5.3.3直线与平面所成角- 高二《数学》人教版拓展模块一《同步必备知识清单》（原卷版+解析版）

5.3.2直线与平面垂直 一、知识梳理 直线与平面所成的角 ①定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条斜线和这个平面所成的角． 若直线与平面平行或直线在平面内，直线与平面所成角为0，若直线与平面垂直，直线与平面所成角为. ②线面角θ的范围：θ∈. 二、题型精练 题型1 找射影 【典例1】：四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，求PB、PC、PD在底面ABCD内射影。 【答案】①AB；②AC；③ABCD；AD 【分析】本题考查直线在平面内射影的定义，核心是找到直线上两点在平面内的垂足，连接两点即为射影。 【详解】 因为PA⊥底面ABCD，所以点P在底面ABCD内的射影为点A。 ①PB在平面ABCD内的射影：连接点A与点B，即AB； ②PC在平面ABCD内的射影：连接点A与点C，即AC； ③PD在平面ABCD内的射影：连接点A与点D，即AD。 题型2 三垂线定理 【典例1】：如图，直线PO⊥平面α，直线m⊂平面α，且m⊥AO，求证：直线m⊥PA。 【答案】见详解 【分析】本题是三垂线定理的直接证明，核心是利用线面垂直的判定与性质，先证m⊥平面PAO，再推出m⊥PA。 【详解】因为PO⊥平面α，m⊂平面α，根据线面垂直的性质，得PO⊥m。 已知m⊥AO，且PO∩AO=O，PO,AO⊂平面PAO。 根据线面垂直的判定定理，直线m与平面PAO内的两条相交直线PO、AO都垂直，故m⊥平面PAO。 又PA⊂平面PAO，根据线面垂直的性质，得m⊥PA。 【典例2】：PA⊥正方形ABCD所在平面，①求证：PC⊥BD②图中侧面有哪几个直角三角形？ 【答案】②四个侧面PAB、PAD、PBC、PDC均为直角三角形。 【分析】本题是三垂线定理的典型应用，AC是PC在底面的射影，由正方形对角线互相垂直可推出BD⊥PC。 【详解】 ①因为PA⊥平面ABCD，所以AC是斜线PC在平面ABCD内的射影。 底面ABCD是正方形，对角线互相垂直，故BD⊥AC。 根据三垂线定理，平面内直线BD与射影AC垂直，则与斜线PC垂直，故PC⊥BD。 【详解】②侧面PAB：PA⊥AB，∠PAB=90°，是直角三角形。 侧面PAD：PA⊥AD，∠PAD=90°，是直角三角形。 侧面PBC：由①中三垂线定理的结论PB⊥BC，∠PBC=90°，是直角三角形。 侧面PDC：同理，PD⊥DC，∠PDC=90°，是直角三角形。 因此，四个侧面PAB、PAD、PBC、PDC均为直角三角形。 题型3 三垂线定理-逆用 【典例1】：已知三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，∠ABC=90°，求证：直线BC⊥平面PAB。 【答案】见详解 【分析】本题考查线面垂直的判定定理，需证明BC与平面PAB内两条相交直线都垂直。 【详解】因为PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，故PA⊥BC。 由∠ABC=90°，得AB⊥BC。 PA∩AB=A，且PA,AB⊂平面PAB。 根据线面垂直的判定定理，BC与平面PAB内的两条相交直线PA、AB都垂直，因此BC⊥平面PAB。 题型4线面角 【典例1】：作出正方体中斜线A1C与各面所成的线面角： ①与平面ABCD所成角为______ ②与平面ADD1A1所成角为______ ③与平面DC1（平面DCC1D1）所成角为______ 【答案】见详解 【分析】线面角的定义是：平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角，解题关键是找到斜线在平面内的射影，再通过直角三角形求角。 【详解】 ①与平面ABCD所成的角 因为A1A⊥平面ABCD，所以A1在平面ABCD内的射影为A。 斜线A1C在平面ABCD内的射影为AC，因此线面角为∠A1CA。 ②与平面ADD1A1所成的角 因为CD⊥平面ADD1A1，所以C在平面ADD1A1内的射影为D。 斜线A1C在平面ADD1A1内的射影为A1D，因此线面角为∠CA1D。 ③与平面DCC1D1（即平面DC1）所成的角 斜线A1C在平面DCC1D1内的射影为D1C，因此线面角为∠A1CD1。 题型5 线面角-找垂线 【典例1】：在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2，CC1=1，求对角线A1C与底面ABCD所成的角的正切值。 【答案】 【分析】线面角定义：斜线与它在平面内射影的夹角。本题中A1A⊥底面ABCD，故A1在底面的射影为A，线面角为∠A1CA，在Rt△A1AC中计算。 【详解】底面ABCD是正方形，AB=BC=2，则对角线。 A1A=CC1=1，且A1A⊥底面ABCD，故A1C在底面的射影为AC，线面角为∠A1CA。 在Rt△A1AC中： 【典例2】：PA⊥面ABC，AC是圆O的直径，点B是圆O上异于A,C的点，PA=AC，求直线PC与平面ABC所成角。 【答案】45° 【分析】PA⊥平面ABC，故P在平面内的射影为A，线面角为∠PCA，在Rt△PAC中，PA=AC，故为等腰直角三角形。 【详解】因为PA⊥平面ABC，所以PC在平面ABC内的射影为AC，线面角为∠PCA。 在Rt△PAC中，PA=AC，则△PAC为等腰直角三角形，∠PCA=45°。 题型6 线面角-作垂线 【典例1】：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，若E、F分别为BC、C1D1的中点，求EF与平面A1B1C1D1所成的角的正切值。 【答案】 【分析】线面角定义：斜线与它在平面内射影的夹角。本题中需作E到平面A1B1C1D1的垂线，找到射影后在直角三角形中计算。 【详解】 设正方体棱长为2（方便计算中点），过E作EG⊥B1C1于G， 因为平面BCC1B1⊥平面A1B1C1D1，故EG⊥平面A1B1C1D1，G为B1C1中点。 则EF在平面A1B1C1D1内的射影为FG，∠EFG即为线面角。 EG=CC1=2，。在Rt△EGF中： 【典例2】：在棱长为1的正四面体中，求侧棱PA与底面ABC所成的角的余弦值。 【答案】 【分析】正四面体顶点在底面的射影为底面中心，线面角为侧棱与底面中心到顶点连线的夹角，在直角三角形中计算。 【详解】设P在底面ABC的射影为O，则O为△ABC的中心，AO为底面外接圆半径。 底面正三角形边长为1，外接圆半径AO=。在Rt△POA中，PA=1，。 题型7 线面角-倍数 【典例1】：已知斜线段的长是它在平面上射影长度的两倍，求该斜线与平面α所成角的大小。 【答案】60° 【分析】线面角的定义为斜线与它在平面内射影所成的锐角，利用直角三角形中余弦的定义求解。 【详解】 设斜线长为l，射影长为l'，线面角为θ。 由题意l=2l'，根据线面角的定义：，又θ∈(0°,90°]，故θ=60°。 题型8 线面角-逆用 【典例1】：若正四棱柱的底面的面积为4cm2，其对角线和底面成45°角，求此正四棱柱的高。 【答案】cm 【分析】正四棱柱底面为正方形，先由底面积求底面边长与对角线，再利用线面角定义，结合直角三角形求高。 【详解】设底面正方形边长为a，由底面积a2=4，得a=2cm。 底面正方形对角线长AC=cm。 侧棱AA1⊥底面，故对角线A1C与底面所成角为∠A1CA=45°。 在Rt△A1AC中，，即，解得。 三、知识检测 1.在正方体中，指出A1C在各个面内的射影。 【答案】①AC；②A1C1；③D1C；④DB 【分析】本题考查直线在平面内射影的定义，需分别找到A1和C在对应平面内的垂足，再连接两点得到射影。 【详解】①在平面ABCD内的射影：A1在平面ABCD内的射影为A，C在平面ABCD内的射影为C，故射影为AC； ②在平面A1B1C1D1内的射影：A1在平面A1B1C1D1内的射影为A1，C在平面A1B1C1D1内的射影为C1，故射影为A1C1； ③在平面DCC1D1内的射影：A1在平面DCC1D1内的射影为D1，C在平面DCC1D1内的射影为C，故射影为D1C； ④在平面DBB1D1内的射影：A1在平面DBB1D1内的射影为D1B1的中点，C在平面DBB1D1内的射影为DB的中点，故射影为DB。 2.PA⊥平面ABC，∠ABC=90°，求证：PB⊥BC 【答案】见详解 【分析】本题是三垂线定理的直接应用，AB是PB在平面ABC内的射影，由BC⊥AB可推出BC⊥PB。 【详解】因为PA⊥平面ABC，所以AB是斜线PB在平面ABC内的射影。 由∠ABC=90°，得BC⊥AB。 根据三垂线定理，平面内直线BC与射影AB垂直，则与斜线PB垂直，故PB⊥BC。 3.点O是△ABC的垂心，PO⊥平面ABC，求证：PA⊥BC 【答案】见详解 【分析】本题是三垂线定理的逆用，先利用垂心性质得到射影AO⊥BC，再推出斜线PA⊥BC。 【详解】因为O是△ABC的垂心，所以AO⊥BC（垂心是三角形三条高的交点，故AO是BC边上的高）。 又PO⊥平面ABC，所以AO是斜线PA在平面ABC内的射影。 根据三垂线定理，平面内直线BC与射影AO垂直，则与斜线PA垂直，故PA⊥BC。 4.点A为△BCD所在平面外一点，AO⊥平面BCD，若AB⊥CD，求证：BO⊥CD。 【分析】本题考查三垂线定理的逆定理，利用“斜线垂直推射影垂直”。 【详解】因为AO⊥平面BCD，所以BO是斜线AB在平面BCD内的射影。 已知AB⊥CD，根据三垂线定理的逆定理：平面内直线CD与斜线AB垂直， 则与斜线的射影BO垂直，可得CD⊥BO，即BO⊥CD。 5.定点A,B在平面α内，P∉α，PB⊥α，C是平面α内异于A,B的动点，且PC⊥AC，则△ABC为（） A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.无法确定 【答案】B 【分析】本题考查三垂线定理的逆定理，由斜线与射影的垂直关系判断三角形形状。 【详解】因为PB⊥平面α，所以BC是斜线PC在平面α内的射影。 已知PC⊥AC，根据三垂线定理的逆定理：平面内直线AC与斜线PC垂直， 则与斜线的射影BC垂直，可得AC⊥BC。 因此∠ACB=90°，△ABC为直角三角形，选B。 6.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2，CC1=，求对角线D1A与底面ABCD所成的角的正切值。 【答案】 【分析】D1D⊥底面ABCD，故D1在底面的射影为D，线面角为∠D1AD，在Rt△D1DA中计算。 【详解】底面ABCD中，AD=BC=2。 D1D=CC1=，且D1D⊥底面ABCD，故D1A在底面的射影为DA，线面角为∠D1AD。 在Rt△D1DA中： 7.已知直线PA⊥正方形ABCD所在平面，PA=AB=2，求PC与底面ABCD所成角的正切值。 【答案】 【分析】PA⊥底面ABCD，故P在底面的射影为A，线面角为∠PCA，在Rt△PAC中计算。 【详解】 底面ABCD是正方形，AB=2，则对角线。 PA=2，且PA⊥底面ABCD，故PC在底面的射影为AC，线面角为∠PCA。 在Rt△PAC中： 8.在边长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，求A1B与平面A1B1CD所成的角。 【答案】30° 【分析】先找B到平面A1B1CD的射影，利用BC1⊥B1C及正方体性质，确定射影为O（B1C中点），线面角为∠BA1O。 【详解】连接BC1交B1C于O，因为A1B1⊥平面BCC1B1，故A1B1⊥BC1； 又B1C⊥BC1，A1B1∩B1C=B1，所以BC1⊥平面A1B1CD，O为垂足。 因此A1B在平面A1B1CD内的射影为A1O，∠BA1O即为线面角。 在Rt△A1BO中，A1B=，BO=BC1=。，故∠BA1O=30°。 9.在边长为2的等边三角形△ABC中，PC⊥底面ABC，PC=，求PA与侧面PBC所成角的大小。 【答案】30° 【分析】过A作BC的垂线，垂足为D，由PC⊥底面得PC⊥AD，故AD⊥平面PBC，线面角为∠APD。 【详解】取BC中点D，连接AD、PD。 因为△ABC为等边三角形，故AD⊥BC； 又PC⊥底面ABC，故PC⊥AD，BC∩PC=C，所以AD⊥平面PBC。 PA在平面PBC内的射影为PD，∠ADP即为线面角。 AD=（等边三角形高），。 在Rt△ADP中，，故∠APD=30°。 10.已知△ABC是边长为2的等边三角形，PC⊥面ABC，PC=，求：PA与侧面PBC所成角的大小。 【答案】30° 【分析】先找A到平面PBC的垂线，确定线面角为PA与射影的夹角，再通过解直角三角形计算角度。 【详解】 过A作AD⊥BC于D，连接PD。 因为△ABC是等边三角形，边长为2，所以AD=，且D为BC中点。 又PC⊥面ABC，AD⊂面ABC，故PC⊥AD。 因为BC∩PC=C，所以AD⊥平面PBC，D为A在平面PBC内的射影。 因此，PA与侧面PBC所成的角为∠APD。 在Rt△PCA中，。 在Rt△ADP中：，故∠APD=30°。 11.在三棱柱ABC-A1B1C1中，已知AA1⊥底面ABC，且AB=BC=CA=AA1=a，求直线AB1与侧面BCC1B1所成角的正弦值。 【答案】 【分析】先找A到平面BCC1B1的垂线，确定线面角，再解直角三角形计算。 【详解】过A作AO⊥BC于O，连接B1O。 因为△ABC是等边三角形，边长为a，所以AO=，O为BC中点。 又AA1⊥底面ABC，故AA1⊥BC，且BB1//AA1，所以BB1⊥BC，侧面BCC1B1是正方形。 因为AO⊥BC且AO⊥BB1（BB1//AA1），BC∩BB1=B， 故AO⊥平面BCC1B1，O为A在平面内的射影。 因此，AB1与侧面BCC1B1所成的角为∠AB1O。 在Rt△ABB₁中，。 在Rt△AOB₁中：， 故直线AB1与侧面BCC1B1所成角的正弦值。 12.已知斜线段的长是它在平面上射影长度的两倍，求该斜线与平面α所成角的大小。 【答案】60° 【分析】线面角的定义为斜线与它在平面内射影所成的锐角，利用直角三角形中余弦的定义求解。 【详解】 设斜线长为l，射影长为l'，线面角为θ。 由题意l=2l'，根据线面角的定义：，又θ∈(0°,90°]，故θ=60°。 13.如果平面上的一条斜线的长是它在这个平面上的射影的3倍，求这条斜线与平面所成角的余弦值。 【答案】 【分析】利用线面角的定义，直接用射影长与斜线长的比求余弦值。 【详解】 设斜线长为l，射影长为l'，线面角为θ。 由题意l=3l'，则： 14.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，点E在棱AB上，若直线D1E与平面ABCD所成的角为，求AE。 【答案】 【分析】线面角为D1E与射影DE的夹角，利用D1D⊥底面，结合直角三角形的三角函数关系求解。 【详解】 因为D1D⊥平面ABCD，所以D1E在底面的射影为DE，线面角为∠D1ED=。 在Rt△D1DE中，D1D=1，，即，得DE=。 在底面Rt△ADE中，AD=1，DE=，由勾股定理： 15.已知正四棱锥P-ABCD的侧棱长为，侧棱与底面所成的角为60°，求该四棱锥的体积。 【答案】8 【分析】先求棱锥的高与底面边长，再用四棱锥体积公式计算。 【详解】设底面中心为O，则PO⊥底面，侧棱PB与底面所成角为∠PBO=60°。 在Rt△POB中，PB=，则： ， 底面正方形对角线长BD=2BO=，设底面边长为a，则。 底面积S=a2=6，体积： 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $中职精品 ⊙AI职教 JP.ZXXK.COM zhijiao.xkw.com 5.3.2直线与平面垂直 一、知识梳理 直线与平面所成的角 ①定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条斜线和 这个平面所成的角， 若直线与平面平行或直线在平面内，直线与平面所成角为0，若直线与平面 垂直，直线与平面所成角为π2. ②线面角0的范围：0∈0,1f(π2). 二、题型精练 题型1找射影 【典例I】:四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD,求PB、PC、PD在底面ABCD内 射影。 题型2三垂线定理 【典例1】：如图，直线PO⊥平面a,直线mc平面a,且m⊥AO,求证：直线mL PA。 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究： 中职精品 AI职教 JP.ZXXK.COM zhijiao.xkw.com 【典例2】：PA⊥正方形ABCD所在平面，①求证：PC⊥BD②图中侧面有哪几个直角 三角形？ 题型3三垂线定理-逆用 【典例1】：己知三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC,∠ABC=90°，求证：直线BC⊥ 平面PAB。 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究： 3 中职精品 AI职教 JP.ZXXK.COM zhijiao.xkw.com 题型4线面角 【典例1】：作出正方体中斜线A1C与各面所成的线面角： ①与平面ABCD所成角为 ②与平面ADDA1所成角为 ③与平面DC1(平面DCCD1)所成角为 题型5线面角-找垂线 【典例1】：在长方体ABCD-AB1CD1中，AB=BC=2,CC1=1,求对角线A1C与底面 ABCD所成的角的正切值。 D 【典例2】：PA⊥面ABC,AC是圆O的直径，点B是圆O上异于A,C的点，PA=AC, 求直线PC与平面ABC所成角。 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 中职精品 AI职教 JP.ZXXK.COM zhijiao.xkw.com 题型6线面角-作垂线 【典例1】：在正方体ABCD-AB1CD1中，若E、F分别为BC、CD1的中点，求EF 与平面AB1CD1所成的角的正切值。 【典例2】：在棱长为1的正四面体中，求侧棱PA与底面ABC所成的角的余弦值。 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究： 中职精品 AI职教 JP.ZXXK.COM zhijiao.xkw.com 题型7线面角-倍数 【典例1】：已知斜线段的长是它在平面上射影长度的两倍，求该斜线与平面ā所成角 的大小。 题型8线面角-逆用 【典例1】：若正四棱柱的底面的面积为4cm2,其对角线和底面成45°角，求此正四 棱柱的高。 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究： 中职精品 AI职教 JP.ZXXK.COM zhijiao.xkw.com 三、知识检测 1在正方体中，指出AC在各个面内的射影。 2.PA⊥平面ABC,∠ABC90°，求证：PB⊥BC 3.点O是△ABC的垂心，PO⊥平面ABC,求证：PA⊥BC ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究： 6 中职精品 AI职教 JP.ZXXK.COM zhijiao.xkw.com 4.点A为△BCD所在平面外一点，AO⊥平面BCD,若AB⊥CD,求证：BO⊥CD。 5.定点AB在平面a内，Pta,PB⊥a,C是平面a内异于AB的动点，且PC⊥AC, 则△ABC为() A锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.无法确定 6.在长方体ABCD-AB1C1D1中，AB-=BC-2,CC1=2V3,求对角线DA与底面ABCD 所成的角的正切值。 ©⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究： > 中职精品 AI职教 JP.ZXXK.COM zhijiao.xkw.com 7.已知直线PA⊥正方形ABCD所在平面，PA=AB=2,求PC与底面ABCD所成角的正 切值。 A 8在边长为1的正方体ABCD-AB1CD1中，求AB与平面AB1CD所成的角。 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究： 中职精品 AI职教 JP.ZXXK.COM zhijiao.xkw.com 9.在边长为2的等边三角形△ABC中，PC⊥底面ABC,PC2V2,求PA与侧面PBC 所成角的大小。 10.已知△ABC是边长为2的等边三角形，PC⊥面ABC,PC=2√2，求：PA与侧面PBC 所成角的大小。 1l.在三棱柱ABC-AB1C1中，己知AA1⊥底面ABC,且AB=BC=CA=AA1=a,求直线 AB1与侧面BCCB1所成角的正弦值。 9 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究： 中职精品 AI职教 JP.ZXXK.COM zhijiao.xkw.com 12.已知斜线段的长是它在平面上射影长度的两倍，求该斜线与平面ā所成角的大小。 13.如果平面上的一条斜线的长是它在这个平面上的射影的3倍，求这条斜线与平面所 成角的余弦值。 14.在长方体ABCD-ABCD1中，AD=AA1=1,AB=2,点E在棱AB上，若直线DE 与平面ABCD所成的角为，求AE。 6 D C D 10 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究： 中职精品 AI职教 JP.ZXXK.COM zhijiao.xkw.com 15.己知正四棱锥P-ABCD的侧棱长为2√3，侧棱与底面所成的角为60°，求该四棱锥 的体积。 ⊙⊙原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究： 11