时，，则x＞1时，， 所以，则，所以， 代入可得：， 则，所以． 19．解：（Ⅰ）因为椭圆E的离心率为，所以， 所以，所以，即a2＝3b2． 因为椭圆E经过点，所以，所以， 所以b2＝2，所以a2＝6． 所以椭圆E的方程为． （Ⅱ）由方程组消去y得， 设点P，Q，M的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），（xM，yM）， 所以Δ＝12m2﹣24（m2﹣18）＞0，解得﹣6＜m＜6． 所以，． 所以． 因为线段PQ的中点为R（xR，yR）， 所以． 因为﹣6＜m＜6，所以，． 所以xR的取值范围为，的值为． （Ⅲ）因为点A，B两点在椭圆E上，且关于坐标原点O对称，AM⊥x轴，垂直为M， 所以设A（x0，y0），B（﹣x0，﹣y0），M（x0，0）， 设直线BC的方程为y+y0＝k（x+x0），点C（xc，yc）， 由方程组消去y得． 所以． 所以． 因为AC⊥AB，所以． 所以． 整理得（y0﹣kx0）（y0﹣3kx0）＝0，解得y0＝kx0或y0＝3kx0， 当y0＝kx0时，BC过原点，不符合题意． 当y0＝3kx0时，直线BC的方程为y＝kx﹣2kx0． 所以N（2x0，0）， 所以，，所以． 学科网（北京）股份有限公司 $