第60卷 直线与圆锥曲线-考点训练卷 2027年浙江省单独招生考试《数学考纲百套卷》（原卷版+解析版）

编写说明：2027年浙江省单独招生考试《数学考纲百套卷》，严格依据《中等职业学校数学课程标准》，在职教高考数学真题分析的基础上进行编写。本专辑试卷采用三阶递进式训练体系：基础层拆解考点为微目标，紧扣考纲中考查内容及考查要求编写考点训练卷；巩固层强化知识综合，按考纲专题编写专题训练卷；应用层聚焦真题突破，结合考纲与真题编写综合模拟卷。 浙江省单独招生考试《数学考纲百套卷》 第60卷 直线与圆锥曲线 考点训练卷 考试时间：60分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1．在平面直角坐标系中，直线与抛物线的交点个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．无数个 2．若直线与双曲线只有1个交点，则实数值的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．直线 被椭圆 截得的弦长为（　　） A． B． C． D． 4．已知是椭圆的一个焦点，过F且垂直x轴的弦长为，则该椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 5．过椭圆的右焦点且与椭圆长轴垂直的直线与椭圆相交于，两点，则|（    ） A．4 B． C．1 D． 6．若直线过抛物线的焦点，与抛物线相交于，两点，且，则线段的中点到轴的距离为（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 7．设是椭圆的两个焦点，过且平行于轴的直线交椭圆于两点，则的面积为（    ） A． B． C． D． 8．直线 与椭圆 的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定 9．若圆被双曲线的一条渐近线截得的弦长为2，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 10．已知点P在椭圆上，与分别为左、右焦点，若，则的面积为（   ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分） 11．已知椭圆，过点与轴平行的直线交椭圆于，两点，则的长为________． 12．已知双曲线，则过且和双曲线只有一个交点的直线的斜率为________． 13．椭圆被直线所截得的弦长______． 14．倾斜角为的直线通过的焦点且与抛物线相交于M、N两点，则线段的长为___________. 15．已知直线经过抛物线的焦点，与抛物线交于，两点，若弦的中点到轴的距离为3，则弦长________. 三、解答题（本大题共 4 小题，每小题 10 分，共 40 分.要写出必要的文字说明，证明过程和演算步骤） 16．已知椭圆的离心率为，焦距为．倾斜角为的直线经过椭圆的左焦点，交椭圆于，两点． (1)求椭圆的标准方程； (2)设坐标原点为，求的面积． 17．已知双曲线的离心率为，虚轴长为． (1)求双曲线C的标准方程； (2)直线与双曲线C相交于两点，O为坐标原点，求的面积． 18．已知顶点在原点的抛物线C焦点坐标，斜率为的直线l与抛物线C相交于A，B两点. (1)求抛物线C的标准方程； (2)若，求直线l的方程. 19．已知椭圆C的焦点为和，长轴长为4． (1)求椭圆C的标准方程； (2)设直线交椭圆C于两点，求线段AB的中点坐标． 试卷第1页，共3页 第 12 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年浙江省单独招生考试《数学考纲百套卷》，严格依据《中等职业学校数学课程标准》，在职教高考数学真题分析的基础上进行编写。本专辑试卷采用三阶递进式训练体系：基础层拆解考点为微目标，紧扣考纲中考查内容及考查要求编写考点训练卷；巩固层强化知识综合，按考纲专题编写专题训练卷；应用层聚焦真题突破，结合考纲与真题编写综合模拟卷。 浙江省单独招生考试《数学考纲百套卷》 第60卷 直线与圆锥曲线 考点训练卷 考试时间：60分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1．在平面直角坐标系中，直线与抛物线的交点个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．无数个 【答案】B 【分析】联立方程组，求出判别式即可得解. 【详解】依题意，联立方程组， ，说明方程有一个实数解， 即直线与抛物线的交点个数是. 故选：. 2．若直线与双曲线只有1个交点，则实数值的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】联立方程组，根据交点个数为，分类讨论和的情况即可得解. 【详解】联立方程组得， 因为交点个数为， 当时，符合题意，解得或， 当时，，解得或， 综上所述，符合题意的值有个， 故选：. 3．直线 被椭圆 截得的弦长为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】联立直线方程与椭圆方程，再利用韦达定理及弦长公式求解即可. 【详解】联立直线方程与椭圆方程：， 整理得：. 根据韦达定理有：. 因此弦长：. 故选：B. 4．已知是椭圆的一个焦点，过F且垂直x轴的弦长为，则该椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意结合通径公式及椭圆的性质列出方程组即可得解. 【详解】依题意，解得， 所以椭圆方程为， 故选：C. 5．过椭圆的右焦点且与椭圆长轴垂直的直线与椭圆相交于，两点，则|（    ） A．4 B． C．1 D． 【答案】C 【分析】根据椭圆的基本性质，将直线方程和椭圆方程联立求交点的纵坐标即可； 【详解】，，， 则直线为，代入椭圆方程得： ，所以： ，，则. 故选：C. 6．若直线过抛物线的焦点，与抛物线相交于，两点，且，则线段的中点到轴的距离为（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】A 【分析】根据抛物线的定义以及中点坐标公式求解即可. 【详解】抛物线方程为，可得，即，焦点，准线方程为. 设，，则，， 因此弦长： 代入已知，得. 线段中点的横坐标为，点到轴的距离等于横坐标的绝对值，因此距离为. 故选：A. 7．设是椭圆的两个焦点，过且平行于轴的直线交椭圆于两点，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】通过椭圆的标准方程求出焦点坐标，及点的坐标，进而求出的底边长与高，最后根据三角形的面积公式求解即可. 【详解】的两个焦点坐标为，. 依题意可知，所以在中，为的高，为底， 且点的横坐标与点的横坐标相等. 把代入椭圆方程中，得. 即点的坐标为，，所以. 又因为，所以的面积等于.    故选：D. 8．直线 与椭圆 的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定 【答案】A 【分析】联立方程组，根据判别式的大小确定直线与椭圆的交点个数，进而确定位置关系； 【详解】联立方程组，可得，即， 所以，则直线与椭圆有两个交点. 所以直线与椭圆相交， 故选：A 9．若圆被双曲线的一条渐近线截得的弦长为2，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据双曲线方程求出渐近线方程，结合双曲线的性质，点到直线的距离公式及弦长公式得出，，代入离心率公式即可得解. 【详解】双曲线， 不妨设渐近线方程为，即， 将圆化为标准方程， 其圆心坐标为，半径为2，则圆心到渐近线的距离为， 又因为弦长为2，所以，即，从而， 又，得，则离心率. 故选：. 10．已知点P在椭圆上，与分别为左、右焦点，若，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由已知得到，，，利用余弦定理求出，结合三角形面积公式即可求解. 【详解】由椭圆方程可知， 则， 所以，， 由余弦定理， 即， 整理为， 解得， 所以. 故选：A.    二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分） 11．已知椭圆，过点与轴平行的直线交椭圆于，两点，则的长为________． 【答案】 【分析】根据题意求出直线方程，联立方程组求出两点坐标即可得解. 【详解】过点与轴平行的直线为， 联立，解得， 则不妨设， ， 故答案为：. 12．已知双曲线，则过且和双曲线只有一个交点的直线的斜率为________． 【答案】 【分析】根据题意，可分类讨论当直线斜率是否存在两种情况，可将直线方程与双曲线方程联立方程组，结合含参数的一元二次方程有一个根，分类讨论二次项系数是否为0，即可求解． 【详解】由题意，当直线斜率不存在时，过的直线方程为， 所以，解得， 所以此时直线与双曲线有两个交点，不符合题意； 当直线斜率存在时，设所求直线斜率为，则过点且斜率为的直线方程为， 所以，化简并整理得， 因为直线与双曲线只有一个交点， 当时，解得，经检验，符合题意； 当时，，无解； 综上所述，． 故答案为：. 13．椭圆被直线所截得的弦长______． 【答案】 【分析】联立方程组，根据韦达定理求出与，代入弦长公式即可得解. 【详解】设， 根据题意联立方程组得， 则，， 所以， 故答案为：. 14．倾斜角为的直线通过的焦点且与抛物线相交于M、N两点，则线段的长为___________. 【答案】8 【分析】先求出抛物线焦点坐标，再根据直线倾斜角得到直线方程，最后联立直线与抛物线方程，利用抛物线焦点弦长公式求解. 【详解】抛物线中，，焦点坐标为， 已知直线倾斜角为，可得直线斜率， 又直线过点，可得直线的方程为， 将代入，可得，即， 设，，所以， 所以焦点弦长. 故答案为：8. 15．已知直线经过抛物线的焦点，与抛物线交于，两点，若弦的中点到轴的距离为3，则弦长________. 【答案】8 【分析】根据题意结合中点坐标公式及弦长公式即可得解. 【详解】抛物线，则，弦的中点的横坐标为3， 设， 则，， 所以弦长， 故答案为：. 三、解答题（本大题共 4 小题，每小题 10 分，共 40 分.要写出必要的文字说明，证明过程和演算步骤） 16．已知椭圆的离心率为，焦距为．倾斜角为的直线经过椭圆的左焦点，交椭圆于，两点． (1)求椭圆的标准方程； (2)设坐标原点为，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由离心率公式及焦距的定义，求出的值，进而得，据此可得解； （2）由点斜式写出直线的方程，与椭圆方程联立，消元后，利用韦达定理求出，再由点到直线的距离可出的高，据此可得解. 【详解】（1）由题可知，椭圆的焦点在轴上， 不妨设椭圆的标准方程为， 则， 所以. 故椭圆的标准方程为； （2）因为直线的倾斜角为，且经过椭圆的左焦点， 所以直线的方程为，即. 设点， 由可得：， 则，， 所以. 因为点到直线的距离， 所以的面积. 17．已知双曲线的离心率为，虚轴长为． (1)求双曲线C的标准方程； (2)直线与双曲线C相交于两点，O为坐标原点，求的面积． 【答案】(1) (2)2 【分析】（1）根据题意，结合双曲线的离心率和虚轴长，及之间的关系，即可求得的值，继而求得双曲线的标准方程； （2）根据题意，将直线方程与双曲线方程联立方程组，求得交点的坐标，结合两点之间的距离公式求得弦长，结合点到直线的距离公式求得原点到直线l的距离，即可求解. 【详解】（1）因为双曲线的离心率为，虚轴长为， 设为双曲线的半焦距，所以，所以， 所以，故，解得， 所以双曲线的标准方程为； （2）由题意，联立方程组，消元化简整理得， 解得或， 不妨取，则， 原点O到直线的距离， 所以的面积. 18．已知顶点在原点的抛物线C焦点坐标，斜率为的直线l与抛物线C相交于A，B两点. (1)求抛物线C的标准方程； (2)若，求直线l的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据抛物线的焦点坐标求解方程即可； （2）联立直线与抛物线方程，结合韦达定理和抛物线的焦半径公式即可求解. 【详解】（1）因为抛物线C焦点坐标， 所以抛物线焦点在轴的正半轴且，解得：， 所以抛物线的标准方程为：. （2）设斜率为的直线l的方程为：，， 联立方程组：得：， 由韦达定理可得：， 所以，所以，解得：， 所以直线l的方程为：，即. 19．已知椭圆C的焦点为和，长轴长为4． (1)求椭圆C的标准方程； (2)设直线交椭圆C于两点，求线段AB的中点坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据椭圆的焦点确定的值，再由长轴长确定的值，最后由的关系确定的值即可. （2）首先联立椭圆与直线方程，并设，再由韦达定理得出的值，最后由中点坐标公式求值即可. 【详解】（1）已知椭圆C的焦点为和， 则，焦点在轴上，由长轴长为4， 得，所以， 所以椭圆C的标准方程为. （2）联立椭圆方程与直线， 得，得， 整理得， 设， 则，所以中点的横坐标为， 因为中点在直线上，所以中点的纵坐标， 所以中点坐标为. 试卷第1页，共3页 第 12 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $