11.4.2 平面与平面垂直课件课时2-2025-2026学年高一下学期数学人教B版必修第四册

11.4.2 平面与平面垂直 课时2 32999 1.掌握平面与平面垂直的性质定理并证明相关问题. 2.理解“垂直”之间的相互转化. 学 习 目 标 32999 在正方体中，相邻面互相垂直，如图，平面ABCD,B'C'CB,C'CDD',D'DAA'都垂直于底面ABCD,在这些平面能你能找出多少直线与底面ABCD垂直？ 上节课我们学习了平面与平面垂直的判定，这节课我们来学习平面与平面垂直的性质．也就是在两个平面互相垂直的条件下，能得出哪些结论． AA',BB',CC',DD'与底面ABCD垂直 接下我们探究面面垂直的情况下，存在那些性质 情 景 导 入 32999 问题1：如图，设平面 α⊥平面 β ，α∩β=a．那么 β 内任意一条直线 b 与直线 a 是什么关系？相应地， b 与 α 有什么关系？为什么？ 解析：显然，b与a平行或相交． a （1）当b∥a时，b∥α； （2）当b与a相交时， b与α也相交． 问 题 探 究 32999 问题2：如图，当b⊥a 时，b 与 α是什么位置关系？ 解析：设 b 与 a 的交点为 A ，过 A 在 α 内作直线 c⊥a， 则直线 b，c 所成的角就是二面角 α-a-β 的平面角． 由 α⊥β，可得 b⊥c．又因为b⊥a， a，c α， a ∩c = A，所以 b⊥α． A c 问 题 探 究 32999 平面与平面垂直的性质定理： 如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面. 符号表示：如果 a⊥β，a∩β = m，AO⊂a，AO⊥m，则AO⊥β. B O m α A β 由上面问题，我们可以得出平面与平面垂直的性质 知 识 梳 理 32999 例1：已知平面 α⊥平面 β, α∩ β＝ l，判断下列命题正确： (1)平面 α 内的任意一条直线必垂直于平面 β （ ） (2)垂直于交线 l 的直线必垂直于平面 β （ ） (3)过平面 α内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于平面 β （ ） (4)如果 α⊥β，则 α 内的直线必垂直于 β 内的无数条直线 （ ） √ × × √ 典 型 例 题 32999 解析：如图，连接 BC. 例2：如图，已知 α⊥β，在 α 与 β 的交线上取线段 AB = ，且 AC，BD 分别在平面 α 和平面 β 内，它们都垂直于交线 AB，并且 AC = 1，BD = 2，求 CD 的长. A B C D α β 因为 α⊥β，α∩β = AB，BD ⊂ β，BD⊥AB， 所以 BD⊥α； 又因为 BC ⊂ α ，所以 BD⊥BC，因此 △CBD 是直角三角形； 在 Rt△BAC 中，有 BC = = = 2； 进而在 Rt△CBD 中，有 CD = = = 2. 典 型 例 题 32999 利用面面垂直的性质定理证明线面垂直的问题时，要注意以下三点： (1)两个平面垂直； (2)直线必须在其中一个平面内； (3)直线必须垂直于它们的交线． B O m α A β 知 识 梳 理 32999 1.在空间四面体S-ABC中, SC⊥AB, AC⊥SC,且△ABC是锐角三角形,那么必有 (　 ) A.平面SAC⊥平面SCB B.平面SAB⊥平面ABC C.平面SAC⊥平面SAB D.平面SCB⊥平面ABC 解析：如图,因为SC⊥AB,SC⊥AC,AB∩AC=A, 所以SC⊥平面ABC.所以平面SCB⊥平面ABC. D 当 堂 检 测 32999 2.如图，四棱锥P-ABCD中，ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD.求证：AB⊥PD. 解析：因为ABCD为矩形，所以AB⊥AD. 又因为平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,AB⊂平面ABCD， 所以AB⊥平面PAD， 因为PD⊂平面PAD,所以AB⊥PD. 当 堂 检 测 32999 3.如图所示,△ABC是边长为 2 的正三角形.若AE=1,AE⊥平面ABC,平面BCD⊥平面ABC,BD=CD,且BD⊥CD. (1)求证:AE∥平面BCD.(2)求证:平面BDE⊥平面CDE. 解析：(1)取BC的中点M,连接DM, 因为BD=CD,且BD⊥CD,BC = 2. 所以DM =1,DM⊥BC. 又因为平面BCD⊥平面ABC,平面ABC∩平面BCD=BC, 所以DM⊥平面ABC,又AE⊥平面ABC,所以AE∥DM. 又因为AE平面BCD,DM⊂平面BCD, 所以AE∥平面BCD. M 知 识 梳 理 32999 (2)连接AM,由(1)知AE∥DM,又AE=1,DM=1, 所以AE=DM,所以四边形DMAE是平行四边形, 所以DE∥AM. 因为BD⊥CD,BD∩DE=D, 所以CD⊥平面BDE. 因为CD⊂平面CDE,所以平面BDE⊥平面CDE. M 又△ABC是正三角形,M为BC的中点, 所以AM⊥BC,因为平面BCD⊥平面ABC, 所以AM⊥平面BCD,所以DE⊥平面BCD. 又CD⊂平面BCD,所以DE⊥CD. 当 堂 检 测 32999 1.由直线与直线垂直可以判定直线与平面垂直； 由直线与平面的垂直的定义可以得到直线与直线垂直； 2.由直线与平面垂直可以判定平面与平面垂直； 而由平面与平面垂直的性质可以得到直线与平面垂直． 课 堂 总 结 32999 $