专题5 基础解答题强化训练（一）～（六）2026年重庆中考数学第二轮复习

基础解答题强化训练（一） 17．求不等式组：的所有整数解． 【答案】，0，1 【分析】先分别求出各个不等式的解集，它们的公共部分即为不等式组的解集，最后找出解集范围内的所有整数即可． 【详解】解：， 解①，得， 解②，得， ∴， ∴， 所有整数解为，0，1． 18．学习了角平分线和尺规作图后，杨宗同学进行了拓展性研究，他发现了角平分线的另一种作法，并与他的同伴进行交流．现在你作为他的同伴，请根据他的想法与思路，完成以下作图和填空： 第一步：构造角平分线． 杨宗同学在的边上任取一点（如图）．请你利用尺规作图，在边上截取，并连接EF；然后作线段的中垂线即可（不写作法，保留作图痕迹，注意把垂足记为点）．由线段垂直平分线的判定定理易知点必在的垂直平分线，这样也就平分了． 第二步：利用三角形全等证明他的猜想． 证明：①_________________________ 的垂直平分线必过点 垂直平分于， ②_________________________ 在和中， （③__________）． ④____________________． 平分． 【答案】第一步：作图见详解；第二步：；；； 【分析】第一步：以点为圆心、以为半径画弧交于点，再分别以为圆心、以适当长度为半径画弧交于两点，过两个交点作直线交线段于点即可得到答案； 第二步：由尺规作图得到，再由中垂线性质得到，从而由三角形全等的判定定理得到，最后由全等三角形性质即可得证，从而确定平分． 【详解】解：第一步： 如图所示： 第二步： 证明：①， 的垂直平分线必过点， 垂直平分于， ②， 在和中， （③）． ④． 平分． 故答案为：；；； 【点睛】本题考查尺规作图、全等三角形的判定与性质、垂直平分线的判定与性质、角平分线定义等知识，熟记基本尺规作图-作相等线段、作垂直平分线是解决问题的关键． 19．12月13日是南京大屠杀国家公祭日，社会各界开展了形式多样的纪念活动．某中学为增强学生爱国热情，培养学生强国担当，在七、八年级开展了主题为“勿忘国耻，圆梦中华”的学生抗日战争历史知识竞赛活动（以下简称竞赛）．学校为了解竞赛情况，从七、八年级各随机抽取20名学生的竞赛成绩进行整理、描述和分析（成绩为百分制且均不低于80分，用表示，共分四组：．；．；．；．），下面给出了部分信息： 七年级20名学生竞赛成绩是：81，83，85，86，87，87，91，92，92，92，92，93，93，95，96，97，99，100，100，100． 八年级20名学生竞赛成绩中B组的成绩是：92，93，94，94． 七、八年级抽取学生的竞赛成绩统计表 年级 平均分 中位数 众数 满分率 七年级 92.05 92 b 15% 八年级 92.05 a 89 10% 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中______，______，______； (2)根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生竞赛的成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）； (3)该校七、八年级参加此次竞赛的学生人数分别为800人、750人．请估计该校七、八年级参加此次竞赛成绩为满分的学生人数共有多少人？ 【答案】(1) (2)七年级学生的竞赛成绩好，理由见解析 (3)人． 【分析】本题主要考查调查与统计的相关概念及计算，掌握众数，中位数，扇形图中某项百分比的计算，众数作决策，样本百分比估算总体数量的方法是关键． （1）根据众数，中位数，扇形图中某项百分比的计算方法求解即可； （2）根据众数，满分率作决策即可； （3）根据样本百分比估算总体数量的计算方法求解即可． 【详解】（1）解：∵七年级20名学生的竞赛成绩分数出现次数最多的是92， ∴， 八年级20名学生竞赛成绩在A组的人数为， 在B组的人数有4人，中位数是第10个和11个数据的平均数，即 ， ，即， 故答案为：； （2）解：七年级学生的竞赛成绩好，理由如下， 七年级学生的竞赛成绩的众数大于八年级学生的竞赛成绩的众数，七年级学生的满分率大于八年级学生的满分率， ∴七年级学生的知识竞赛成绩好； （3）解：（人）， 即七、八年级参加此次竞赛成绩为满分的学生人数共有人． 20．先化简，再求值，其中． 【答案】 ； 【分析】先根据整式乘法运算法则和分式混合运算法则化简，再利用特殊三角函数值和负整数幂求出的值，代入计算即可． 【详解】解： ； ∵ ， ∴原式 ． 21．列方程（组）解下列问题： 旗袍上的盘扣远不止是实用的纽扣，更是“以小见大”的东方美学典范．某手工作坊制作了“花扣”和“一字扣”两种盘扣．已知制作一对“花扣”的时间比制作一对“一字扣”的时间多分钟，制作对“花扣”和对“一字扣”共用分钟． (1)求制作一对“花扣”和一对“一字扣”各需多少分钟； (2)因工作坊升级了工艺品质，制作每对“花扣”增加的时间是每对“一字扣”增加时间的倍，分钟制作的“花扣”对数是分钟制作的“一字扣”对数的，求升级后制作一对“一字扣”需多少分钟． 【答案】(1) 制作一对“花扣”需要分钟，制作一对“一字扣”需要分钟 (2) 分钟 【分析】（）通过设制作一对“花扣”和“一字扣”的时间为未知数，根据两种盘扣的制作时间差、总用时这两个等量关系，列出二元一次方程组，求解方程组得到两种盘扣各自的制作时间； （）设升级后“一字扣”的制作时间为未知数，结合升级前的时间和时间增加的倍数关系，表示出升级后“花扣”的制作时间，再根据两种盘扣在固定时长内制作数量的比例关系列出分式方程，求解并检验后，得到升级后“一字扣”的制作时间． 【详解】（1）解：设制作一对“花扣”需要分钟，制作一对“一字扣”需要分钟， 根据题意列方程组：， 解得， 答：制作一对“花扣”需要分钟，制作一对“一字扣”需要分钟． （2）解：设升级后制作一对“一字扣”需要分钟，则每对“一字扣”增加的时间为分钟，对应每对“花扣”增加的时间为分钟，升级后制作一对“花扣”的时间为： 根据题意列方程：， 化简得， 解得， 经检验是原方程的解，符合实际意义， 答：升级后制作一对“一字扣”需分钟． 22．如图，在中，，点在上，且满足，，动点以每秒1个单位长度的速度沿方向运动，当点运动到点时停止运动．连接，，设运动时间为秒，△BDE的面积记为，的面积记为S，的面积记为，． (1)请直接写出，分别关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象，并分别写出函数，的一条性质； (3)结合函数图象，请直接写出时的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）． 【答案】(1)； (2)图象和性质见解析 (3) 【分析】此题考查了动点问题的函数图象，画一次函数和反比例函数图象以及函数性质，解题的关键是掌握以上知识点． （1）首先求出当点E运动到点B时，时间（秒），当点E运动到点C时，时间（秒），然后分两种情况讨论，分别根据三角形面积公式即可表示出，进而表示出； （2）根据（1）所求利用描点法画出对应的函数图象并根据函数图象写出对应的函数图象的性质即可； （3）根据图象求解即可． 【详解】（1）解：∵动点以每秒1个单位长度的速度沿方向运动，当点运动到点时停止运动，， ∴当点E运动到点B时，时间（秒），当点E运动到点C时，时间（秒）， ∴当时，点E在上， ∴ ∵在中，，， ∴； 当时，点E在上， ∴ ∴； 综上所述，； ∵， ∴ ∴； （2）解：列表如下： x 0 2 4 6 8 6 3 3 6 4 2 1 画图象如下： 函数的一条性质为：函数图象关于直线对称； 函数的一条性质为：y随x的增大而减小； （3）解：由图象可得，当时，． 23．重庆万州三峡科技馆于2026年元旦正式对外开放，其造型独特的“双鱼”设计吸引了大批市民打卡参观，并且它是重庆首座“近零能耗”公共建筑．周末，小明和小华相约去三峡科技馆参观．如图：、、、、四个参观点在同一平面内，点在点的正北方向米处，点在点的东北方向，点在点的正东方向，点在点的正南方向，且在点的北偏东方向米处，点在点南偏东方向．（参考数据：，，） (1)求、两参观点之间的距离（结果保留根号）； (2)小明沿的路线进行参观，小华沿的路线进行参观．两人同时出发，已知小明与小华的速度比是．求小明离出发地多少米时，两人之间的直线距离第一次达到米．（结果保留小数点后一位）？ 【答案】(1)米 (2)米 【分析】（1）过点A作于R，延长，交于点N，解直角三角形求得,根据，即可求解； （2）设小明到达上M处、小华到达上N处时，即，作于H，设，，在中，勾股定理建立一元二次方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：过点A作于R，延长，交于点N， 在中，， ， 根据题意得：， 在中，， ， 在中， 由 米 答：B，C两参观点之间的距离是米． （2）设小明到达上M处、小华到达上N处时，即， 作于H， 设，，则： 在中，，， 在中， 解得：（舍）， 答：小明离出发地米时两人之间的直线距离第一次达到米． 基础解答题强化训练（二） 17．解不等式组，并写出它的所有正整数解． 【答案】不等式组的解集为，它的所有正整数解为 【详解】解：解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴不等式组的解集为， ∴它的所有正整数解为． 18．如图，四边形是平行四边形，对角线，交于点O，过点C作，交于点E． (1)尺规作图：过点A作，交于点F，连接，：（不写作法，保留作图痕迹） (2)求证：四边形为平行四边形． 证明：∵四边形为平行四边形，对角线交于点O， ∴①________． ∵，， ∴②________， 在和中， ∴， ∴④________， 又∵， ∴四边形为平行四边形． 【答案】(1)见解析 (2)，，， 【分析】（1）利用基本作图，过A点作的垂线即可； （2）先根据平行四边形的性质得到，再证明，接着证明得到，然后根据平行四边形的判定方法可判断四边形为平行四边形． 【详解】（1）解：如图，即为所作． （2）证明：∵四边形为平行四边形，对角线交于点O， ∴①． ∵，， ∴②， 在和中 ， ∴， ∴④， 又∵， ∴四边形为平行四边形． 19．为传承非遗文化，学校举办“传统剪纸”技艺大赛，从七、八年级学生中各随机抽取40名学生的比赛成绩（成绩为百分制且为整数，均不低于60分，用表示，分四组：．；．；．；．），部分信息如下： 七年级40名学生剪纸成绩在组数据为，，，，，，，，，，，；组有4人． 八年级40名学生成绩：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，， 七、八年级所抽取学生成绩统计表 年级 七年级 八年级 平均数 中位数 众数 73 七年级所抽取学生成绩扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中______，______，______； (2)结合以上数据，你认为哪个年级的比赛成绩更好？请说明理由（写一条理由即可）； (3)该校七年级有880人、八年级有800人，估计两个年级成绩不低于90分的学生总人数是多少？ 【答案】(1)82，78，35 (2)八年级的比赛成绩更好，理由见解析 (3)440人 【分析】本题主要考查扇形统计图，中位数、众数、平均数，样本估计总体，熟练掌握扇形统计图及中位数、众数、平均数是解题的关键． （1）利用扇形统计图即可求出A 组，B组，组，组的人数，再利用中位数定义即可求出，再利用众数定义即可求出，最后利用扇形和C组人数即可求出； （2）根据平均分、中位数及众数分析即可得出结果； （3）利用样本估计总体进行求解即可． 【详解】（1）解：七年级40名学生竞赛成绩在A组中的数据有（人），在B组中的数据有12人，在组中的数据有（人），在D组中的数据有4人， ∵七年级竞赛成绩的中位数是数据从小到大排列后的第20和21个数据，且数据从小到大排列后的第20和21个数据是82，82， ∴， ∵八年级40名学生竞赛成绩中出现次数最多的是78， ∴， ∵七年级40名学生竞赛成绩在C组中的数据共14个， ∴， ∴， 故答案为：82，78，35； （2）该校七年级学生“传统剪纸”技艺大赛的成绩较好，理由：因为该校七、八年级学生“传统剪纸”技艺大赛的成绩的平均数相同都是，但七年级“传统剪纸”技艺大赛的成绩的中位数82小于八年级“传统剪纸”技艺大赛的成绩的中位数，所以该校八年级学生“传统剪纸”技艺大赛的成绩较好； （3）解：（人）， 即估计该校七、八年级参加此次大赛成绩不低于分的学生人数共是440人． 20．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】先进行整式的混合运算和分式的混合运算，化为最简分式，再计算，然后代入求值即可． 【详解】解： ， ∵ ， ∴原式． 21．2026年3月28日至29日进行的世界超级摩托锦标赛（WSBK）葡萄牙站SSP组别赛事中，来自中国的摩托车品牌“张雪机车”斩获两连冠，中国制造的摩托车在世界赛场强势出圈，也瞬间点燃了国内消费市场的热情．“张雪机车”3月A、B两种型号的摩托车订单量共3800台，两连冠后4月的订单暴增，A型号订单量增加200%，B型号订单量增加100%，4月两种型号的摩托车订单量共9400辆． (1)求3月A、B两种型号的摩托车订单量各是多少辆？ (2)4月的摩托车订单出厂前需要统一进行交付前检查“张雪机车”安排甲、乙两个质检组同时开始工作，甲组负责检查A型摩托车，乙组负责检查B型摩托车．已知甲组每天检查A型号的数量是乙组每天检查B型号数量的1.8倍，最终甲组比乙组提前20天完成检查任务．求乙组每天检查B型号摩托车多少台？ 【答案】(1)3月A型号摩托车订单量为1800台，B型号摩托车订单量为2000台. (2)乙组每天检查B型号摩托车50台. 【分析】本题考查二元一次方程组和分式方程的实际应用. （1）设出3月A、B两种型号的订单量，根据题干给出的3月总订单量和4月总订单量的条件列出二元一次方程组，求解即可得到结果. （2）先根据第一问结果算出4月两种型号的订单量，再设乙组每天检查的数量，根据甲乙完成任务的时间差列出分式方程，求解检验后即可得到结果. 【详解】（1）解 ：设3月A型号摩托车订单量为x台，B型号摩托车订单量为y台. 根据题意可得 ，整理第二个方程得， 解得 ， 答：3月A型号摩托车订单量为1800台，B型号摩托车订单量为2000台. （2）解：由（1）可得，4月A型号订单量为（台）， 4月B型号订单量为（台）. 设乙组每天检查B型号摩托车m台，则甲组每天检查A型号摩托车台. 根据题意可得， 解得，经检验是分式方程的解， 故乙组每天检查B型号摩托车50台. 22．如图1，在菱形中，对角线，相交于点O，，，动点P从点A出发，按的顺序运动（不含端点A，B），点Q在射线上运动（不含端点B），点P，Q同时开始运动，当点P停止运动，点Q同时停止运动．点P的运动速度为每秒1个单位长度，点Q的运动速度为每秒个单位长度，设运动时间为x秒，连接，，设的面积为，的面积与的面积之比为． (1)分别求出，与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围； (2)在平面直角坐标系中，画出和的函数图象，并分别写出函数，的一条性质； (3)结合函数图象，当时，直接写出x的取值范围．（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2） 【答案】(1)； (2)作图见解析；性质：当时，随x的增大而增大，当时，随x的增大而减小；当时，随x的增大而减小（答案不唯一） (3)或 【分析】（1）先根据菱形的性质得到，，，再由勾股定理求解，当时，；当时，，据此求解的函数解析式，而，据此求解的函数解析式； （2）根据对应的函数解析式，即可作图，再由函数图象可分析增减性； （3）先求出两个函数图象的交点坐标，再由当的解集，即的图象在的下方时的取值范围求解即可． 【详解】（1）解：∵菱形中，对角线，相交于点O，，， ∴，，， ∴， 当时，； 当时，, ∴； ∵与共边上的高， ∴ ∴； （2）解：可作和的函数图象如图： 性质：当时，随x的增大而增大，当时，随x的增大而减小；当时，随x的增大而减小（答案不唯一） （3）解：由题意得，，解得（舍负） ，解得或（舍） ∴当时，即的图象在的下方， ∴或． 23．小明和他的宇树机器狗“汪汪”周末准备在湖心公园散步，湖心公园步道如图所示，公园书吧D在湖心公园大门A的西北方向上，儿童游乐场E在公园书吧D的北偏东方向上，湖心公园后门C在儿童游乐场E的正东方向米处，休闲美食区B在公园大门A的东北方向米处．（参考数据： (1)求公园大门A和公园书吧D的距离；（精确到个位） (2)周日上午小明和他的宇树机器狗到达湖心公园大门A，小明为了测试机器狗的性能，设定机器狗沿着路线到达公园后门C，而小明沿着路线步行走到公园后门，小明步行速度是60米／分，宇树机器狗的速度是80米／分，请通过计算说明，机器狗和小明谁先到达后门. 【答案】(1)米 (2)小明 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，解直角三角形的相关运算，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）过点D作，过点A作，分别交的延长线于一点，交于一点，交的延长线于一点，证明四边形是矩形，在中，，解得米；在中，解得米；得米，，在中，把数值代入，解得，， （2）结合，得米；再算出（米），再分别求出机器狗所走的路程和机器狗所花费的时间，同理得出小明所花费的时间，因为，故小明先到后门． 【详解】（1）解：过点D作，过点A作，分别交的延长线于一点，交于一点，交的延长线于一点，如图所示： ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 由题意可得，， 如图所示：， 在中，， 即， 解得米； 在中， 即， 解得米； ∴米； ∴米； ∴米； 在中，， ∴， 设， 则 ∴ ∴，， 在中，， 即 解得， 经检验：是 原分式方程的解， ∴（米）； （2）解：由（1）得，，米，米，米； ∴（米） ∴（米） ∴米； ∴米； ∴（米）， 在中，， ∴ ∴（米） 则机器狗所走的路程为（米） ∴机器狗所花费的时间（分）， 则小明所走的路程为（米） ∴小明所花费的时间（分）， ∵， ∴小明先到后门． 基础解答题强化训练（三） 17．解不等式组：，并写出它的所有整数解． 【答案】，整数解为0、1 【详解】解：解不等式①得； 解不等式②得； ∴不等式组的解集为； ∴它的所有整数解为0、1． 18．如图，在平行四边形中，点是对角线上一点，连接． (1)用尺规完成基本作图：作，交线段于点，连接，（不写作法，保留作图痕迹）． (2)在（1）的条件下，求证：四边形是平行四边形，请根据以下思路完成填空： 证：四边形是平行四边形， ，， ①___________， 在和中， ， ②___________，， ，③___________， ， ④___________， 四边形是平行四边形． 【答案】(1)见解析 (2)①；②；③；④ 【分析】（1）以点A为圆心，任意长度（小于长）为半径画弧，分别交、于点P、点Q，再以点C为圆心，相同长度为半径画弧，交于点M，将圆规针尖放在点C，调整到点Q，截取长度保持不变，再以点M为圆心，长度为半径画弧，两弧相交于点N，连接交线段于点F，连接，； （2）先由平行四边形的性质可得，再由角边角的证明方法证明和全等，由此可得，，由此可得，再根据一组对边平行且相等即可证明． 【详解】（1）解：如图即为所求； （2）证明：四边形是平行四边形， ，， ． 在和中， ． ，， ，， ， ， 四边形是平行四边形． 19．在最新版《义务教育课程方案》和《课程标准》中，劳动教育课程从原来的综合实践课程中独立出来，某校为了了解学生做家务的情况，对七、八年级学生进行了劳动能力测试，并从七、八年级中各随机抽取25名学生的测试成绩，进行整理分析（测试成绩用表示，；；；；其中等级为优秀），下面给出了部分信息： 抽取的七年级学生成绩在组的全部数据为：82、81、83、84、84、81、86、88、87、89 抽取的八年级学生成绩在、组的全部数据为：76、78、85、72、85、85、79、85、85、88、79、87、85、87、88、85、86 抽取的七年级学生劳动能力测评成绩条形统计图   抽取的八年级学生劳动能力测评成绩扇统计图    七、八年级学生劳动能力测评成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 七年级 78．9 79 八年级 78．9 85 根据以上信息，回答下列问题： (1)填空：_______________________，____________． (2)根据以上数据分析，你认为从七、八年级的劳动能力测评成绩来看，哪个年级学生的劳动能力更强？请说明理由（写一条理由即可）． (3)若该校七、八年级一共有4500名学生，请你估计该校七、八年级共有多少名学生劳动能力达到优秀？ 【答案】(1)82，85，24 (2)八年级学生的劳动能力更强；理由见解析 (3)该校七、八年级共有990名学生劳动能力达到优秀 【分析】（1）根据题意可得：七年级学生测试成绩中位数为第13名学生的测试成绩，由图可知：七年级第13名学生测试成绩在C组，是C组按从小到大排序的第3个，即可求出a；根据抽取的八年级学生成绩在、组共有17人，求出八年级B组和C组学生人数所占百分比，即可求出m；求出八年级A、D两组组学生人数，根据题意可得：成绩为85分的有7人，即可求出b； （2）根据表格中的数据进行分析即可； （3）用该校七、八年级总人数乘以抽取的七八年级学生中成绩为优秀的人数所占百分比即可求解． 【详解】（1）解：根据题意可得：七年级抽取25名学生的测试成绩， ∴七年级学生测试成绩中位数为第13名学生的测试成绩， 由图可知：七年级第13名学生测试成绩在C组，是C组按从小到大排序的第3个， 将抽取的七年级学生成绩在组的全部数据排序为：81、81、82、83、84、84、86、87、88、89， ∴七年级第13名学生测试成绩为82，即； 根据题意可得：抽取的八年级学生成绩在、组共有17人， ∴八年级B组和C组学生人数所占百分比为：， ∴八年级D组学生人数所占百分比为：，则； ∴八年级A组学生人数为：（人），八年级D组学生人数为：（人）， 根据抽取的八年级学生成绩在、组的全部数据可得：成绩为85分的有7人，是B、C两组中出现次数最多的，且大于A、D两组人数， ∴八年级学生测试成绩众数为85，即； 故答案为：82，85，24； （2）解：八年级学生的劳动能力更强，理由：七年级和八年级测评成绩的平均数相同，但是八年级学生测评成绩的中位数和众数都高于七年级，故八年级学生的劳动能力更强； （3）解：（人） 答：该校七、八年级共有990名学生劳动能力达到优秀． 【点睛】本题主要考查了根据统计图获取信息，求中位数和众数，用样本估计总体，解题的关键是掌握中位数和众数的定义，用样本估计总体的方法． 20．先化简，再求值，其中． 【答案】 ； 【分析】先根据整式乘法运算法则和分式混合运算法则化简，再利用特殊三角函数值和负整数幂求出的值，代入计算即可． 【详解】解： ； ∵ ， ∴原式 ． 21．2026年春节，随着《飞驰人生3》电影爆火，某玩具公司生产了“拓升”与“咔搭”两款遥控玩具车，已知每个“拓升”遥控玩具车的售价比每个“咔搭”遥控玩具车的售价多40元．按售价购买3个“拓升”遥控车与4个“咔搭”遥控车共需要470元． (1)每个“拓升”遥控车和“咔搭”遥控车的售价分别是多少元？ (2)由于这两款遥控玩具车深受大家喜爱，所以玩具公司决定对这两款遥控玩具车进行降价促销，若降价后，每个“拓升”遥控玩具车的售价是每个“咔搭”遥控玩具车售价的1.5倍，且用900元购买“拓升”遥控玩具车的数量比用800元购买“咔搭”遥控车的数量少5个，求降价后每个“拓升”遥控车的售价为多少元？ 【答案】(1)每个“拓升”遥控车的售价是90元，每个“咔搭”遥控车的售价是50元． (2)降价后每个“拓升”遥控车售价为60元． 【分析】（1）设每个“咔搭”遥控车的售价是元，则每个“拓升”遥控车的售价是元，根据题意列出一元一次方程，解方程即可得出结果； （2）设降价后每个“咔搭”遥控车售价为元，则每个“拓升”遥控车的售价是元，根据题意列出分式方程，解方程即可得出结果． 【详解】（1）解：设每个“咔搭”遥控车的售价是元，则每个“拓升”遥控车的售价是元． 根据题意，得， 解方程，得， 则有， 答：每个“拓升”遥控车的售价是90元，每个“咔搭”遥控车的售价是50元． （2）解：设降价后每个“咔搭”遥控车售价为元，则每个“拓升”遥控车的售价是元， 根据题意，得 解方程，得：， 经检验，是方程的解． 则有， 答：降价后每个“拓升”遥控车售价为60元． 22．如图，在菱形中，对角线，相交于点，，，动点从点出发，按的顺序运动（不含点、），点在射线上运动（不含点），点、同时开始运动，当点停止运动，点同时停止运动．设点的运动路程为，，连接，，设的面积为，的面积为．    (1)分别求出，与之间的函数关系式，并写出的取值范围； (2)在平面直角坐标系中，画出和的函数图象，并写出函数的一条性质： ； (3)结合函数图象，当时，的取值范围为 ． 【答案】(1)，与之间的函数关系式为，． (2)画和的函数图象见解析；函数性质：的最大值为（答案不唯一）． (3)或． 【分析】（1）根据菱形性质、勾股定理求出，由点的运动路程为，，分两种情况得到与的关系：点在上时、点在上时；求出的边上的高后即可求得与的关系； （2）利用描点法作出两函数图象后写出函数的一条性质即可； （3）结合函数图象，利用函数关系式求出第一象限中两函数的交点即可得到时的取值范围． 【详解】（1）解：四边形是菱形，，， ，，， ， 点的运动路程为，， 当点在上时，，的面积为， 当点在上时，， 的面积为， 与之间的函数关系式为， 设的边上的高为， ， ， 的面积为， 综上所述：，与之间的函数关系式为，． （2）解：如图所示为和的函数图象，取点，，画出函数的图象， 取点，，，画出函数的图象，    由图象可知：函数的一条性质为的最大值为， 故答案为：的最大值为（答案不唯一）． （3）解：结合函数图象，当时，的取值范围为或， 理由如下：当或， 解得或， 由图象可知：或， 当时，的取值范围为或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查的知识点是菱形性质、勾股定理、结合题意列一次函数及反比例函数、画一次函数图项象及反比例函数图象、一次函数性质、一次函数与反比例函数的交点问题，解题关键是熟练运用数形结合方法解题． 23．春风有信，花开有期，某公园设置了如图所示、、、四个观景点，这四个观景点在同一平面内，点在点的正东方向，点在点的南偏东45°方向，且在点的南偏东60°方向，点在点的正西方向，且在点的南偏西30°方向，千米．（参考数据：，，） (1)求的长度（结果保留根号）； (2)若小张和小李分别从观景点、出发，小张以2千米/小时的速度从观景点步行到观景点，小李从观景点以4千米/小时的速度跑到观景点，在运动过程中，小张出发多少千米后恰好与小李相距千米？（结果保留一位小数） 【答案】(1)的长度为千米． (2)小张出发2.0千米后恰好与小李相距千米． 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用等，熟练掌握相关知识点，利用辅助线构建直角三角形是解题的关键． （1）过点作于点，过点作于点．则，解求出，即可解答； （2）设小时后，小张恰好与小李相距千米，此时，，由题意可知过点作于点，过点作于点．利用解直角三角形和线段的和差，表示出，再利用勾股定理建立方程，即可得解． 【详解】（1）解：如图，过点作于点，过点作于点． 则 在中，， 由题可得， 在中，， 答：的长度为千米． （2）解：如答图，由题意，设小时后，小张恰好与小李相距千米，此时，， ， ， 过点作于点，过点作于点． 在中，， 在中， ， 在中， 解方程，得，（舍） 则 答：小张出发2.0千米后恰好与小李相距千米． 基础解答题强化训练（四） 17．解不等式组：，并写出不等式组的整数解． 【答案】，整数解为2，3． 【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，然后写出整数解即可． 【详解】解： 解不等式①得， 解不等式②得， ∴不等式组的解集为：， ∴不等式组的整数解为2，3． 18．如图，平行四边形中，对角线，相交于点O，于点E． (1)用尺规完成以下基本作图：过点D作的垂线，交于点F．（只保留作图痕迹） (2)在（1）问所作的图形中，若，求证：四边形为矩形．（请完成下面的填空） 证明：∵，， ∴，， ∴①______， 在和中， ， ∴， ∴③______， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴④______， ∴四边形是矩形； 【答案】(1)作图见详解 (2)证明见详解 【分析】（1）以点D为圆心，任意长为半径画弧，交于两点，分别以该两点为圆心，大于该两点距离的一半为半径在下方画弧，两弧交于一点，最后连接点D和该点，与交点F，则点F为的垂足； （2）利用已知条件证明，得到，再结合平行四边形的性质证得，从而得证结论． 【详解】（1）解：如图所示，垂线即为所求： （2）证明：∵，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴四边形是矩形． 19．普法宣传教育是依法治国、建设法治社会的重要内容，为了宣传普法知识，我校在普法宣传日中开展了法律知识竞赛，从八、九年级学生的知识问答成绩中，各随机抽取了20名学生的成绩进行统计分析．数据整理如下：（成绩得分用表示，共分成四组：．，．，．，．） 八年级20名学生的成绩是：99，81，95，89，85，100，86，87，92，79，90，93，94，95，87，95，75，95，85，98． 九年级20名学生的成绩在组中的数据是：91，91，93，92，92． 八、九年级抽取的学生成绩统计表： 年级 平均数 中位数 众数 八年级 90 91 九年级 90 96 九年级抽取的学生成绩扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中______，______，______； (2)通过以上数据分析，你认为这次比赛中哪个年级的成绩更好？请说明理由（写出一条即可）； (3)我校八、九年级共有2000人参加此次知识问答活动，请你估计参加此次问答活动成绩优秀的学生有多少人． 【答案】(1)，，； (2)九年级成绩相对更好，理由见解析； (3)估计参加此次问答活动成绩优秀的学生有1250人． 【分析】本题考查了中位数、众数、用样本估计总体，理解中位数、众数的意义，掌握用样本估计总体的方法是正确解答的关键． （1）先求出组所占的百分比，再求得值，再根据众数、中位数的定义求解出答案； （2）依据众数的意义求解即可； （3）总人数乘以样本中优秀人数所占比例即可． 【详解】（1）九年级C组学生人数所占百分比为， ，即， 九年级成绩在A、B组人数为（人）， 所以九年级20名学生成绩中第10、11个数据落在组，将组数据从小到大排列后，可知成绩分别为92、93， 所以其中位数为， 根据八年级20名学生的成绩数据，可知出现次数最多，所以八年级成绩的众数， 故答案为：45、、95； （2）九年级成绩相对更好， 理由如下：九年级测试成绩的众数96大于八年级的众数95； （3）（人） 答：估计参加此次问答活动成绩优秀的学生有1250人． 20．先化简，再求值：，其中 【答案】， 【详解】解： ． ． 原式 ． ， 原式 ． 21．重庆作为“网红打卡城市”．吸引了大量游客前来游玩，为了给游客更好的城市体验感，重庆市政花费48万元购买“月季花”和“杜鹃花”种植在主干路上，已知“月季花”和“杜鹃花”的单价分别为150元和100元，“月季花”购买数量比“杜鹃花”购买数量多1200株． (1)“月季花”和“杜鹃花”一共购买多少株？ (2)重庆市政计划安排工人种植这批花，为缩短工期，工人实际每天种植的数量比原计划增加了，这样可以提前15天完成种植任务，则原计划每天种植多少株？ 【答案】(1)“月季花”和“杜鹃花”一共购买3600株； (2)原计划每天种植株． 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次方程的应用，根据题意，找到等量关系，正确列出方程是解题的关键． （1）设购买“杜鹃花”株，则购买“月季花”株，根据“花费48万元”列出一元一次方程，求解即可； （2）设原计划每天种植株，则实际每天种植株，根据“提前15天完成种植任务”列出分式方程，求解即可． 【详解】（1）解：设购买“杜鹃花”株，则购买“月季花”株， 根据题意得 ， 解得， 则“月季花”和“杜鹃花”一共购买株， 答：“月季花”和“杜鹃花”一共购买3600株； （2）解：设原计划每天种植株，则实际每天种植株， 根据题意得 ， 解得， 经检验是原方程的解， 答：原计划每天种植株． 22．如图，中，，，点M、N以每秒1个单位长度从中点D点出发，点M沿折线方向运动，点N沿折线方向运动，点M达点B后动点M、N的速度分别变为每秒3个单位长度、4个单位长度，设运动时间为t秒，点M、N的距离为． (1)请直接写出关于t的函数表达式并直接写出自变量t的取值范围； (2)已知，请在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象，并写出函数的一条性质： (3)若，请根据所画图象直接写出t的范围．（结果保留一位小数，误差不超过0.2） 【答案】(1)； (2)图象见解析，，随着的增大而增大，，随着的增大而减小； (3)当， t的范围为：． 【分析】本题考查了一次函数图象与性质，反比例函数的图象与性质，一次函数图象与反比例函数的交点问题，勾股定理，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据题中等量关系找一次函数的关系式即可； （2）当时，，当时，，分两种情况讨论即可求解； （3）由图象及其性质即可求解． 【详解】（1）解：∵中，，， ∴， ∵点D是的中点， ∴， 由题意知，， ∴当时，， ∵点M达点B后动点M、N的速度分别变为每秒3个单位长度、4个单位长度， ∴当M、N在A点相遇时， ，， ∴当时，， 即当时，， ∴． （2）解：图象如图： 由图象可知，，随着的增大而增大，，随着的增大而减小． （3）解：联立， 解得：（负值已舍去）， 联立， 解得：（舍去），， ∴当， t的范围为：． 23．某物流调度中心开展无人机配送航线巡检任务，如图，A处是调度中心，位于B处正北方向7千米处；C处是配送枢纽，在B处正东方向；D处是信号点，在A处南偏东方向6千米处，且在C处的东北方向．（参考数据：，，） (1)求B，C间的距离（结果保留根号）； (2)甲，乙两架巡检无人机同时出发．甲从D处沿某方向匀速飞行，乙从A处沿正南方向匀速飞行，甲的速度与乙的速度之比为．两人在上某处相遇，相遇时乙共飞行了多少千米？（结果保留小数点后一位） 【答案】(1) (2)3.5千米 【分析】（1）过点C作于点F，过点D作于点E，解直角三角形求得和的长，推出四边形是矩形，求得，据此求解即可； （2）设甲，乙两架无人机在点G处相遇，设，则，在中，由勾股定理列式计算即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，过点C作于点F，过点D作于点E，， ，， ， ，，， ∴四边形是矩形， ， ，， 是等腰直角三角形， ， 答：B与C之间的距离为； （2）解：如图所示，设甲，乙两架无人机在点G处相遇， ∵甲的速度与乙的速度之比是， ， 设，则， 由（1）得，，， ， ， 在中，由勾股定理得， ， 解得（负值舍去）． ∴当两无人机相遇时，乙一共跑了3.5千米． 基础解答题强化训练（五） 17．求不等式组：的所有整数解的和． 【答案】0 【分析】先求出每个不等式的解集，然后得到不等式组的解集，找出所有整数解后求和即可． 【详解】解：解不等式①，得：； 解不等式②，得：； 原不等式组的解集为：； ∴所有整数解有：， ∴原不等式组所有整数解的和为：． 18．如图，在中，D、E是的中点，连接． (1)在直线下方作，交边于点F，连接；（尺规作图，保留痕迹，不写作法） (2)在（1）问条件下，若，探索四边形是哪种特殊的平行四边形． 证明：∵D、E是的中点， ∴是的中位线， ∴且， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵E是中点， ∴， 又∵， ∴， ∴四边形是菱形 ． 【答案】(1)见解析 (2)①，②，③，④ 【分析】（1）根据作一个角等于已知角的步骤作图； （2）根据三角形的中位线得出线段之间的数量关系和位置关系，判定四边形是平行四边形，然后根据邻边相等即可得出结论． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）证明：∵D、E是的中点， ∴是的中位线， ∴且， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵E是中点， ∴， 又∵， ∴， ∴四边形是菱形 ． 19．【问题背景】有关研究表明，维生素C（学名：抗坏血酸）对豚鼠牙齿生长有一定的影响．生物课上，老师带领同学们对此项结论进行探究，随机选出相同品种的豚鼠共40只，平均分为两组，每天分别喂食和剂量的维生素C，在一定时间后测量豚鼠牙齿的生长情况． 【实践发现】一周后，同学们对两组豚鼠的牙齿生长长度进行了测量（牙齿生长长度用表示，单位为毫米，分为四组：；；；；）下面给出部分信息： 剂量组中豚鼠牙齿生长长度在区间的数据为： 10，10，11，12，12，12，13，14，14 剂量组中豚鼠牙齿生长长度的数据为： 6，7，7，8，8，12，12，12，12，13，13，13，14，14，15，17，17，21，23，25 【实践探究】 两种剂量组中豚鼠牙齿生长长度统计表 剂量 平均数 12 中位数 13 众数 12 剂量组中豚鼠牙齿生长长度扇形统计图 【问题解决】 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中 ， ， ； (2)请判断哪种剂量更适合豚鼠牙齿的生长，并说明理由；（写出一条理由即可） (3)若养殖基地准备按和的剂量分别投喂1000和1500只豚鼠，并在一周后，对牙齿生长长度低于的豚鼠再进行加大剂量投喂，请估计大概有多少只豚鼠需要加大剂量投喂？ 【答案】(1)，， (2)剂量更适合豚鼠牙齿的生长，理由见解析； (3)估计大概有只豚鼠需要加大剂量投喂． 【分析】（1）计算剂量组中豚鼠牙齿生长长度在各区间的数量，根据中位数的定义可得，根据众数的定义可得，根据剂量组中豚鼠牙齿生长长度在各区间的百分比之和等于，可得; （2）比较平均数的大小即可； （3）用两种剂量的豚鼠总数分别乘以对应的牙齿长度在区间所占的比例，相加即可． 【详解】（1）解：（只），， ∵剂量组中豚鼠牙齿生长长度在区间的有只，区间有（只），区间有（只），区间有（只）， ∴剂量组中豚鼠按照牙齿长度从小到大的顺序排列，第只和第只的牙齿长度分别为区间的第个和第个数据， ∴， ∵剂量组中豚鼠牙齿生长长度的数据中，出现次数最多的为， ∴， ， ∴． （2）解：剂量更适合豚鼠牙齿的生长． 理由：剂量组中豚鼠牙齿生长长度的平均数（）大于剂量组中豚鼠牙齿生长长度平均数（）． （3）解：（只） ∴估计大概有只豚鼠需要加大剂量投喂． 20．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查分式的混合运算及求值，零指数幂，乘方，熟练掌握分式的混合运算法则是解题的关键．先利用分式的混合运算法则化简分式，再求出的值，代入求值即可． 【详解】解： ， ∵， 将代入，得原式． 21．2026马年中央广播电视总台《春节联欢晚会》上，人形机器人凭借在武术、小品、歌曲等多类型节目中的精彩亮相，带动行业销量激增．某公司主推A，B两款人形机器人，已知生产6台A款人形机器人和生产7台B款人形机器人的成本相同；且每台A款人形机器人的成本比每台B款人形机器人的成本多3万元． (1)该公司生产的A，B两款人形机器人每台的成本各是多少万元？ (2)该公司对这两款人形机器人实行网上预约销售，且每台B款人形机器人的定价比每台A款人形机器人的定价少20%，当这两款人形机器人的销售额都为800万元时，B款人形机器人比A款人形机器人多售出8台．则该公司每台A款人形机器人在网上销售的定价是多少万元？ 【答案】(1)A款人形机器人每台成本为21万元，B款人形机器人每台成本为18万元 (2)每台A款人形机器人在网上的售价是25万元 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，分式方程的应用，正确掌握方程的应用是解题的关键． （1）设每台B款人形机器人的成本为x万元，则每台A款人形机器人的成本为万元．根据题意列出方程，解方程即可． （2）设每台A款人形机器人的售价为y万元，则每台B款人形机器人的售价为（万元），根据题意列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：设每台B款人形机器人的成本为x万元，则每台A款人形机器人的成本为万元． 根据题意可得， 解得， 则（万元）． 答：A款人形机器人每台成本为21万元，B款人形机器人每台成本为18万元． （2）解：设每台A款人形机器人的售价为y万元， 则每台B款人形机器人的售价为（万元）． 根据题意可得， 解得， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意． 答：每台A款人形机器人在网上的售价是25万元． 22．如图，点为菱形对角线，的交点，，，点从点出发，以每秒5个单位长度的速度沿着线段运动，用（单位：秒）表示点的运动时间，其中，过点作垂直于直线于，作垂直于直线于．点之间的距离为的和与之比为． (1)请直接写出分别关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出函数的图象，并分别写出函数的一条性质； (3)结合函数图象，请直接写出时的取值范围（近似值保留小数点后1位，误差不超过）． 【答案】(1)， (2)图见详解，在内，随着的增大而减小；在内，随着的增大而减小； (3) 【分析】（1）先根据菱形的性质得，，，结合点P的运动速度，分析得，再结合过点作垂直于直线于，作垂直于直线于．所以，即，进行分析，即可作答． （2）根据，，进行描点作图，再分析函数图象，即可作答． （3）运用数形结合思想得当时，则的取值范围为，即可作答． 【详解】（1）解：点为菱形对角线，的交点，，， ∴，， ∴， 则 ∵点从点出发，以每秒5个单位长度的速度沿着线段运动，用（单位：秒）表示点的运动时间， ∴当点P在上运动时，则，即， ∴， ∴当点P在上运动时，则，即， ∴， 则， 即； 连接， ∵过点作垂直于直线于，作垂直于直线于． ∴， 则， ∵， 即， ∴， ∴， ∴． （2）解：由（1）得，， 进行补充函数图象如下所示： ∴在内，随着的增大而减小； 在内，随着的增大而减小； （3）解：结合（2）的函数图象，当时，则的取值范围为． 【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理，反比例函数图象与一次函数的图象的交点问题，反比例函数的图象性质，一次函数的图象性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 23．如图，，，，是某科技公司的四个试验基地，且，，，在同一平面内，位于的正东方向处，位于的南偏东方向处，位于的正南方向，位于的南偏西方向．（参考数据：，，） (1)求和两试验基地之间的距离；（结果保留整数） (2)现甲从基地出发沿前往地办公，乙以基地出发沿方向前往基地，两人同时出发，乙的速度是甲速度的倍．当两人的距离是甲到基地距离的倍时，甲距离基地多少千米？（结果保留整数） 【答案】(1)和两试验基地之间的距离约为 (2)当两人的距离是甲到基地距离的倍时，甲距离基地 【分析】（1）作于，作于，在中，解直角三角形可求得，，进而得到，证明四边形为矩形，得到，在中，解直角三角形可求得,进而可得，即可得到； （2）如图，当两人的距离是甲到基地距离的倍时，甲运动到点处，乙运动到点处，作于点，连接，则，设，可表示出，，，在中，解直角三角形可表示出，，，在中，根据勾股定理列一元二次方程，解方程即可得解． 【详解】（1）解：如图，作于，作于． 由题意得，，， ， 在中，， ， ． ，，， 四边形为矩形，， ，， ， 在中，, ， ， 即和两试验基地之间的距离约为； （2）解：如图，当两人的距离是甲到基地距离的倍时，甲运动到点处，乙运动到点处， 作于点，连接，则，， 设，则， 甲乙同时出发，且乙的速度是甲速度的倍， ， ． 在中，，． ． 在中，根据勾股定理得：， 即， 整理得， 解得，（负值，舍去）． 答：当两人的距离是甲到基地距离的倍时，甲距离基地． 基础解答题强化训练（六） 17．求不等式组的所有整数解． 【答案】所有整数解为0，1，2，3 【详解】解：解不等式①，得． 解不等式②，得． 所以，原不等式组的解集为． 因此，满足原不等式组的所有整数解为0，1，2，3． 18．小宏在探究“夹在一组平行线间的线段的垂直平分线与平行线相交后所构成的四边形的形状”时做了如下操作，请你完成小宏的操作：如图，在四边形中，，是对角线． (1)用尺规完成以下基本作图：作线段的垂直平分线，分别交、、于点O、E、F，连接、．（只保留作图痕迹） (2)在（1）问所作的图形中，求证：四边形为菱形．（请完成下面的填空） 证明∵垂直平分， ∴①__________，． ∵， ∴②__________． 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形． ∵④__________， ∴四边形为菱形． 【答案】(1)见解析； (2)①；②；③；④ 【分析】本题考查作垂直平分线，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，菱形的判定等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． （1）根据要求作出图形即可； （2）先证明，进而证明四边形为平行四边形．再根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形证明即可． 【详解】（1）解：如图即为所求作； （2）解：证明∵垂直平分， ∴，． ∵， ∴． 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形． ∵， ∴四边形为菱形． 19．学校开展了环保知识竞赛活动，从七、八年级学生中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（成绩为百分制且为整数）进行整理、描述和分析（成绩均不低于60分，用x表示，共分四组：A．；B．；C．；D．），下面给出了部分信息： 七年级20名学生竞赛成绩在B组中的数据是：82，83，84，84，85，86，88． 八年级20名学生竞赛成绩是：60，61，62，70，71，72，73，80，82，83，85，86，87，87，91，92，95，96，98，99． 七、八年级所抽学生竞赛成绩统计表 年级 七年级 八年级 平均数 81.5 81.5 中位数 a 84 众数 84 b 七年级所抽学生竞赛成绩扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中______，______，______； (2)根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生环保知识竞赛的成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）； (3)该校七年级有学生600人，八年级有学生520人，请估计该校七、八年级参加此次竞赛成绩不低于90分的学生人数共是多少? 【答案】(1)83.5，87，10 (2)该校八年级学生环保知识竞赛的成绩较好，理由见详解 (3)306 【分析】本题主要考查扇形统计图，中位数、众数、平均数，样本估计总体，熟练掌握扇形统计图及中位数、众数、平均数是解题的关键． （1）利用题意及扇形统计图即可求出七年级各组人数，再利用中位数定义和D组数据即可求出和的值，再利用众数定义即可求出的值； （2）根据平均数、中位数及众数分析即可得出结果； （3）利用样本估计总体进行求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，七年级20名学生竞赛成绩在A组中的数据有（人）， 在B组中的数据有7（人）， 在C组中的数据有（人）， 则在D组中的数据有（人）， ∵七年级竞赛成绩的中位数是数据从小到大排列后的第10和11个数据，且数据从小到大排列后的第10和11个数据是83，84， ∴， ∵八年级20名学生竞赛成绩中出现次数最多的是87，共计2次， ∴， ∵七年级20名学生竞赛成绩在D组中的数据共2个， ∴， ∴， 故答案为：83.5，87，10； （2）解：该校八年级学生环保知识竞赛的成绩较好，理由： 因为该校七、八年级学生环保知识竞赛的成绩的平均数相同都是81.5，但八年级竞赛的成绩的中位数大于七年级竞赛的成绩的中位数，且八年级竞赛的成绩的众数大于七年级竞赛的成绩的众数， 所以该校八年级学生环保知识竞赛的成绩较好； （3）解：（人）， 即估计该校七、八年级参加此次竞赛成绩不低于90分的学生人数共是306人． 20．先化简，再求值：，其中． 【答案】 ， 【分析】第一步：首先，根据分式的混合运算规则化简分式：按照先展开多项式乘多项式，单项式乘多项式，同时将分式的分子分母进行因式分解及分式通分，再合并同类项，将除法运算变乘法运算进行约分，然后，再进行通分、合并，将分式化为最简形式；第二步：按照实数混合运算法则及特殊角的三角函数值得出；第三步：再将代入化简后的最简分式进行分母有理化运算即可． 【详解】解：原式 ， 由，得 ， ∴原式 ． 21．为迎接3月日国际数学文化节，学校要准备两种趣味闯关道具．去年共准备了件，今年道具数量有所增加：其中A道具数量比去年多，B道具数量比去年多，今年两种道具总数比去年多件． (1)求今年准备的A，B两种道具各多少件？ (2)今年文化节活动当天，两组同学同时布置道具，第一组摆A道具，第二组摆B道具．已知第一组每小时摆的数量是第二组的倍，第一组比第二组提前分钟完成．求第二组每小时摆多少件B道具． 【答案】(1)今年准备A道具件，B道具件． (2)第二组每小时摆件B道具． 【分析】（1）设去年准备的A道具件，道具件，根据“今年A道具数量比去年多，B道具数量比去年多，今年两种道具总数比去年多件”为等量关系列二元一次方程组求解，再计算今年A，B两种道具各多少件即可； （2）设第二组每小时摆件B道具，则第一组每小时摆件A道具，根据“第一组比第二组提前分钟完成”为等量关系列分式方程求解即可． 【详解】（1）解：设去年准备的A道具件，道具件， ， 解得， 则（件），（件）， 答：今年准备A道具件，B道具件． （2）解：设第二组每小时摆件B道具， ， 经检验是原方程的解， 答：第二组每小时摆件B道具． 22．如图，在平行四边形中，，，，动点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿方向运动，动点以每秒2个单位长度的速度从点出发，沿方向运动，动点以每秒2个单位长度的速度从点出发，沿方向运动．点、、三点同时出发，当点到达点时，点，和均停止运动，设动点运动的时间为秒，的面积为，点与点之间的距离为． 　　 (1)请直接写出，分别关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出，的图象，并写出函数的一条性质； (3)结合函数图象，请直接写出时的取值范围．（近似值保留小数点后一位，误差不超过） 【答案】(1)； (2)图象见解析；在时，y随x的增大而减小；在时，y随x的增大而增大（答案不唯一） (3)或 【分析】（1）过点P作于点N，根据题意可得，，则，结合30度直角三角形的性质表示出，然后利用三角形面积公式即可表示出；分点M在上和在上时，分别表示出即可； （2）根据（1）中所求表达式，利用描点法作图即可； （3）根据图象找出的图象在的图象下方时，x的取值范围即可． 【详解】（1）解：如图，过点P作于点N， ∵在平行四边形中，，，， ∴，， 根据题意可得，，，则， ∵中，， ∴， ∴； 当点M在上时，即时，， 当点M在上时，即时，； ∴； （2）解：描点如下： 1 2 3 4 5 6 7 3.5 6 7.5 8 7.5 6 3.5 6 4 2 0 2 4 6 图象如图所示： 函数的性质：在时，y随x的增大而减小；在时，y随x的增大而增大； （3）解：由函数图象，时，的取值范围是或． 23．某中学组织学生到高新产业园进行研学活动．如图，学生到达产业园大门处后按组分两条线路进行参观体验，最后前往区（人工智能与大数据平台区）集合．区（新能源装备区）位于大门的正北方400米，区（机器人与智能装备区）位于区的北偏东方向且距离区400米处，区（智慧医疗区）在大门的正东方且在区的正南方．区在区的南偏东方向，且位于区的北偏东方向．（参考数据：，，） (1)求区与区之间的距离．（结果精确到个位） (2)已知第一组学生沿线路①参观体验，第二组学生沿线路②参观体验．两组学生分别参观完区和区后，同时以相同的速度前往区参观、体验，当两组学生在前往区的途中，大数据平台检测到两组学生之间的连线垂直于时，产业园智慧喷泉系统将自动开启，为两组学生送上欢迎水雾，请问，当两组学生之间距离多远时，喷泉将自动开启？ 【答案】(1)区与区之间的距离米； (2)当两组学生之间距离米时，喷泉将自动开启 【分析】（1）过作交直线于，于，先证明四边形是矩形，得到，再在中，求出，在中，求出，在中，求出，，最后根据求解即可； （2）设当两组学生在前往区的途中，，根据题意可得，设，表示出，，再根据中，，列方程解得，最后代入计算即可． 【详解】（1）解：如图，过作交直线于，于， 由题意可得：，，，，， ∴四边形是矩形， ∴， ∵中，， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∵中，，， ∴， ∵中，，， ∴，， ∴， 即区与区之间的距离米． （2）解：设当两组学生在前往区的途中，， 根据题意可得， 由（1）可得，， 设， ∴，， ∵中，，， ∴，， ∴， 解得， ∴， ∴当两组学生之间距离米时，喷泉将自动开启． 学科网（北京）股份有限公司 $ 基础解答题强化训练（一） 17． 求不等式组：的所有整数解． 18．学习了角平分线和尺规作图后，杨宗同学进行了拓展性研究，他发现了角平分线的另一种作法，并与他的同伴进行交流．现在你作为他的同伴，请根据他的想法与思路，完成以下作图和填空： 第一步：构造角平分线． 杨宗同学在的边上任取一点（如图）．请你利用尺规作图，在边上截取，并连接EF；然后作线段的中垂线即可（不写作法，保留作图痕迹，注意把垂足记为点）．由线段垂直平分线的判定定理易知点必在的垂直平分线，这样也就平分了． 第二步：利用三角形全等证明他的猜想． 证明：①_________________________ 的垂直平分线必过点 垂直平分于， ②_________________________ 在和中， （③__________）． ④____________________． 平分． 19．12月13日是南京大屠杀国家公祭日，社会各界开展了形式多样的纪念活动．某中学为增强学生爱国热情，培养学生强国担当，在七、八年级开展了主题为“勿忘国耻，圆梦中华”的学生抗日战争历史知识竞赛活动（以下简称竞赛）．学校为了解竞赛情况，从七、八年级各随机抽取20名学生的竞赛成绩进行整理、描述和分析（成绩为百分制且均不低于80分，用表示，共分四组：．；．；．；．），下面给出了部分信息： 七年级20名学生竞赛成绩是：81，83，85，86，87，87，91，92，92，92，92，93，93，95，96，97，99，100，100，100． 八年级20名学生竞赛成绩中B组的成绩是：92，93，94，94． 七、八年级抽取学生的竞赛成绩统计表 年级 平均分 中位数 众数 满分率 七年级 92.05 92 b 15% 八年级 92.05 a 89 10% 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中______，______，______； (2)根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生竞赛的成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）； (3)该校七、八年级参加此次竞赛的学生人数分别为800人、750人．请估计该校七、八年级参加此次竞赛成绩为满分的学生人数共有多少人？ 20． 先化简，再求值，其中． 21．列方程（组）解下列问题： 旗袍上的盘扣远不止是实用的纽扣，更是“以小见大”的东方美学典范．某手工作坊制作了“花扣”和“一字扣”两种盘扣．已知制作一对“花扣”的时间比制作一对“一字扣”的时间多分钟，制作对“花扣”和对“一字扣”共用分钟． (1)求制作一对“花扣”和一对“一字扣”各需多少分钟； (2)因工作坊升级了工艺品质，制作每对“花扣”增加的时间是每对“一字扣”增加时间的倍，分钟制作的“花扣”对数是分钟制作的“一字扣”对数的，求升级后制作一对“一字扣”需多少分钟． 22．如图，在中，，点在上，且满足，，动点以每秒1个单位长度的速度沿方向运动，当点运动到点时停止运动．连接，，设运动时间为秒，△BDE的面积记为，的面积记为S，△ADE的面积记为，． (1)请直接写出，分别关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象，并分别写出函数，的一条性质； (3)结合函数图象，请直接写出时的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）． 23．重庆万州三峡科技馆于2026年元旦正式对外开放，其造型独特的“双鱼”设计吸引了大批市民打卡参观，并且它是重庆首座“近零能耗”公共建筑．周末，小明和小华相约去三峡科技馆参观．如图：、、、、四个参观点在同一平面内，点在点的正北方向米处，点在点的东北方向，点在点的正东方向，点在点的正南方向，且在点的北偏东方向米处，点在点南偏东方向．（参考数据：，，） (1)求、两参观点之间的距离（结果保留根号）； (2)小明沿的路线进行参观，小华沿的路线进行参观．两人同时出发，已知小明与小华的速度比是．求小明离出发地多少米时，两人之间的直线距离第一次达到米．（结果保留小数点后一位）？ 基础解答题强化训练（二） 17.解不等式组，并写出它的所有正整数解． 18．如图，四边形是平行四边形，对角线，交于点O，过点C作，交于点E． (1)尺规作图：过点A作，交于点F，连接，：（不写作法，保留作图痕迹） (2)求证：四边形为平行四边形． 证明：∵四边形为平行四边形，对角线交于点O， ∴①________． ∵，， ∴②________， 在和中， ∴， ∴④________， 又∵， ∴四边形为平行四边形． 19．为传承非遗文化，学校举办“传统剪纸”技艺大赛，从七、八年级学生中各随机抽取40名学生的比赛成绩（成绩为百分制且为整数，均不低于60分，用表示，分四组：．；．；．；．），部分信息如下： 七年级40名学生剪纸成绩在组数据为，，，，，，，，，，，；组有4人． 八年级40名学生成绩：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，， 七、八年级所抽取学生成绩统计表 年级 七年级 八年级 平均数 中位数 众数 73 七年级所抽取学生成绩扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中______，______，______； (2)结合以上数据，你认为哪个年级的比赛成绩更好？请说明理由（写一条理由即可）； (3)该校七年级有880人、八年级有800人，估计两个年级成绩不低于90分的学生总人数是多少？ 20. 先化简，再求值：，其中． 21．2026年3月28日至29日进行的世界超级摩托锦标赛（WSBK）葡萄牙站SSP组别赛事中，来自中国的摩托车品牌“张雪机车”斩获两连冠，中国制造的摩托车在世界赛场强势出圈，也瞬间点燃了国内消费市场的热情．“张雪机车”3月A、B两种型号的摩托车订单量共3800台，两连冠后4月的订单暴增，A型号订单量增加200%，B型号订单量增加100%，4月两种型号的摩托车订单量共9400辆． (1)求3月A、B两种型号的摩托车订单量各是多少辆？ (2)4月的摩托车订单出厂前需要统一进行交付前检查“张雪机车”安排甲、乙两个质检组同时开始工作，甲组负责检查A型摩托车，乙组负责检查B型摩托车．已知甲组每天检查A型号的数量是乙组每天检查B型号数量的1.8倍，最终甲组比乙组提前20天完成检查任务．求乙组每天检查B型号摩托车多少台？ 22．如图1，在菱形中，对角线，相交于点O，，，动点P从点A出发，按的顺序运动（不含端点A，B），点Q在射线上运动（不含端点B），点P，Q同时开始运动，当点P停止运动，点Q同时停止运动．点P的运动速度为每秒1个单位长度，点Q的运动速度为每秒个单位长度，设运动时间为x秒，连接，，设的面积为，的面积与的面积之比为． (1)分别求出，与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围； (2)在平面直角坐标系中，画出和的函数图象，并分别写出函数，的一条性质； (3)结合函数图象，当时，直接写出x的取值范围．（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2） 23．小明和他的宇树机器狗“汪汪”周末准备在湖心公园散步，湖心公园步道如图所示，公园书吧D在湖心公园大门A的西北方向上，儿童游乐场E在公园书吧D的北偏东方向上，湖心公园后门C在儿童游乐场E的正东方向米处，休闲美食区B在公园大门A的东北方向米处．（参考数据： (1)求公园大门A和公园书吧D的距离；（精确到个位） (2)周日上午小明和他的宇树机器狗到达湖心公园大门A，小明为了测试机器狗的性能，设定机器狗沿着路线到达公园后门C，而小明沿着路线步行走到公园后门，小明步行速度是60米／分，宇树机器狗的速度是80米／分，请通过计算说明，机器狗和小明谁先到达后门. 基础解答题强化训练（三） 17.解不等式组：，并写出它的所有整数解． 18．如图，在平行四边形中，点是对角线上一点，连接． (1)用尺规完成基本作图：作，交线段于点，连接，（不写作法，保留作图痕迹）． (2)在（1）的条件下，求证：四边形是平行四边形，请根据以下思路完成填空： 证：四边形是平行四边形， ，， ①___________， 在和中， ， ②___________，， ，③___________， ， ④___________， 四边形是平行四边形． 19．在最新版《义务教育课程方案》和《课程标准》中，劳动教育课程从原来的综合实践课程中独立出来，某校为了了解学生做家务的情况，对七、八年级学生进行了劳动能力测试，并从七、八年级中各随机抽取25名学生的测试成绩，进行整理分析（测试成绩用表示，；；；；其中等级为优秀），下面给出了部分信息： 抽取的七年级学生成绩在组的全部数据为：82、81、83、84、84、81、86、88、87、89 抽取的八年级学生成绩在、组的全部数据为：76、78、85、72、85、85、79、85、85、88、79、87、85、87、88、85、86 抽取的七年级学生劳动能力测评成绩条形统计图   抽取的八年级学生劳动能力测评成绩扇统计图    七、八年级学生劳动能力测评成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 七年级 78．9 79 八年级 78．9 85 根据以上信息，回答下列问题： (1)填空：_______________________，____________． (2)根据以上数据分析，你认为从七、八年级的劳动能力测评成绩来看，哪个年级学生的劳动能力更强？请说明理由（写一条理由即可）． (3)若该校七、八年级一共有4500名学生，请你估计该校七、八年级共有多少名学生劳动能力达到优秀？ 20．先化简，再求值，其中． 21．2026年春节，随着《飞驰人生3》电影爆火，某玩具公司生产了“拓升”与“咔搭”两款遥控玩具车，已知每个“拓升”遥控玩具车的售价比每个“咔搭”遥控玩具车的售价多40元．按售价购买3个“拓升”遥控车与4个“咔搭”遥控车共需要470元． (1)每个“拓升”遥控车和“咔搭”遥控车的售价分别是多少元？ (2)由于这两款遥控玩具车深受大家喜爱，所以玩具公司决定对这两款遥控玩具车进行降价促销，若降价后，每个“拓升”遥控玩具车的售价是每个“咔搭”遥控玩具车售价的1.5倍，且用900元购买“拓升”遥控玩具车的数量比用800元购买“咔搭”遥控车的数量少5个，求降价后每个“拓升”遥控车的售价为多少元？ 22．如图，在菱形中，对角线，相交于点，，，动点从点出发，按的顺序运动（不含点、），点在射线上运动（不含点），点、同时开始运动，当点停止运动，点同时停止运动．设点的运动路程为，，连接，，设的面积为，的面积为．    (1)分别求出，与之间的函数关系式，并写出的取值范围； (2)在平面直角坐标系中，画出和的函数图象，并写出函数的一条性质： ； (3)结合函数图象，当时，的取值范围为 ． 23．春风有信，花开有期，某公园设置了如图所示、、、四个观景点，这四个观景点在同一平面内，点在点的正东方向，点在点的南偏东45°方向，且在点的南偏东60°方向，点在点的正西方向，且在点的南偏西30°方向，千米．（参考数据：，，） (1)求的长度（结果保留根号）； (2)若小张和小李分别从观景点、出发，小张以2千米/小时的速度从观景点步行到观景点，小李从观景点以4千米/小时的速度跑到观景点，在运动过程中，小张出发多少千米后恰好与小李相距千米？（结果保留一位小数） 基础解答题强化训练（四） 17．解不等式组：，并写出不等式组的整数解． 18．如图，平行四边形中，对角线，相交于点O，于点E． (1)用尺规完成以下基本作图：过点D作的垂线，交于点F．（只保留作图痕迹） (2)在（1）问所作的图形中，若，求证：四边形为矩形．（请完成下面的填空） 证明：∵，， ∴，， ∴①______， 在和中， ， ∴， ∴③______， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴④______， ∴四边形是矩形； 19．普法宣传教育是依法治国、建设法治社会的重要内容，为了宣传普法知识，我校在普法宣传日中开展了法律知识竞赛，从八、九年级学生的知识问答成绩中，各随机抽取了20名学生的成绩进行统计分析．数据整理如下：（成绩得分用表示，共分成四组：．，．，．，．） 八年级20名学生的成绩是：99，81，95，89，85，100，86，87，92，79，90，93，94，95，87，95，75，95，85，98． 九年级20名学生的成绩在组中的数据是：91，91，93，92，92． 八、九年级抽取的学生成绩统计表： 年级 平均数 中位数 众数 八年级 90 91 九年级 90 96 九年级抽取的学生成绩扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中______，______，______； (2)通过以上数据分析，你认为这次比赛中哪个年级的成绩更好？请说明理由（写出一条即可）； (3)我校八、九年级共有2000人参加此次知识问答活动，请你估计参加此次问答活动成绩优秀的学生有多少人． 20．先化简，再求值：，其中 21．重庆作为“网红打卡城市”．吸引了大量游客前来游玩，为了给游客更好的城市体验感，重庆市政花费48万元购买“月季花”和“杜鹃花”种植在主干路上，已知“月季花”和“杜鹃花”的单价分别为150元和100元，“月季花”购买数量比“杜鹃花”购买数量多1200株． (1)“月季花”和“杜鹃花”一共购买多少株？ (2)重庆市政计划安排工人种植这批花，为缩短工期，工人实际每天种植的数量比原计划增加了，这样可以提前15天完成种植任务，则原计划每天种植多少株？ 22．如图，中，，，点M、N以每秒1个单位长度从中点D点出发，点M沿折线方向运动，点N沿折线方向运动，点M达点B后动点M、N的速度分别变为每秒3个单位长度、4个单位长度，设运动时间为t秒，点M、N的距离为． (1)请直接写出关于t的函数表达式并直接写出自变量t的取值范围； (2)已知，请在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象，并写出函数的一条性质： (3)若，请根据所画图象直接写出t的范围．（结果保留一位小数，误差不超过0.2） 23．某物流调度中心开展无人机配送航线巡检任务，如图，A处是调度中心，位于B处正北方向7千米处；C处是配送枢纽，在B处正东方向；D处是信号点，在A处南偏东方向6千米处，且在C处的东北方向．（参考数据：，，） (1)求B，C间的距离（结果保留根号）； (2)甲，乙两架巡检无人机同时出发．甲从D处沿某方向匀速飞行，乙从A处沿正南方向匀速飞行，甲的速度与乙的速度之比为．两人在上某处相遇，相遇时乙共飞行了多少千米？（结果保留小数点后一位） 基础解答题强化训练（五） 17．求不等式组：的所有整数解的和． 18．如图，在△ABC中，D、E是的中点，连接． (1)在直线下方作，交边于点F，连接；（尺规作图，保留痕迹，不写作法） (2)在（1）问条件下，若，探索四边形是哪种特殊的平行四边形． 证明：∵D、E是的中点， ∴是的中位线， ∴且， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵E是中点， ∴， 又∵， ∴， ∴四边形是菱形 ． 19．【问题背景】有关研究表明，维生素C（学名：抗坏血酸）对豚鼠牙齿生长有一定的影响．生物课上，老师带领同学们对此项结论进行探究，随机选出相同品种的豚鼠共40只，平均分为两组，每天分别喂食和剂量的维生素C，在一定时间后测量豚鼠牙齿的生长情况． 【实践发现】一周后，同学们对两组豚鼠的牙齿生长长度进行了测量（牙齿生长长度用表示，单位为毫米，分为四组：；；；；）下面给出部分信息： 剂量组中豚鼠牙齿生长长度在区间的数据为： 10，10，11，12，12，12，13，14，14 剂量组中豚鼠牙齿生长长度的数据为： 6，7，7，8，8，12，12，12，12，13，13，13，14，14，15，17，17，21，23，25 【实践探究】 两种剂量组中豚鼠牙齿生长长度统计表 剂量 平均数 12 中位数 13 众数 12 剂量组中豚鼠牙齿生长长度扇形统计图 【问题解决】 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中 ， ， ； (2)请判断哪种剂量更适合豚鼠牙齿的生长，并说明理由；（写出一条理由即可） (3)若养殖基地准备按和的剂量分别投喂1000和1500只豚鼠，并在一周后，对牙齿生长长度低于的豚鼠再进行加大剂量投喂，请估计大概有多少只豚鼠需要加大剂量投喂？ 20．先化简，再求值：，其中． 21．2026马年中央广播电视总台《春节联欢晚会》上，人形机器人凭借在武术、小品、歌曲等多类型节目中的精彩亮相，带动行业销量激增．某公司主推A，B两款人形机器人，已知生产6台A款人形机器人和生产7台B款人形机器人的成本相同；且每台A款人形机器人的成本比每台B款人形机器人的成本多3万元． (1)该公司生产的A，B两款人形机器人每台的成本各是多少万元？ (2)该公司对这两款人形机器人实行网上预约销售，且每台B款人形机器人的定价比每台A款人形机器人的定价少20%，当这两款人形机器人的销售额都为800万元时，B款人形机器人比A款人形机器人多售出8台．则该公司每台A款人形机器人在网上销售的定价是多少万元？ 22．如图，点为菱形对角线，的交点，，，点从点出发，以每秒5个单位长度的速度沿着线段运动，用（单位：秒）表示点的运动时间，其中，过点作垂直于直线于，作垂直于直线于．点之间的距离为的和与之比为． (1)请直接写出分别关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出函数的图象，并分别写出函数的一条性质； (3)结合函数图象，请直接写出时的取值范围（近似值保留小数点后1位，误差不超过）． 23．如图，，，，是某科技公司的四个试验基地，且，，，在同一平面内，位于的正东方向处，位于的南偏东方向处，位于的正南方向，位于的南偏西方向．（参考数据：，，） (1)求和两试验基地之间的距离；（结果保留整数） (2)现甲从基地出发沿前往地办公，乙以基地出发沿方向前往基地，两人同时出发，乙的速度是甲速度的倍．当两人的距离是甲到基地距离的倍时，甲距离基地多少千米？（结果保留整数） 基础解答题强化训练（六） 17．求不等式组的所有整数解． 18．小宏在探究“夹在一组平行线间的线段的垂直平分线与平行线相交后所构成的四边形的形状”时做了如下操作，请你完成小宏的操作：如图，在四边形中，，是对角线． (1)用尺规完成以下基本作图：作线段的垂直平分线，分别交、、于点O、E、F，连接、．（只保留作图痕迹） (2)在（1）问所作的图形中，求证：四边形为菱形．（请完成下面的填空） 证明∵垂直平分， ∴①__________，． ∵， ∴②__________． 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形． ∵④__________， ∴四边形为菱形． 19．学校开展了环保知识竞赛活动，从七、八年级学生中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（成绩为百分制且为整数）进行整理、描述和分析（成绩均不低于60分，用x表示，共分四组：A．；B．；C．；D．），下面给出了部分信息： 七年级20名学生竞赛成绩在B组中的数据是：82，83，84，84，85，86，88． 八年级20名学生竞赛成绩是：60，61，62，70，71，72，73，80，82，83，85，86，87，87，91，92，95，96，98，99． 七、八年级所抽学生竞赛成绩统计表 年级 七年级 八年级 平均数 81.5 81.5 中位数 a 84 众数 84 b 七年级所抽学生竞赛成绩扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中______，______，______； (2)根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生环保知识竞赛的成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）； (3)该校七年级有学生600人，八年级有学生520人，请估计该校七、八年级参加此次竞赛成绩不低于90分的学生人数共是多少? 20．先化简，再求值：，其中． 21．为迎接3月日国际数学文化节，学校要准备两种趣味闯关道具．去年共准备了件，今年道具数量有所增加：其中A道具数量比去年多，B道具数量比去年多，今年两种道具总数比去年多件． (1)求今年准备的A，B两种道具各多少件？ (2)今年文化节活动当天，两组同学同时布置道具，第一组摆A道具，第二组摆B道具．已知第一组每小时摆的数量是第二组的倍，第一组比第二组提前分钟完成．求第二组每小时摆多少件B道具． 22．如图，在平行四边形中，，，，动点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿方向运动，动点以每秒2个单位长度的速度从点出发，沿方向运动，动点以每秒2个单位长度的速度从点出发，沿方向运动．点、、三点同时出发，当点到达点时，点，和均停止运动，设动点运动的时间为秒，的面积为，点与点之间的距离为． 　　 (1)请直接写出，分别关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出，的图象，并写出函数的一条性质； (3)结合函数图象，请直接写出时的取值范围．（近似值保留小数点后一位，误差不超过） 23．某中学组织学生到高新产业园进行研学活动．如图，学生到达产业园大门处后按组分两条线路进行参观体验，最后前往区（人工智能与大数据平台区）集合．区（新能源装备区）位于大门的正北方400米，区（机器人与智能装备区）位于区的北偏东方向且距离区400米处，区（智慧医疗区）在大门的正东方且在区的正南方．区在区的南偏东方向，且位于区的北偏东方向．（参考数据：，，） (1)求区与区之间的距离．（结果精确到个位） (2)已知第一组学生沿线路①参观体验，第二组学生沿线路②参观体验．两组学生分别参观完区和区后，同时以相同的速度前往区参观、体验，当两组学生在前往区的途中，大数据平台检测到两组学生之间的连线垂直于时，产业园智慧喷泉系统将自动开启，为两组学生送上欢迎水雾，请问，当两组学生之间距离多远时，喷泉将自动开启？ 学科网（北京）股份有限公司 $