云南文山州砚山县第一中学2025-2026学年高一下学期4月综合训练数学试卷

2026年春季学期高一年级4月综合训练·数学 参考答案、提示及评分细则 1.B a.=lal Il cos=1X 2c--+》=是- 2i -2 3.A:直线aC平面a,∴.直线a与平面a可能相交，也可能平行.若a与a平行，则a内与a平行的直线有无 数条；若a与a相交，则a内的直线可以与a相交，也可以与a异面.∴.①②③④都不正确. 4D因为：=侣》1-号一号所以复数：在复平面内对应点为（合一多）：位于第四 象限. 元C因为a,b为单位向量，所以(a-2b)·(a+b)=aP-a·b-2b2=-a·b-1=-合，所以a·b= -号，所以a-b=a-b=aP-2ab+b=5. 6.B,bcos A+acos B=c2,a=b=2,∴.由正弦定理，得sin BcosA+sin Acos B=csin C,即sinC=csinC,∴.c= 1,∴.△ABC的周长为a+b+c=2+2+1=5. 7.D设出发点为A,向东航行到B处后改变航向到达C,则AB=x,AC=30,BC=30√3，∠ABC=30°，由正弦 定理可得：s2 BC sin/BA0,即加=30日 BC 即mn30m2原Csm∠BAC-复.∴∠BAC=60或12，若∠BAC =60°，则∠ACB=90°，△ABC为直角三角形，∴.AB=2AC=60;若∠BAC=120°，则∠ACB=30°，△ABC为 等腰三角形，∴.AB=AC=30,综上，x的值为30或60. 8.A分别取AD,BC的中点G,H,连接GH,FH,过点F作AB的垂 E 线FI,垂足为I,因为FB=FC=3,BC=4,所以FH⊥BC,所以FH =√3一2严=√5，根据对称性可得△FBC≌△EAD,所以S△mC= 2 BCXFH=-7X4X5=25,在R△FBI中，BI=8,4=2,所以FI=VFB-BT=5,S形EB= 2 合(EF+AB)·FI=2(4+8)X5=65,又SEEm=ABX BC-=32,所以SD=2Sa度+2S形EB十 S矩形BcD=32+16√5】 9.AC:0=-是-号iw=}-i-是=-号-号i=,故A正确，w=ww= 【高一训练·数学参考答案第1页（共4页）】 11170A (-京)(-令+）=}-(-是)=1，放B错误w+w+1=-号-子+停+1=0，放C正 确；虚数不能比较大小，故D错误， 10.BC因为向量a和b的“仿射坐标”分别为(3，一2)，(m,一1)，所以a=3e一2e,b=e1一e2,又因为e1,e2 是夹角为60的单位向量，所以f=1,c=1,e·6=号，则a=√3e-2)=√9+4-12x7=万， 故A错误：若m=2,则a十b=3e1一2e2+2e一e2=5e一3e2,此时入=5，=一3，则a+b的“仿射坐标”为 (5,-3),故B正确：由aLb得a·b=(3:-2e)·(me1一e)=3m+2-号(3+2m)=0,解得m=-是，故 C正确：若a/b,则3e,-2e∥ne-e→-2m=-3,得m=号，故D错误， 11.ACD对于A,圆台轴截面为等腰梯形ABCD,其中AB=2,CD=4,OO2=C B' B,则其面积为：Sw=号×(2+)X=3B,故A正确：对于B,由图知， 圆台的母线长AD=√(2一1)2+(W5)=2,则圆台的表面积为：π×22十π×12 十(2x×2+2xX1)X2=11,放B错误：对于C该圆台的体积为V=号×3×xX(1:+2+1X2)= 3 ,故C正确：对于D,将圆台沿着母线BC展开，得到如图的扇环形，由题意，蚂蚁爬行的最 CM的长.因OC-2C=4,劣弧CD的长为2x,放∠C0D的弧度数为至=受，又点M是AD的中点，放OM =3,由勾股定理，CM=√4+32=5，故D正确. 12.-5因为CD=7ED,所以C克=-6D元，则B成-B武+C克-=AD-6D2,所以入+=1-6=-5. 19 因为024(m+i) (侵+9)m∈Ra∈R0,所以m+m=号+i所以=-合+.所以复 数：的虚部是 8 14. 由题可知当正方体棱长α最大时，正方体的外接球恰为圆锥的内切球.作出圆 锥和其内切球的轴截面如图，圆锥的底面半径BC=4,圆锥的高AB=4√3，则母线 长AC=√42+(4)=8，设圆锥的内切球半径OH=r,由△AHO~△ABC,可 得股=把即子=4二，解得，=，棱长为a的正方体的体对角线长为 厅，则其外接球半径为，令-。-，解得。-导所以实数a的最大值为号 【高一训练·数学参考答案第2页（共4页）】 11170A 1点，解：)油直观图与原图之间的关系可得5c=a,2a0-:。 sin 45 2a. ……5分 (2)由斜二测画法规则知∠ACB=90,故原△ABC为直角三角形.…9分 (3)由已知可得在△ABC中，AC=6,BC=8,故AB=AC2+BC=10.…13分 16.解：(1)设圆锥顶点为S,底面圆心为O,圆柱的底面半径为r, 作出圆锥和圆柱的轴截面如下图所示，…3分 EF/AB京=，则=(1-若)R, ………………6分 :圆柱侧面积S=2rx=2R(-关+)。 …8分 (2②油10知：s=2(-x+)-[-(-合》+]， h 12分 “当x=令时，圆柱侧面积取得最大值S= 21 15分 17.证明：(1)由ABCD-A1B1CD1是正方体，可知D1Q∥DB,…3分 D D1Q过平面CDB,DBC平面CDB, .DQ∥平面C1DB.… …7分 (2)由ABCD-A1B1CD1是正方体，DP∥CB,…9分 ,D1P平面CDB,CBC平面CDB, .DP∥平面CDB,… 11分 由(1)知，D1Q∥平面CDB,… 13分 又D1Q∩D1P=D1,.平面DPQ∥平面CDB.… 15分 18解：1)依题意5=d如60-。，8=n0-停6.S=s血60- 32 。…2分 则S+s8c华2+g2-,即a0=公+-. 4 4分 由余弦定理cosB=Q+c-位= 2ac 2 6分 因为B∈(0，x),所以B=答. 7分 (2)因为a=4,B=,所以=a2+c2-2 accos B-=16+2-4c,…. 9分 所以9-c+为-4>2√，至-4=6，当且仅当-2，即c=5时等号成立， 此时b2=16十c2一4c=21,所以b=√2I,… …12分 【高一训练·数学参考答案第3页（共4页）】 11170A 则Sac=acsin B=Za 2 14分 设△ABC内切圆的半径为，则S=之(a+b十c)r,所以r= SAAIC3/3-7 a+b+c 2 所以△ABC内切圆的半径为3VB 2 17分 19.(1)解：因为a=(1-i,i),所以a·a=(1-i)(1+i)+i·(一iD=2+1=3, 可得似的模为似=5；…2分 因为B=(3,4),所以B·=3×3+4×4=25, 所以B的模为=5.… …4分 (2)因为a=(ǎ)，B=(之1,22)，所以|a·引=|名1十21，由复数的三角不等式 |1+22l≤11+|22|=||11+|21，由|a·bl≤|a1bl,得 +≤1，所以|十≤+方，V+,所以川1+✉川1≤ /+y·√+y VT+2下·√个11+|，13=√名十a2·√211+2=||Bl, 综上所知，a…引≤a引. 10分 ②考虑①中等号成立的条件知，对于复数的三角不等式，复向量各分量均不为零时，其等号成立的条件是存 在非负实数k,使得=王， 11分 22 若复向量a=1十il-2i)与g=6e)平行，则-》-k(号+号)…12分 1-2i 根据|1+|忽川引≤√个+2下·√个12+2中等号成立的条件，应有 1s川1-1131测1=- ,…13分 结合=（得+），得√（停）+（兮）=四，解得k=: 15分 所以=号（号+号）=多+2，所以=号-i 17分 【高一训练·数学参考答案第4页（共4页）】 11170A2026年春季学期高一年级4月综合训练 数学试卷 2026.4 注意事项： 1.本试卷分选择題和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。 2.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上 对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答題卡上各题 的答题区战内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。 雾 3.本试卷命题范困：必修第二册(6.1一85)。 园 一、选择题：本大题共8小题；每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项 垫 是符合题目要求的， 釣 1.若单位向量a,b的夹角为牙，则a·b= 长 A R方 C.1 D.2 3 2.若复数z满足2z·i=1十3i(i是虚数单位)，则z= A一+2 B+ C. D-是- 舒 3.若直线aC平面a,则下列结论中成立的个数是 女 ①a内的所有直线与a异面； ②a内的直线与a都相交； 都 ③a内存在唯一的直线与a平行； ④a内不存在与a平行的直线. A.0 B.1 C.2 D.3 4设：一得那么复数z所在的象限为 A.第一象限 B.第二象限 C,第三象限 D.第四象限 5.若单位向量a,b满足(a一2b)·(a十b)=一 ,则1a-61等于 A.1 B.√2 C.√3 D2⑤ 3 6.在△ABC中，A,B,C所对的边分别为a,b,c,若bcos A十acos B=c2,a=b=2,则△ABC的 周长为 A.4 B.5 C.6 D.7 7.某船只在海面上向正东方向行驶了xkm迅速将航向调整为南偏西60°，然后沿着新的方向 【高一训练·数学第1页（共4页）】 11170A ▣ CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描App 行驶了30v3km,此时发现离出发点恰好30km,那么x的值为 A.30 B.60 C.40或60 D.30或60 8.庑殿式屋顶是中国古代建筑中等级最高的屋顶形式，分为单檐庑殿顶与重檐庑殿顶.单檐庑 殿顶主要有一条正脊和四条垂脊，前后左右都有斜坡（如图①）（如图②），若四边形ABCD是 矩形，AB∥EF,且AB=CD=2EF=2BC=8,EA=ED=FB=FC=3,则五面体FE-ABCD 的表面积为 正脊 垂脊 A.32+16√5 B.32+32√5 C.32+8√5 D.64 ② 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.已知复数w=一 +G是虚数单位)心是。的共轭复数，则下列的结论正确的是 到 A.w2=0 B.w3=-1 C.w2+w+1=0 D.w>@ 如 10.设e1,2是夹角为60°的单位向量，由平面向量基本定理知：对平面内任一向量p,存在唯 数 有序实数对(，μ)，使得p=1十e2,我们称有序实数对(，)为向量p的“仿射坐标”，若向 量a和b的“仿射坐标”分别为(3，一2)，(m,一1)，则下列说法正确的是 长 A.|a=3 B.若m=2,则a十b的“仿射坐标”为(5，一3) ☒ C若alb,则m=-是 舒 D若a/6,则m=一是 玄 11.如图所示的圆台OO2,圆台的高为3，上底面圆O2的半径为1，下底面圆O1的半径为2，则 淘 下列说法正确的是 A该圆台轴截面面积为3√3 B.该圆台的表面积为6π C该圆台的体积为24 D.一只蚂蚁从C点出发，沿着圆台表面爬行，最终到达AD的C 0 中点M处，则爬行的最短路程为5 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分 12.在平行四边形ABCD中，C方=7ED,且B龙=λAD+μD龙，则A十4= 18.已知2(m十i=(分+号)‘(m∈R,nmER),则复数=n十i的虚部是 14.已知一个棱长为α的正方体木块可以在一个封闭的圆锥形容器内任意转动，若圆锥的底面 半径为4，高为4√3，则实数a的最大值是 【高一训练·数学第2页（共4页）】 11170A ▣▣ CS扫描全能王 问3亿人都在用的扫描ApPp 2. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15.(13分) (1)已知△ABC的直观图△A'B'C是边长为a的正三角形，求原△ABC的面积， (2)如图，△A'B'C是水平放置的△ABC斜二测画法的直观图， y 试判断△ABC的形状， B (3)若(2)中△A'B'C的A'C'=6,B'C'=4,则△ABC中AB的 长度是多少？ (C 0 16.(15分) 已知一个圆锥的底面半径为R,高为h,在其内部有一个高为x的内接圆柱 (1)求圆柱的侧面积； (2)求圆柱的侧面积的最大值及此时x的值. 17.(15分) 如图，在正方体ABCD-A1B1CD,中，P、Q分别是平面AA1DD、平面A1B,CD的中心， 证明： (1)DQ∥平面CDB; D (2)平面DPQ∥平面CDB. 【高一训练·数学第3页（共4页）】 11170A ▣▣ CS扫描全能王 问3亿人都在用的扫描APp 3 18.(17分) 在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且分别以a,b,c为边长的三个正三角形的 面积依次为SS,5,已知S,+S,-5,=5。 (1)求角B: (2)已知a=4,当十9取最小值时，求△ABC内切圆的半径。 釵 知 致 19.(17分) ← 利用平而向量的坐标表示，可以把平面向量的概念推广为坐标为复数的“复向量”，即可将有 ☒ 序复数对(1,2)（其中之1，之2∈C)视为一个向量，记作a=(之1,2）.类比平面向量可以定义 其运算，两个复向量α=（之1，z2),B=(z'1,z2)的数量积定义为一个复数，记作a·B,满足 舒 a·B=z1十z2z,复向量a的模定义为a=√a·a 钩 (1)设a=(1一i,i),B=(3,4),i为虚数单位，求复向量a,B的模： (2)设a,B是两个复向量， 架 ①已知对于任意两个平面向量a=(1y),b=(x2y2)(其中x1,x2,y1,y2∈R),， |a·b≤a|b成立，证明：对于复向量a,B,a·≤a|也成立； ②当a·B引=a||B时，称复向量a与B平行.若复向量a=(1十i,1一2i)与B= (i,z)平行（其中i为虚数单位，z∈C),求复数之. 【高一训练·数学第4页（共4页）】 11170A ▣口 CS扫描全能王 可3亿人都在用的扫描App 4