精品解析：四川绵阳中学2025-2026学年高一下学期第一学月考试数学试题

绵阳中学2025级高一下期第一学月考试 数学试题 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 截一个几何体，各个截面都是圆面，则这个几何体一定是（ ） A. 圆柱 B. 圆锥 C. 球 D. 圆台 2. 已知复数满足，则的虚部为（ ） A. 1 B. C. i D. 3. 已知向量满足，=1，则向量的夹角为（ ） A. 30° B. 45° C. 60° D. 90° 4. 如图，在平行四边形ABCD中，E是BC的中点，F是线段AE上靠近点A的三等分点，则等于（ ） A. B. C. D. 5. 如图，的斜二测画法的直观图是腰长为1的等腰直角三角形，轴经过的中点，则（ ） A. B. 2 C. D. 6. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，的面积为，则（ ） A. B. 4 C. 2 D. 7. 已知△ABC满足，则△ABC的形状为（ ） A. 直角三角形 B. 等边三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形 8. 从正方体的八个顶点中选择四个顶点构成空间四面体，则该四面体不可能（ ） A. 每个面都是等边三角形 B. 每个面都是直角三角形 C. 有一个面是等边三角形，另外三个面都是直角三角形 D. 有两个面是等边三角形，另外两个面是直角三角形 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在中，，，则角的可能取值为（ ） A. B. C. D. 10. 设复数的共轭复数为，为虚数单位，则下列命题正确的是（） A. B. C. 若，则在复平面内对应的点位于第三象限 D. 若，则的最大值是6 11. 已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点B绕点A沿逆时针方向旋转角得到点P.已知平面内点，点，点B绕点A沿逆时针方向旋转得到点P，点B绕点A沿顺时针方向旋转得到点Q，则下列结论正确的是（ ） A. P的坐标为 B. Q的坐标为 C. D. 在方向上的投影向量为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，，且，则______. 13. 如图，设M，N为某海边相邻的两座山峰，到海平面的距离分别为 100米，50米.现欲在M、N之间架设高压电网，须计算 M，N之间的距离.勘测人员在海平面上选取一点 ，利用测角仪从P点测得的M，N点的仰角分别为，，并从P点观测到M，N点的视角（即角 ）为，则 M，N之间的距离为________米. 14. 如图，在四边形中，，，，，.则的面积的最小值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. （1）已知p，q为实数，若在复数范围内，是关于的方程的一个根.求的值. （2）若复数为纯虚数，求m的值. 16. 已知向量，的夹角为，且． （1）若，求的坐标； （2）若，，求的最小值． 17. 已知的内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，设向量,,且. （1）求角C； （2）若，的面积为，D为边的中点，求的长. 18. 在中，P为的中点，O在边上，交于R，且，设，. （1）求的值，并用，表示； （2）若，，，求的余弦值； （3）若点H在上，且，设，，，且.求的取值范围. 19. “费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题，该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小.”意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于时，使得的点O即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点.试用以上知识解决下面问题：已知的内角，，所对的边分别为，，，且. （1）求角； （2）若，设点为的费马点，求； （3）设点为的费马点，求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 绵阳中学2025级高一下期第一学月考试 数学试题 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 截一个几何体，各个截面都是圆面，则这个几何体一定是（ ） A. 圆柱 B. 圆锥 C. 球 D. 圆台 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：圆柱截面可能是矩形；圆锥截面可能是三角形；圆台截面可能是梯形，该几何体显然是球，故选C． 2. 已知复数满足，则的虚部为（ ） A. 1 B. C. i D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，由复数的运算即可得到结果. 【详解】由题意可得，所以z的虚部为， 故选：B. 3. 已知向量满足，=1，则向量的夹角为（ ） A. 30° B. 45° C. 60° D. 90° 【答案】C 【解析】 【分析】由向量夹角余弦公式可得答案. 【详解】由题可得，则，又，则向量的夹角为60°. 故选：C 4. 如图，在平行四边形ABCD中，E是BC的中点，F是线段AE上靠近点A的三等分点，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用平面向量的线性运算求解. 【详解】解：， ， ， ， 故选：C 5. 如图，的斜二测画法的直观图是腰长为1的等腰直角三角形，轴经过的中点，则（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，过点，分别作轴和轴的平行线，即可得到的坐标，再由两点间距离公式，即可得到结果. 【详解】 根据题意，如图，在直观图中，过点，分别作轴和轴的平行线， 与轴和轴分别交于点，，由于的直观图是腰长为1的等腰直角三角形， 则，，则的坐标为，则，， 故原图中，的坐标为，A的坐标为， 故， 故选：C. 6. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，的面积为，则（ ） A. B. 4 C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角形面积公式，结合已知条件求得，再利用余弦定理，即可求得. 【详解】由于，故，由于，的面积为，故， 整理得，解得； 由余弦定理可得，解得. 故选：A. 7. 已知△ABC满足，则△ABC的形状为（ ） A. 直角三角形 B. 等边三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知得到，利用正弦定理可求得，结合三角形内角和为以及两角和的正弦公式可求得，即可确定三角形形状. 【详解】解：根据得到：， 由正弦定理，可得， 又C为三角形的内角，得到， 可得， 又， ∴，即， ∴，且A和B都为三角形的内角， ∴， 则的形状为等腰三角形． 故选：D． 8. 从正方体的八个顶点中选择四个顶点构成空间四面体，则该四面体不可能（ ） A. 每个面都是等边三角形 B. 每个面都是直角三角形 C. 有一个面是等边三角形，另外三个面都是直角三角形 D. 有两个面是等边三角形，另外两个面是直角三角形 【答案】D 【解析】 【分析】根据正方体的性质和四面体的特征，结合图形逐个分析判断即可. 【详解】如图， 每个面都是等边三角形，A不选； 每个面都是直角三角形，B不选； 三个面直角三角形，一个面等边三角形，C不选，选D． 故选：D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在中，，，则角的可能取值为（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】由正弦定理，可得，又，所以，又，可得，可判断各个选项. 【详解】由正弦定理，可得，又，所以，又，所以，即角为锐角，所以角的取值范围为，故A，B正确. 故选：AB. 10. 设复数的共轭复数为，为虚数单位，则下列命题正确的是（） A. B. C. 若，则在复平面内对应的点位于第三象限 D. 若，则的最大值是6 【答案】BCD 【解析】 【分析】设，利用复数共轭、模的运算判断A、B，通过三角形式求出的实部虚部判定所在象限，再由复数模的几何意义看出对应点在定圆上，结合圆心到原点距离求出最大值，最终得出正确选项为BCD. 【详解】设复数，共轭复数，. 选项A：，，当时，，A错误. 选项B：，B正确. 选项C：，，对应点在第三象限，C正确. 选项D：表示在复平面上对应的点在以为圆心，1为半径的圆上，圆心到原点距离为，，D正确. 11. 已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点B绕点A沿逆时针方向旋转角得到点P.已知平面内点，点，点B绕点A沿逆时针方向旋转得到点P，点B绕点A沿顺时针方向旋转得到点Q，则下列结论正确的是（ ） A. P的坐标为 B. Q的坐标为 C. D. 在方向上的投影向量为 【答案】AC 【解析】 【分析】根据新定义计算判断AB，利用向量的模计算判断C，根据投影向量计算判断D. 【详解】对A，，将点绕点逆时针旋转得到点， 则，设，则，所以，解得，则P的坐标为，故A正确； 对B，点B绕点A沿顺时针方向旋转得到点Q，即点B绕点A沿逆时针方向旋转得到点Q，即， 设，则，即， 解得，所以Q的坐标为，故B错误； 对C，因为P的坐标为，所以， 故，故C正确； 对D，在方向上的投影向量为，故D错误. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，，且，则______. 【答案】 【解析】 【详解】由. 所以. 13. 如图，设M，N为某海边相邻的两座山峰，到海平面的距离分别为 100米，50米.现欲在M、N之间架设高压电网，须计算 M，N之间的距离.勘测人员在海平面上选取一点 ，利用测角仪从P点测得的M，N点的仰角分别为，，并从P点观测到M，N点的视角（即角 ）为，则 M，N之间的距离为________米. 【答案】 【解析】 【分析】先根据题目条件求出，，再在中，利用余弦定理求出. 【详解】由题意得，，， ， 在中，，在中，， 在中，由余弦定理得 ， 故. 故答案为： 14. 如图，在四边形中，，，，，.则的面积的最小值为______. 【答案】 【解析】 【分析】利用正弦定理把与表示为的表达式，再把的面积表示出来，从而计算出的面积的最小值. 【详解】 在四边形中，，，，, 所以，, 所以， 在中,，， 在中，,, 所以， 由于，所以，， 故， 所以，. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. （1）已知p，q为实数，若在复数范围内，是关于的方程的一个根.求的值. （2）若复数为纯虚数，求m的值. 【答案】（1）0；（2） 【解析】 【分析】（1）把代入方程，利用复数相等可得答案； （2）利用纯虚数的限制条件可得答案. 【详解】（1）由题意，， 因为是实数，则，且， ∴. （2） 为纯虚数，， 或（舍去），即. 16. 已知向量，的夹角为，且． （1）若，求的坐标； （2）若，，求的最小值． 【答案】（1）或； （2）. 【解析】 【分析】（1）设出的坐标，利用向量模的坐标表示及数量积的定义列式求解作答. （2）利用垂直关系的向量表示求出，再利用数量积的运算律建立函数关系，求出最小值作答. 【小问1详解】 设，由，得，即， 而向量，的夹角为，则，又， 即，解得，于是，即有或， 所以的坐标是或. 【小问2详解】 由，得，即，因此，， 因此 ，当且仅当时取等号， 所以当时，取得最小值. 17. 已知的内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，设向量,,且. （1）求角C； （2）若，的面积为，D为边的中点，求的长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据得到,再利用正弦定理和余弦定理求解即可; （2）先根据三角形的面积公式求出,再利用余弦定理求出即可. 【小问1详解】 因为,,且, 所以, 由正弦定理可得:，即, 由余弦定理得:，所以, 又,所以. 【小问2详解】 因为, 由三角形面积公式得:，解得, 因为D为边的中点，所以， 在中，， 即，所以. 18. 在中，P为的中点，O在边上，交于R，且，设，. （1）求的值，并用，表示； （2）若，，，求的余弦值； （3）若点H在上，且，设，，，且.求的取值范围. 【答案】（1），且. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）以为基底，利用为中点得，设表示出的第一种形式.再由得，利用$B，R，O$三点共线设，得到的第二种形式.由平面向量基本定理比较系数，解方程组求出，即得比值与的表达式. （2）由第一问得到的，先求出和，然后利用已知的模长和夹角条件，分别计算、以及，最后代入夹角公式求得结果. （3）设，则所求比值即为.利用向量的线性运算，将用表示，进而得.由得，代入模长与夹角条件，化简得到关于的函数分析该函数在上的单调性，求得的取值范围即为所求. 【小问1详解】 已知为中点，则. 又，且在边上，故. 设，，则. 于是. 因为三点共线，设，则 . 由平面向量基本定理，比较两式中与的系数，得方程组 由第二式得，代入第一式：. 两边乘得，整理得，故. 代入得，因此，且. 【小问2详解】 已知，，，则. 由前知，故， . ，故. ，故. . 故. 【小问3详解】 由前知. 设，，则. . . 由得，其中. 代入已知，，： ，解得， 令， 由得，随增大而增大. 故随增大而减小. 当时，. 当时，. 故. 19. “费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题，该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小.”意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于时，使得的点O即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点.试用以上知识解决下面问题：已知的内角，，所对的边分别为，，，且. （1）求角； （2）若，设点为的费马点，求； （3）设点为的费马点，求的最小值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理，可得三边的数量关系，再结合勾股定理的逆定理可得角. （2）根据费马点的概念可分别表示，再利用，结合三角形面积公式，即可求出所需要的结果. （3）结合费马点的概念及勾股定理，可得. 设，，再利用基本不等式，可求的最小值，即为所求. 【小问1详解】 因为， 根据正弦定理可得，所以是以角为直角的直角三角形. 所以. 【小问2详解】 因为为的费马点， 所以， 所以，，. 又， 所以， 所以. 【小问3详解】 因为为的费马点， 所以. 由余弦定理，，，. 又，所以. 设，，. 则，又，当且仅当时取等号. 所以 ， 由，所以. 即的最小值为，当且仅当时取等号. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $