5.3.2直线与平面垂直- 高二《数学》人教版拓展模块一《同步必备知识清单》（原卷版+解析版）

5.3.2直线与平面垂直 一、知识梳理 直线与平面垂直 （1）定义：如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，则直线l与平面α垂直． （2）判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直(线线垂直⇒线面垂直)．即：a⊂α，b⊂α，l⊥a，l⊥b，a∩b＝P⇒l⊥α. （3）推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面． （4）直线和平面垂直的性质： ①垂直于同一个平面的两条直线平行．即：a⊥α，b⊥α⇒a∥b. ②直线垂直于平面，则垂直于这个平面内的任一直线． ③垂直于同一条直线的两平面平行． 二、题型精练 题型1 线面垂直 【典例1】：以下命题中真命题是______ ①如果一条直线和一个平面内的两条直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面 ②如果一条直线和一个平面内的无数条直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面 ③一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面 ④如果一条直线和一个平面内的所有直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面 【典例2】：“直线l垂直于平面α内的无数条直线”是“l⊥α”的（） A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 题型2 证明线面垂直1 【典例1】：如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求证：直线AC与平面BB1D1D垂直。 【典例2】：已知：直线a//直线b，直线a⊥平面α，求证：直线b⊥平面α。 题型3 证明线面垂直2 【典例1】：已知三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，∠ABC=90°，求证：直线BC⊥平面PAB。 三、知识检测 1.直线l与平面α内的两条相交直线都垂直，则l与α的位置关系是（） A.平行B.垂直C.斜交D.上述都有可能 2.下列说法正确的是（） A.一条直线平行平面内的一条直线，则这条直线平行于这个平面 B.一条直线垂直平面内的两条直线，则这条直线垂直于这个平面 C.同平行于一个平面的两条直线平行 D.同垂直于一个平面的两条直线平行 3.若直线平面，则下列说法正确的是（ ） A．直线仅垂直平面内的一条直线 B．直线仅垂直平面内与相交的直线 C．直线仅垂直平面内的两条直线 D．直线与平面内的任意一条直线垂直 4.如果直线l⊥平面α，P∈α，过点P且垂直于l的直线（） A.有无数条，一定在α内B.有无数条，不一定在α内 C.只有一条，且在平面α内D.只有一条，不在平面α内 5.若两条直线垂直于同一平面，则这两条直线的位置关系是（   ） A．平行 B．异面 C．相交 D．不能确定 6.要使直线平面，只需l垂直于平面内（    ） A．两条不同直线 B．无数条直线C．不平行的两条直线D．不垂直的两条直线 7.已知表示平面，l，m，n表示直线，下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 8.在空间，下列命题中，正确命题的个数为（    ） ①平行于同一直线的两条直线平行      ②垂直于同一直线的两条直线平行 ③平行于同一平面的两条直线平行      ④垂直于同一平面的两条直线平行 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 9.如图，在正四面体中，点为的中点，则直线与平面的位置关系为（    ）    A．平行 B．斜交 C．垂直 D．无法判断 10.长方体中，与垂直的棱的条数为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 11.在四棱锥中，垂直于平面，则与的位置关系是 .    12.如图，四棱锥P-ABCD中，ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，求证：BD⊥平面PAC。 13.如图，直线PO⊥平面α，直线m⊂t平面α，且m⊥AO，求证：直线m⊥PA。 14.如图，直线PA⊥平面ABC，∠ABC=90°，求证：PB⊥BC。 15.如图，点A为△BCD所在平面外的一点，AO⊥平面BCD，若AC⊥BD，求证：CO⊥BD。 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 5.3.2直线与平面垂直 一、知识梳理 直线与平面垂直 （1）定义：如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，则直线l与平面α垂直． （2）判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直(线线垂直⇒线面垂直)．即：a⊂α，b⊂α，l⊥a，l⊥b，a∩b＝P⇒l⊥α. （3）推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面． （4）直线和平面垂直的性质： ①垂直于同一个平面的两条直线平行．即：a⊥α，b⊥α⇒a∥b. ②直线垂直于平面，则垂直于这个平面内的任一直线． ③垂直于同一条直线的两平面平行． 二、题型精练 题型1 线面垂直 【典例1】：以下命题中真命题是______ ①如果一条直线和一个平面内的两条直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面 ②如果一条直线和一个平面内的无数条直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面 ③一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面 ④如果一条直线和一个平面内的所有直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面 【答案】③④ 【分析】本题考查线面垂直的定义与判定定理，核心是区分“两条相交直线”与“两条/无数条平行直线”的差异。 【详解】 ①：平面内的两条直线若平行，直线仅垂直于这两条直线，不一定垂直于平面，故①为假命题。 ②：平面内的无数条直线若互相平行，直线仅垂直于这组平行线，不一定垂直于平面，故②为假命题。 ③：符合线面垂直的判定定理（直线与平面内两条相交直线都垂直，则线面垂直），故③为真命题。 ④：若直线与平面内所有直线垂直，则直线与平面垂直，这是线面垂直的定义，故④为真命题。 【典例2】：“直线l垂直于平面α内的无数条直线”是“l⊥α”的（） A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】本题考查充分条件与必要条件的判断，需分析两个条件之间的逻辑关系。 【详解】 必要性：若l⊥α，则直线l垂直于平面α内的所有直线，自然也垂直于无数条直线，故必要性成立。 充分性：若直线l垂直于平面α内的无数条平行直线，l不一定垂直于平面α，故充分性不成立。 因此，“直线l垂直于平面α内的无数条直线”是“l⊥α”的必要条件，选B。 题型2 证明线面垂直1 【典例1】：如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求证：直线AC与平面BB1D1D垂直。 【答案】见详解 【分析】本题考查线面垂直的判定定理，核心是证明直线与平面内两条相交直线都垂直。 【详解】 因为底面ABCD是正方形，对角线互相垂直，故AC⊥BD。 在正方体中，侧棱BB1⊥底面ABCD，AC⊂底面ABCD，故BB1⊥AC。 BD∩BB1=B，且BD,BB1⊂平面BB1D1D。 根据线面垂直的判定定理，直线AC与平面BB1D1D内的两条相交直线BD、BB1都垂直，因此AC⊥平面BB1D1D。 【典例2】：已知：直线a//直线b，直线a⊥平面α，求证：直线b⊥平面α。 【答案】见详解 【分析】本题考查线面垂直的性质，通过证明直线b与平面内两条相交直线都垂直来完成证明。 【详解】在平面α内任取两条相交直线m,n，设交点为A。 因为a⊥α，所以a⊥m，a⊥n。 又a//b，根据平行线的传递性，可得b⊥m，b⊥n。 m,n是平面α内的两条相交直线，根据线面垂直的判定定理，b⊥α。 题型3 证明线面垂直2 【典例1】：已知三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，∠ABC=90°，求证：直线BC⊥平面PAB。 【答案】见详解 【分析】本题考查线面垂直的判定定理，需证明BC与平面PAB内两条相交直线都垂直。 【详解】因为PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，故PA⊥BC。 由∠ABC=90°，得AB⊥BC。 PA∩AB=A，且PA,AB⊂平面PAB。 根据线面垂直的判定定理，BC与平面PAB内的两条相交直线PA、AB都垂直，因此BC⊥平面PAB。 三、知识检测 1.直线l与平面α内的两条相交直线都垂直，则l与α的位置关系是（） A.平行B.垂直C.斜交D.上述都有可能 【答案】B 【分析】本题考查线面垂直的判定定理，直接应用定理即可判断。 【详解】根据线面垂直的判定定理：如果一条直线与平面内两条相交直线都垂直，那么这条直线与该平面垂直，因此l⊥α，选B。 2.下列说法正确的是（） A.一条直线平行平面内的一条直线，则这条直线平行于这个平面 B.一条直线垂直平面内的两条直线，则这条直线垂直于这个平面 C.同平行于一个平面的两条直线平行 D.同垂直于一个平面的两条直线平行 【答案】D 【分析】本题考查线面平行、垂直的判定与性质，需逐一分析选项。 【详解】 A：缺少“直线在平面外”的条件，若直线在平面内，也可平行于平面内的直线，故A错误。 B：平面内的两条直线若平行，直线仅垂直于这两条直线，不一定垂直于平面，故B错误。 C：同平行于一个平面的两条直线可能平行、相交或异面，故C错误。 D：根据线面垂直的性质定理，同垂直于一个平面的两条直线平行，故D正确。 3.若直线平面，则下列说法正确的是（ ） A．直线仅垂直平面内的一条直线 B．直线仅垂直平面内与相交的直线 C．直线仅垂直平面内的两条直线 D．直线与平面内的任意一条直线垂直 【答案】D 【分析】根据线面垂直的性质分析判断即可. 【详解】因为若直线平面，则直线与平面内的任意一条直线都垂直， 所以选项错误，选项正确. 故选：D. 4.如果直线l⊥平面α，P∈α，过点P且垂直于l的直线（） A.有无数条，一定在α内B.有无数条，不一定在α内 C.只有一条，且在平面α内D.只有一条，不在平面α内 【答案】A 【分析】本题考查线面垂直的性质，需结合平面内过一点的垂线的存在性分析。 【详解】因为l⊥α，所以l垂直于平面α内的所有直线。 过点P在平面α内可作无数条直线，这些直线都与l垂直，且这些直线都在平面α内，因此选A。 5.若两条直线垂直于同一平面，则这两条直线的位置关系是（   ） A．平行 B．异面 C．相交 D．不能确定 【答案】A 【分析】根据线面垂直的性质定理即可得出结论. 【详解】根据线面垂直的性质可知：垂直于同一个平面的两条直线平行. 故选：A. 6.要使直线平面，只需l垂直于平面内（    ） A．两条不同直线 B．无数条直线C．不平行的两条直线D．不垂直的两条直线 【答案】C 【分析】根据线面垂直的判定定理求解即可. 【详解】根据线面垂直的判定定理可知，要使直线平面，只需l垂直于平面内两条相交直线，即不平行的两条直线. 故选：C. 7.已知表示平面，l，m，n表示直线，下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】根据空间中直线的位置关系以及线面平行和垂直的性质判断即可. 【详解】垂直于同一直线的两条直线平行，相交或异面，A、B错误； 平行于同一平面的两直线平行，相交或异面，C错误； ，由线面平行的性质有，D正确． 故选：D. 8.在空间，下列命题中，正确命题的个数为（    ） ①平行于同一直线的两条直线平行      ②垂直于同一直线的两条直线平行 ③平行于同一平面的两条直线平行      ④垂直于同一平面的两条直线平行 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】根据空间中两条直线的位置关系即可得出. 【详解】平行于同一直线的两直线平行，由平行公理得①正确； 垂直于同一条直线的两直线平行、相交或异面，②错； 平行于同一平面的两直线平行，相交或异面，③错； 垂直于同一个平面的两直线平行，由线面垂直的性质得④正确； 共2个命题正确. 故选：C. 9.如图，在正四面体中，点为的中点，则直线与平面的位置关系为（    ）    A．平行 B．斜交 C．垂直 D．无法判断 【答案】C 【分析】根据线面垂直的判定定理即可判断. 【详解】解∵四面体为正四面体， ∴、均为正三角形． ∵点为的中点， ∴，． ∵，平面，平面， ∴平面． 故选：C. 10.长方体中，与垂直的棱的条数为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【分析】根据长方体的性质即可求解. 【详解】 根据长方体的性质，可得平面,平面. 所以与垂直的棱有：.共8条. 故选：D. 11.在四棱锥中，垂直于平面，则与的位置关系是 . 【答案】垂直 【分析】根据线面垂直的性质求解即可. 【详解】因为平面，平面，所以. 故答案为：垂直.    12.如图，四棱锥P-ABCD中，ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，求证：BD⊥平面PAC。 【答案】见详解 【分析】本题考查线面垂直的判定定理，需证明BD与平面PAC内两条相交直线都垂直。 【详解】PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，故PA⊥BD。 底面ABCD是正方形，对角线互相垂直，故AC⊥BD。 PA∩AC=A，且PA,AC⊂平面PAC。 根据线面垂直的判定定理，BD与平面PAC内的两条相交直线PA、AC都垂直，因此BD⊥平面PAC。 13.如图，直线PO⊥平面α，直线m⊂t平面α，且m⊥AO，求证：直线m⊥PA。 【答案】见详解 【分析】本题考查线面垂直的判定与性质，核心是证明m与平面PAO内的两条相交直线都垂直，从而得到m⊥平面PAO，进而推出m⊥PA。 【详解】因为PO⊥平面α，m⊂平面α，根据线面垂直的性质，得PO⊥m。 已知m⊥AO，且PO∩AO=O，PO,AO⊂平面PAO。 根据线面垂直的判定定理，直线m与平面PAO内的两条相交直线PO、AO都垂直，故m⊥平面PAO。 又PA⊂平面PAO，根据线面垂直的性质，得m⊥PA。 14.如图，直线PA⊥平面ABC，∠ABC=90°，求证：PB⊥BC。 【答案】见详解 【分析】本题考查线面垂直的判定与性质，核心是先证明BC⊥平面PAB，再推出PB⊥BC。 【详解】因为PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，根据线面垂直的性质，得PA⊥BC。 由∠ABC=90°，得AB⊥BC。 又PA∩AB=A，PA,AB⊂平面PAB，根据线面垂直的判定定理，BC⊥平面PAB。 因为PB⊂平面PAB，根据线面垂直的性质，得PB⊥BC。 15.如图，点A为△BCD所在平面外的一点，AO⊥平面BCD，若AC⊥BD，求证：CO⊥BD。 【答案】见详解 【分析】本题考查线面垂直的判定与性质，核心是先证明BD⊥平面AOC，再推出CO⊥BD。 【详解】因为AO⊥平面BCD，BD⊂平面BCD，根据线面垂直的性质，得AO⊥BD。 已知AC⊥BD，且AO∩AC=A，AO,AC⊂平面AOC。 根据线面垂直的判定定理，BD⊥平面AOC。 因为CO⊂平面AOC，根据线面垂直的性质，得CO⊥BD。 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $