河南南阳市2025-2026学年高一下学期期中质量评估数学试题

2026年春期高中一年级期中质量评估 径为2米的筒车水轮圆心O距离水面1米（图3），已知水轮按逆时针转动，每分钟转动4 圈，当水轮上点P从水中浮现时（图3中点P。)开始计时，经过：秒后点P距离水面的高 数学试题 度为h米，且h=Asin(al+p)+B(w>0,p<2),下列结论不正确的是 注意事项： 架 1,考生做题时将答案答在答题卡的指定位置上，在本试卷上答题无效， 2.答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 3.选择题答案使用2B铅笔填涂，非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或 碳素笔书写，宇体工整，笔迹清楚. 4.请按照题号在各题的答题区城（黑色线柜）内作答，超出答题区城书写的答案无效。 5,保持卷面清洁，不折叠、不破损， 图 图2 图3 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 A.A=2,B=1 是符合题目要求的。 Rw语 1.(AB-Di)-DA+D心-AD= A.AD B.0 C.AC D.0 Cp-君 箭 2.点O是△ABC所在平面内一点，且满足OA+Oi+O心=0，则O是△ABC的 D.当点P运动2.5秒时，距水面的高度为1.5米 8.关于x的方程sinx十sinx十a-1=0在区间(0,2x)有两解，则实数a的取值范围为 A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心 A.(-1,1] B.[-1,1] 3.函数y=a(侵x一晋)的图象的一个对称中心为 c(-1,U n[-1U A(-要o】 B=餐 c.(吾o) D.x=-君 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 4,在边长为1的正方形ABCD中，P为BC的中点，则A币，D= 9.下列说法中正确的有 A-号 c D A.单位向量都相等 B.物理学中的作用力与反作用力是一对共线向量 5.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,6若a=2,A=平，满足条件的△ABC有两 C.两个非零向量a,b,若|a一b1=|a十lb,则a与b共线且反向 个，则6可能为 D,若(a,b)=晋，则a在b上的投影向量为号 ☒ 10.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知a=5,b=7,c=8,AD=AAC.则 A.2 B号 C.22 D.3 AB=号 6.若函数f(x)=sim(r+泛)(w>0)在(0，)上有最大值没有最小值，则m的取值范围为 &若A=则5D= 2 A() ] c】 [] C.若BD为∠ABC的平分线，则BD=15目 13 7.简车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中使用 (图1)，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了简车的工作原理（图2）.若一半 D.若BD·AC=0,则BD=203 7 高一数学第1页（共4页） 高一数学第2页（共4页） :※※※※※ ※※※※※ 11.如图，函数f(x)=Asin(r十p)(A>0,w>0,0<g<π)的图象交x轴于点B和点D,交 17.(15分) ※※※※※ 函数f(x)=cor+2|cosx|,x∈[0,2π]. ※※※ y轴交于点C,已知B(答o0),co受)点E的横坐标为-，B功-2(BC+配.则 (1)请用五点作图法画出函数f(x)的图象（先填表，再画图）： ※※※※※ ※※ ※※※ Af)=s(2r+到 (2)若f(x)=m有2个根，求实数m的取值范围： ※※※ (3)若fx)在[a,月上的值域为[0,2]求=6一a的取值范围。 R△BCE的面积为 ※ ※※※※※ ※※ c若=号在（竖晋）有n个解… 五+2十+2红1十=-登 D.把函数y=f(x)的图象向右平移)个单位，然后纵坐标不变，横坐标扩大为原来的两 4 3元 倍，再把纵坐标伸长为原来的两倍，横坐标不变，最后向上平移一个单位得到函数 y=R)的图象.若对任意的0≤m≤3，方程e(=m在区间0，]上至多有一 9 个解，则正数灰的范围为(0，] 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.已知1a=1,1b1=2,则|a+b1的取值范围为 13.已知Vr∈R,/r+3)=-f).当r∈0,3)时，x)=im(受），则f八2026)= 18.(17分) 14.已知y(o,受引对Va∈R,3r∈[a一是a+登]独得1sinx≥6osy成立，则y的最小 已知函数f(x)=sim(or+p)(o>0,lpl<受)f0)=2,函数fx)图象的两条相邻对 值为 称轴间的距离为受， 四、解答题：本大题共5小题，共计77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 (1)求函数f(x)的解析式： 15.(13分) (1)一个扇形的周长的数值为4，面积的数值为1，求这个扇形圆心角的弧度数： (2)若函数f八x)在区间[-号m]上单调递增，求实数m的最大值： (②)已知a角的顶点在坐标原点，始边在x轴非负半轴，终边过点P(最)o) (3)若vxe[-晋，]fx)-)-1<0,求A的取值范围。 sin(经-a)os(经+a) cos(r+a)cos(-a),求fa)的值。 19.(17分) 在△ABC中，若点P满足∠PAB=∠PBC=∠PCA=a,则点P称为△ABC的布洛卡点，角a 16.(15分) 为△ABC的布洛卡角.已知角A,B,C所对的边分别为a,b,心，点P是△ABC的布洛卡点. 已知单位向量4，j的夹角为等，向量a=i-,向量b=什2。 (1)若△ABC为正三角形，求a: ※ (2)已知1PA|=A|PB1(A>0) (1)若a∥b,求A的值： ①求证：b=Aact (2)若a⊥b,求入的值： ②若a十c=2,A=3,求△ABC面积的最大值 (3》若la=|b,求a的值 ※※※※ ※※※※※ ※※※※※ 高一数学第3页（共4页） 高一数学第4页（共4页） ※※※※※2026年春期高中一年级期中质量评估 数学试题参考答案 一、选择题： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C c A D B B D c 二。选泽题： 题号 0 10 11 答案 BC ABD ACD 三、填空题： 12.[1,3] 13.-1 14. 4 1【详解】因为BD=号BC+B丽)，所以D为C的中点，因t点D的华标为（0 22 ,从而0=2： 因为J(-0,故2×名+0-+2(ke2☑， 因为0<p<π，解得p= 所以)=A5m(2x+写到 3 又10=5，所以4n2亚-5，解得A=1,所以了()=m 3 2 2x 3 故A正确： 显然，△BCE的面积为 ss88m2双m-n经9 .故B错误. 4 对打c(方法)o=m2x+9 2 7π 3 第1页，共9页 所以fs)=5在 (13元11π 2 (1212 有4个解6，且满足=2x+=123.4) 所以=九，玉=- 6,=0,=5亚 61 所以+2+2=22+=0小 方达)作#)m2x）:() 的图像如图所示， 11 X2 X3O 作出直线y=5与了()相交，交点的横坐标依次即为，飞，，X,由对称性可得： 2 +=6+6=石，所以 +2+2*=+2+2+=2-号 故C正确； 对于D:由图像变换可得：g-2n写l,所以v=8)-2sm（a到}+1， e 令k子刘号若-音去>0，作v=n以-的阔屋图所不。 ππ0 Γ36 第2页，共9页 2sna+=0,当ue-受0时，解得：= 6 如图。要使e(=m在区间0 上至多有一个解，只需- π5kππ≤亚 363=61 解得：0<k≤亏 ,1 故选：ACD 14.【详解】（方法一)作出y=sinx的图像如图所示： y=sinx πO .5π a- la+- 12 12 对vaeR,ua+ π 使得sinx≥cosy成立，只需sinx≥cosy. 对y∈0， 2 t=cosy单调递减，所以要求y的最小值，只需cosy≤sinxm· 5π 而由x∈ Q-_ 12 可得x在长度为 a+12 a 2 的区间上变化， 2 求出y=Sinx的所有最大值中的最小值. 如图示：当区 [a-a+ 元 关于x=m,k∈Z对称时，y=sinx取得最大值中的最 (引到9 所以ey号，又a》,所以a心晋片以u的最小值为骨 第3页，共9页 (方法二)因为sinx=cos 2) 所以sinx≥cosy可化为 cos 2 cos y. 由三角函数的定义（余弦线）解得：m-y≤x- sm+y,同：版+子yEx≤a+受 将其解集在数轴上表示如下： -v 2 对HeR,x ia-i a+设 ,5π 使得sinx≥cosy成立， 的长度大于等于相邻解集之间的长度，所以 a+设)a)a子[-+子限： 又eQ所以y的最小为 故答米为：至 四、解答题评分说明： 1.本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主 要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则. 2.对于涉及向量的书写规范，若考生思路正确但书写向量没加箭头，该大题扣2分， 15.【解析】(1)设一个扇形的半径为r,圆心角的弧度数为a, 2r+0r=4 由题意可得： 1 0r2=1 …3分 2 r=1 解得： a=2' …5分 第4页，共9页 所以这个扇形圆心角的弧度数为2 …6分 (2)f(a)= cosa.(-sina)sina …10分 (-cosa).cosa cosa' cos(π+a)cos(-a) 因为角的终边过点P125）】 (13'13月 所以sin a= 13.cosa=- 2 所以f(a)=sina=-5 …13分 cosa 12 16【解析】（方法一）1）：单位向量方的夹角为雪i与j不类线 向景a=成-方向紧万=i+5.a6。异子 …3分 1 ∴= …5分 (2)i-j=1×1×cos π1 2 若ā16，则ā-6=（ǖ-）(+2j)=°+(2-1)i.j-2j=0, 即4+(2-0号2=0， …8分 解得1 …10分 (3)i.j=1x1xc0s-1 832 所以同=无-=列-2j+产=-+1， 5-V+2-F+2i2j+(-1+2+4 因为园=，所以√2-2+1=1+2+4， …13分 解得1=3或1=-2. …15分 (切法)*位同年的案角为号不尚设-0j-售， 向量a=i-j= 1√3 元- 2-2 向量b=i+2j=(23) …5分 第5页，共9页 a6,5可2-》52.解得：1= …8分 a若a1,则》2+}5=0，银得：2- …11分 a同-a写=原i.6-阿-5 因为同=，所以√-2+1=√万，解得2=3或2=-2. …15分 17. 【解析】(1)按五个关键点列表： 0 2 2 2元 COSx 1 0 -1 0 1 f()=cosx+2cos寸 3 0 0 3 …3分 描点并将它们用光滑的曲线连接起来如下图所示： y 3 2 …6分 3n 2π 2 第6页，共9页 (2)由题意可得y=f(x)与y=m图象有2个交点，所以m=0或1<m≤3. 即实数m的取值范围{=0或1<≤3}. …10分 (漏一部分扣2分) (3)在x∈[0,2，令fw)=0,解得：x=或x=3 2 令f田弓解得：x=或x=, 3 …12分 3 3 由图像可得：当x∈， 3'或. 3π5π 2’3 卧，同数田学湖、6a子骨君政 5π3江-正)最小： 326 当x∈ π5π 33 时，= 元元_4虹最大. 333 …14分 所以4的取值范围 π4π 63 …15分 18、【解折】（由0片特/0-m-片l受则p- …2分 6 因为函数f)图象的两条相邻对称轴间的距离为，所以函数的最小正周期T=几， 因为T 2T=元00，则0=2， …5分 所以f(o=sin(2x+). …6分 6 要使两数)在区同子m 上单调递增，只需2m+ 解符：m君 62 所以实数m的最大值为后 …11分 (3) …13分 41-f@)e-, 由题可知t2-t-1≤0恒成立， 对称轴为1=子，开口向上， 第7页，共9页 因为g(0)=-1<0,所以只需 8司（分1k0,解得：0s号m16分 2 8(0)=12-x1-1≤0 综上可知，2的取值范围是 …17分 19.【解析】(1)（方法一）△ABC为等边三角形. 因为∠PAB=∠PBC=∠PCA=a,所以∠PBA=∠PAC=∠PCB=-a, 3 所以∠APB=∠BPC=∠CPA= 2mπ …2分 31 AP AB 在△ABP中，由正弦定理得， sin (3 sin 2兀， 3 AP AC 在△APC中，由正弦定理得，sina 2L, sin- 3 因为△ABC为等边三角形，AB=AC,所以sina&=si 3a …4分 又0<a<号所以a= 3a,故a 6 …5分 (方法二)△ABC为等边三角形 PAB=∠PBC=∠PCA=C,所以∠PBA=∠PAC=∠PCB 所以∠APB=∠BPC=∠CPA=2 所以△APB≌△BPC≌△CPA,所以PA=PB=PC,所以C=是 …5分 (2)①证明：在△ABP中，PB AB ，sin a sin-B）'即s PB c sina sinB: 在△APC中， PAA sin a sine(π-4)，即fAb …7分 sin a sin A 所以PA_sinB PB c sinA 由正弦定理得：P4_bxb PB c a 因为PA=2PB,所以a= ,即b2=ac. …10分 ac 第8页，共9页 ②由1=3可得b2=3ac. 在△ABC中，由余弦定理得，cosB=a+c-B-(a+c-2ac-b_(a+c-5c 2ac 2ac 2ac 因为a+c=2,所以cosB=4,5ac,所以 2ac sin'B=1-c0sB-1-4-Sac-21(ac)+40(ac)-16 2ac 4(ac)2 由三角形的面积公式可得：Sc)。 。ac sin B, 2 f-知qj到-t.-J96-言ai+ 4(ac) 16L …13分 令t=ac,则a、c是关于x的方程x2-2x+t=0的两个根， 所以△=4-4t≥0且t>0,解得：0<t≤1. 由x2-2x+t-0可解得，a=1+V1-1t,c=1-V1-1t,而由b2=3ac可得：b=√3t. (（1+1-亚)+1-1-亚)>3i 所以由角形的两边之和大于第三边可得：仁+-)1-正，解得：1 3 V3t+(1-v1-亚)>1+V1-1正 所以号<t≤1 …15分 5广=名(-2r←0m-16.对称#为：9e 所以品，心周0引16 所以S△ABCm 2W21 21 故S4c最大值为22工 …17分 21 第9页，共9页