精品解析：2026年山东临沂市临沭县九年级一轮复习学情调研数学试题

2025－2026学年度九年级一轮复习学情调研 数学试题 2026.04 注意事项： 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的学校、姓名、准考证号等填写在答题纸的规定位置．答案填涂在答题纸上，答在本试卷上不得分．考试结束后，只将答题纸交回． 第I卷（选择题共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 实数在数轴上对应点位置如图所示，这四个数中最小的是（ ） A. B. C. D. 2. 第十五届全运会于2025年11月9日至21日举行，由广东、香港、澳门三地共同举办．体育精神就是健康向上、不懈奋斗的精神．下列关于体育运动的图标中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 2026春节期间央媒省媒高频聚焦临沂，中央和省级主流媒体刊发重点稿件350多篇，同比增长30%，总点击量350000000，数据“350000000”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 如图是一个正三棱柱，则它的主视图是（ ） A. B. C. D. 5. 下列各式中，计算结果为的是（ ） A. B. C. D. 6. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 7. 中央广播电视总台《2026年春节联欢晚会》发布吉祥物形象“骐骐”“骥骥”“驰驰”“骋骋”．其设计融合传统纹样与时代气息，饱含美好寓意，除夕夜，小明和小红准备了正面分别印有“骐骐”“骥骥”“驰驰”“骋骋”的四张卡片（如图），它们除正面外完全相同．把这四张卡片背面朝上洗匀，小明从中随机抽取两张，则这两张卡片是“骐骐”“骥骥”的概率是（ ） A. B. C. D. 8. 《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，书中记载有这样一个问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问：人与车各几何？”其意思是：“今有3人坐一辆车，则有2辆车是空的；2人坐一辆车，则有9人需要步行．问：人与车各多少？”若设有个人，辆车，则可列方程组是（ ） A. B. C. D. 9. 在平面直角坐标系中，将线段绕点顺时针旋转得到线段，点的坐标为，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 10. 在平面直角坐标系中，我们约定：不重合的两点与为一对对换点；若某函数图象上至少存在一对对换点，则称该函数为对换函数．某数学兴趣小组围绕该定义，进行了相关探究后，得出下列结论： ①反比例函数是对换函数；②一次函数是对换函数，且有无数对对换点；③若关于的一次函数是对换函数，则的值是1． 其中正确的是（ ） A. ①②③ B. ①② C. ②③ D. ①③ 第II卷（非选择题 共90分） 二．填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 若在实数范围内有意义，写出一个满足条件的正整数的值：_____． 12. 不等式的解集为________ 13. 如图，在四边形中，对角线与互相垂直平分，，则_____． 14. 如图，过原点的直线交双曲线于A、B两点，点C在x轴上，且，若的面积为6，则k的值为_____________． 15. 如图，与正八边形的边和分别相切于点和点，劣弧的长为，则正八边形的边长为_____． 三、解答题（本大题共8小题，共75分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 计算及化简： （1）计算：； （2）化简：． 17. 综合与实践 【项目情境】 “曹冲称象”是我国古代经典的等量代换智慧故事．某物理实践小组受此启发，利用浮力原理制作了一把可测量物体质量的“浮力秤”：将一个带刻度的圆柱形状的量杯浸入水中，通过向杯中放入不同质量的物体，记录量杯浸入水中的深度变化，从而实现对物体质量的测量． 【项目探究】 小组同学在量杯中依次放置不同质量的物体，测得部分数据如下表： 物体质量 0 0.4 0.8 1.2 1.6 浸入水中深度 2 4 6 8 10 【问题解决】 设放进杯中的物体质量为，量杯浸入水中的深度为 （1）根据表中数据在图中描出相应的点，画出函数图象并求出这个函数解析式； （2）若该量杯的高度为，求此“浮力秤”最多可称量的物体质量是多少千克？ 18. 为了增强青少年消防安全意识，某校准备选出一名宣传员为大家定期宣传消防知识，为了选出综合素质最高的一名同学为宣传员，先对所有报名的同学进行了笔试，再对笔试90分以上（含90分）的同学进行面试．小强、小亮、小旭三位同学脱颖而出，他们的笔试成绩（满分100）分别是98，94，90．之后组织了十位评委对小强，小亮，小旭三位同学面试表现进行打分，每位评委最高打10分，面试成绩等于各位评委打分之和．之后对这三位同学面试的数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息． a．评委给小强同学打分情况：10，10，9，8，8，8，7，7，6，6． ．评委给小亮、小旭两位同学打分的统计图如下： ．小强，小亮，小旭三位同学面试情况统计表： 同学 评委打分中位数 评委打分众数 评委打分方差 面试成绩 小强 8 8 1.89 79 小亮 9和10 1.85 85 小旭 8.5 0.61 87 根据以上信息，回答下列问题： （1）上述表格中 ， ； （2）在面试中，小强，小亮，小旭三位同学中，评委对 的评价更一致；（填“小强”，“小亮”或“小旭”） （3）综合成绩为笔试成绩占，面试成绩占，综合成绩最高者将被录用，请通过计算说明谁将被录用？ 19. 如图，将平行四边形沿对角线折叠，使点落在平面上的点处，与交于点． （1）求证：； （2）若平行四边形的对角线与的交点为点，连接，求证：． 20. 图1为《天工开物》记载的用于舂（chōng）捣谷物的工具——“碓（duì）”的结构简图，图2为其工作时的平面示意图，此时点和点在同一水平线上，已知：于点于点于点，若分米，． （1）求的长； （2）“碓”工作时举起到最高处如图3所示，此时，于点，求点上升的高度．（结果保留一位小数．）【参考数据：，，，，，】 21. 如图，在中，，点在的边上，以为半径的与相交于点，与相交于点为的直径，与相交于点，． （1）求证：是的切线； （2）若，的半径为3，求的长． 22. 综合与实践 【情境】 图①的正方形的边长为2，通过裁剪拼接可以得到图②所示的钻石型五边形，数据如图所示．（说明：纸片拼接不重叠，无缝隙，无剩余） 【操作】 如图③，嘉嘉将正方形沿虚线对折，再沿裁剪后按照图④所示进行拼接．根据嘉嘉的剪拼过程，解答问题： （1）求线段的长； （2）求点到直线的距离； 【探究】 淇淇说：将图①所示纸片沿一条直线（裁剪线为线段）裁剪出一部分，再将剪出的部分剪成两块，还可以拼成如图⑤的铅笔头型五边形，其中． （3）请你按照淇淇的说法设计一种方案：在备用图中用尺规作图在正方形的边上找一点，作出裁剪线的位置，并直接写出的长． 23. 在平面直角坐标系中，二次函数的图象过点，且最大值为1． （1）求该二次函数的表达式； （2）若，为该二次函数图象上对称轴同侧的两点，比较与的大小； （3）若，为该二次函数图象上的不同两点，且，求证： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年度九年级一轮复习学情调研 数学试题 2026.04 注意事项： 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的学校、姓名、准考证号等填写在答题纸的规定位置．答案填涂在答题纸上，答在本试卷上不得分．考试结束后，只将答题纸交回． 第I卷（选择题共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 实数在数轴上对应点位置如图所示，这四个数中最小的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了根据数轴比较实数的大小，熟知数轴上负方向的数总是小于正方向的数是解本题的关键． 根据数轴上负方向的数总是小于正方向的数即可得出答案． 【详解】解：根据题意可得：， ∴四个数种最小的数为， 故答案为：A． 2. 第十五届全运会于2025年11月9日至21日举行，由广东、香港、澳门三地共同举办．体育精神就是健康向上、不懈奋斗的精神．下列关于体育运动的图标中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：A．是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意； B．是中心对称图形又是轴对称图形，符合题意； C．不是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意； D．不是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意． 3. 2026春节期间央媒省媒高频聚焦临沂，中央和省级主流媒体刊发重点稿件350多篇，同比增长30%，总点击量350000000，数据“350000000”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：． 4. 如图是一个正三棱柱，则它的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查几何体的三视图 ；根据主视图是从物体正面观察得到的视图解答即可． 【详解】解：如图是一个正三棱柱，则它的主视图是一个长方形，且中间有一条虚线， 故选：B． 5. 下列各式中，计算结果为的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据同底数幂的乘方和除法运算法则，合并同类项法则，幂的乘方运算法则即可求解． 【详解】A．，不符合题意 B．，不符合题意 C．，不符合题意 D．，符合题意 故选：D 【点睛】本题考查了同底数幂的乘法及除法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加；同底数幂相除，底数不变，指数相减；幂的乘方，底数不变，指数相乘；合并同类项时，把同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母部分保持不变． 6. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】A 【解析】 【分析】确定一元二次方程的各项系数，计算根的判别式的值，根据判别式的符号即可判断根的情况． 【详解】解：对于一元二次方程，，，， ∵， ∴一元二次方程有两个不相等的实数根． 7. 中央广播电视总台《2026年春节联欢晚会》发布吉祥物形象“骐骐”“骥骥”“驰驰”“骋骋”．其设计融合传统纹样与时代气息，饱含美好寓意，除夕夜，小明和小红准备了正面分别印有“骐骐”“骥骥”“驰驰”“骋骋”的四张卡片（如图），它们除正面外完全相同．把这四张卡片背面朝上洗匀，小明从中随机抽取两张，则这两张卡片是“骐骐”“骥骥”的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】画树状图，共有12种等可能的结果，其中这两张卡片正面恰好是“骐骐”“骥骥”的结果有2种，再由概率公式求解即可． 【详解】解：用A、B、C、D分别表示“骐骐”“骥骥”“驰驰”“骋骋”四张卡片， 画树状图如下： 由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中这两张卡片正面恰好是“骐骐”“骥骥”的结果有2种，即、， ∴这两张卡片是“骐骐”“骥骥”的概率是． 8. 《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，书中记载有这样一个问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问：人与车各几何？”其意思是：“今有3人坐一辆车，则有2辆车是空的；2人坐一辆车，则有9人需要步行．问：人与车各多少？”若设有个人，辆车，则可列方程组是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意找出两个等量关系，分别列出方程即可得到方程组． 【详解】解：设有个人，辆车， ∵3人坐一辆车时，有2辆车是空的， ∴实际乘坐的车辆数为，总人数等于每车人数乘乘坐车辆数，可得方程； ∵2人坐一辆车时，有9人需要步行， ∴总人数等于乘车人数加步行人数，乘车人数为，步行人数为9，可得方程； 因此所列方程组为： 9. 在平面直角坐标系中，将线段绕点顺时针旋转得到线段，点的坐标为，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】过点A作轴于点B，过点作轴于点C，证明，得到，则点的坐标为． 【详解】解：如图所示，过点A作轴于点B，过点作轴于点C， ∴， 由旋转的性质可得，， ∴， ∴， ∴， ∵点的坐标为， ∴， ∴点的坐标为． 10. 在平面直角坐标系中，我们约定：不重合的两点与为一对对换点；若某函数图象上至少存在一对对换点，则称该函数为对换函数．某数学兴趣小组围绕该定义，进行了相关探究后，得出下列结论： ①反比例函数是对换函数；②一次函数是对换函数，且有无数对对换点；③若关于的一次函数是对换函数，则的值是1． 其中正确的是（ ） A. ①②③ B. ①② C. ②③ D. ①③ 【答案】A 【解析】 【分析】根据对换点和对换函数的定义，逐个验证三个结论是否成立，用到的思路是：若和都是函数图象上的点，代入函数解析式推导，判断是否存在不重合的解即可． 【详解】解：根据定义，若函数为对换函数，则存在不重合的两点，都在函数图象上， ①对于反比例函数： 在函数上， ∴ 将代入函数，右边左边，满足等式 且若重合，则，得，无实数解，因此所有点对都不重合，存在对换点，故①正确； ②对于一次函数： 在函数上， 将代入函数，得右边左边，等式恒成立， 仅当，即得时，两点重合，其余无数个点对都不重合，因此有无数对对换点，故②正确； ③对于一次函数： ，都在函数上， ∴ 将第一个式子代入第二个式子整理得： 若，则，，得，此时，两点重合，不符合要求； 若，等式对任意成立，，且仅当，即，即时两点重合，其余点对都不重合， 故存在无数对不重合的对换点，符合要求，因此，故③正确； 综上，①②③都正确． 第II卷（非选择题 共90分） 二．填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 若在实数范围内有意义，写出一个满足条件的正整数的值：_____． 【答案】1（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，求解后找出符合要求的正整数即可． 【详解】解：在实数范围内有意义 解得 是正整数 可取，答案不唯一，任意写出一个即可 12. 不等式的解集为________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解一元一次不等式．根据一元一次不等式的解法，先移项，再系数化为，即可求解． 【详解】解：移项，得， 系数化为，得． 故答案为：． 13. 如图，在四边形中，对角线与互相垂直平分，，则_____． 【答案】##62度 【解析】 【分析】首先证明出四边形是菱形，然后根据菱形的性质求解． 【详解】解：∵在四边形中，对角线与互相垂直平分， ∴四边形是菱形 ∴平分和 ∴． 14. 如图，过原点的直线交双曲线于A、B两点，点C在x轴上，且，若的面积为6，则k的值为_____________． 【答案】3 【解析】 【分析】根据反比例函数的对称性和等腰三角形的性质得到S△ABC=2S△AOC=2=6，故可求解． 【详解】过点A作AE⊥OC，过点B作BD⊥OD， ∴S△AOE= 根据反比例函数的对称性可得AE=BD， 故S△ABC=S△AOC+S△OBC=×OC×AE+×OC×BD=2S△AOC ∵=AO ∴△AOC是等腰三角形， ∵AE⊥OC ∴E为CO中点 ∴S△AOC=2S△AOE=2×，则S△ABC=2S△AOC=2=6 ∴k=±3， ∵函数在一、三象限，故k=3 故答案为：3． 【点睛】此题主要考查反比例函数与几何综合，解题的关键是熟知反比例函数的图象与性质． 15. 如图，与正八边形的边和分别相切于点和点，劣弧的长为，则正八边形的边长为_____． 【答案】2 【解析】 【分析】连接，，，延长交或其延长线于一点N．求出．结合六边形的内角和为，求出，根据同一平面内，过一点只有一条直线与已知直线垂直，可得点B与点N重合，进而证明为等腰直角三角形，结合劣弧的长为求出，进而求出正八边形的边长． 【详解】解：如图所示，连接，，，延长交或其延长线于一点N． ∵与正八边形的边和分别相切于点和点， ∴，． ∴． ∵八边形为正八边形， ∴． ∵六边形的内角和， ∴． ∵八边形为正八边形， ∴． 又∵，同一平面内，过一点只有一条直线与已知直线垂直， ∴直线与直线为同一条直线， ∴点B与点N重合， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵劣弧的长为， ∴， ∴， ∴． 即正八边形的边长为2． 三、解答题（本大题共8小题，共75分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 计算及化简： （1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：原式 【小问2详解】 解：原式 17. 综合与实践 【项目情境】 “曹冲称象”是我国古代经典的等量代换智慧故事．某物理实践小组受此启发，利用浮力原理制作了一把可测量物体质量的“浮力秤”：将一个带刻度的圆柱形状的量杯浸入水中，通过向杯中放入不同质量的物体，记录量杯浸入水中的深度变化，从而实现对物体质量的测量． 【项目探究】 小组同学在量杯中依次放置不同质量的物体，测得部分数据如下表： 物体质量 0 0.4 0.8 1.2 1.6 浸入水中深度 2 4 6 8 10 【问题解决】 设放进杯中的物体质量为，量杯浸入水中的深度为 （1）根据表中数据在图中描出相应的点，画出函数图象并求出这个函数解析式； （2）若该量杯的高度为，求此“浮力秤”最多可称量的物体质量是多少千克？ 【答案】（1） 描出相应的点，画出图象如图所示， （2）此“浮力秤”最多可称量的物体质量是3.2千克 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，描点法画一次函数图象，待定系数法求解函数解析式等知识，熟练掌握一次函数的相关知识为解题关键． （1）利用描点法画出函数图象，再用待定系数法求出函数解析式即可； （2）令求解即可． 【小问1详解】 解：描出相应的点，画出图象如图所示， 由图象可知与之间是一次函数关系， 设：， 将代入得： 解得：， 所以这个一次函数解析式为： 【小问2详解】 解：将代入得， 解得： 所以此“浮力秤”最多可称量的物体质量是3.2千克 18. 为了增强青少年消防安全意识，某校准备选出一名宣传员为大家定期宣传消防知识，为了选出综合素质最高的一名同学为宣传员，先对所有报名的同学进行了笔试，再对笔试90分以上（含90分）的同学进行面试．小强、小亮、小旭三位同学脱颖而出，他们的笔试成绩（满分100）分别是98，94，90．之后组织了十位评委对小强，小亮，小旭三位同学面试表现进行打分，每位评委最高打10分，面试成绩等于各位评委打分之和．之后对这三位同学面试的数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息． a．评委给小强同学打分情况：10，10，9，8，8，8，7，7，6，6． ．评委给小亮、小旭两位同学打分的统计图如下： ．小强，小亮，小旭三位同学面试情况统计表： 同学 评委打分中位数 评委打分众数 评委打分方差 面试成绩 小强 8 8 1.89 79 小亮 9和10 1.85 85 小旭 8.5 0.61 87 根据以上信息，回答下列问题： （1）上述表格中 ， ； （2）在面试中，小强，小亮，小旭三位同学中，评委对 的评价更一致；（填“小强”，“小亮”或“小旭”） （3）综合成绩为笔试成绩占，面试成绩占，综合成绩最高者将被录用，请通过计算说明谁将被录用？ 【答案】（1）9，8 （2）小旭 （3） 解：小亮将被录用，理由如下： 小强的成绩为：（分）， 小亮的成绩为：（分）， 小旭的成绩为：（分）， ∵， ∴综合成绩最高的是小亮，即小亮将被录用． 【解析】 【分析】（1）根据中位数和众数的定义求解即可； （2）比较方差即可得出答案； （3）分别求出三人的最终成绩，进行比较即可得出答案． 【小问1详解】 解：∵将小亮的面试成绩按从小到大排列如下：6，7，7，8，9，9，9，10，10，10， ∴． ∵小旭的成绩中8分出现的次数最多，出现了4次， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴评委对小旭的评价更一致； 【小问3详解】 略 19. 如图，将平行四边形沿对角线折叠，使点落在平面上的点处，与交于点． （1）求证：； （2）若平行四边形的对角线与的交点为点，连接，求证：． 【答案】（1） 证明：由折叠得，， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， 又∵， ∴； （2） 证明：∵， ∴， ∵平行四边形的对角线与的交点为点， ∴为中点， ∴为中边上的高， ∴． 【解析】 【分析】（1）由折叠得，，由四边形是平行四边形得，，即可得，，结合对顶角即可证明； （2）由得，由平行四边形的对角线与的交点为点得为中点，由等腰三角形三线合一可得为中边上的高，即可证明． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】折叠的本质是轴对称变换，折叠前后的图形关于折痕成轴对称，因此对应边相等、对应角相等，这一性质是解决此类折叠问题的核心依据． 20. 图1为《天工开物》记载的用于舂（chōng）捣谷物的工具——“碓（duì）”的结构简图，图2为其工作时的平面示意图，此时点和点在同一水平线上，已知：于点于点于点，若分米，． （1）求的长； （2）“碓”工作时举起到最高处如图3所示，此时，于点，求点上升的高度．（结果保留一位小数．）【参考数据：，，，，，】 【答案】（1）的长约为5.4分米 （2）点上升的高度为4.5分米 【解析】 【分析】（1）在中，解直角三角形即可求解； （2）作，垂足为，在和中，解直角三角形即可求解． 【小问1详解】 解：∵，， ，即， ， ， ，分米， 在中，（分米）， 答：的长约为5.4分米； 【小问2详解】 解：作，垂足为， 由题意得，点上升的高度为的长， 此时，，， ， 分米， 在中，（分米）． 在中，（分米） 答：点上升的高度为4.5分米． 21. 如图，在中，，点在的边上，以为半径的与相交于点，与相交于点为的直径，与相交于点，． （1）求证：是的切线； （2）若，的半径为3，求的长． 【答案】（1） 证明：连接， ， ， ， ． ， ， ， 于点， ∵是的半径， ∴是的切线； （2）的长是 【解析】 【分析】（1）连接，由圆周角定理得，由得，由得，可得，得，故可得是的切线； （2）分别求出，，，由证明可得即从而可求出． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解： ∴， ∵的半径为3， ∴， 由（1）知，， ， ， ， ， 即 ， 的长是． 22. 综合与实践 【情境】 图①的正方形的边长为2，通过裁剪拼接可以得到图②所示的钻石型五边形，数据如图所示．（说明：纸片拼接不重叠，无缝隙，无剩余） 【操作】 如图③，嘉嘉将正方形沿虚线对折，再沿裁剪后按照图④所示进行拼接．根据嘉嘉的剪拼过程，解答问题： （1）求线段的长； （2）求点到直线的距离； 【探究】 淇淇说：将图①所示纸片沿一条直线（裁剪线为线段）裁剪出一部分，再将剪出的部分剪成两块，还可以拼成如图⑤的铅笔头型五边形，其中． （3）请你按照淇淇的说法设计一种方案：在备用图中用尺规作图在正方形的边上找一点，作出裁剪线的位置，并直接写出的长． 【答案】（1） （2） （3）方案如下，的长为或． 【解析】 【分析】（1）根据折叠的性质，得，进而得，得，设，在中，利用勾股定理进行求解即可； （2）过点作交的延长线于点，证明，进行求解即可； （3）取的中点，在或上确定中点的位置，进行裁剪即可． 【小问1详解】 解：由题意， ∴， ∴， 设，则，， 由题知， 在中， 由勾股定理得，即， 解得， ∴； 【小问2详解】 解：过点作交的延长线于点， ∴， ∴， 由（1）可知，，， ∴， ∴，即点到直线的距离为； 【小问3详解】 解：符合题意的有、， 作图步骤：①作的垂直平分线交于点； ②以点为圆心、为半径画弧交于，或以点为圆心、为半径画弧交于； 沿剪裁，如下图， 由上图可知； 沿剪裁，如下图， ，此时， 综上，的长为或． 23. 在平面直角坐标系中，二次函数的图象过点，且最大值为1． （1）求该二次函数的表达式； （2）若，为该二次函数图象上对称轴同侧的两点，比较与的大小； （3）若，为该二次函数图象上的不同两点，且，求证： 【答案】（1） （2）当时，；当时， （3） 证明：点在函数的图象上， ， 由（1）知，点，关于直线对称， 不妨设，则，即，则． ， ， ． 【解析】 【分析】（1）根据二次函数的对称性求解即可； （2）分，同在对称轴左侧和右侧两种情况，根据二次函数的性质解答即可； （3）由点在函数的图象上可得，点，关于直线对称，不妨设，则，即，则，计算，，故可得结论． 【小问1详解】 解：二次函数的图象过点，，且最大值为1， 二次函数的图象的对称轴为直线， ， 该函数的表达式为， 函数图象的顶点坐标为 函数的最大值为 ， 解得 ， 该二次函数的表达式为； 【小问2详解】 解：二次函数的开口向下，对称轴为直线，为该二次函数图象上对称轴同侧的两点， 有两种情况： ①当，同在对称轴左侧时，即，即时， 随着的增大而增大， ； ②当，同在对称轴右侧时，即时， 随着的增大而减小， ； 综上，当时，；当时，； 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $