第56卷 直线与圆的位置关系-考点训练卷 2027年浙江省单独招生考试《数学考纲百套卷》（原卷版+解析版）

编写说明：2027年浙江省单独招生考试《数学考纲百套卷》，严格依据《中等职业学校数学课程标准》，在职教高考数学真题分析的基础上进行编写。本专辑试卷采用三阶递进式训练体系：基础层拆解考点为微目标，紧扣考纲中考查内容及考查要求编写考点训练卷；巩固层强化知识综合，按考纲专题编写专题训练卷；应用层聚焦真题突破，结合考纲与真题编写综合模拟卷。 浙江省单独招生考试《数学考纲百套卷》 第56卷 直线与圆的位置关系 考点训练卷 考试时间：60分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1．已知直线平分圆的周长，则（ ） A．2 B．1 C． D．4 【答案】B 【分析】根据题意可得，直线过圆心，由圆的方程得出圆心坐标，代入直线方程即可求解. 【详解】由题意得，圆的圆心为. 因为直线平分圆，所以直线过圆心，代入圆心坐标到直线方程， 则，解得. 故选：B. 2．在平面几何中，当直线L与圆C有两个公共点时，可以判断直线L与圆C的关系是（   ） A．相离 B．相切 C．相交 D．重合 【答案】C 【分析】根据直线与圆的位置关系的定义，即可选出正确答案. 【详解】当直线与圆有两个公共点时，叫做直线与圆相交. 故选：C 3．工人制作圆形装饰品，圆的一般方程为，则该圆在轴上截得的弦长为（    ）． A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【分析】令代入圆的一般方程为中求出值即可得解. 【详解】令，则，即，解得，， 所以在轴上截得的弦长为， 故选：. 4．已知直线与圆交于A，B两点，且圆C在A，B两点处的切线交于点M，若为正三角形，则（    ）． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据题意可得，再根据三角形中的关系，结合垂径定理求解即可. 【详解】因为为正三角形，且均与圆相切，故， ，由四边形内角和为可得. 又圆，圆心为，半径为. 故到直线的距离为. 故，解得或（舍）. 故选：C 5．若直线与圆相切，则k的值为（   ） A． B．5 C． D．或 【答案】D 【分析】根据直线与圆的位置关系，结合点到直线的距离公式列出等式即可解得. 【详解】由圆的方程可知圆心坐标为，半径为， 直线与圆相切，则圆心到直线的距离， 解得或. 故选：D 6．已知圆C的方程为，直线m过点，且与圆C交于A，B两点，若，则直线m的斜率为（    ） A．或0 B．或0 C．或0 D．或0 【答案】B 【分析】根据题意，设直线方程为，结合点到直线的距离公式代入计算，即可得到结果. 【详解】显然，当直线的斜率不存在时，直线与圆相切，不满足要求； 设直线的斜率为，则直线方程为， 即，因为，则圆心到直线的距离， 又，解得或. 故选：B 7．如图是某主题公园的部分景观平面示意图，圆形池塘以O为圆心，以为半径，B为公园入口，道路为东西方向，道路经过点O且向正北方向延伸，，现计划从B处起修一条新路与道路相连，且新路在池塘的外围，假设路宽忽略不计，则新路的最小长度为（单位：m）（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立平面直角坐标系，再根据直线与圆相切时距离最短求解即可. 【详解】 如图，以A为坐标原点建立平面直角坐标，则. 由题意，则修建的新路所在直线斜率存在， 可设直线方程为，即. 则当该直线与圆O相切时，小路长度最小，此时，解得（不符合题意）. 直线方程为，进而直线与道路相交于点. 此时求得新路长度为． 故选：A. 8．下列关于圆：的说法中正确的个数为（    ） ①圆的圆心为，半径为 ②直线：与圆相交 ③圆与圆：相交 ④过点作圆的切线，切线方程为 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对于①，根据圆的标准方程求出圆心坐标和半径，可知①正确；对于②，根据圆心到直线的距离小于半径，可知②正确；对于③，根据圆心距与两圆半径之间的关系，可知③正确；对于④，点在圆，可知点在圆，求出切线的斜率，根据点斜式可求出切线方程，可知④不正确. 【详解】对于①，由可知，圆心为，半径为，故①正确； 对于②，圆心到直线的距离，所以直线：与圆相交，故②正确； 对于③，圆：的圆心，半径为， 因为圆心距，且， 所以圆与圆：相交，故③正确； 对于④，因为点在圆：上，所以点为切点， 所以切点与圆心的连线的斜率为， 所以切线的斜率为， 所以切线方程为：，即，故④不正确. 故选：C 9．已知直线与曲线只有一个交点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】首先将曲线化简得，结合图像分情况讨论即可得到的取值范围. 【详解】已知直线与曲线只有一个交点， 则曲线化简得， 所以该曲线为半径为，圆心为的半圆， 其图像位于一，二象限（包含与x轴的交点）， 则直线与曲线只有一个交点， 需考虑三种情况， 当直线与曲线在第一象限与圆相切时， 即圆心到直线的距离，解得， 当直线过这一点时，，此时直线与曲线有两个交点，且过点， 当直线过这一点时，，此时直线与曲线有一个交点， 如图所示，或时，直线与曲线只有一个交点. 故选：D. 10．已知曲线与直线有两个公共点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可得，曲线表示以原点为圆心，1为半径的半圆，直线恒过定点．记，求出直线与圆相切时的值及，数形结合可得结果． 【详解】曲线方程可转化成，表示以原点为圆心，1为半径的半圆， 直线，可知恒过定点. 直线方程可转化成，记. 当直线与圆相切时，原点到直线的距离等于半径， 于是有：，解得， 又， 若曲线与直线有两个公共点，结合图形得， 故选：A. 二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分） 11．已知圆.若圆心到直线的距离为1，则直线的方程为__________.（写一个即可）. 【答案】（答案不唯一，符合题意即可） 【分析】根据直线与圆的位置关系写出符合题意的答案即可. 【详解】由题意知直线与圆相切，所以直线的方程可以为. 故答案为：（答案不唯一，符合题意即可）. 12．若点在圆上，则过的圆的切线方程为______. 【答案】 【分析】利用垂直直线的斜率关系和直线方程相关概念直接求解. 【详解】因为点在圆上， 所以过的圆的切线方程和垂直， 因为，，所以，所以切线方程斜率为， 所以切线方程为，即. 故答案为： 13．已知动圆C过两点，圆心C关于直线的对称点为M，过点M的直线交圆C于E，F两点，当圆C的面积最小时，圆C的方程为______，弦的最小值为______． 【答案】 2. 【解析】依题意知，当圆C的面积最小时, 即AB是圆C的一条直径，从而可得圆心坐标和半径，得到圆的方程，根据题意可得点M的坐标为(1，－2)，可判断点M位于圆C内，则当点M为线段EF的中点时，最小，从而求出答案. 【详解】依题意知，当圆C的面积最小时, 即AB是圆C的一条直径， 又的中点为， 所以圆C的面积最小时，圆C的圆心为，半径为 所以圆C的面积最小时，圆C的方程为： 所以，点M的坐标为(1，－2)， 且|CM|＝＝＜，所以点M位于圆C内， 当点M为线段EF的中点(过定圆内一定点作圆的弦，以该定点为中点的弦最短)时， 最小，其最小值等于2＝2. 故答案为：  ；2. 14．工厂的圆形仓库，其方程为，现要在仓库内规划一条直线运输通道，该通道过点且将圆的周长分为两部分，则直线运输通道的方程为______. 【答案】或 【分析】将圆的一般式方程化为标准方程求出圆心坐标与半径，结合题意得出圆心与直线的距离为，分类讨论直线斜率存在和不存在的情况列出方程即可得解. 【详解】将圆方程化为标准方程，圆心坐标为，半径. 因为直线将圆的周长分为两部分，所以直线所对的圆心角为，则圆心到直线的距离， 当直线斜率不存在时，直线方程为，此时圆心到直线距离为，不满足条件； 当直线斜率存在时，设直线方程为，即， 根据点到直线距离公式，解得， 所以直线方程为或， 故答案为：或. 15．若动点分别在直线和直线上移动，点P是线段的中点，则圆上的点到P点的最小距离是_________． 【答案】/ 【分析】先设的中点坐标为，根据题意，得到中点所在直线方程，由圆上的点到直线的距离的最值情况即可得解. 【详解】设的中点坐标为， 因为，，所以，即， 又，，分别在直线和直线上移动， 所以，两式相加得， 所以，即即为中点所在直线方程， 因为圆的圆心为，半径为， 所以圆心到直线的距离为， 所以圆上的点到P点的最小距离为. 故答案为：. 三、解答题（本大题共 4 小题，每小题 10 分，共 40 分.要写出必要的文字说明，证明过程和演算步骤） 16．求圆上的点到直线的最大距离和最小距离． 【答案】最大距离为6，最小距离为4 【分析】圆心到直线的距离，圆上的点到直线距离的最小距离是，最大距离是，从而可求． 【详解】解：由圆的方程可得圆心为，半径. 又因为圆心到的距离为：， 所以直线与圆相离， 则最大距离为，最小距离． 17．已知圆C的标准方程为. (1)求圆的圆心坐标及半径； (2)直线与圆C相交于A和B两点，求弦的长度. 【答案】(1)圆心， 半径 (2)2 【分析】（1）根据圆的方程确定圆心与半径即可. （2）首先求出圆心到直线的距离，再由弦长公式求值即可. 【详解】（1）已知圆C的标准方程为， 则圆心， 半径. （2）圆心到直线的距离， ， . 18．已知圆关于直线对称，且过点和原点．求： (1)圆的标准方程； (2)过点，且与圆相切的直线方程． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）设圆的一般方程，根据圆心在直线上及过点和原点，列方程组可求解； （2）讨论直线斜率是否存在，计算圆心到直线距离解得直线方程. 【详解】（1）设圆的方程为， 因为圆过点和原点， 所以； 因为圆关于直线对称， 所以圆心在直线上， 所以，即， 将两方程（组）联立，解得，， 所以圆，其标准方程为； （2）由（1）知圆的圆心为，半径， 当过点的直线的斜率不存在时，直线方程为， 此时，圆心到的距离等于半径2，故与圆相切； 当过点的直线的斜率存在时，设直线方程为， 即， 由直线与圆相切，可得圆心到直线的距离为，解得， 故直线方程为. 综上所述，所求直线方程为或. 19．已知圆C经过点和，且圆心在直线上. (1)求圆C的方程； (2)若点P在圆C上，求面积的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出的垂直平分线与直线的交点坐标，可得圆心C，进而求出半径，据此可得圆的标准方程； （2）先求弦的值，再利用垂径定理求出圆心到弦的距离，进而得P到最大距离，据此可求解. 【详解】（1）由题可知，所求圆心C为的垂直平分线与直线的交点坐标. 由点和，可得的中点坐标为，即， 直线的斜率， 所以的垂直平分线的斜率， 其垂直平分线的方程为，即. 由解得， 所以圆心坐标，圆的半径， 故圆方程 ； （2）由题可知， ，则圆心到弦的距离， 所以P到最大距离为， 面积最大值. 试卷第1页，共3页 第 12 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年浙江省单独招生考试《数学考纲百套卷》，严格依据《中等职业学校数学课程标准》，在职教高考数学真题分析的基础上进行编写。本专辑试卷采用三阶递进式训练体系：基础层拆解考点为微目标，紧扣考纲中考查内容及考查要求编写考点训练卷；巩固层强化知识综合，按考纲专题编写专题训练卷；应用层聚焦真题突破，结合考纲与真题编写综合模拟卷。 浙江省单独招生考试《数学考纲百套卷》 第56卷 直线与圆的位置关系 考点训练卷 考试时间：60分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1．已知直线平分圆的周长，则（ ） A．2 B．1 C． D．4 2．在平面几何中，当直线L与圆C有两个公共点时，可以判断直线L与圆C的关系是（   ） A．相离 B．相切 C．相交 D．重合 3．工人制作圆形装饰品，圆的一般方程为，则该圆在轴上截得的弦长为（    ）． A．4 B．6 C．8 D．10 4．已知直线与圆交于A，B两点，且圆C在A，B两点处的切线交于点M，若为正三角形，则（    ）． A．1 B．2 C．3 D．4 5．若直线与圆相切，则k的值为（   ） A． B．5 C． D．或 6．已知圆C的方程为，直线m过点，且与圆C交于A，B两点，若，则直线m的斜率为（    ） A．或0 B．或0 C．或0 D．或0 7．如图是某主题公园的部分景观平面示意图，圆形池塘以O为圆心，以为半径，B为公园入口，道路为东西方向，道路经过点O且向正北方向延伸，，现计划从B处起修一条新路与道路相连，且新路在池塘的外围，假设路宽忽略不计，则新路的最小长度为（单位：m）（   ） A． B． C． D． 8．下列关于圆：的说法中正确的个数为（    ） ①圆的圆心为，半径为 ②直线：与圆相交 ③圆与圆：相交 ④过点作圆的切线，切线方程为 A． B． C． D． 9．已知直线与曲线只有一个交点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 10．已知曲线与直线有两个公共点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分） 11．已知圆.若圆心到直线的距离为1，则直线的方程为__________.（写一个即可）. 12．若点在圆上，则过的圆的切线方程为______. 13．已知动圆C过两点，圆心C关于直线的对称点为M，过点M的直线交圆C于E，F两点，当圆C的面积最小时，圆C的方程为______，弦的最小值为______． 14．工厂的圆形仓库，其方程为，现要在仓库内规划一条直线运输通道，该通道过点且将圆的周长分为两部分，则直线运输通道的方程为______. 15．若动点分别在直线和直线上移动，点P是线段的中点，则圆上的点到P点的最小距离是_________． 三、解答题（本大题共 4 小题，每小题 10 分，共 40 分.要写出必要的文字说明，证明过程和演算步骤） 16．求圆上的点到直线的最大距离和最小距离． 17．已知圆C的标准方程为. (1)求圆的圆心坐标及半径； (2)直线与圆C相交于A和B两点，求弦的长度. 18．已知圆关于直线对称，且过点和原点．求： (1)圆的标准方程； (2)过点，且与圆相切的直线方程． 19．已知圆C经过点和，且圆心在直线上. (1)求圆C的方程； (2)若点P在圆C上，求面积的最大值. 试卷第1页，共3页 第 12 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $