专题8 函数的性质（讲义）-2027年云南省（职教高考）《数学一轮讲练测》（原卷版+解析版）

编写说明：2027年云南省职教高考《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年云南省职教高考 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题8 函数的性质 【复习目标】 1、 会借助函数的图像判断函数的单调性和奇偶性； 2、 会用定义证明函数的单调性和奇偶性； 3、 会用函数的单调性和奇偶性描述函数的图形特征，对函数的性质进行推理和证明。 【考点1 函数的单调性】 1．增函数与减函数的定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I： ①如果∀x1，x2∈D，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递增，特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们称它是增函数。 ②如果∀x1，x2∈D，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递减，特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们称它是减函数． 2．函数的单调区间 若函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数y＝f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间． 3．证明函数单调性的步骤 第一步：取值．设是定义域内一个区间上的任意两个自变量，且； 第二步：变形．作差变形（变形方法：因式分解、配方、有理化等）或作商变形； 第三步：定号．判断差的正负或商与1的大小关系； 第四步：得出结论． 4．常见函数的单调性 函数 单调性 一次函数（） 当时，在上单调递增 当时，在上单调递减 反比例函数（） 当时，在和上单调递减 当时，在和上单调递增 二次函数（） 对称轴为 当时，在上单调递减；在上单调递增 当时，在上单调递增；在上单调递减 【即时训练】 1．如果函数是上的减函数，则（   ）. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一次函数的性质求解． 【详解】函数是上的减函数，则． 故选：B． 2．已知函数是R上的减函数，则下列式子成立的是（    ） A． B． C． D．无法比较与的大小 【答案】B 【分析】由函数的单调性即可得解. 【详解】因为函数是R上的减函数，且， 所以. 故选：B. 3．已知函数在上是增函数，则下列各式成立的是（    ） A． B． C． D．不能确定 【答案】A 【分析】根据函数的单调性求解即可. 【详解】因为函数在上是增函数，且， 所以. 故选：A. 4．下列函数在定义域上为单调递减的函数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据指数函数、一次函数和对数函数的性质即可求解. 【详解】对A：因为，所以函数在定义域上单调递增，故A项错误； 对B：因为，所以函数在定义域上单调递增，故B项错误； 对C：因为一次函数的，所以函数在定义域上为单调递减，故C项正确； 对D：因为，所以函数在定义域上单调递增，故D项错误. 故选：C. 5．如下图，在定义域内表示减函数的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】根据减函数的性质即可判断. 【详解】减函数的图像从左往右看，图像是“下降”的，只有D选项正确. 故选：D. 6．观察两个函数，图像，在下列区间中，同为单调递减的区间是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数单调性定义，依次判断. 【详解】选项A中，在区间为单调递增，不满足题意，故错误. 选项B中，和在区间同为单调递减，满足题意，故正确. 选项C中，在区间为单调递增，不满足题意，故错误. 选项D中，和在区间同为单调递增，不满足题意，故错误. 故选：B. 7．函数在上是减函数，则有（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一次函数的单调性求解即可. 【详解】因为函数在上是减函数， 所以有，解得. 故选：A. 8．已知函数在上是减函数，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用减函数的性质，求的取值范围即可. 【详解】因为函数在上是减函数，则当， 有，解得， 则的取值范围是； 故选：A. 9．已知函数在区间上是减函数，则有（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知函数单调性求解即可解得. 【详解】由题，函数在上是减函数， 则， 故选：C 【考点2 函数的奇偶性】 1. 函数的奇偶性（前提：定义域必须关于原点对称.） （1） 设函数y=f(x)的定义域为数集D，若对于任意的x∈D，都有−x∈D，且f(−x)=f(x)，则称y=f(x)是偶函数．偶函数的图像关于y轴对称． （2） 设函数y=f(x)的定义域为数集D，若对于任意的x∈D，都有−x∈D，且f(−x)=−f(x)，则称y=f(x)是奇函数．奇函数的图像关于原点中心对称． 2. 函数奇偶性与单调性之间的关系 (1)若函数f(x)为奇函数，且在[a，b]上为增(减)函数，则f(x)在[－b，－a]上为增(减)函数； (2)若函数f(x)为偶函数，且在[a，b]上为增(减)函数，则f(x)在[－b，－a]上为减(增)函数． 3. 奇、偶函数的“运算”(共同定义域上) 奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇. 【即时训练】 10．已知为偶函数，且在上为增函数，则大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由偶函数得到，再根据函数在上单调性比较的大小即可． 【详解】因为为偶函数，所以有， 又因为在上为增函数，且， 所以，即. 故选：D. 11．下列函数中的偶函数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据偶函数的定义，即可求解. 【详解】对于A选项：定义域为，，函数不是偶函数，A错误； 对于B选项：定义域为，，函数是偶函数，B正确； 对于C选项：定义域为，，函数不是偶函数，C错误； 对于D选项：定义域为，，函数不是偶函数，D错误. 故选：B. 12．函数是（    ） A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．又奇又偶函数 【答案】C 【分析】根据函数奇偶性的定义即可求解. 【详解】因为函数的定义域为，对于任意，都有， 又，即， 所以函数是非奇非偶函数. 故选：C. 13．下列函数中，是奇函数且在定义域内单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的奇偶性和单调性易得答案. 【详解】A:是奇函数在定义域内单调递减,故错误, B:是奇函数在定义域内单调递增,故正确, C:是非奇非偶函数,故错误, D:是偶函数,故错误. 故选:B. 14．下列函数图象中，为偶函数的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据偶函数图像的特点即可解得. 【详解】根据偶函数的图象性质可知，偶函数图像关于y轴对称. 故选：C 15．下列图象表示的函数中，属于奇函数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由奇函数的图像关于原点对称可判断. 【详解】由奇函数的图像关于原点对称可知：B正确. 故选：B 16．已知为定义在上的奇函数，若，则等于（    ） A．0 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】根据函数的奇偶性，代数求解即可. 【详解】因为为定义在上的奇函数，且， 所以，故. 故选：A. 17．设函数为定义在R上的奇函数，当时，，则的值是（   ） A． B． C．2 D．1 【答案】A 【分析】根据题意，结合奇函数的定义，即可求解. 【详解】因为当时，， 所以， 又函数为定义在R上的奇函数， 所以. 故选：A. 18．若是偶函数，且当时，，则当时，的表达式为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据偶函数的性质易得答案. 【详解】由得，，当时，， 又因为是偶函数，则. 故选：C. 19．如果定义在区间上的函数是偶函数，则（   ） A． B．8 C．2 D． 【答案】A 【分析】根据偶函数的定义域关于原点对称，列方程求解即可. 【详解】已知定义在区间上的函数是偶函数， 所以，解得， 故选：A. 20．已知是R上的偶函数，若，则（    ） A．3 B． C． D．2 【答案】A 【分析】根据偶函数的定义求值即可. 【详解】已知是R上的偶函数， 由，得， 故选：A. 21．下列函数中，在区间内为增函数，同时在定义域内为偶函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由选项中具体函数的单调性，奇偶性判断即可. 【详解】A选项为偶函数，在区间内为减函数； B选项为奇函数，在区间内为增函数； C选项为非奇非偶函数，在定义域内为增函数； D选项为偶函数，在区间内为增函数． 故选：D. 【考点3 函数的最值】 1．最大值 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：①对于任意的x∈I，都有f(x)≤M； ②存在x0∈I，使得f(x0)＝M．那么，我们称M是函数y＝f(x)的最大值． 2．最小值 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数N满足：①对于任意的x∈I，都有f(x)≥N； ②存在x0∈I，使得f(x0)＝N．那么我们称N是函数y＝f(x)的最小值． 【即时训练】 22．函数的最小值、最大值分别为（   ） A．3，5 B．，5 C．1，5 D．5， 【答案】B 【分析】根据函数的单调性，即可求解最值问题. 【详解】函数，可知一次函数的系数为负， 故是单调递减函数， 故在定义域的左端取得最大值，右端取得最小值， 则， . 故选:B. 23．函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次函数单调性分析求解. 【详解】因为函数开口向上，对称轴为， 则在内单调递增， 且当时，则， 可知函数的最小值为3，所以值域为，即值域为. 故选：D. 24．若奇函数在区间上的图像如图所示，则下列选项中关于该函数在区间上的单调性和最值的结论中正确的是 （   ）    A．增函数且最小值为 B．增函数且最大值为 C．减函数且最小值为 D．减函数且最大值为 【答案】B 【分析】根据所给函数的图像，先判断函数在区间上的单调性和最值，再利用函数奇偶性的性质，判断函数在区间上的单调性以及函数的最值即可. 【详解】由图像可知，该函数在区间上是增函数且最小值为， 因为该函数为奇函数，所以该函数在区间上是增函数且最大值为. 故选：B. 25．函数在区间上为增函数，则在该区间的最大值为（    ）． A．0 B．1 C．16 D．25 【答案】D 【分析】利用函数的单调性求最值即可. 【详解】函数在区间上为增函数， 则为最大值； 故选：D. 26．若，则的最大值为（    ） A． B． C． D．18 【答案】B 【分析】将原函数的最值转化为二次函数的最值即可 【详解】由 设 所以当时，函数有最大值 所以在的最大值为， 故选：B. 27．如果奇函数在区间上是增函数且最大值为5，那么在间上是（    ） A．增函数且最小值是 B．增函数且最大值是 C．减函数且最大值是 D．减函数且最小值是 【答案】A 【分析】由奇函数概念及函数单调性即可求解. 【详解】因为奇函数在区间上是增函数且最大值为5，则函数在在间上也是增函数，且当取最小值为，故A选项正确. 故选：A 28．下列函数中，在区间上存在最小值的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的单调性判别. 【详解】选项BCD中，在上为单调函数，在开区间上不存在最值． 在区间上单调递减，在区间单调递增，故函数在处取最小值． 故选：A. 29．已知二次函数在区间上是减函数，在区间是增函数，则函数的最小值是（    ）． A．2 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】由二次函数的单调区间确定的值，再由单调区间求其最小值即可. 【详解】因为二次函数 在区间上是减函数，在区间是增函数， 所以其对称轴为，解得， 当时，取最小值，最小值为. 故选：B. 30．函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出二次函数的对称轴，判断出的单调性，即可求得答案. 【详解】对称轴为, 所以在严格增，所以， 故选：C. 1.（2025云南）已知函数． (1)判断的奇偶性； (2)求的值． 【答案】(1)偶函数 (2) 【分析】（1）根据函数的奇偶性的定义判断即可. （2）将代入函数解析式求值即可. 【详解】（1）已知函数， 定义域为，关于原点对称， 且， 所以为偶函数. （2）已知函数， 则. 2.（2024云南）下列函数属于偶函数是（ ）. A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据偶函数的定义判断即可. 【详解】A：偶函数的定义域需关于原点对称， 不满足偶函数的定义，故A错误， B：，定义域关于原点对称， 所以，不是偶函数，故B错误， C：，定义域关于原点对称， 所以，不是偶函数，故C错误， D：，定义域关于原点对称， 所以，是偶函数，故D正确. 故选：D. 3.（2021云南）下列函数关于轴对称的是（ ）. A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性即可判断. 【详解】对A：函数的定义域为R，且， 所以函数是奇函数，函数图象关于原点对称，故A项错误； 对B：函数的定义域为R，且， 所以函数既不是奇函数也不是偶函数，故函数图象不关于轴对称，故B项错误； 对C：函数的定义域为R，且， 所以函数是偶函数，故函数图象关于轴对称，故C项正确； 对D：函数的定义域为R，且， 所以函数是奇函数，故函数图象关于原点对称，故D项错误. 故选：C. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年云南省职教高考《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年云南省职教高考 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题8 函数的性质 【复习目标】 1、 会借助函数的图像判断函数的单调性和奇偶性； 2、 会用定义证明函数的单调性和奇偶性； 3、 会用函数的单调性和奇偶性描述函数的图形特征，对函数的性质进行推理和证明。 【考点1 函数的单调性】 1．增函数与减函数的定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I： ①如果∀x1，x2∈D，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递增，特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们称它是 。 ②如果∀x1，x2∈D，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递减，特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们称它是 ． 2．函数的单调区间 若函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数y＝f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的 ． 3．证明函数单调性的步骤 第一步：取值．设是定义域内一个区间上的任意两个自变量，且； 第二步：变形．作差变形（变形方法：因式分解、配方、有理化等）或作商变形； 第三步：定号．判断差的正负或商与1的大小关系； 第四步：得出结论． 4．常见函数的单调性 函数 单调性 一次函数（） 当时，在上单调递增 当时，在上单调递减 反比例函数（） 当时，在和上单调递减 当时，在和上单调递增 二次函数（） 对称轴为 当时，在上单调递减；在上单调递增 当时，在上单调递增；在上单调递减 【即时训练】 1．如果函数是上的减函数，则（   ）. A． B． C． D． 2．已知函数是R上的减函数，则下列式子成立的是（    ） A． B． C． D．无法比较与的大小 3．已知函数在上是增函数，则下列各式成立的是（    ） A． B． C． D．不能确定 4．下列函数在定义域上为单调递减的函数是（    ） A． B． C． D． 5．如下图，在定义域内表示减函数的是（    ） A．   B．   C．   D．   6．观察两个函数，图像，在下列区间中，同为单调递减的区间是（    ）    A． B． C． D． 7．函数在上是减函数，则有（   ） A． B． C． D． 8．已知函数在上是减函数，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 9．已知函数在区间上是减函数，则有（   ） A． B． C． D． 【考点2 函数的奇偶性】 1. 函数的奇偶性（前提：定义域必须关于原点对称.） （1） 设函数y=f(x)的定义域为数集D，若对于任意的x∈D，都有−x∈D，且 ，则称y=f(x)是 ．偶函数的图像 ． （2） 设函数y=f(x)的定义域为数集D，若对于任意的x∈D，都有−x∈D，且 ，则称y=f(x)是 ．奇函数的图像 ． 2. 函数奇偶性与单调性之间的关系 (1)若函数f(x)为奇函数，且在[a，b]上为增(减)函数，则f(x)在[－b，－a]上为增(减)函数； (2)若函数f(x)为偶函数，且在[a，b]上为增(减)函数，则f(x)在[－b，－a]上为减(增)函数． 3. 奇、偶函数的“运算”(共同定义域上) 奇±奇＝ ，偶±偶＝ ，奇×奇＝ ，偶×偶＝ ，奇×偶＝ . 【即时训练】 10．已知为偶函数，且在上为增函数，则大小关系是（    ） A． B． C． D． 11．下列函数中的偶函数是（    ） A． B． C． D． 12．函数是（    ） A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．又奇又偶函数 13．下列函数中，是奇函数且在定义域内单调递增的是（    ） A． B． C． D． 14．下列函数图象中，为偶函数的是（ ） A． B． C． D． 15．下列图象表示的函数中，属于奇函数是（    ） A． B． C． D． 16．已知为定义在上的奇函数，若，则等于（    ） A．0 B． C．2 D． 17．设函数为定义在R上的奇函数，当时，，则的值是（   ） A． B． C．2 D．1 18．若是偶函数，且当时，，则当时，的表达式为（ ） A． B． C． D． 19．如果定义在区间上的函数是偶函数，则（   ） A． B．8 C．2 D． 20．已知是R上的偶函数，若，则（    ） A．3 B． C． D．2 21．下列函数中，在区间内为增函数，同时在定义域内为偶函数的是（    ） A． B． C． D． 【考点3 函数的最值】 1．最大值 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：①对于任意的x∈I，都有 ； ②存在x0∈I，使得 ．那么，我们称M是函数y＝f(x)的 ． 2．最小值 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数N满足：①对于任意的x∈I，都有 ； ②存在x0∈I，使得 ．那么我们称N是函数y＝f(x)的 ． 【即时训练】 22．函数的最小值、最大值分别为（   ） A．3，5 B．，5 C．1，5 D．5， 23．函数的值域是（    ） A． B． C． D． 24．若奇函数在区间上的图像如图所示，则下列选项中关于该函数在区间上的单调性和最值的结论中正确的是 （   ）    A．增函数且最小值为 B．增函数且最大值为 C．减函数且最小值为 D．减函数且最大值为 25．函数在区间上为增函数，则在该区间的最大值为（    ）． A．0 B．1 C．16 D．25 26．若，则的最大值为（    ） A． B． C． D．18 27．如果奇函数在区间上是增函数且最大值为5，那么在间上是（    ） A．增函数且最小值是 B．增函数且最大值是 C．减函数且最大值是 D．减函数且最小值是 28．下列函数中，在区间上存在最小值的是（    ） A． B． C． D． 29．已知二次函数在区间上是减函数，在区间是增函数，则函数的最小值是（    ）． A．2 B． C．3 D． 30．函数的值域为（    ） A． B． C． D． 1.（2025云南）已知函数． (1)判断的奇偶性； (2)求的值． 2.（2024云南）下列函数属于偶函数是（ ）. A. B. C. D. 3.（2021云南）下列函数关于轴对称的是（ ）. A. B. C. D. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $