江苏南京市2026届高三年级第二次模拟考试数学试题

南京市2026届高三年级第二次模拟考试数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的． 1．已知(2－i)z＝3＋i，则|z|＝ A． B．2 C． D．5 【答案】A 【解析】法 1：z＝＝＝1＋i，所以|z|＝． 法 2：因为z＝，所以|z|＝＝＝． 2．抛物线y2＝x的焦点为F，准线为l，则F到l的距离为 A． B． C．1 D．2 【答案】B 【解析】焦点F到l的距离为p＝． 3．(x－)6的展开式中，常数项为 A．－20 B．－15 C．15 D．20 【答案】A 【解析】展开式中的常数项为T4＝C(－1)3＝－20． 4．已知M，N均为R的子集，且M∩(∁RN)＝，则M∪N＝ A． B．M C．N D．R 【答案】C 【解析】因为M，N均为R的子集，且M∩(∁RN)＝，所以MN，故M∪N＝N． 5．已知圆C：(x－3)2＋y2＝9，直线l过点P(1，1)，当l被C截得的弦长最短时，直线l的方程为 A．2x－y－1＝0 B．2x＋y－3＝0 C．x－2y＋1＝0 D．x＋2y－3＝0 【答案】A 【解析】当 l 被 C 截得的弦长最短时，点C到l的距离最大，即为C，此时CP⊥l，所l的法向量为＝(2，－1)． 6．已知sinα＋2cosα＝，则tanα＝ A．－2 B．－ C． D．2 【答案】C 【解析】法 1：因为f(x)＝sinx＋2cosx 在 x＝α 时取得最大值 ，所以f’(α)＝cosα－2sinα＝0，此时 tanα＝． 法 2：由(sinα＋2cosα)2＝5，所以＝5，即＝5，解得tanα＝． 7．曲线y＝在x＝n (n∈N*) 处的切线为ln，分别记ln在x，y轴上的截距为xn，yn，则(xi·y＋x·yi)＝ A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由y’＝－，所以切线斜率k＝－，又切点为(n，)， 故切线ln：y－＝－(x－n)，即y＝－x＋，所以yn＝，xn＝2n． 因为xi·yi＋1＋xi＋1·yi＝＋＝2＋－， 所以(xi·yi＋1＋xi＋1·yi)＝2n＋1－＝ ． 8．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)，若C上存在两点A，B，使得OA⊥OB，且OA＝OB，则C的离心率的取值范围是 A．(0，] B．[，1) C．(0，] D．[，1) 【答案】B 【解析】不妨设|OB|＝x(b≤x≤a)，则|OA|＝x，|AB|＝2x， 则原点O到直线AB的距离d＝x，又因为＝＋，以d＝，即x＝∈[b，a]， 解得∈(0，]，所以e＝∈[，1)． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知a＞0，b＞0，且a≠1，b≠1，logab＜1，则下列不等式可能成立的是 A．1＜a＜b B．1＜b＜a C．a＜1＜b D．b＜a＜1 【答案】BC 【解析】若a＞1，函数y＝logax单调递增，因为logab＜1＝logaa，所以b＜a，所以B正确； 若0＜a＜1，函数y＝logax单调递减，因为logab＜1＝logaa，所以b＞a，所以C正确． 10．已知函数f(x)＝则 A．f(2)＝1 B．x＞0，f(x＋2)＝f(x) C．f(x)在(7，8)上单调递减 D．f(x)有且仅有1个零点 【答案】BCD 【解析】对于A，f(1)＝1，f(2)＝－f(1)＝－1，所以A错误； 对于B，若x＞0，则x＋1＞1，x＋2＞2，所以f(x＋2)＝－f(x＋1)＝f(x)，所以B正确； 对于C，若x∈(7，8)，由B，f(x)＝f(x－6)＝－f(x－7)＝7－x，单调递减，所以C正确； 对于D，当x≤1时，f(x)＝x，f(x)只有一个零点x＝0，当x＞1时，因为f(x＋2)＝f(x)，所以只需考虑1＜x＜2，x－1∈(0，1)，此时f(x)＝－f(x－1)＝1－x＜0，因此f(x)有且仅有1个零点x＝0，所以D正确． 11．在三棱锥P－ABC中，AB＝2，∠APB＝∠ACB＝，PC⊥平面ABC，则 A．△ABC外接圆直径为 B．CP2＋CA2＋CB2＝ C．当PC＝1时，三棱锥P－ABC的体积取得最大值 D．三棱锥P－ABC的外接球半径的取值范围是(，) 【答案】ABD 【解析】对于A，由正弦定理2r＝＝，所以A正确； 对于B，在 △ABC 中， 由余弦定理AB2＝CA2＋CB2－2CA·CB·cos∠ACB＝CA2＋CB2－CA·CB， 在△ABP 中，由余弦定理AB2＝PA2＋PB2－2PA·PB·cos∠APB＝PA2＋PB2－PA·PB， 所以2CP2＝PA2－CA2＋PB2－CB2＝PA·PB－CA·CB＝·－CA·CB， 所以2CP2＋CA·CB＝·，平方整理得4CA·CB＝CA2＋CB2－3CP2， 又因为CA2＋CB2－CA·CB＝4，所以CA·CB＝－CP2，故4(－CP2)＝CA2＋CB2－3CP2， 即CP2＋CA2＋CB2＝，所以B正确； 对于C，三棱锥P－ABC 的体积为PC·SABC＝CP·CA·CB＝·CP·(－CP2)， 令f(x)＝x－x3，f’(x)＝－3x2，令 f’(x)＝0，得 x＝，故当CP＝时，三棱锥P－ABC的体积达到最大，所以C错误； 对于D，R2＝r2＋CP2＝＋CP2，因为0＜CP2＜，所以＜R2＜，即R∈(，)，所以D正确． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．将函数y＝2sin(x＋)的图象向左平移φ(0＜φ＜)个单位，得到的图象关于y轴对称，则φ＝． 【答案】 【解析】因为平移后得到的函数为y＝2sin(x＋φ＋)关于y轴对称，所以φ＋＝＋kπ，解得φ＝＋kπ，k∈Z，又因为0＜φ＜，所以φ＝． 13．已知平行六面体ABCD－A1B1C1D1的底面是边长为2的正方形，动点M满足＝＋x＋y，x，y∈[0，1]，且CM //平面A1BD．则M的轨迹长度为． 【答案】2 【解析】由＝＋x＋y，知M在底面A1B1C1D1内，又因为CM//平面A1BD，且平面A1BD// 平面CB1D1，平面CB1D1∩平面A1B1C1D1＝B1D1，所以M的轨迹为线段B1D1，其长度为2． 14．已知函数f(x)＝x3＋3x2＋mx(m∈R)有两个极值点x1，x2，且|f(x1)－x1|＝|f(x2)－x2|，则m＝． 【答案】7 【解析】f’(x)＝3x2＋6x＋m，因为函数f(x)有两个极值点x1，x2，不妨设x1＜x2， 则x1＋x2＝－2，x1x2＝,f(x1)＞f(x2)，且Δ＝108－12m＞0，解得m＜9， 若f(x1)－x1＝f(x2)－x2，则f(x1)－f(x2)＝x1－x2＜0，舍去； 若f(x1)－x1＝x2－f(x2)，则f(x1)＋f(x2)＝x1＋x2，由三次函数的对称性，f(x1)＋f(x2)＝2f(－)＝2(6－m)＝－2，解得m＝7． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．已知数列{an}的各项均为正数，Sn为{an}的前n项和，且an2，Sn，an成等差数列． （1）求{an}的通项公式； （2）设bn＝an·()，求数列{bn}的前n项和Tn． 【答案】（1）an＝1＋(n－1)＝n；（2）Tn＝2－()－n·()n． 【解析】（1）因为an2，Sn，an成等差数列，所以2Sn＝an2＋an，所以当n≥2时，2S＝a2＋a， 两式相减得，2(Sn－S)＝an2＋an－a2－a，即2an＝an2＋an－a2－a， 即an＋a＝(an＋a)(an－a)． 因为{an}为正项数列，所以an＋a≠0，则an－a＝1， 当n＝1时，2S1＝a12＋a1，解得a1＝1， 所以{an}是首项为1公差为1的等差数列，则an＝1＋(n－1)＝n． （2）bn＝an·()＝n·()n， 则Tn＝1×()1＋2×()2＋…＋n·()n， 所以Tn＝1×()2＋2×()3＋…＋n·()， 两式相减得：Tn＝()1＋()2＋…＋()n－n·()＝－n·()＝1－()n－n·()， 所以Tn＝2－()－n·()n． 16．已知函数f(x)＝，a∈R． （1）讨论f(x)的单调性； （2）当a＞0时，证明：f(x)＜a2． 【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析． 【解析】（1）f'(x)＝＝， ①当a＝0时，因为f'(x)＝＞0，所以f(x)在(－∞，＋∞)上为增函数； ②当a＞0时，由f'(x)＞0，得x＜，由f'(x)＜0，得x＞， 所以f(x)在(－∞，)上为增函数，在(，＋∞)上为减函数； ③当a＜0时，由f'(x)＞0，得x＞，由f'(x)＜0，得x＜， 所以f(x)在(－∞，)上为减函数，在(，＋∞)上为增函数； 综上，当a＝0时，f(x)在(－∞，＋∞)上为增函数；当a＞0时，f(x)在(－∞，)上为增函数，在(，＋∞)上为减函数；当a＜0时，f(x)在(－∞，)上为减函数，在(，＋∞)上为增函数． （2）由（1）知，当a＞0时，f(x)在(－∞，)上为增函数，在(，＋∞)上为减函数， 所以f(x)max＝f()＝．要证：f(x)＜a2，只要证：＜a2，即证：a·e＞2． 法一：记g(a)＝a·e，a＞0，则g'(a)＝e＋a·e·(－)＝e·(1－)＝e·， 由g'(a)＝0，得a＝1，由g'(a)＞0，得a＞1，由g'(a)＜0，得0＜a＜1， 所以g(a)在(0，1)上为减函数，在(1，＋∞)上为增函数，则g(a)min＝g(1)＝e， 因为e＞2，所以g(a)＞2，即a·e＞2． 法二：只要证：e－＞0，令＝t＞0，即要证：et－2t＞0． 记g(t)＝et－2t，t＞0，则g'(t)＝et－2， 由g'(t)＝0，得t＝ln2，由g'(t)＞0，得t＞ln2，由g'(t)＜0，得0＜t＜ln2， 所以g(t)在(0，ln2)上为减函数，在(ln2，＋∞)上为增函数，所以g(t)min＝g(ln2)＝2－2ln2． 因为2－2ln2＝2(1－ln2)＞0，所以g(t)＞0，即et－2t＞0． 法三：只要证：ln(a·e)＞ln2，即证：lna＋＞ln2． 记g(a)＝lna＋，a＞0，g'(a)＝－＝， 由g'(a)＝0，得a＝1，由g'(a)＞0，得a＞1，由g'(a)＜0，得0＜a＜1， 所以g(a)在(0，1)上为减函数，在(1，＋∞)上为增函数，则g(a)min＝g(1)＝1， 因为1＞ln2，所以g(a)＞ln2，即lna＋＞ln2． 17．如图1，在平面四边形ABCD中，AB＝，BC＝3，CD＝6，DA＝4，∠BCD＝． （1）求∠CDA； （2）点E，F满足：＝，＝．如图2，将△DEF沿EF折至△PEF，使得二面角P－EF－C为直二面角，连接PA，PB，PC．求直线PC与平面PAB所成角的正弦值． B A C D 图1 图2 F B A C D E P 【答案】（1）；（2）． 【解析】（1）连接BD，因为∠BCD＝，BC＝3，CD＝6，所以BD＝＝＝3． 在△ABD中，AB＝，DA＝4， 由余弦定理，得cos∠ADB＝＝＝， 则tan∠ADB＝＝． 因为tan∠BDC＝＝， 则tan∠ADC＝tan(∠ADB＋∠BDC)＝＝1， 因为∠ADC∈(0，π)，所以∠ADC＝． （2）因为CD＝6，DA＝4，＝，＝，所以DE＝2，DF＝2． 在△DEF中，由余弦定理，得EF2＝DE2＋DF2－2DE·DFcos∠EDF＝4＋8－2×2×2×＝4， 则DE2＋EF2＝DF2，则DE⊥EF． 所以PE⊥EF，CE⊥EF，则∠PEC是二面角P－EF－C的平面角， 又因为二面角P－EF－C是直二面角，所以∠PEC＝90°，即PE⊥EC． 以{，，}为正交基底建立空间直角坐标系E－xyz， z E F D P y C B A x 则A(4，2，0)，B(3，4，0)，C(0，4，0)，P(0，0，2)， 所以＝(－1，2，0)，＝(－4，－2，2)，＝(0，4，－2)． 设平面PAB的法向量n＝(x，y，z)，则则 令y=1，则n＝(2，1，5)是平面PAB的一个法向量． 设直线PC与平面PAB所成角为θ，则sinθ＝|cos<，n>|＝＝＝， 所以PC与平面PAB所成角正弦值为． 18．在平面直角坐标系xOy中，双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的右顶点为(1，0)，渐近线互相垂直． （1）求C的方程； （2）直线l1依次交C的左支、x轴、右支于P，T，Q三点，经过点T且垂直于l1的直线l2与C有且仅有一个公共点M，点N与M关于原点O对称，直线NP，NQ分别交x轴于A，B两点． 证明：①M，T两点的横坐标之积为定值； ②四边形AMBN是平行四边形． 【答案】（1）x2－y2＝1；（2）①证明见解析；②证明见解析． 【解析】(1)因为双曲线C的右顶点为(1，0)，所以a＝1， 又因为C的渐近线互相垂直，所以＝1，则b＝1， 所以C的方程为x2－y2＝1． (2)①由题意可知l2不与x轴垂直，且不与C的渐近线平行，设l2：y＝kx＋m， 由得(k2－1)x2＋2kmx＋m2＋1＝0， 因为l2与C有且只有一个公共点M，所以Δ＝4k2m2－4(k2－1)(m2＋1)＝0，所以k2－m2－1＝0． 则M点横坐标xM满足：2xM＝，所以xM＝＝＝－． 由l2：y＝kx＋m，令y＝0，得T点横坐标xT＝－． 所以xM·xT＝(－)·(－)＝1． ②由①知T点坐标为(－，0) ， 把xM＝－代入y＝kx＋m，得M点纵坐标yM＝－＋m＝＝－， 所以M点坐标为(－，－)， 由于点N与M关于原点O对称，所以N点坐标为(，)， 因为l1⊥l2，所以l1：x＝－ky－， 由得(k2－1)y2＋2my＋＝0，即m2y2＋2my－＝0， 设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则 由N (，)，P(x1，y1)，得NP直线方程为：(x1－)( y－)＝(y1－)(x－)， 令y＝0，得A点横坐标xA＝，同理可得B点横坐标xB＝． 所以xA＋xB＝＋＝＋＝＋ ＝＋(＋)(＋)＝＋(＋) ＝＋×＝＋×， 注意到k2－m2－1＝0，所以2k2＋m2＝3k2－1，所以xA＋xB＝0，所以OA＝OB， 又因为OM＝ON，所以四边形AMBN是平行四边形． 19．盒中有4个黑球2个红球，每个球除颜色外均相同．甲、乙进行摸球游戏，两人轮流从盒中摸球，每次由其中一人随机摸出2个球，若有黑球，则黑球放回盒中；若有红球，则红球不再放回盒中．直至盒中红球已被全部取出，游戏结束．第一次摸球从甲开始，记Pn为第n次摸球后游戏结束的概率． （1）求P1，P2； （2）求Pn； （3）若摸球2n次，游戏恰好结束，将此情况下乙摸到的红球个数记为随机变量X2n， 证明：E(X2n)＜． 【答案】（1）P1＝，P2＝；（2）Pn＝×()－()；（3）证明见解析． 【解析】（1）（1）P1＝＝， P2＝×＋×＝×＋×＝． （2）若盒中有4个黑球，2个红球，一次性摸出两个球， 摸到0，1，2个红球的概率分别为＝，＝，＝， 若盒中有4个黑球，1个红球，一次性摸出两个球， 摸到0，1个红球的概率分别为＝，＝， 则摸球n次，记第i次和第n次分别各摸到一个红球的概率为pi， 则pi＝()i－1××()n－i－1× （i＝1，2，…n－1）， 摸球n次，记第n次摸到两个红球的概率为pn，则pn＝()×， 则Pn＝pi＝pi＋pn＝()×＋×()×＋××()×＋…＋()×× ＝×()＋×()×＝×()＋×()－×()＝×()－()． （3）法一：设摸球2n次，在第i次和第2n次分别摸到一个红球的概率为 pi＝()i－1××()2n－i－1× (i＝1，2…，2n－1)， 记M＝p1＋p3＋…＋p2n－1，则M＝×[()2n－()2n]， ＝＝＋＞， X2n可能取值为1，2，且P(X2n＝1)＝，P(X2n＝2)＝1－， E(X2n)＝×1＋(1－)×2＝2－，故E(X2n)＜． 法二：设摸球2n次，在第i次和第2n次分别摸到一个红球的概率为 pi＝()i－1××()2n－i－1× (i＝1，2…，2n－1)， 摸球2n次，第2n次摸到两个红球的概率为p2n＝()2n－1×， ①若n≥2，此时当k为奇数且k≤2n－3时，pk＝pk＋1；当k＝2n－1时，pk＞pk＋1； 则(p1＋p3＋…＋p2n－1)＞p2＋p4＋…＋p2n，故(p1＋p3＋…＋p2n－1)＞p1＋p2＋…＋p2n， 记M＝p1＋p3＋…＋p2n－1，则＝＞＝， X2n可能取值为1，2，且P(X2n＝1)＝，P(X2n＝2)＝1－， E(X2n)＝×1＋(1－)×2＝2－，故E(X2n)＜． ②当n＝1时，P(X2＝1)＝，P(X2＝2)＝，E(X2)＝×1＋×2＝＜，结论也成立； 综上，E(X2n)＜． 学科网（北京）股份有限公司 $ 南京市2026届高三年级第二次模拟考试 数 学 2026.05 注意事项： 1．本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分． 2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分． 3．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡上． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的． 1．已知(2－i)z＝3＋i，则|z|＝ A． B．2 C． D．5 2．抛物线y2＝x的焦点为F，准线为l，则F到l的距离为 A． B． C．1 D．2 3．(x－)6的展开式中，常数项为 A．－20 B．－15 C．15 D．20 4．已知M，N均为R的子集，且M∩(∁RN)＝，则M∪N＝ A． B．M C．N D．R 5．已知圆C：(x－3)2＋y2＝9，直线l过点P(1，1)，当l被C截得的弦长最短时，直线l的方程为 A．2x－y－1＝0 B．2x＋y－3＝0 C．x－2y＋1＝0 D．x＋2y－3＝0 6．已知sinα＋2cosα＝，则tanα＝ A．－2 B．－ C． D．2 7．曲线y＝在x＝n (n∈N*) 处的切线为ln，分别记ln在x，y轴上的截距为xn，yn， 则(xi·y＋x·yi)＝ A． B． C． D． 8．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)，若C上存在两点A，B，使得OA⊥OB，且OA＝OB，则C的离心率的取值范围是 A．(0，] B．[，1) C．(0，] D．[，1) 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知a＞0，b＞0，且a≠1，b≠1，logab＜1，则下列不等式可能成立的是 A．1＜a＜b B．1＜b＜a C．a＜1＜b D．b＜a＜1 10．已知函数f(x)＝则 A．f(2)＝1 B．x＞0，f(x＋2)＝f(x) C．f(x)在(7，8)上单调递减 D．f(x)有且仅有1个零点 11．在三棱锥P－ABC中，AB＝2，∠APB＝∠ACB＝，PC⊥平面ABC，则 A．△ABC外接圆直径为 B．CP2＋CA2＋CB2＝ C．当PC＝1时，三棱锥P－ABC的体积取得最大值 D．三棱锥P－ABC的外接球半径的取值范围是(，) 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．将函数y＝2sin(x＋)的图象向左平移φ(0＜φ＜)个单位，得到的图象关于y轴对称，则φ＝． 13．已知平行六面体ABCD－A1B1C1D1的底面是边长为2的正方形，动点M满足＝＋x＋y，x，y∈[0，1]，且CM //平面A1BD．则M的轨迹长度为． 14．已知函数f(x)＝x3＋3x2＋mx(m∈R)有两个极值点x1，x2，且|f(x1)－x1|＝|f(x2)－x2|，则m＝． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(本小题满分13分) 已知数列{an}的各项均为正数，Sn为{an}的前n项和，且an2，Sn，an成等差数列． （1）求{an}的通项公式； （2）设bn＝an·()，求数列{bn}的前n项和Tn． 16．(本小题满分15分) 已知函数f(x)＝，a∈R． （1）讨论f(x)的单调性； （2）当a＞0时，证明：f(x)＜a2． 17．(本小题满分15分) 如图1，在平面四边形ABCD中，AB＝，BC＝3，CD＝6，DA＝4，∠BCD＝． （1）求∠CDA； （2）点E，F满足：＝，＝．如图2，将△DEF沿EF折至△PEF，使得二面角P－EF－C为直二面角，连接PA，PB，PC．求直线PC与平面PAB所成角的正弦值． B A C D 图1 图2 F B A C D E P （第17题图） 18．(本小题满分17分) 在平面直角坐标系xOy中，双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的右顶点为(1，0)，渐近线互相垂直． （1）求C的方程； （2）直线l1依次交C的左支、x轴、右支于P，T，Q三点，经过点T且垂直于l1的直线l2与C有且仅有一个公共点M，点N与M关于原点O对称，直线NP，NQ分别交x轴于A，B两点． 证明：①M，T两点的横坐标之积为定值； ②四边形AMBN是平行四边形． 19．(本小题满分17分) 盒中有4个黑球2个红球，每个球除颜色外均相同．甲、乙进行摸球游戏，两人轮流从盒中摸球，每次由其中一人随机摸出2个球，若有黑球，则黑球放回盒中；若有红球，则红球不再放回盒中．直至盒中红球已被全部取出，游戏结束．第一次摸球从甲开始，记Pn为第n次摸球后游戏结束的概率． （1）求P1，P2； （2）求Pn； （3）若摸球2n次，游戏恰好结束，将此情况下乙摸到的红球个数记为随机变量X2n， 证明：E(X2n)＜． 学科网（北京）股份有限公司 $