安徽省2026年第一届“玄符杯”线上联合考试 数学

秘密★启用前 2026年第一届“玄符杯”线上联合考试 数学 考生号： 姓名： 本试卷共6页，25小题，满分120分.考试用时120分钟 注意事项：1.答题前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔将自已的准考证号、姓名、 考场号和座位号填写在答题卡上，用2B铅笔在“考场号”和“座位号” 栏相应位置填涂自己的考场号和座位号，将条形码粘贴在答题卡“条形码 粘贴处” 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项 的答案信息点涂黑；如需改动，用皮擦千净后，再选涂其他答案，答案不 能答在试卷上。 3.非选择题必须用黑色字迹的签字笔或钢笔作答，答案必须写在答题卡各题 目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新 的答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效 3.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 第一部分选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的.) 1.2sin30°-1=(*）. A.0 B. 2 C.3-1 D.-1 2.2026年是“十五五”开局之年.过去，我国在“十四五”计划中全国财政总支出超136 万亿元，为中国式现代化注入新动能，将数据136万亿用科学计数法表示为(*)， A.1.36×101 B.0.136×101s C.1.36×104 D.1.36×1013 3.下列运算结果正确的是(*). A.(a-1)2=2-1 B.3a+a2=4a' C.(a2b6)2=a2b 山。分曲a0 4.估计√2(8+V5)的值在(*). A.6和7之间 B.7和8之间 C.8和9之间 D.9和10之间 数学试卷第1页共6页 5.两圆周长之差为6π，面积之差为18π，则小圆的周长为(*). A.3π B.5π C.7π D.9元 6.如图1，平面直角坐标系x-O-y内，B在x轴正半轴上，向上作等边△AOB,反比例 函数图像经过OA中点和AB上一点C,则4C=(*). OA A.② B.22 2 3 c. D. 3 2 图1 7.如图2，湖面上有一横截面为抛物线的拱桥，以其顶点为原点建系其解析式为y=x2, 若拱桥内水位上涨了h,水面变窄了△x,则原水面宽为(*)· A.Arah B.Ar2h 2△x 2a△x C.4r- 2h D.Ar- ah a△x 2△x 图2 8.如图3，菱形ABCD中，∠A=60°，AB=8,E为BD中点，点M、N分别在线段AB、 BC上，BN-BM=3,则DN-EM的最大值为(*)· A D A.3 B.V13 E C.2W3 M D.4 B C 图3 9.A(-3,4)、B(-7,1)为平面直角坐标系x-O-y内两点，则坐标轴上能使△ABC为直角三 角形的点C的个数为(*)· A.6 B.5 C.4 D.3 10.如图4，己知△ABC,F是BC的中点，H在线段FC上，点E是AH上的一点，FE⊥ AH,∠HAC=2∠AFE,∠AFH+∠BAC=180°，BC=2N5EF=2V5,则AC=（*). A.4-V6 B.V3+2 2 C.5-1 D.2w6-5 图4 数学试卷第2页共6页 第二部分非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分.） 11.从数字2、4、8、11、21中随机抽一个数为质数的概率为* 12.如图5，△ABC≌△EDA,点D在AB上，DE交AC于点F,AB=3BC=6,则EF的 长度为*一： 13.已知函数y=x-k (k≠0)，若k=1,y≥0，则x取值范围为*；无论k为何值， x+k 其图像经过定点*一 14.如图6，一薄玻璃片俯视图为长方形ABCD,BC=2W3,AB=2,一光线从AB中点出 发经过两次反射到达点A,则光线路程长为*· 15.如图7，AB为圆直径，D为弧BC中点，AD交BC于点E,AD·AE=yBC2,令 sn∠ABC=x,则y关于x的函数解析式为*（写出x的取值范围）· 16.已知点A(y)、B(xy2)、C(y)是函数y=x2-4x+1图像上的动点，若存在 <x<+1<x,<m+2<x<m+3,使y,<y,≤y,则m取值范围为*_ A D E y D D 图5 图6 图7 三、解答题（本大题共9小题，满分72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.(本小题满分4分) x+3y=4, 解方程组： 2x-y=2. 18.(本小题满分4分) 如图8，已知△ABC,E为边BC的中点，过E作AC的垂线 分别交AC、AB于D、F,若EF=DE+DC,求∠A的度数. B E 19.(本小题满分6分) 图8 已知曲线T:y= x2+1 -1 x2-1 x2-x 3x2-6x+3 (1)化简曲线T解析式： (2)求出曲线T图像上横、纵坐标都为整数的点. 数学试卷第3页共6页 20.(本小题满分6分) 甲老师和乙老师分别在某视频平台开设个人视频频道科普科学知识，平台提供了两位老 师近期五个视频的播放进度和点击率的数据图（图9和表格）： 观众留存（单位：百分比） 100 甲 90 80 乙▲ 70 60 50 40 30 30 0 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100视频进度 图9：视频观看人数比例（以起始为100%） (单位：百分比) 视频 一 二 三 四 五 甲 10 15 12 13 15 乙 11 6 14 15 9 表格：视频点击率（单位：百分比） 参考公式：观众存留= 当前观众人数 ×100%,点击率= 用户点击次数 ×100% 起始观众人数 平台展示次数 (1)若甲、乙视频各有1000人观看，则视频进度超过50%的共约有*_人： (2)分别计算甲、乙视频的平均点击率： (3)若甲通过优化封面和标题提高视频吸引力（完播率不变），已知他最新的一批视频 完整播放次数和平台展示次数共分别为200和10000，请仅从平均点击率的角度判断他的优 化是否成功 21.(本小题满分8分) 在学习梯形的课堂中，小明对梯形进行分割再拼接，得到新的几何图形 (1)现有一等腰梯形ABCD,上、下底边长分别为a、b(b>a),高为h. ①如图10，沿梯形高线分割再拼接可得到一矩形，则矩形周长为*： ②如图11，沿梯形对角线分割再拼接可得到一等腰三角形，求该三角形周长： (2)如图12，四边形ABCD为任意梯形，AB∥CD,请仅用一条直线将其分割，再严丝 合缝地拼接成一个三角形（利用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法，画出如图10、 11示意图) A(C E D D(B') B EB(D) C(A)D 图10 图11 图12 数学试卷第4页共6页 22.(本小题满分10分) 北 在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台 A 风中心位于城市0的东偏南9(cs0-5)方向 10 300km的海面P处，并以20mh的速度向西偏北45°方 向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为 60km,并以10km/h的速度不断增大，观测点A位于 45△ 0正东方向，P北偏东45°方向，其抽象如图13所示. (1)求观测点A当前与风眼P距离： (2)求该城市受到台风侵袭的时长. 图13 23.(本小题满分10分) A 如图14，已知△ABC,BC=2AC,D为BC中点，连 接AD,将△ADB以AD为轴翻折，得到△ADE,连接CE. (1)判断并证明四边形ADEC的形状： G (2)延长DE至点F,连接AF交CD于点G,若CE D 平分四边形CFG面积，求DE的值. EF E 图14 数学试卷第5页共6页 24.（本小题满分12分) 已知抛物线yn=-(x-a)+a,(n为正整数，且0<a<a,<.<am)与x轴的交点为 An1(亿0)和An(b,0)，当n=1时，y=-(x-a)2+4与x轴的交点为A,(0,0)和A(b,0), 其他依此类推. (1)求a、b的值： (2)证明：存在过点(2,0)且不与坐标轴垂直的直线与上述所有抛物线相交得到弦的长 度相等，并写出其长度和该直线的解析式： (3)已知抛物线Gn满足Gn=y.，Dn为G上位于x轴下方一点，作△A-AP的外接圆 OI,过Pn作x轴垂线交oT.于Q.,设△An-A,21的面积为Sn，若对于任意的正整数n, 均有S<k成立，求k的最小值 25.(本小题满分12分) A E D 在边长为4的正方形ABCD中，E、F分别为线段AD、 CD上的点（不与端点重合）且AE=CF,连接AF,△ABE 的外接圆与AF交于点H, (1)如图15，当E为AD中点时，求证：△ABE≌△HBE: (2)如图16，连接BF,线段BF与△ABE的外接圆交于 点Q,连接CQ,当∠CQB=135°时，求AE的长； 图15 （3)如图17，将△BEH绕点B旋转，使边BE与BF重合，得到△BFG,连接CG,求 CG+BG的最小值. A E D A E D H H B 图16 G 图17 数学试卷第6页共6页秘密★启用前 2026年第一届“玄符杯”线上联合考试 数学参考答案及评分细准 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.) 题号 1 2 3 4 5 6 > 8 9 10 答案 A D D ① B C 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分.） 2 11. 5 12.16 13.x≥1或<-1；(0，-1) 14.√57 5. ·（0<x<1) 16,-<m0吸0m月 注：13题第一空1分，第二空2分.上述所有填空题目，存在漏写、多写、错写等情况，均不得分 三、解答题（本大题共9小题，满分72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17.(本小题满分4分) :x+3y=41分)“+3(2x-2)=4(2分) 〔x-10(3分)， > 2x-2=y. 6 y=(4分). 7 18.（本小题满分4分) 法一：如图1，过B作BG⊥FD于G, .E为BC中点， D ∴.BE=EC①， ED⊥AC, G ∴.∠BGE=∠CDE=90°②， F 图1 又'∠BEG=∠CED③， ∴.由①②③可得△BGE≌△CDE, (3分) ∴.GB=DC,GE=DE .EF=DE+DC=GE+GB=GE+GF, ∴.GB=GF,∠F=45°， 故∠A=90°-∠F=45°. (4分) 注：全等条件找出一个得1分，共3分（法二同理）。 法二：如图2，在ED的延长线上取一点Q,使得EQ=EF①， B E为BC中点， E ∴.BE=EC②， 图2 数学参考答案及评分细准第1页共9页 又，∠BEG=∠CED③， ∴.由①②③可得△BFE2△CQE, (3分) ∴.EF=EQ,∠CQE=∠BFE, EF=DE+DC,EO=DE+DO, ∴.DC=DQ,∠CQE=∠BFE=45°， 故∠A=90°-∠F=45°. (4分) 19.(本小题满分6分) (1)y=r+1-r+xx3x2-6x+3x+1 3(x-1)23 （3分) x2-x x2-1x(x-1）(x-1)x+1)x 注：术11正确通分得莎骤分1分，，能正嗡因式分解得步 x2-x x-x 3x2-6x+33(x-1)月 骤分1分，解析式y=3正确得结果分1分，步骤跳步但解析式正确得3分」 (2)x为整数，且为3的约数，满足条件的解为x=±1，±3. 由于x2-1≠0，x≠±1， (4分) .x=±3， 当x=3,y=1; 当x=-3,y=-1. 故满足条件的点有(3,1)、（-3，-1). (6分) 注：求出一个正确的点得1分；如果由于未考虑到定义域写出不符合条件的点扣除1分，且不重 复扣分；若仅写出一个正确的点，同时又写出其他不符合条件的点，此小问不得分 20.(本小题满分6分) (1)1100 (2分) 由图1分析可得，当视频进度在50%处， 甲的观众留存约为1000×80%=800人： 乙的观众留存约为1000×30%=300人： 则视频进度超过50%的约有800+300=1100人； 注：若考生误加单位（人)，不扣分 (2)根据图2信息，可得 甲的平均点击率=1096+1596+1296+13%+156=13% (3分) 乙的平均点击率=16+696+14%+1596+96=11%. (4分) 5 (3)由图1得，甲的完播率为10%，新视频的用户点击次数：200÷10%=2000次（5分) 平均点击率= 2000 ×100%=20%>13%,所以他的优化成功 (6分) 10000 21.(本小题满分8分) (1)a+b+2h; (2分) D(B') (2)法一：如图3， 过D作DH⊥BC于点H, 根据题设，可知DB=DD', 由三线合一得H为BD'中点， .'AD=CD'=a,BC=b, H C(A) D 图3 数学参考答案及评分细准第2页共9页 ∴.BD'=a+b,HD'= a+b (3分) DD'=DB +h2= a2+b2+2ab +h2, 2 4 ∴.△BDD'的周长为a+b+√a2+b2+2ab+4h2: (5分) 注：此小问D与B'，C与A'重合，表述上选择任意一个，点均可 (3)画出以下其中一种，并且作图痕迹清晰，即可得满3分，虚线或实线的不作为判分标准， 不要求写作法：若拼接方式正确，但没有作图痕迹或作图痕迹不清晰，扣2分：若尺规作图思 路正确，但图形效果严重失真，扣1分或2分： (8分) D 图4 图5 注：根据图形对称性，此问的作法有很多种，参考答案仅选取具有代表性作法进行展示，也有 一些较为繁琐且不常见的作法，若遇到此类作法，且无法及时验证严谨性，请协助其他阅卷员一起 讨论、评议， 22.(本小题满分10分) (1)过P作PB⊥Ox于B, 由己知条件得：OP=300km, 08=0P.cos0=300xY5m=302m. 北 10 PB=VOP2-OB2-V3002-(30V2)km=210V2km,(2分) 根据题干A点处的信息，可知△PAB是等腰直角三角形， 故AP=√2PB=420km; (4分) (2)设t小时后(t>0),台风中心的坐标为P, P点的坐标为30W2,-210V2), 15 由题干给出的台风的移动速度和方向，得t小时后， 台风向正西、正北方向各平移10W2tkm, 得E(30W2-10V2,-210V2+102t, (5分) 图6 ∴.0P=V30W2-10v2r)°+（-2102+105jkam 由题干台风半径的信息，设t小时后，台风半径为R(单位：k), ∴.R=60+10t, (6分) 台风侵袭城市期间，始终有OP≤R, 即V30V2-102j+(-2105+105≤60+10t,(7分) 将两边平方，得 102(3-t)+102(21+t}02(6-t, 将括号展开，得 200(t-6t+9)+200(t+42t+441)00(t+12t+36): 两边约分，化简，移项得 数学参考答案及评分细准第3页共9页 t2-36t+288≤0， (9分) 即(t-12)(t-24)≤0 解得12≤t≤24， 因此台风侵入、侵出城市的两个时间临界点分别是观测后的12小时、24小时， 台风侵袭时长为12小时. (10分) 注：本题的第2小问也可以通过几何计算OP的长度，无需求出P的坐标，本题的核心得分是 在于找出OP≤R的关系，根据该关系列出正确的不等式得7起步，该不等式的计算要求比较大， 只要能正确完成化简不等式9分起步；写出正确解，同时稍加文字总结即可得满10分： 23.（本小题满分10分) (1)四边形ADEC为平行四边形，理由如下：(1分) 法一：如图7， .D是BC中点，且BC=2AC, ∴.AC=DC①， (2分) B D ∠DAC=∠ADC, 根据翻折条件，有 DE=DB=AC,∠ADE=∠ADB, ∠ADE+∠DAC=∠ADB+∠DAC=180°-∠ADC+∠DAC=180°， 图7 ∴.AC∥DE②， (3分) 故四边形ADEC为平行四边形： 法二：如图7， 先证明AC∥DE①（证明参考法一）： (2分) 设∠ADB=a,则∠ADC=180°-a,∠ACD=2a-180°， 而∠CDE=∠EDA-∠CDA=-(180°-)=2a-180°， ∴.∠CDE=∠DCA, CA=DC 在△CAD与△DCE中， 有 ∠CDE=∠DCA, CD=DE '.△CAD≌△DCE, ∴.∠ADC=∠DCE,AD∥CE②， (3分) 故四边形ADEC为平行四边形： 法三：如图7， 先证明△CAD≌△DCE（证明参考法二)， .AD=CE①， (2分) AC=DE②， (3分) 故四边形ADEC为平行四边形： 法四：如图7， 参考前面的方法，找出关系： AD=CE①， （2分) AD∥CE②， (3分) 数学参考答案及评分细准第4页共9页 故四边形ADEC为平行四边形： 法五：AD∥CE的另一种证明方法，可分别证明ADLBE,CE⊥BE,由于篇幅有限，不过多 赘述； 注：平行的证明有多种方法，步骤正确，过程严谨即可； (2)如图8，设AF与CE交于点H,分别过G、F作 CE的垂线，垂足分别为N、M, ,CE平分四边形CGEF的面积， SACRG =SRECE.GN=1CB.FM, 2 ∴.GN=M, (4分) [∠GNH=∠FMH 在△GNH与△FMH中，有GN=M ∠GHN=∠FHM ⊙ ∴.△GWH≌△FH, ∴.GH=FH, (6分) E 不妨设DE=k,即DE=k·EF, EF 图8 .'ACI∥DF,∠EHF=∠CHA,∠HFE=∠HAC, ∴.△HEF∽△HCA, .AHL_Ac k,同时4=4G+GH-A +1, HF EF HF HE HF +1s24G GF 4Gk-1 GF2 (7分) 同理有∠GAC=∠GFD,∠DGF=∠CGA, ∴.△GAC∽△GFD, AG=AC k.EF k (8分) GF DF k.EF+EF k+1 :k-k-1 (9分) k+12 解得k=√2+1（舍去k=1-√2<0）， (10分) EF =2+1. 24.(本小题满分12分) (1)当n=1时，将A(0,0)代入y=-(x-a)+a, 得-aG2+4=0, ∴.4=1(4=0舍去)， (1分) -(6-1)2+1=-b2+2b=0, .b=2（b=0舍去)， ∴.4=1，b=2; (2分) 数学参考答案及评分细准第5页共9页 (2)由题意，设直线1的解析式y=+b」 代入点(2,0)，得2k+b=0，则有y=k(x-2), （3分) 联立y=(r-a)+a, y=k(x-2) 整理得x2+(k-a)x+aG-a。-2k=0, 设两交点分别为(x,x-2k),(x,c,-2), .=2a-k,=ai-d-2k （4分) 弦长d=V(x-x)+[x-2k)-(x,-2)]f =+及V-x =1+x+x°-4x =1+V2a.-k)-4(a-a.-2k） =V1+k2.V4a-4a+k2-4a+4an+8k =V1+2V41-k)a.+k+8k, （5分) :d与无关， 1-k=0→k=1,d=V1+12V+8=3√2， 故弦长为3√2，直线解析式为y=x-2: (6分) (3)由题意得，A为y,与x轴的右交点，y1与轴的左交点： 令y,=-(x-a)}'+a,=0,得x=b1=a.-√a或x=b.=a+Va, 有A-a.-Va,0)A(a.+a,0) 令y1=-(x-a1+a1=0,得x=b,=a1-Va1或x=b1=an1+Van1 有A(a1-Va,0以A(an+1,0 iatya -aa-yaa, （7分) a1-a,=V反ta, 而a1-a,=a-a=(a-a〔a+a)， :Va1+Va.≠0， ∴a-va=1, 当心1，a=a+(a-a+(a-++(a-）++++1=n, ∴.√a.=n,a=n, (8分) .b=n-n,b=ntn, .A-1A=b。-bn-1=2n, (9分) 令P2与x轴交于Mn, 数学参考答案及评分细准第6页共9页 A-1、A、P、2在oTn上， ∴.∠APMm=∠OAn-Mn, m∠APM=im∠Q,AM.→=4PM M.Q.=AMAM, (10分) AM M 令P的坐标为(xo-n(x-a,)+a),.坐标为(x%) n(xo-a,)'-na,l=-a,+va-a-va, 得x-a-awl=x。a-a “-a-a≠0， y分即M.Q=分同理有M21= (11分) n+1 An-1 SA40h三7A4M01=21=0 2=1-1 n+1n+1n+1 .当不断增大时，S,不断接近但总是小于1，S<k .k的最小值为1. (12分) 25.（本小题满分12分) (1)如图10， ,AE=CF且E为AD中点， 图9 ∴.AE=DF, 〔AE=DF 在△AEB与△DFA,有∠BAE=∠ADF, E AB=DA ∴.△AEB≌△DFA, (1分) ∴.∠ABE=∠DAF=∠HBE, .∠BHE=∠BAE=90°， 「∠BAE=∠BHE 在△ABE与△HBE,有 BE=BE 图10 ∠ABE=∠HBE ∴.△ABE≌△HBE; (2分) 注：本小问解法不唯一，找齐全等条件，推导过程合理，即可得满3分 (2)如图11，连接AQ, D AE-FC E .在△ABE与△CBF,有 AB=BC ∠BAE=∠BCF ∴.∠AQB=∠AEB=∠CFB, 又.AB∥CF ∴.∠ABQ=∠CFB=∠AQB,AB=AQ=4, ∴.点Q在以A为圆心，4为半径的⊙A上，(3分) 图11 数学参考答案及评分细准第7页共9页 延长DA至点Q,使得AD=AT,易知，T在⊙A上， :∠CQB=135°，∠TOB=∠IAB=45,∠T0B+∠BOC=180° 2 .T、C、Q三点共线， tam∠Dc=CP-l 7D'sn∠Drc= 5,cos∠Dc=2V5 (4分) TC= TD =4W5, coS∠DTC 过A作于AM⊥CT点M, 0=2M=2ZA-os∠D0-=2x4×25.165 5 5 C0=0-Z0=4 5， (5分) Cw=Co.oDTC4✉55，B三5'M5C0-m∠D7C=2s4 55=5 :'tan∠CBF=CI_gm BC BW .'.AE=CF=- BC 4 m·Dm=3 （6分) (3)设△ABE的外接圆交BC于点K,连接KE、KH、KD, 如图12所示. N D ,∠AHK=180°-∠ABK=90°， ∴.AH⊥HK 同理∠AEK=90°，四边形ABKE为矩形， .AE=BK=CF R .'DF CD-CF=BC-BK=CK, (7分) AD=CD 在△ADF与△DCK,有{DF=CK ∠ADF=∠DCK ∴.△ADF≌△DCK 图12 ∴.∠AFD=∠DKC ∠KDC+∠AFD=∠KDC+∠DKC=90° .DKLAF,K、H、D三点共线， （8分) 分别取AD、AB中点N、R, 连接HN、BN、RG, ∴.HN=BR=2, 设∠DAF=,∠ABE=B, ∴.∠GBF=∠HBE=∠HAE=, ∠CBF=∠ABE=B, (9分) 数学参考答案及评分细准第8页共9页 ∴.∠RBG=∠RBC-∠CBF+∠GBF=90°-B+a, 而∠NHA=∠NAH=a, ∠AHE=∠ABE=B, ∴.∠NWHB=∠EHB-∠AHE+∠NHA=90°-B+a, ∴.∠RBG=∠NHB, BR=NH 在△RBG与△NHB,有{∠RBG=∠NHB, BG=HB ∴.△RBG≌△WHB, (10分) ∴RG=WB=√AB2+4AW2=V4+22=25, 取BC中点Z,连接ZG、2,BZ=ZC=2,RZ=VBR2+BZ2=2√2， 则有ZG≥RG-RZ=25-22, (11分) 过点G作BC垂线，垂足为J, .BG2+CG2=BJ2+CJ+2GJ=(BZ2+Z)+(ZC2+Z)+GJ =(BZ+)+(BZ:-ZJ )+2GJ=2BZ+2Z+2GJ=2BZ'+2ZG2 ∴.CG2+BG2=2(BZ2+ZG2)≥232-8M0)）=64-16M0, 故CG2+BG2的最小值为64-16W10.(12分) 25题相关知识拓展补充： 如图13，已知△ABC,D为BC中点，则有AB2+AC2=2(AD2+BD2）: 证明：分别过C、B作AD的垂线交AD于E、F,如图14所示， 则有△BDF2△CDE, 设BF=CE=x,DE=DF=y, AB2+AC2=BF2+AF2+CE+AE=x2+(AD+y)+x+(AD-y)=24D+x+2, 又因为x2+y2=BD2, 所以AB2+AC2=2AD2+BD2): A A E B D D C F 图13 图14 数学参考答案及评分细准第9页共9页