山东济南旅游学校(济南第三职业中等专业学校)2025-2026学年第二学期高三第二次模拟检测考试数学试题（2026.5）

**基本信息** 2025-2026高三二模数学试卷，通过选择、填空、解答题梯度设计，覆盖代数、几何、概率等核心知识，注重逻辑推理与空间观念，适配高考备考需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|集合、函数周期、正态分布|基础概念辨析，如第3题结合正态与二项分布考查数据意识| |多选题|3/18|复数、数列、立体几何|多选项分层，如第10题数列与等比数列判定，体现推理能力| |填空题|3/15|向量、排列组合、圆与直线|实际应用，如第13题产品检测计数，培养应用意识| |解答题|5/77|解三角形、导数、椭圆、立体几何、数列|分层设问，如第19题数列通项、求和与不等式证明，综合考查数学思维与表达|

2025-2026学年第二学期高三第二次模拟检测考试 数学试题（2026.5） 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息； 2．请将答案正确填写在答题卡上，并且解答题用黑色签字笔答题，铅笔答题不给分. 第I卷（选择题） 一、单选题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1．已知全集，集合，，则集合（   ） A． B． C． D． 2．已知实数，满足，且，则（    ） A． B． C． D． 3．已知随机变量分别服从正态分布和二项分布，且，，则（    ） A． B． C． D． 4．函数的最小正周期为（ ） A． B． C． D． 5．已知圆与直线相切，且经过坐标原点和，则圆的半径为（   ） A． B． C． D． 6．已知定义在上的函数满足，则必有（    ） A． B． C． D． 7．已知函数， ，若恰有个零点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．已知双曲线：（）的两条渐近线互相垂直，抛物线：（）的焦点到的渐近线的距离为，过点作的两条切线，切点分别为点，则直线在轴上的截距为（   ） A． B．2 C． D． 二、多选题（本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目 要求.全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.） 9．已知复数，其中在复平面内对应的点为，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C．若，则 D．若，则 10．设数列的前n项和为，满足.则下列说法中正确的是（   ） A． B． C．是等比数列 D．若，数列前n项和，则 11．如图，正方体的棱长为2，E是的中点，则（   ） A．若是的中点，则直线与是异面直线 B．由，C，E三点确定的平面与正方体相交形成的截面周长为 C．与平面BCE所成角为 D．三棱锥的外接球的表面积为 第II卷（非选择题） 三、填空题（题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.） 12．已知正方形的边长为2，点P满足，则_________． 13．某自动化生产线连续生产编号为1到10的10个产品，计划从中抽取3个进行检测，若抽取的3个产品编号不全是连续整数，则抽取方法种数为______. 14．若圆上恰有两个点到直线的距离为，则的取值范围是______． 四、解答题（本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15.（满分13分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，. (1)求的值； (2)若，求△ABC的面积； (3)求的值. 16.（满分15分）已知． (1)若，求不等式的解集； (2)若函数满足在上存在极大值，求m的取值范围. 17.（满分15分）已知椭圆的短轴长为2，右顶点为抛物线的焦点. (1)求椭圆的标准方程和离心率； (2)若直线l过椭圆C的右焦点F且与椭圆C相交于P，Q两点（点P在x轴上方），（O为坐标原点），求直线l的方程. 18.（满分17分）如图，四棱锥的底面是菱形，是的中点，是的中点，． (1)证明： 平面． (2)证明：平面． (3)若，求与平面所成角的正弦值． 19（满分17分）．已知，数列满足，当时，. (1)求数列的通项公式； (2)数列的前n项和为，证明：； (3)若数列满足，，求数列的前n项和. 出题人：田露 审核人：许美红 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2025-2026学年第二学期高三第二次模拟检测考试》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 D D D C C B B D BCD ACD BD 1．D 【详解】解：，故A不符合题意； ，故B不符合题意； ，，故C不符合题意； ，故D符合题意． 2．D 3．D 【分析】由正态分布结合二项分布的定义以及期望和方差公式即可求解. 【详解】由题可得，，，， 所以. 故选：D. 4．C 【详解】分析:将函数进行化简即可 详解：由已知得 的最小正周期 故选C. 点睛：本题主要考查三角函数的化简和最小正周期公式，属于中档题 5．C 【分析】根据圆过点且与直线相切，求出直线，再由圆过点和原点，求出直线，联立，求出圆心即得半径. 【详解】因为点在直线上， 所以过点且与直线垂直的直线方程为， 所以圆心落在直线上，又圆过和， 则的中点为，其垂直平分线斜率为2， 所以的垂直平分线方程为，即， 所以圆心在直线上， 联立，得， 所以圆心为， 所以半径． 故选：C 6．B 【详解】设，则，所以在上单调递增，则，即，所以. 7．B 【分析】利用导数判断函数的单调性，结合函数性质作函数的图象，条件 恰有个零点可转化为直线与的图象恰有2个交点，结合图象求结论. 【详解】当时，，则， 所以当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 所以当时，函数的取值范围为． 作出的大致图象，如图所示． 由，得， 由图可知，当时，直线与的图象恰有2个交点， 即恰有2个零点． 所以的取值范围是. 8．D 【分析】根据点到直线的距离公式得出抛物线的方程，然后再通过抛物线的切点弦公式即可求解. 【详解】双曲线的两条渐近线分别为和，由于这两条渐近线垂直，斜率乘积为， 即，故两条渐近线分别为和， 设抛物线的焦点为，焦点到渐近线的距离为，由点到直线的距离公式得， 因此抛物线方程为，由于过外点作抛物线的切点弦方程为， 代入，得，因此直线的方程为， 在轴的截距为当时的值，代入得，即直线在轴的截距为，故D正确. 9．BCD 【详解】对于A，因为在复平面内对应的点为，所以，故A错误； 对于B，由，得，所以，故B正确； 对于C，因为，所以，所以， 所以或，所以或，所以，故C正确； 对于D，因为，可得，所以，又因为， 所以，所以，所以，又， 所以，故D正确. 10．ACD 【分析】根据关系及等比数列的定义求数列的通项公式，进而判断A、B、C，应用裂项相消法求判断D. 【详解】当时，，解得. 当时，， ，即， 数列是以首项为2，公比为2的等比数列，故. A，，正确； B，， ， ，错误； C，，则， 是以4为首项，2为公比的等比数列，正确； D，， ， ， ，正确. 11．BD 【分析】A应用正方体的结构特征及平行线的传递性判断；B由平面的基本性质画出截面图，并确定其形状，进而求出截面图形的周长判断；C利用线面垂直的性质判断与CE是否垂直即可；D构建合适的空间直角坐标系，标注相关点坐标并求出球心坐标，进而求出外接球的半径，即可得. 【详解】A，若为的中点，则，， 所以为平行四边形，则， 又，，则为平行四边形， 所以，故，故A错误； B，如图，过，C，E三点确定的平面与正方体相交形成的截面为等腰梯形， 其中F为的中点（平行则四点共面），则等腰梯形的周长为，B正确. C，， 与不垂直，且平面， 若平面，必有，矛盾，C错误； D，以A为原点，AB，AD，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 则，，，， 设外接球的球心为，则 ， ， ， 联立可得，，， ，，D正确. 12． 【解析】首先根据得到为的中点，再利用勾股定理求即可. 【详解】因为，所以为的中点， 所以. 故答案为： 13．112 【详解】当取到的3个产品编号是相邻整数时，不符合要求， 即，这8种情况不符合要求， 所以抽取方法种数为. 14． 【分析】求出圆的圆心坐标与半径，求出圆心到直线的距离，根据直线与圆的位置关系可得出关于实数的不等式，解之即可. 【详解】由题意可知，圆的圆心为，半径为， 圆心到直线的距离， 由于圆上恰有两个点到直线的距离为， 则，即， 解得或． 因此，实数的取值范围是. 故答案为：. 15．(1) (2) (3) 【分析】（1）由正弦定理化边为角得，结合条件利用和角公式求得，进而求出的值； （2）利用（1）的结论，结合和角公式求得的值，进而利用三角形面积公式即可求得； （3）利用三角恒等变换公式依次求得，与的值即可. 【详解】（1）由和正弦定理，可得， 又，则， 整理得， 故. （2）由（1）可知，则角为锐角，因为，， 求得，，同理解得，， 因为，所以， 则. （3）由，故， ，， 则. 16．(1) (2)且. 【分析】（1）先求出，从而原不等式即为，构建新函数，由该函数为增函数可求不等式的解； （2）求出函数的导数，就分类讨论后可得参数的取值范围. 【详解】（1）因为，故，故，故， 故即为， 设，则，故在上为增函数， 而即为，故， 故原不等式的解为. （2）在有极大值即为有极大值点. ， 若，则时，，时，， 故为的极小值点，无极大值点，故舍； 若即，则时，， 时，， 故为的极大值点，符合题设要求； 若，则时，，无极值点，舍； 若即，则时，， 时，， 故为的极大值点，符合题设要求； 综上，且. 17．(1)，离心率为 (2) 【分析】（1）根据已知确定椭圆参数值，即可得椭圆的标准方程，进而求离心率； （2）由题意，设l的方程为，，，联立椭圆方程，并应用韦达定理及已知有，进而列方程求参数，即可得. 【详解】（1）椭圆的短轴长为2，可得， ， 椭圆C的右顶点为抛物线的焦点， ，则， 椭圆C的方程为，离心率为. （2）由题意知l的斜率不为0，，故设l的方程为，，. 由，得， ，，. ，依题意知， ，，则，解得，则， 直线l的方程为，即. 18．(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3) 【分析】（1）设，连接，利用三角形中位线定理得到，再利用线面平行的判定定理证明即可； （2）先证明平面，所以，再利用线面垂直的判定定理证明即可； （3）在平面内，过点作，则根据条件以点为原点建立空间直角坐标系，利用空间向量求与平面所成角的正弦值． 【详解】（1）设，连接，所以， 因为，所以，所以为中点； 又因为是的中点，所以是 的中位线； 所以， 又因为平面，平面， 所以平面． （2）因为底面是菱形，所以 ； 又因为，，平面， 所以平面， 因为平面， 所以 又因为，，平面， 所以平面． （3）在平面内，过点作，所以 因为平面，以点为原点， 分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示： 设 因为在菱形中，，所以都是等边三角形， 所以 ， 所以 ， 因为是的中点，所以 ， 则 ， ， 设平面的法向量为 则，即 ，令，得到 设与平面所成角为， 则． 19．(1)； (2)证明见解析； (3). 【分析】（1）变形给定等式，构造常数列求出通项公式. （2）利用等比数列前n项和公式，结合差值比较法推理证明. （3）按为偶数、奇数分类，利用分组求和法，结合等差等比数列前n项和公式求解. 【详解】（1）当时，由，得，即， 因此，数列是常数列，则，即， 所以数列的通项公式为. （2）由（1）得，则，数列是等比数列， 则，，， ， ，因此， 所以对任意，. （3）由（1）得，所以，， 则， 当n为偶数时，， 设，， ， ， 两式相减得 ，于是， 又， 因此； 当n为奇数时，， ，而满足上式， 所以. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $