甘肃兰州市2025-2026学年中考数学仿真卷

**基本信息** 兰州中考数学仿真卷以《天工开物》桔槔、智能机器人分拣等文化与科技情境为载体，通过基础题（如实数运算）、中档题（如相似三角形）、创新题（如新定义“友好图形”）的梯度设计，覆盖函数、几何等核心知识，适配中考模拟需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11/33|实数、整式、几何初步|结合《天工开物》桔槔考杠杆原理（文化传承）| |填空题|4/12|因式分解、统计、圆|方差比较考数据意识（数据分析）| |解答题|11/75|方程、函数、几何综合|导气管计算（项目学习）、友好图形（新定义）考创新应用|

2025-2026年兰州中考数学仿真卷 满分：120分，用时：120分钟 一．选择题（共11小题，满分33分，每小题3分） 1．实数9的平方根是（　　） A． B． C．3 D．±3 2．计算：（2a）2•a3的值为（　　） A．4a5 B．a6 C．4a6 D．2a5 3．如图①是《天工开物》中记载的我国古代的提水工具“桔槔”，它是在一根竖立的架子上加上一根细长的杠杆，当中是支点，末端悬挂一个重物，前端悬挂水桶，当水桶中的水打满以后、可借助重物轻松地将水拉起．如图②是“桔槔”的简易装置图，现可测得∠2为73°，则杠杆与水桶线夹角∠5的大小为（　　） A．73° B．90° C．100° D．107° 4．如图，在△ABC中，DE∥BC，分别交AB，AC于D，E，若AD：DB＝1：2，AE＝4，则AC的长为（　　） A．8 B．12 C．16 D．20 5．若关于x的方程2x2+x+m＝﹣1有两个不相等的实数根，则m的取值范围为（　　） A． B． C． D． 6．如图，在4×4的正方形网格飞镖游戏板中，每块小正方形除颜色外都相同，小正方形的顶点称为格点，假设飞镖击中游戏板的每一处是等可能的（击中边界或没有击中游戏板，则重投一次），任意投掷飞镖一次，飞镖击中阴影部分的概率是（　　） A． B． C． D．1 7．已知点A（n﹣1，y1），B（n+2，y2）在一次函数y＝﹣2x+3的图象上，则y1与y2的大小关系是（　　） A．y1＜y2 B．y1＞y2 C．y1＝y2 D．无法确定 8．某快递公司引进智能机器人进行包裹分拣，一台智能机器人每小时分拣包裹的数量是一个工人平均分拣数量的40倍．已知分拣8000件同样的包裹，一台智能机器人所用时间比20个工人同时分拣所用时间还要少40分钟，设一个工人平均每小时分拣x个包裹，根据题意可列方程（　　） A． B． C． D． 9．如图，点A，B，C，D均在⊙O上，连接AB，AD，BC，BD，OC⊥BD于点E，若∠A＝40°，则∠BCO的度数是（　　） A．60° B．70° C．50° D．40° 10．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点M，N分别是边AD，CD的中点，连接MN，OM．若MN＝4，S菱形ABCD＝48，则OM的长为（　　） A．4 B．5 C． D． 11．如图1，在▱ABCD中，∠A＝60°，AB＞AD，动点M从点A出发，沿折线AD→DC方向运动，到达点C停止运动．设点M的运动路程为x，△AMB的面积为y，y与x的关系如图2所示，则AB的长为（　　） A．6 B．5 C．4 D．3 二．填空题（共4小题，满分12分，每小题3分） 12．（3分）分解因式：3a2+6ab+3b2＝　 　 ． 13．（3分）甲、乙、丙三名运动员进行射击测试，每人测试10次，各自测试成绩（单位：环）的平均数和方差如表，则测试成绩好且稳定的是　 　 运动员． 运动员 甲 乙 丙 平均数 8.8 9.2 9.2 方差 1.6 1.6 2.4 14．（3分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∠CDB＝30°，，则阴影部分的面积为　 　 ． 15．（3分）在矩形ABCD中，CD＝6，点E是DA边延长线上一点，AE＝2，点F是AB边上一点，，连接EF并延长交BC于点G，则EG的长为　 　 ． 三．解答题（共11小题，满分75分） 16．（5分）计算：． 17．（5分）解方程组． 18．（5分）解方程：x2﹣4x﹣3＝0． 19．（7分）如图，一次函数y＝x+b的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，且一次函数与坐标轴分别交于点C，D．若D点的纵坐标为2，A点的横坐标为﹣3． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）在x轴上是否存在一点E使得S△ABE＝3，若存在，求出E点坐标；若不存在，请说明理由． 20．（7分）项目学习 项目背景：某中学数学兴趣小组在学校化学实验室围绕“计算导气管的长度”开展项目学习活动，形成了如下活动报告． 项目主题 导气管长度的测量与计算 驱动任务 如何利用三角函数计算导气管的长度 活动过程 方案说明 图1是小组成员安装的化学实验室装置，图2是抽象出的平面示意图，点B为试管口，AB为试管，DE为铁杆，BG为试管口B与铁杆DE的水平距离（BG∥CF），BF为导气管，MN为水槽壁，∠ABG为试管的倾斜角，，点C，D，N，F在同一条直线上，图中所有的点在同一平面内． 测量数据 经测量得AB＝30cm，DE＝28cm，∠BFD＝45°，∠ABG＝15° 计算 … 交流展示 … 请根据表中数据，计算BF的长度．（结果精确到0.1cm，参考数据：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27， 21．（7分）数学家笛卡尔在其著作《几何学》中指出“仅用尺规可以求一个数的算术平方根”．方法如下：如图，已知线段AB的长为a（a＞0），延长BA至点C，使AC＝1，以BC的中点O为圆心，OB的长为半径作圆． ①以点A为圆心，AC长为半径画弧，交线段AB于点D． ②作CD的中垂线交⊙O于E，F． 所得AE的长是AB的长的算术平方根． （1）请在图中用尺规作图完成①②步骤（保留作图痕迹，不写作法）． （2）求证：． 22．（7分）某社区组织“献爱心”活动，鼓励社区居民踊跃捐款．为了解该社区居民捐款情况，抽取了部分居民的捐款金额进行统计，数据整理成如下尚不完整的统计表和统计图． 捐款情况统计表 组别代号 A B C D E 捐款数目x/元 0＜x≤100 100＜x≤200 200＜x≤300 300＜x≤400 x＞400 人数 2 10 14 4 根据统计图、表解决问题． （1）一共抽取了　 　 位居民； （2）扇形统计图中B组对应圆心角的度数为　 　 °，并补全条形统计图； （3）若该社区共有1000位居民捐款，估计捐款数超过300元的居民有多少人？ 23．（7分）如图，AB是⊙O的直径，点C，E在⊙O上，连接AC，CE，EB，过点C作⊙O的切线，交EB的延长线于点D，已知∠ABE＝2∠A． （1）求证：ED⊥CD； （2）若，，求CD的长． 24．（8分）在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+2的图象过点A（2，k），B（﹣1，k）。已知二次函数y＝ax2+bx+2的最大值为． (1)求该二次函数的表达式； (2)若M（x1，n），N（x2，n）为该二次函数图象上的不同两点，且n≠0，求证：． 25．（8分）如图1，在△ABC中，AB＝AC，射线BP从BA所在位置开始绕点B顺时针旋转，旋转角为α（0°＜α＜180°） （1）当∠BAC＝60°时，将BP旋转到图2位置，点D在射线BP上．若∠CDP＝120°，则∠ACD　 　 ∠ABD（填“＞”、“＝”、“＜”），线段BD、CD与AD之间的数量关系是　 　 ； （2）当∠BAC＝120°时，将BP旋转到图3位置，点D在射线BP上，若∠CDP＝60°，求证：BD﹣CDAD； （3）将图3中的BP继续旋转，当30°＜α＜180°时，点D是直线BP上一点（点P不在线段BD上），若∠CDP＝120°，请直接写出线段BD、CD与AD之间的数量关系（不必证明）． 26．（9分）已知点P、Q分别为图形M和图形N上的任意点，若存在点P、Q使得PQ＝1，我们就称图形M、N为友好图形，P、Q为关于图形M、N的一对友好点． （1）已知点A（1，0），，C（﹣1，1）中，　 　 与点O为一对友好点； （2）已知O半径r＝1，若直线y＝x+b与⊙O有且只有一对友好点，求b的值； （3）已知点，⊙D半径r＝1，若直线y＝x+m与⊙D是友好图形，求m的取值范围． 2025-2026年兰州中考数学仿真卷 参考答案与试题解析 一．选择题（共11小题，满分33分，每小题3分） 1．（3分）实数9的平方根是（　　） A． B． C．3 D．±3 【解答】解：∵（±3）2＝9， ∴9的平方根是±3， ∴A，B，C选项错误，D选项正确， 故选：D． 2．（3分）计算：（2a）2•a3的值为（　　） A．4a5 B．a6 C．4a6 D．2a5 【解答】解：（2a）2•a3＝4a2•a3＝4a5， 故选：A． 3．（3分）如图①是《天工开物》中记载的我国古代的提水工具“桔槔”，它是在一根竖立的架子上加上一根细长的杠杆，当中是支点，末端悬挂一个重物，前端悬挂水桶，当水桶中的水打满以后、可借助重物轻松地将水拉起．如图②是“桔槔”的简易装置图，现可测得∠2为73°，则杠杆与水桶线夹角∠5的大小为（　　） A．73° B．90° C．100° D．107° 【解答】解：由图可知，∠2＝∠4，∠4+∠5＝180°，∠2＝73°， ∴∠5＝180°﹣∠4＝180°﹣∠2＝180°﹣73°＝107°， 故选：D． 4．（3分）如图，在△ABC中，DE∥BC，分别交AB，AC于D，E，若AD：DB＝1：2，AE＝4，则AC的长为（　　） A．8 B．12 C．16 D．20 【解答】解：∵DE∥BC， ∴，即， ∴EC＝8， ∴AC＝AE+EC＝4+8＝12． 故选：B． 5．（3分）若关于x的方程2x2+x+m＝﹣1有两个不相等的实数根，则m的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：由题知， 方程2x2+x+m＝﹣1可化为2x2+x+m+1＝0， 因为关于x的方程2x2+x+m＝﹣1有两个不相等的实数根， 所以Δ＝12﹣4×2×（m+1）＞0， 解得m． 故选：B． 6．（3分）如图，在4×4的正方形网格飞镖游戏板中，每块小正方形除颜色外都相同，小正方形的顶点称为格点，假设飞镖击中游戏板的每一处是等可能的（击中边界或没有击中游戏板，则重投一次），任意投掷飞镖一次，飞镖击中阴影部分的概率是（　　） A． B． C． D．1 【解答】解：∵共有16个小正方形，其中阴影部分为4个小正方形， ∴任意投掷飞镖一次，飞镖击中阴影部分的概率是， 故选：B． 7．（3分）已知点A（n﹣1，y1），B（n+2，y2）在一次函数y＝﹣2x+3的图象上，则y1与y2的大小关系是（　　） A．y1＜y2 B．y1＞y2 C．y1＝y2 D．无法确定 【解答】解：∵k＝﹣2＜0， ∴y随x的增大而减小， 又∵点A（n﹣1，y1），B（n+2，y2）在一次函数y＝﹣2x+3的图象上，且n﹣1＜n+2， ∴y1＞y2． 故选：B． 8．（3分）某快递公司引进智能机器人进行包裹分拣，一台智能机器人每小时分拣包裹的数量是一个工人平均分拣数量的40倍．已知分拣8000件同样的包裹，一台智能机器人所用时间比20个工人同时分拣所用时间还要少40分钟，设一个工人平均每小时分拣x个包裹，根据题意可列方程（　　） A． B． C． D． 【解答】解：根据题意可得： ． 故选：D． 9．（3分）如图，点A，B，C，D均在⊙O上，连接AB，AD，BC，BD，OC⊥BD于点E，若∠A＝40°，则∠BCO的度数是（　　） A．60° B．70° C．50° D．40° 【解答】解：如图，连接OB，OD，CD， ∵OC⊥BD于点E，∠A＝40°， ∴∠BEO＝∠DEO＝90°，OB＝OD， 在△OBE和△ODE中， ， ∴△OBE≌△ODE， ∴∠BOC＝∠DOC， 在△OBC和△ODC中， ， ∴△OBC≌△ODC， ∴BC＝DC， ∴∠CBE＝∠CDE， ∴∠BOD＝2∠A＝80°， ∴， ∴， ∴∠BCO＝180°﹣∠CBE﹣∠BEC＝70°． 故选：B． 10．（3分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点M，N分别是边AD，CD的中点，连接MN，OM．若MN＝4，S菱形ABCD＝48，则OM的长为（　　） A．4 B．5 C． D． 【解答】解：∵点M，N分别是边AD，CD的中点，MN＝4， ∴AC＝2MN＝8， ∵四边形ABCD为菱形， ∴AC⊥BD，， ∴， ∴，， ∴， ∴， 故选：D． 11．（3分）如图1，在▱ABCD中，∠A＝60°，AB＞AD，动点M从点A出发，沿折线AD→DC方向运动，到达点C停止运动．设点M的运动路程为x，△AMB的面积为y，y与x的关系如图2所示，则AB的长为（　　） A．6 B．5 C．4 D．3 【解答】解：∵动点M从点A出发，沿折线AD→DC方向运动，到达点C停止运动， ∴由图2得：点M的运动路程为7，即AD+DC＝7， ∵ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD， ∴AD+AB＝7， 设AD＝a，则AB＝7﹣a， 当点M运动到点D时，△AMB的面积为， 如图1，过点D作DE⊥AB于点E， 则， ∴， 解得：a＝2或5（AB＞AD，不合题意，舍去）， ∴AD＝2， ∴AB＝5， 故选：B． 二．填空题（共4小题，满分12分，每小题3分） 12．（3分）分解因式：3a2+6ab+3b2＝　3（a+b）2 ． 【解答】解：3a2+6ab+3b2＝3（a2+2ab+b2）＝3（a+b）2． 故答案为：3（a+b）2． 13．（3分）甲、乙、丙三名运动员进行射击测试，每人测试10次，各自测试成绩（单位：环）的平均数和方差如表，则测试成绩好且稳定的是　乙　 运动员． 运动员 甲 乙 丙 平均数 8.8 9.2 9.2 方差 1.6 1.6 2.4 【解答】解：由表知乙、丙射击成绩的平均数相等，且大于甲的平均数，∴乙、丙测试成绩好， ∵乙的方差比丙小，∴测试成绩好且稳定的是乙运动员，故答案为：乙． 14．（3分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∠CDB＝30°，，则阴影部分的面积为　　 ． 【解答】解：连接OD， ∵CD⊥AB， ∴CE＝DE（垂径定理）， 故S△OCE＝S△ODE， 即可得阴影部分的面积等于扇形OBD的面积， 又∵∠CDB＝30°， ∴∠COB＝60°（圆周角定理）， ∴OC＝2， 故S扇形OBD． 即阴影部分的面积为． 故答案为：． 15．（3分）在矩形ABCD中，CD＝6，点E是DA边延长线上一点，AE＝2，点F是AB边上一点，，连接EF并延长交BC于点G，则EG的长为　10　 ． 【解答】解：在矩形ABCD中，AB＝CD＝6，AD∥BC， ∴△AEF∽△GBF， ∴AE：BG＝AF：FB， ∵AFAB， ∴AF：FB＝1：3， ∴AE：BG＝AF：FB＝1：3， ∵AE＝2， ∴BG＝6， 如图，过点G作GH⊥AD于点H，得矩形CDHG，AHGB， ∴AH＝BG＝6，HG＝DC＝6， ∴EH＝AE+AH＝8， ∴EG10， 故答案为：10． 三．解答题（共11小题，满分75分） 16．（5分）计算：． 【解答】解： ． 17．（5分）解方程组． 【解答】解：， ①+②得：4x+4y＝8，即x+y＝2③， ②﹣③得：2x＝﹣4， 解得：x＝﹣2， 把x＝﹣2代入③得y＝4， ∴． 18．（5分）解方程：x2﹣4x﹣3＝0． 【解答】解：移项得x2﹣4x＝3， 配方得x2﹣4x+4＝3+4， 即（x﹣2）2＝7， 开方得x﹣2＝±， ∴x1＝2，x2＝2． 19．（7分）如图，一次函数y＝x+b的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，且一次函数与坐标轴分别交于点C，D．若D点的纵坐标为2，A点的横坐标为﹣3． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）在x轴上是否存在一点E使得S△ABE＝3，若存在，求出E点坐标；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）由题意可得，点D的坐标为（0，2）， ∴一次函数的表达式为y＝x+2， 将x＝﹣3代入y＝x+2，得y＝﹣1， ∴点A的坐标为（﹣3，﹣1）， 由条件可得： ， 解得k＝3， ∴反比例函数的表达式为； （2）假设存在，如图，设点E的坐标为（t，0）， 联立一次函数与反比例函数得： ， 解得或， ∴点B的坐标为（1，3）， 将y＝0代入y＝x+2，得x＝﹣2， ∴点C的坐标为（﹣2，0）， ∴CE＝|t﹣（﹣2）|＝|t+2|， ∵， ∴， 化简得， ∴， 解得或， ∴假设成立，点E的坐标为或． 20．（7分）项目学习 项目背景：某中学数学兴趣小组在学校化学实验室围绕“计算导气管的长度”开展项目学习活动，形成了如下活动报告． 项目主题 导气管长度的测量与计算 驱动任务 如何利用三角函数计算导气管的长度 活动过程 方案说明 图1是小组成员安装的化学实验室装置，图2是抽象出的平面示意图，点B为试管口，AB为试管，DE为铁杆，BG为试管口B与铁杆DE的水平距离（BG∥CF），BF为导气管，MN为水槽壁，∠ABG为试管的倾斜角，，点C，D，N，F在同一条直线上，图中所有的点在同一平面内． 测量数据 经测量得AB＝30cm，DE＝28cm，∠BFD＝45°，∠ABG＝15° 计算 … 交流展示 … 请根据表中数据，计算BF的长度．（结果精确到0.1cm，参考数据：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27， 【解答】解：点B为试管口，AB为试管，DE为铁杆，BG为试管口B与铁杆DE的水平距离（BG∥CF）， 如图，过点B作BH⊥CF于点H， ∵， ∴BE＝10cm， 在Rt△BGE中，EG＝BE•sin15°≈10×0.26＝2.6cm， ∵DE＝28cm， ∴GD＝DE﹣EG＝28﹣2.6＝25.4cm， ∵BG∥CF， ∴∠BGD＝∠GDH＝∠BHD＝90°， ∴BH＝GD＝25.4cm， ∵∠BFH＝45°， ∴． 答：BF的长度约为35.8cm． 21．（7分）数学家笛卡尔在其著作《几何学》中指出“仅用尺规可以求一个数的算术平方根”．方法如下：如图，已知线段AB的长为a（a＞0），延长BA至点C，使AC＝1，以BC的中点O为圆心，OB的长为半径作圆． ①以点A为圆心，AC长为半径画弧，交线段AB于点D． ②作CD的中垂线交⊙O于E，F． 所得AE的长是AB的长的算术平方根． （1）请在图中用尺规作图完成①②步骤（保留作图痕迹，不写作法）． （2）求证：． 【解答】（1）解：如图所示． （2）证明：连接CE，BE， ∵BC为圆O的直径， ∴∠BEC＝90°， ∴∠CEA+∠AEB＝90°． ∵直线EF为线段CD的垂直平分线， ∴∠CAE＝∠EAB＝90°， ∴∠EBA+∠AEB＝90°， ∴∠CEA＝∠EBA， ∴△ACE∽△AEB， ∴， ∴AE2＝AB•AC＝a， ∴． 22．（7分）某社区组织“献爱心”活动，鼓励社区居民踊跃捐款．为了解该社区居民捐款情况，抽取了部分居民的捐款金额进行统计，数据整理成如下尚不完整的统计表和统计图． 捐款情况统计表 组别代号 A B C D E 捐款数目x/元 0＜x≤100 100＜x≤200 200＜x≤300 300＜x≤400 x＞400 人数 2 10 14 4 根据统计图、表解决问题． （1）一共抽取了　50　 位居民； （2）扇形统计图中B组对应圆心角的度数为　72　 °，补全条形统计图； （3）若该社区共有1000位居民捐款，估计捐款数超过300元的居民有多少人？ 【解答】解：（1）总人数＝14÷28%＝50（名）， 故答案为：50； （2）C组人数＝50﹣2﹣10﹣14﹣4＝20（名）， 条形图如图所示： B组对应扇形的圆心角度数为360°72°， 故答案为：72． （3）估计捐款金额超过300元的居员有：1000360 （名）， 答：估计捐款金额超过300元的居民有360名． 23．（7分）如图，AB是⊙O的直径，点C，E在⊙O上，连接AC，CE，EB，过点C作⊙O的切线，交EB的延长线于点D，已知∠ABE＝2∠A． （1）求证：ED⊥CD； （2）若，，求CD的长． 【解答】（1）证明：∵连接OC， ∵过点C作⊙O的切线，交EB的延长线于点D， ∴CD⊥OC， ∴∠OCD＝90°， ∵∠ABE＝2∠A，且∠BOC＝2∠A， ∴∠ABE＝∠BOC， ∴BE∥OC， ∴∠D＝180°﹣∠OCD＝90°， ∴ED⊥CD． （2）解：连接BC，则OC＝OB， ∴∠OCB＝∠OBC， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝∠D＝90°， ∵∠BCD+∠OCB＝90°，∠A+∠OBC＝90°， ∴∠BCD＝∠A＝∠E， ∴tan∠BCD＝tanAtanE， ∴BDCD，AC＝2BC， ∵ABBC＝2， ∴BC＝2， ∵BCCD＝2， ∴CD， ∴CD的长是． 24．（8分）在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+2的图象过点A（2，k），B（﹣1，k）． 已知二次函数y＝ax2+bx+2的最大值为． （1）求该二次函数的表达式； （2）若M（x1，n），N（x2，n）为该二次函数图象上的不同两点，且n≠0，求证：． 【解答】解：（1）由条件可知二次函数的对称轴为直线， ∵二次函数的对称轴为， ∴， ∴； ∵， ∴当时，二次函数的最值为， ∴二次函数图象开口向下，即a＜0， ∵二次函数y＝ax2+bx+2的最大值为， ∴， 化简得，a3﹣b2﹣2a＝0， 由（1）知，， ∴b＝﹣a， ∴a3﹣a2﹣2a＝0， ∴a（a+1）（a﹣2）＝0， ∴a+1＝0或a﹣2＝0， ∴a＝﹣1或a＝2（舍去）， ∴二次函数解析式为y＝﹣x2+x+2； （2）∵M（x1，n），N（x2，n）为该二次函数图象上的不同两点，且n≠0，不妨设x1＜x2， ∴二次函数的对称轴为直线， 由（1）知，二次函数y＝﹣x2+x+2的对称轴为直线， ∴，， ∴x1+x2＝1， ∵ ＝0， ∴． 25．（8分）如图1，在△ABC中，AB＝AC，射线BP从BA所在位置开始绕点B顺时针旋转，旋转角为α（0°＜α＜180°） （1）当∠BAC＝60°时，将BP旋转到图2位置，点D在射线BP上．若∠CDP＝120°，则∠ACD　＝　 ∠ABD（填“＞”、“＝”、“＜”），线段BD、CD与AD之间的数量关系是BD＝CD+AD ； （2）当∠BAC＝120°时，将BP旋转到图3位置，点D在射线BP上，若∠CDP＝60°，求证：BD﹣CDAD； （3）将图3中的BP继续旋转，当30°＜α＜180°时，点D是直线BP上一点（点P不在线段BD上），若∠CDP＝120°，请直接写出线段BD、CD与AD之间的数量关系（不必证明）． 【解答】解：（1）如图2，∵∠CDP＝120°， ∴∠CDB＝60°， ∵∠BAC＝60°， ∴∠CDB＝∠BAC＝60°， ∴A、B、C、D四点共圆， ∴∠ACD＝∠ABD． 在BP上截取BE＝CD，连接AE． 在△DCA与△EBA中， ， ∴△DCA≌△EBA（SAS）， ∴AD＝AE，∠DAC＝∠EAB， ∵∠CAB＝∠CAE+∠EAB＝60°， ∴∠DAE＝60°， ∴△ADE是等边三角形， ∴DE＝AD． ∵BD＝BE+DE， ∴BD＝CD+AD． 故答案为＝，BD＝CD+AD； （2）如图3，设AC与BD相交于点O，在BP上截取BE＝CD，连接AE，过A作AF⊥BD于F． ∵∠CDP＝60°， ∴∠CDB＝120°． ∵∠CAB＝120°， ∴∠CDB＝∠CAB， ∵∠DOC＝∠AOB， ∴△DOC∽△AOB， ∴∠DCA＝∠EBA． 在△DCA与△EBA中， ， ∴△DCA≌△EBA（SAS）， ∴AD＝AE，∠DAC＝∠EAB． ∵∠CAB＝∠CAE+∠EAB＝120°， ∴∠DAE＝120°， ∴∠ADE＝∠AED30°． ∵在Rt△ADF中，∠ADF＝30°， ∴DFAD， ∴DE＝2DFAD， ∴BD＝DE+BEAD+CD， ∴BD﹣CDAD； （3）如图4中，线段BD、CD与AD之间的数量关系为BD+CDAD． 理由：延长DC到M，使得CM＝DB，作AH⊥DM于H． ∵∠CDP＝∠CAB＝120°， ∴A、B、D、C四点共圆， ∴∠MCA＝∠ABD， ∵AC＝AB， ∴△ABD≌△ACM， ∴AD＝AM，∠DAB＝∠CAM， ∴∠DAM＝∠BAC＝120° ∵AD＝AM，AH⊥DM， ∴DH＝HM＝AD•cos30°， ∴（BD+CD）AD， ∴BD+CDAD． 26．（9分）已知点P、Q分别为图形M和图形N上的任意点，若存在点P、Q使得PQ＝1，我们就称图形M、N为友好图形，P、Q为关于图形M、N的一对友好点． （1）已知点A（1，0），，C（﹣1，1）中，A 与点O为一对友好点； （2）已知⊙O半径r＝1，若直线y＝x+b与⊙O有且只有一对友好点，求b的值； （3）已知点，⊙D半径r＝1，若直线y＝x+m与⊙D是友好图形，求m的取值范围． 【解答】解：（1）∵A（1，0），，C（﹣1，1）， ∴OA＝1，OB，OC， ∴点A与O是一对友好点． 故答案为：A． （2）如图1中，以O为圆心，2为半径作⊙O． 当直线y＝x+b与大圆⊙O相切时，满足条件，此时直线经过A（，）或B（，）， ∴b＝2或﹣2． （3）当m＜0时，以D为圆心，2为半径作⊙D，当直线y＝x+m与大圆⊙D相切时，设切点为Q，交y轴于（0，m），连接DQ交y轴于K． 则KEm， ∵DK+KQ＝2， ∴mm＝2， ∴m， 当m＞0时 此时有：m+m2， ∴m， 观察图象可知，满足条件的m的值为：． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/5/7 9:43:30；用户：绘学B区资料下载；邮箱：15693311191；学号：65108399 第23页 共10页 ◎ 第24页 共10页 学科网（北京）股份有限公司 $