第69卷 离散型随机变量及其分布-考点训练卷 2027年浙江省单独招生考试《数学考纲百套卷》（原卷版+解析版）

编写说明：2027年浙江省单独招生考试《数学考纲百套卷》，严格依据《中等职业学校数学课程标准》，在职教高考数学真题分析的基础上进行编写。本专辑试卷采用三阶递进式训练体系：基础层拆解考点为微目标，紧扣考纲中考查内容及考查要求编写考点训练卷；巩固层强化知识综合，按考纲专题编写专题训练卷；应用层聚焦真题突破，结合考纲与真题编写综合模拟卷。 浙江省单独招生考试《数学考纲百套卷》 第69卷 离散型随机变量及其分布 考点训练卷 考试时间：60分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1．已知离散型随机变量的分布列如下表所示，则的值为（    ） 0 1 2 A． B． C． D． 2．如图所示是离散型随机变量X的概率分布直观图，则（    ） A．0.1 B．0.12 C．0.15 D．0.18 3．下列变量中，属于离散型随机变量的是（    ） A．某加工厂加工的一批钢管的外径与规定的外径尺寸之差 B．某人在景区排队等缆车的时间 C．把一杯开水置于空气中，让它自然冷却，每一时刻它的温度 D．某人投篮10次，可能投中的次数 4．若随机变量 ，则 的值为（    ） A．6 B．7 C．13 D．14 5．篮球比赛中，每次罚球命中得1分，不中得0分，已知小明罚球命中的概率为，则小明一次罚球得分的分布列（   ） A． 0 1 P 0 B． 0 1 P C． 0 1 P D． 0 1 P 6．随机变量X的分布列如下表,则E(X)等于 X 0 2 4 P 0.3 0.2 0.5 A．2.4 B．3 C．2.2 D．2.3 7．已知离散型随机变量的分布列如下表所示，且，则的值为（    ） 1 2 3 0.2 0.6 0.2 A．0.2 B．0.4 C．0.6 D．0.8 8．下列事件：①运动员甲射击一次，“射中9环”与“射中8环”；②甲､乙两名运动员各射击一次，“甲射中10环”与“乙射中9环”；③甲､乙两名运动员各射击一次，“甲､乙都射中目标”与“甲､乙都没射中目标”；④在相同的条件下，甲射击10次5次击中目标.其中是独立重复试验的是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 9．下列随机变量中，服从二项分布的是（    ） A．某批次灯泡的使用寿命（单位：小时） B．从含有 3 件次品的 10 件产品中无放回抽取 5 件，次品的件数 C．某射手每次击中目标的概率为 0.7，连续射击 8 次，击中目标的次数 D．某超市一天的客流量 10．已知随机变量X的分布列如下表所示，设，则（ ） X 0 1 P n A．5 B． C． D． 二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分） 11．已知，则________． 12．已知随机变量的分布列如下， 0 1 2 则__________，__________. 13．设随机变量的分布列为： 则____；随机变量的数学期望____. 14．某次足球比赛中，A，B，C，D四支球队进入了半决赛．半决赛中，A对阵C，B对阵D，获胜的两队进入决赛争夺冠军，失利的两队夺季军．已知他们之间相互获胜的概率如下表所示： 组别 A B C D A获胜的概率 — 0.4 0.3 0.8 B获胜的概率 0.6 — 0.7 0.4 C获胜的概率 0.7 0.3 — 0.3 D获胜的概率 0.2 0.6 0.7 — 则A队获得冠军的概率为__________． 15．在一个口袋中装有4个白球和2个黑球，这些球除颜色外完全相同.甲､乙两人先后从袋中各随机摸出1球，不放回，记为1次摸球，直到有人摸出黑球为止.设摸球的次数为，则___________，___________. 三、解答题（本大题共 4 小题，每小题 10 分，共 40 分.要写出必要的文字说明，证明过程和演算步骤） 16．盒中有标记数字小球各2个，随机一次取出3个小球． (1)求取出的3个小球上的数字两两不同的概率； (2)记取出的3个小球上的最小数字为X，求X的分布列及数学期望． 17．奥运会个人射箭比赛中，每名选手一局需要射3箭，某选手前三局的环数统计如下表： 环数 第1局 10 10 7 第2局 8 9 9 第3局 10 8 10 (1)求该选手这9箭射中的环数的平均数和方差； (2)若以该选手前9箭射中不同环数的频率代替他每一箭射中相应环数的概率，且每一次射箭互不影响，求他第4局的总环数不低于29的概率． 18．已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束． (1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率； (2)已知每检测一件产品需要费用100元，设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用（单位：元），求X的分布列和均值． 19．某职业技术大学招收的8名机械工程专业新生中有2名优秀生，现随机将这8名新生平均分配到甲、乙两个班中. (1)求2名优秀生被分配到同一个班的概率； (2)设随机变量表示分配到甲班的优秀生的人数，求的概率分布； (3)求随机变量的期望和方差. 试卷第1页，共3页 第 12 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年浙江省单独招生考试《数学考纲百套卷》，严格依据《中等职业学校数学课程标准》，在职教高考数学真题分析的基础上进行编写。本专辑试卷采用三阶递进式训练体系：基础层拆解考点为微目标，紧扣考纲中考查内容及考查要求编写考点训练卷；巩固层强化知识综合，按考纲专题编写专题训练卷；应用层聚焦真题突破，结合考纲与真题编写综合模拟卷。 浙江省单独招生考试《数学考纲百套卷》 第69卷 离散型随机变量及其分布 考点训练卷 考试时间：60分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1．已知离散型随机变量的分布列如下表所示，则的值为（    ） 0 1 2 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】离散型随机变量分布列中，所有概率之和为 1，据此即可求解. 【详解】根据分布列性质，所有概率之和为 1， 即. 故选：C. 2．如图所示是离散型随机变量X的概率分布直观图，则（    ） A．0.1 B．0.12 C．0.15 D．0.18 【答案】C 【分析】根据所有随机变量的概率之和为1，列出方程，可求出答案. 【详解】由题意，解得． 故选：C． 3．下列变量中，属于离散型随机变量的是（    ） A．某加工厂加工的一批钢管的外径与规定的外径尺寸之差 B．某人在景区排队等缆车的时间 C．把一杯开水置于空气中，让它自然冷却，每一时刻它的温度 D．某人投篮10次，可能投中的次数 【答案】D 【分析】根据离散型随机变量的定义可判断. 【详解】由离散型随机变量的定义可知，A、B、C项中的随机变量的取值不能一一列举出来，不是离散型随机变量； 而D项中随机变量的取值都能一一列举出来，离散型随机变量. 故选：D 4．若随机变量 ，则 的值为（    ） A．6 B．7 C．13 D．14 【答案】B 【分析】根据二项分布的期望公式即可求解. 【详解】由题意得，，所以. 故选：B. 5．篮球比赛中，每次罚球命中得1分，不中得0分，已知小明罚球命中的概率为，则小明一次罚球得分的分布列（   ） A． 0 1 P 0 B． 0 1 P C． 0 1 P D． 0 1 P 【答案】B 【分析】首先确定得分的取值为，再列出简单的分布列即可. 【详解】已知每次罚球命中得1分，不中得0分， 所以的取值为，且命中的概率为， 则不命中的概率为， 所以小明一次罚球得分的分布列为 0 1 P 故选：B. 6．随机变量X的分布列如下表,则E(X)等于 X 0 2 4 P 0.3 0.2 0.5 A．2.4 B．3 C．2.2 D．2.3 【答案】A 【分析】根据数学期望的公式，即可求解分布列的数学期望，得到答案. 【详解】由表格可求得E(X)=0×0.3+2×0.2+4×0.5=2.4.故选A. 【点睛】本题主要考查了分布列的数学期望的计算，其中熟记离散型随机变量的分布列的数学期望的计算公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力. 7．已知离散型随机变量的分布列如下表所示，且，则的值为（    ） 1 2 3 0.2 0.6 0.2 A．0.2 B．0.4 C．0.6 D．0.8 【答案】B 【分析】根据离散型随机变量方差的计算公式. 【详解】已知，结合题目给定的离散型随机变量的分布列， 所以方差为. 故选：B 8．下列事件：①运动员甲射击一次，“射中9环”与“射中8环”；②甲､乙两名运动员各射击一次，“甲射中10环”与“乙射中9环”；③甲､乙两名运动员各射击一次，“甲､乙都射中目标”与“甲､乙都没射中目标”；④在相同的条件下，甲射击10次5次击中目标.其中是独立重复试验的是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】D 【分析】根据互斥事件、相互独立事件，以及独立重复试验的定义可以判断：①，甲射击一次，“射中9环”与“射中8环”是一个实验的两个结果，是互斥事件；②是相互独立事件；③是互斥事件；④是独立重复试验. 【详解】①和③符合互斥事件的概念，是互斥事件； ②是相互独立事件； ④是独立重复试验； 所以只有④符合题意， 故选：D. 9．下列随机变量中，服从二项分布的是（    ） A．某批次灯泡的使用寿命（单位：小时） B．从含有 3 件次品的 10 件产品中无放回抽取 5 件，次品的件数 C．某射手每次击中目标的概率为 0.7，连续射击 8 次，击中目标的次数 D．某超市一天的客流量 【答案】C 【分析】根据二项分布的定义即可求解. 【详解】对A ： “使用寿命” 是连续型变量，不符合； 对B ： “无放回抽取” 导致每次试验概率不固定，不符合 “独立重复”； 对C ： “连续射击 8 次” 是 8 次独立重复试验，“击中” 为成功（概率 0.7），符合二项分布； 对D ： “客流量” 无固定 “成功概率”，不符合. 故选： C . 10．已知随机变量X的分布列如下表所示，设，则（ ） X 0 1 P n A．5 B． C． D． 【答案】A 【分析】利用概率分布列的性质求出，再求出X的期望和方差，然后利用方差的性质计算即可. 【详解】依题意，，解得， ， ，而， 所以. 故选：A. 二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分） 11．已知，则________． 【答案】/ 【分析】根据二项分布方差公式直接求解即可. 【详解】，. 故答案为：. 12．已知随机变量的分布列如下， 0 1 2 则__________，__________. 【答案】 1.3/ 0.61/ 【分析】根据离散型随机变量的均值公式和方差公式即可求解. 【详解】根据随机变量的分布列得， ， . 故答案为：，. 13．设随机变量的分布列为： 则____；随机变量的数学期望____. 【答案】 【解析】由概率之和等于，可求出的值，再利用数学期望的计算公式即可求. 【详解】因为概率之和等于即，解得：， 所以， 故答案为：；. 14．某次足球比赛中，A，B，C，D四支球队进入了半决赛．半决赛中，A对阵C，B对阵D，获胜的两队进入决赛争夺冠军，失利的两队夺季军．已知他们之间相互获胜的概率如下表所示： 组别 A B C D A获胜的概率 — 0.4 0.3 0.8 B获胜的概率 0.6 — 0.7 0.4 C获胜的概率 0.7 0.3 — 0.3 D获胜的概率 0.2 0.6 0.7 — 则A队获得冠军的概率为__________． 【答案】0.144 【分析】根据表中信息，可得胜C的概率；分类讨论B或D进入决赛，再计算A胜B或A胜D的概率即可求解. 【详解】由表中信息可知，胜C的概率为； 若B进入决赛，B胜D的概率为，则A胜B的概率为； 若D进入决赛，D胜B的概率为，则A胜D的概率为； 由相应的概率公式知，则A获得冠军的概率为. 故答案为：. 15．在一个口袋中装有4个白球和2个黑球，这些球除颜色外完全相同.甲､乙两人先后从袋中各随机摸出1球，不放回，记为1次摸球，直到有人摸出黑球为止.设摸球的次数为，则___________，___________. 【答案】 【解析】先分析出所以表示的意义，从而求出其概率，摸球的次数为的可能取值为：1,2,3，求出各自的概率，得出期望，再求方差. 【详解】表示1次摸球后就停止摸球，则甲先摸到黑球停止摸球，或甲先摸到白球，乙接着摸球，摸到黑球停止摸球两种情况. 所以 摸球的次数为的可能取值为：1,2,3 ， 所以 所以 故答案为：， 三、解答题（本大题共 4 小题，每小题 10 分，共 40 分.要写出必要的文字说明，证明过程和演算步骤） 16．盒中有标记数字小球各2个，随机一次取出3个小球． (1)求取出的3个小球上的数字两两不同的概率； (2)记取出的3个小球上的最小数字为X，求X的分布列及数学期望． 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【分析】（1）先确定3个不同数字的小球，然后再从确定的每种小球中取一个，通过计算可求符合要求的取法数，再除以总的取法数可得结果； （2）先确定X的可能取值为1、2、3，然后计算出不同取值的概率，注意X的每种取值对应2种情况，由此可求分布列和期望. 【详解】（1）（1）记“取出的3个小球上的数字两两不同”为事件M， 先确定3个不同数字的小球，有种方法， 然后每种小球各取1个，有种取法， 所以． （2）由题意可知，X的可取值为， 当时，分为两种情况：只有一个数字为1的小球、有两个数字为1的小球， 所以； 当时，分为两种情况：只有一个数字为2的小球、有两个数字为2的小球， 所以； 当时，分为两种情况：只有一个数字为3的小球、有两个数字为3的小球， 所以， 所以X的分布列为： X 1 2 3 P 所以． 17．奥运会个人射箭比赛中，每名选手一局需要射3箭，某选手前三局的环数统计如下表： 环数 第1局 10 10 7 第2局 8 9 9 第3局 10 8 10 (1)求该选手这9箭射中的环数的平均数和方差； (2)若以该选手前9箭射中不同环数的频率代替他每一箭射中相应环数的概率，且每一次射箭互不影响，求他第4局的总环数不低于29的概率． 【答案】(1)平均数为9，方差为. (2) 【分析】（1）根据平均数和方差的公式计算即可； （2）该选手第4局的总环数不低于29，包含"1个9环，2个10环”和"3个10环"两种情况，射中9环的概率为，射中10环的概率为，计算即可求得概率. 【详解】（1）平均数为， 方差为 （2）该选手第4局的总环数不低于29，包含"1个9环，2个10环”和"3个10环"两种情况， 由表中数据可知，该选手每一箭射中9环的概率为，射中10环的概率为， 所以所求的概率为 18．已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束． (1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率； (2)已知每检测一件产品需要费用100元，设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用（单位：元），求X的分布列和均值． 【答案】(1) (2)分布列见解析，350元 【分析】（1）根据古典概型的概率公式求解即可. （2）根据古典概型以及离散型随机变量的分布列和均值. 【详解】（1）记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件A， 则． （2）X的可能取值为：200，300，400. ．． ． X的分布列为： X 200 300 400 P （元）． 19．某职业技术大学招收的8名机械工程专业新生中有2名优秀生，现随机将这8名新生平均分配到甲、乙两个班中. (1)求2名优秀生被分配到同一个班的概率； (2)设随机变量表示分配到甲班的优秀生的人数，求的概率分布； (3)求随机变量的期望和方差. 【答案】(1) (2)见解析 (3)期望：；方差： 【分析】（1）根据古典概型的概率公式求解即可； （2）写出随机变量所有可能的取值，根据古典概型的概率公式求出每一取值的概率，列出表格，即可得的概率分布； （3）利用数学期望与方差公式求解即可. 【详解】（1）将这8名新生平均分配到甲、乙两个班中，有种分法， 2名优秀生被分配到同一个班的分法有种， 设2名优秀生被分配到同一个班为事件， 所以. （2）依题意，随机变量所有可能的取值有， ，，， 所以的概率分布为： （3）随机变量的期望， 方差. 试卷第1页，共3页 第 12 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $