湖南常宁市第一中学等学校2025-2026学年高一下学期期中数学试卷

高一数学期中 时量：120分钟 满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选 项中，只有一个选项是符合题目要求的， 1.已知集合A={x|一2<x<6},B={xx<5},则A∩B= A.(-2,5) B.（-2,6) C.(5,6) D.(-∞，5) 2.已知复数z满足z(1一i)=1+i,则川z= 北 A.2 B.√E C.1 D.√5 铷 3.若a,b是空间中两条不同的直线，则“存在平面a,使aCa,bCa”是 “a∥b”的 如 A充分不必要条件 戡 B.必要不充分条件 C.充要条件 敬 D.既不充分也不必要条件 钢 4.已知(W5)°=2，log32=b,则3a+2b= 龄 # A.4 B.4√2 C.8 D.16 5.某船行驶到甲地看1号灯塔时，1号灯塔在甲地的北偏东75°方向上，相 距3√2 n mile;在甲地看2号灯塔时，2号灯塔在甲地的南偏西60°方向 上，相距2 n mile..该船由甲地向正南航行到乙地时，再看1号灯塔，则 1号灯塔在乙地的北偏东30°方向上，则2号灯塔与乙地之间的距离是 北 甲地A 1号灯塔 2号灯塔B 60 乙地 A.4 n mile B.5 n mile C.26 n mile D.2√7 n mile 高一数学试题(5月)第1页（共8页） x十a,x≤a, 6.已知a>0,若函数f(x)= 有两个不同的零点，则实数a In x+3,xa 的取值范围是 A.(0,1) B.(o.) C.[1,+∞) D.(侵，+∞) 7.在直角梯形ABCD中，AB∥CD,AD⊥AB,∠B=45°，AB=2CD=4, M为BC的中点，则DM.AB= A.4 B.6 C.8 D.12 8.如图，在函数f(x)=sin(uwx十p)的部分图象中，T为对称轴与x轴的交 点，A,B在图象上，若TA=AB,则点A的纵坐标为 A2-2 B3-1 2 2 C.3-2 D.2-√3 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中， 有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选 错的得0分。 9.如图所示，在正方体ABCD-A1B1CD1中，M,N分别为棱C1D1,CC 的中点，则下列结论正确的是 A.直线AM与BN是平行直线 B.直线BN与MB1是异面直线 C.直线MN与AC所成的角为60° D.M,N,B,A1四点共面 高一数学试题(5月)第2页（共8页） 10.设名，2，为复数，≠0.下列命题正确的是 A若2=士%，则川2=| B.若刘2=，则2=3 C若2=，则川名2=|名1 D.若名2=|名2，则=2 11.在△ABC中，a,b,c分别为内角A,B,C的对边，asin A+bsin B=c, co AcoB-9,△ABC的面积为2，则下列结论正确的是 A.sin Asin B B.sin A-sin B=3-1 C.a=2 D.c=4 选择题答题卡 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 10 11 得分 答案 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.若幂函数f(x)=(a2+a一11)x的定义域为R,则实数a= 13.若tana=2,则 sin 2a nl(a+)os(a-)— 14.四棱锥P-ABCD的底面为正方形，∠PDA=∠PDC=∠ADC=90°， PD=AD=1,P克=P啦，P市=PA,PCn平面DEF=G,则瓷= 高一数学试题(5月)第3页（共8页） 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤 15.（本题满分13分) 已知函数f(x)=2sinx. (1)若fa)=号，且a∈(0，)，求a-)的值； (2)设函数g(x)=f(2x)+f-2x,x∈(0，)，求g(x)的值域. 高一数学试题(5月)第4页（共8页） 16.（本题满分15分) 在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,acos.Asin B= (2c-a)sin Acos B. (1)求B; (2)若c=4,D为AC的中点，BD=√7，求cos∠ADB. 高一数学试题(5月)第5页（共8页） 17.(本题满分15分) 已知函数fx)=8: 1+a·4 (a>0,x∈R)的图象关于原点对称. (1)求实数a的值； (2)若f(2logx)+f(1)>0,求x的取值范围； (③若存在∈[2，，使得得≤1+m·f(-成立，求实数m 的取值范围. 题女惡兴 高一数学试题(5月)第6页（共8页） 18.（本题满分17分) 如图所示的几何体，在底面ABCD中，AC⊥BD,AC与BD交于点O, OA=OC=1,OD=号OB=1,GC垂直于平面ABCD,MD∥CC,且 MD-GC-1. M D 0 (1)证明：BD∥平面AMG; (2)求三棱锥B-AMG的体积； (3)在△GAB内部（包括边界）的动点Q满足四棱锥Q-ABCD的体积 和三棱锥Q-GCD的体积相等，请找出点Q的轨迹，并说明理由. 高一数学试题(5月)第7页（共8页） 19.（本题满分17分) 已知函数f(x)满足Ha<b,集合{f(x)lx∈[a,b]》都存在最大值和最 小值，记其最大值与最小值之差为D(a,b). (1)分别对以下函数f(x)计算D(受，3)（不要求写出计算过程）： ①fx)=4红-3，@f)=x+是 (2已知fx)=2-4+c,且Dc,3-)=-29+号，求e: (3)已知Ha<b,D(a,b)=(b-a),其中为给定的大于0的常数，且 f(0)=0,f(1)>0,证明：f(x)=x. 高一数学试题(5月)第8页（共8页） 高一数学期中参考答案 愿号 1 2 5 6 2 9 10 11 答案 A C B C D B D B BCD ABC AD 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的 1.A【解析】A∩B=(-2,5). 2C【解桥1=告D=登=i则=1. 3.B【解析】若a∥b,可知直线a,b是共面直线，则存在平面a,使aCa,bCa,即必要性成立：若存在平面a,使 aCa,bCa,则直线a,b可能相交，即充分性不成立，综上所述：“存在平面a,使aCa,bCa”是“a∥b”的必要不充 分条件 4.C【解析】由（√3）°=3量=2，可得3=4，由l0g2=b,可得9=3h=2,所以3+6=3X320=8. 5.D【解析】在△ACD中，D=75°-30°=45°，由正孩定理得AC=ADsin D= 3v2X2 2 sin30° -=6 n mile, 2 在△ABC中，AB=2,∠BAC=60°， 由余孩定理得BC=AB+ACe-2AB·AC·cos60°=2+62-2X2X6×号=28，所以BC=2V7 n mile, 6.B【解析】由x十a=0,解得x=一a,又a>0,所以一a<a,则一a是函数f(.x)的一个零点，由lnx十3=0，解 符x=己，要使科f(x)有两个不网的零点，则a∈(0，己) 7.D【解析】在直角梯形ABCD中，AB∥CD,AD⊥AB,∠B=45°，AB=2CD=4, 则AD=(AB-DC)tan45°=2，由M为BC的中点， 得DM=D心+CM=2A+2C弦=2AB+2(A店-AC)=A店-2Ai+Dd)=A店-2ò. 所以DM.A店=（是AB-号AD)·AB=是A=子×16=12. 8.B【解析】由平移不变性，仲伸缩不变性不妨设∫(x)=cosx,T(一x,0),A(x1,cosx), 由中点坐标公式可知，xB=2x1十π，则yB=cos(2x1十π)，由yg=2yw,知cos(2x1十x)=2cosx1, 所以2c0sx1+2c0s-1=0,又由图可知c0s>0,所以c0s0=5,-1 2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项将合题目要求.全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.BCD【解析】对于A,取DD,的中点为E,连接AE,如下图所示： D E D 由正方体性质可知AE∥BN,若直线AM与BN是平行直线，则可得A,E,M三点共线，显然这与AE,AM相 交于点A矛盾，故A错误； 对于B,易知B∈平面BCCB,M廷平面BCCB1,B1任直线BN,BVC平面BCCB,可得直线BN与MB 高一数学参考答案(5月)一1 是异面直线，故B正确； 对于C,连接CD1,AD1,如下图： 可得MN∥CD1,故∠ACD,为直线MN与AC所成的角，而∠ACD,=60°，可得直线MN与AC所成的角为 60°，故C正确； 对于D,连接A1B,易知AB∥MN,可知M,N,B,A1四点共面，故D正确. 10.ABC【解析】A正确；由2=名1可得(2一)=0，因为≠0，所以2一=0，即2=3，故B正确； 若2=3，则|2|=|3，由模长性质知|12|=|名川2|，|13|=||川3|，故C正确；取=1十i,2= 1一i,显然满足x2=|1|2,但1≠2，故D错误. 11.AD【解析】因为asin A+bsin B=c,所以，根据正弦定理边角互化得sinA十sinB=sinC, 因为C∈(0，π)，sinC∈(0,1]，所以sinC≥sinC,即sinA+sinB=sinC≥sinC, 所以+a≥2，由余弦定理可知，osC≥0，故C∈(0，受] 若CE(0,爱》，则A+B>受注意到cos Acos B->0. 所以cosA>0,cosB>0(两者同负会有两个纯角，不成立)，即A,B∈(0，受)： 因为A+B>受台A>受-B,A,受-B都是锐角， 所以sinA>sin(受-B)=cosB>0, 于是sinC=sinA十sinB>cos2B+sinB=l,这和sinC≤1相矛盾， 故C∈(0，）不成立，所以C=受 所以A+B=,sinA=cosB,cosA=sinB, 所以sin Asin B=c0 sAcos B--写，故A选项正痛： os Acos B=in Beos B=方n2B=9.即sin2B=号， 所以2B-号或2B=号，即B=号或B=晋， 当B=号时，A=答sinA-sinB=1-,3, 2 当B=晋时，A=子sinA-snB-5,故B选项错误： 2 因为△ABC的面积为2√3， 所以，当B=号A=吾时b=5ac=2a,Sr=2ab=写c=25. 解得a=2,b=2√5，c=4; 当B=音A=晋时，a=36,6=2b,Sc=b-号=2， 解得b=2,a=23,c=4, 故C选项错误，D选项正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.3【解析】由题意得a2十a一11=1，解得a=3或一4，当a=一4时，f(x)=x‘,此时定义域不为R,故舍去； 当a=3时，f(x)=x3,满足题意. 高一效学参考答案(5月)一2 138 sin 2a 2sin acos a 4sin acos a 4tan a8 【解析】由题意可得 如(a+)am(。-置）2(cosa叶ina+2 in+ma1中tma3-· 14,号【解析】解法1：如图1，将四棱维P-ABCD放入正方体ABCD-A1BCP中，延长DE与正方体刚好交 于点B1,延长DF与AA1交于点M,连接B,M,过点D作DN∥BM与CC1交于点N,此时，D,M,B,N四 点共面，则DN与CP的交点为点G. △PDPn△Mr,又器=3，剥AM=专A,M=号CN=号， APDGACNG.瓷-器-是 解法2：如图2，过点P作直线l∥AB,延长FE与直线l交于点Q,连DQ交PC于点G, 过，点F作FK∥AB交PB于点K,则点K为PB上靠近，点B的四等分点. △PEQ△KEF.AB=-1,则FK=是股-跟=2，PQ=, 又△PQ0acG-8- D 图1 图2 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步张。 15.【解折11)因为fe)=号，所以sina=号 …2分 又ae(o,登)所以cosa√1-（得）=号， …………4分 故f(e号)=2sin(e-号)）=2 2sin号-2受=sina-5cosa=3-5 6分 5 (2)g(x)=2sin2x+2sin(号-2xr）=2sin2x+V3cos2x-sin2x=sin2x+v3cos2x=2sin(2x+号） …9分 当x(o,晋)时，2z+号∈（号）所以sim(2x+)(.1] …11分 故g(x)=2sin(2x+牙)的值城为(W3,2]: …13分 16.【解析】(1)因为acos Asin B=(2c-a)sin Acos B, 所以a(cos Asin B+sin Acos B)=2 csin Acos B,即asin C=2 csin Acos B, …2分 由正孩定理可得ac=2 accos B,所以cosB=分， …4分 由于BE(0,元)，故B三牙，…6分 (2)因为D为AC中点，所以2BD=BC+BA,则(2BD)?=(BC+BA)?, 所以4×(7)2=a2+42+2a×4×2,即a2+40-12=0,解得a=2或a=-6(会)，…8分 由余弦定理知，2=a2十c2-2 accos B=4十16-8=12，所以b=2V3,…10分 D 片以+W=,周∠c-吾以a∠cD8-器-停-年 …13分 B 所以os∠ADB=cos(x-∠CDB)=-cos∠CDB=-YI 7 …15分 高一致学参考答案(5月)一3 17.【解折1》因为函数x)=千名：半(a>0,x∈R)的图象关于原点对称，所以品数了八x)是寺通北 红0可行，f0)弓十：=F80,解得a,sssm3 经验证，a=1时，f(一x)=一f(x), 因此，实数Q的值为1.… 5分 （2由1)可知a=1,则a)-导卡=-1十平(xeR),则任取∈R且<， 剥)-)(-1+)-（一1+）a泽编0. 即f(x)>f(x2),因此函敛f(x)在R上单调递减，…7分 f(2 logax)+f(1)>0→f(2logx)>-f(1)=f(-1), 由f21ogx)>-1)→21ogxK-1,解得1ogx<-3>x<3t=9. …9分 区由于x>0,所以x的取值范国是0，…10分 a得喜 114 -得+)行得二号=和-x)=-x)- (1+4)+(1-4") …12分 所以牛铝1+m…-)脚-1长m…骨国为[经小，所以4-1[1.3]. 则不等式转化为n≥4+1有解，令g(x)=4+1,m≥[g(x)]mm, 所以m≥3，即实数m的取值范国是[3，十∞).… 15分 18.【解析】(1)证明：在平面AGC中，过O作ON∥CG,交AG于N, 因为0为AC的中点，所以N为AG的中点，则ON∥CC,ON=2CG, 又DM/CG,DM=2CG,所以DM/ON且DM=ON,. …3分 则四边形ONMD为平行四边形，所以MN∥OD,即BD∥MN, 因为MNC平面AGM,BDt平面AGM,所以BD∥平面AGM.… 5分 (2)法-：连接BN,则Sa=2MN·MD=号×1X1=方， …7分 N D Vmue=VAaN+VcaN=3SaN·AC=号X合X2=号 …10分 法二：（等体积法）由OA=OC=OD知∠ADC=90°， 因为BD∥MN,所以V你=VDg, …8分 因为Cc/MD,所以Vpw=Vco=Vco=专×号x/Ex/ix1=子 …10分 (3)四校锥Q-ABCD和三校锥Q-GCD中含有相同的字母Q,C,D,保留这三个字母，将其他字母统一化. VaxD=3VQMD=3VaD=VcD,所以，点G到平面QCD的距离是点A到平面QCD的距离的三倍，即平面 QCD经过线段GA的一个四等分点X(靠近点A),…13分 高一数学参考答案(5月)一4 VQ4xD=2VQxD=2VaD=VGaD,所以点G到平面QCD的距离是点B到平面QCD的距离的两倍， M D 即平面QCD经过线段GB的一个三等分点Y(靠近点B), …16分 又平面QCD与平面GAB相交于一条直线，点X,Y确定该直线，因此，线段XY即为点Q的轨迹.…17分 19.【解标1010：②号 …4分 (2)由定义<3-c,解得c<是. …5分 函数f(x)的图象对称轴为直线x=2,开口向上. (iwc∈[1，是)则c<3-≤2. 此时D(c,3-c)=f(c)-f(3-c)=-2c+3, -2x+3=-9+积解科6=号∈[1,2》 …7分 (ii)c∈(-∞，1)，则c<2<3-c,且2-c>(3-c)-2, 此时D(c,3-c)=f(c)-∫(2)=(c-2)2, (c-2》=-2+职，解得c=-1或号 其中号(-60,1)，舍去. 综上：所求c=-1或专 10分 (3)先证明：Ha<b,f(x)在[a,b]上的最值点有且仅有a和b.(*) 若存在o∈(a,b),x0为[a,b们上的最值点，不妨设为最大值点， 再设x1为[a,b们上的最小值点，再不妨设x1<o, 此时k(x0一x1)=D(x1,xo)=D(a,b)=k(b-a)>k(xo一x1),矛盾！…13分 故（米）成立，接下来证明f(x)=kx. 故在[0,1]上，由(*)知0,1为[0,1]上唯二最值点 f(0)<f1),∴0为最小值点，1为最大值，点.（**) ∴.f(1)=f(0)+D(0,1)=k. Hy∈(0,1)，在[0，y]上，由(*)知f(0)<f(y), 由(*)知y为[0，y]上的最大值点，0为[0，y]上最小位点， .f(y)=f(0)十D(0,y)=y.… 15分 y∈(1，+∞)，在[0，y]上，由f(1)>f(0)知0不为最大位，点， .f(y)=f(0)十D(0,y)=ky.… 16分 Vy∈(-∞，0)，在[y,1]上，由f1)>f(0)知1不为最小值点， 由(*)知y为[y,1门上的最小值点，1为[y,1]上的最大值点. .f(y)=f(1)-D(y,1)=ky. 综上：f(x)=kx.…17分 高一效学参考答案(5月)一5