5.3.1直线与平面平行- 高二《数学》人教版拓展模块一《同步必备知识清单》（原卷版+解析版）

5.3.1直线与平面平行 一、知识梳理 1.空间中直线与平面的位置关系 位置关系 图形表示 符号表示 公共点 直线a在平面α内 a⊂α 有无数个公共点 直线在平面外 直线a与平面α平行 a∥α 没有公共点 直线a与平面α斜交 a∩α＝A 有且只有一个公共点 2.空间中线面平行的判定定理和性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行(简记为“线线平行⇒线面平行”) ∵l∥a，a⊂α，l⊄α， ∴l∥α 性质定理 一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行(简记为“线面平行⇒线线平行”) ∵l∥α，l⊂β， α∩β＝b， ∴l∥b 二、题型精练 题型1 线面关系1 【典例1】：在正方体ABCD-A1B1C1D1中， ①与平面D1DBB1平行的棱是：______、______； ②与平面D1DBB1相交的棱有：______、______、______、______、______、______、______、______。 【答案】见详解 【分析】本题考查正方体中棱与平面的位置关系，核心依据是直线与平面平行/相交的定义（无公共点/有且仅有一个公共点）。 【详解】 ①与平面D1DBB1平行的棱： 平面D1DBB1是正方体的对角面，棱AC和A1C1均与平面内的对角线DB、D1B1平行，且不在平面内，故无公共点，满足平行条件。 答案:AC、A1C1。 ②与平面D1DBB1相交的棱： 正方体中，除了平行的棱和在平面内的棱外，其余棱均与平面D1DBB1有且仅有一个公共点，即相交。 答案：AA1、CC1、A1D1、B1C1、AD、CD、A1B1、BC。 【典例2】：下列不属于直线与平面的位置关系的是（） A.直线与平面相交B.直线与平面平行C.直线在平面内D.直线与平面异面 【答案】D 【分析】本题考查直线与平面位置关系的分类，核心是区分直线与平面、直线与直线的位置关系。 【详解】 直线与平面的位置关系只有三类：直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行。 “异面”是两条直线之间的位置关系，不属于直线与平面的位置关系，故选D。 题型2 线面关系2 【典例1】：已知直线l在平面α外，则（） A.l//αB.l和α至少有一个公共点C.l和α相交D.l和α最多有一个公共点 【答案】D 【分析】本题考查“直线在平面外”的定义，核心是明确其包含“平行”和“相交”两种情况。 【详解】 “直线在平面外”包含两种情况：直线与平面平行：公共点个数为0；直线与平面相交：公共点个数为1。 两种情况的公共点个数均不超过1，因此“l和α最多有一个公共点”正确，故选D。 题型3 线面平行1 【典例1】：如图所示，已知一块矩形木板ABCD的一边AB在平面α内，把这块矩形木板绕AB转动，则在转动的过程中，AB的对边CD与平面α的位置关系是（） A.平行 B.相交 C.在平面α内 D.平行或在平面α内 【答案】D 【分析】本题考查直线与平面的位置关系，核心是利用矩形对边平行的性质，结合转动过程的两种情况分析。 【详解】 在矩形ABCD中，AB//CD，且AB⊂α。 当木板绕AB转动时，分两种情况： 若木板未与平面α重合：CD⊄α，由线面平行的判定定理，CD//α； 若木板与平面α重合：CD⊂α。 因此CD与平面α的位置关系是平行或在平面内，故选D。 【典例2】：下列命题正确的是（） A.如果一条直线在平面外，那么直线和平面平行。 B.如果一条直线和平面内的一条直线平行，那么直线和平面平行。 C.如果直线和平面内的无数条直线平行，那么直线和平面平行。 D.如果平面外的一条直线和平面内的一条平行，那么直线和平面平行。 【答案】D 【分析】本题考查线面平行的判定定理，需逐一分析命题的条件完整性。 【详解】 选项A：直线在平面外包含“平行”和“相交”两种情况，并非一定平行，错误。 选项B：缺少“直线在平面外”的条件，若直线在平面内，也能与平面内的直线平行，错误。 选项C：若直线在平面内，也能与平面内无数条直线平行，错误。 选项D：符合线面平行的判定定理（平面外一条直线与平面内一条直线平行，则线面平行），正确。 题型4 线面平行2 【典例1】：以下命题（其中a,b表示直线，α表示平面），正确的是（） A.若a//b,b⊂α，则a//α B.若a⊄α,b⊂α,a//b，则a//α C.若a//b,b//α，则a//α D.若a平行α内无数条直线，则a//α 【答案】B 【分析】本题考查线面平行判定定理的条件辨析，核心是判断每个选项是否满足“平面外一条直线与平面内一条直线平行”。 【详解】 选项A：缺少“a⊄α”的条件，若a⊂α，则不成立，错误。 选项B：满足线面平行的判定定理条件，正确。 选项C：a可能在平面α内，不一定平行于α，错误。 选项D：若a⊂α，也能与平面内无数条直线平行，错误。 题型5 证明线面平行1 【典例1】：在长方体AC1中，求证：B1D1//平面ABCD。 【答案】见详解 【分析】本题考查线面平行的判定定理，核心是证明平面外一条直线与平面内一条直线平行。 【详解】连接BD 在长方体AC1中，上下底面ABCD和A1B1C1D1是平行的矩形， 因此它们的对角线B1D1//BD。 BD⊂平面ABCD，且B1D1⊄平面ABCD。 根据线面平行的判定定理：平面外一条直线与平面内一条直线平行，则直线与平面平行，可得B1D1//平面ABCD。 【典例2】：如图，已知空间四边形ABCD中，E,F分别是AB,AD的中点，求证：EF//平面BCD。 【答案】见详解 【分析】本题考查三角形中位线定理与线面平行判定定理的结合应用。 【详解】 在△ABD中，E,F分别是AB,AD的中点， 由三角形中位线定理，可得EF//BD。 BD⊂平面BCD，且EF⊄平面BCD。 根据线面平行的判定定理，可得EF//平面BCD。 题型6 证明线面平行2 【典例1】：在四棱锥P-ABCD中，已知底面ABCD是正方形，且E,F分别为PC,BD的中点，求证：EF//平面PAD。 【答案】见详解 【分析】本题考查线面平行的判定定理，核心是利用三角形中位线找到平面内与EF平行的直线。 【详解】连接AC，交BD于点F，连接FE。 因为底面ABCD是正方形，对角线互相平分，故F是AC的中点。 又E是PC的中点，在△PAC中，FE是中位线，因此FE//PA。 PA⊂平面PAD，且EF⊄平面PAD。 根据线面平行的判定定理，可得EF//平面PAD。 三、知识检测 1.如果平面外有两个点到这个平面的距离相等，那么过这两个点的直线与这个平面的位置关系是（） A.平行 B.相交 C.相交或平行 D.在平面内 【答案】C 【分析】本题考查直线与平面位置关系的分类讨论，核心是分析两点在平面同侧/异侧的不同情况。 【详解】 分两种情况讨论： 1. 两点在平面同侧：两点连线与平面平行； 2. 两点在平面异侧：两点连线与平面相交（中点在平面上）。 因此直线与平面的位置关系为相交或平行，故选C。 2.若两条直线都与同一个平面平行，则这两条直线的位置关系为（） A.异面 B.相交 C.平行 D.可能共面，也可能异面 【答案】D 【分析】本题考查空间中直线与直线的位置关系，核心是明确与同一平面平行的直线位置关系不唯一。 【详解】 两条直线都与同一平面平行时，存在以下可能：平行（共面）；相交（共面）；异面。 因此两条直线可能共面，也可能异面，故选D。 3.下列命题中，正确的个数是（） ①如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线与平面内的任意一条直线都平行； ②如果一条直线与一个平面相交，那么这条直线与平面内的任意一条直线都不平行； ③如果一条直线与一个平面不平行，那么这条直线一定与这个平面相交； ④如果一条直线与一个平面内的无数条直线都平行，那么这条直线与这个平面平行。 A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 【答案】见详解 【分析】本题考查直线与平面位置关系的定义，需逐一分析命题的正误。 【详解】 命题①：直线与平面平行时，直线与平面内的直线可以平行，也可以异面，并非都平行，故①错误。 命题②：直线与平面相交时，直线与平面只有一个公共点，因此与平面内的任意直线要么相交，要么异面，不可能平行，故②正确。 命题③：直线与平面不平行时，除了“相交”，还可能“在平面内”，故③错误。 命题④：若直线在平面内，也能与平面内的无数条直线平行，故④错误。 综上，只有1个命题正确，答案为B。 4.已知正方体ABCD-A1B1C1D1，判断下列直线与平面的位置关系： (1)直线A1B与平面D1DCC1； (2)直线AC与平面A1B1C1D1； (3)直线A1C1与平面ABCD。 【答案】见详解 【分析】利用正方体模型，结合直线与平面位置关系的定义（交点个数）进行判断。 【详解】 1. 直线A1B与平面D1DCC1：直线A1B与平面D1DCC1没有公共点，且不在平面内，因此平行。 2. 直线AC与平面A1B1C1D1：直线AC与平面A1B1C1D1没有公共点，且不在平面内，因此平行。 3. 直线A1C1与平面ABCD：直线A1C1与平面ABCD没有公共点，且不在平面内，因此平行。 5.已知直线a在平面α外，那么直线a与平面α的公共点个数为（） A.0个B.1个C.0个或1个D.无数个 【答案】C 【分析】本题考查“直线在平面外”的定义，包含“平行”和“相交”两种情况。 【详解】 直线在平面外的定义是：直线与平面没有公共点，或只有一个公共点。 当直线与平面平行时，公共点个数为0；当直线与平面相交时，公共点个数为1。 因此公共点个数为0个或1个，答案为C。 6.经过平面外一点作直线平行于平面，可以作（） A.无数条 B.4条 C.2条 D.1条 【答案】A 【分析】本题考查空间中线面平行的基本性质，核心是理解过平面外一点的直线与平面平行的条件。 【详解】过平面外一点，可作一个与已知平面平行的平面，该平面内所有过该点的直线都与原平面平行，因此这样的直线有无数条，故选A。 7.设直线m//平面α，直线n在α内，则（） A.m//n B.m与n相交 C.m与n平行或异面 D.m与n异面 【答案】C 【分析】本题考查线面平行时，直线与平面内直线的位置关系，核心是排除“相交”的可能。 【详解】已知m//α，则m与α无公共点，因此m与平面内的直线n无公共点。 无公共点的两条直线位置关系为平行或异面，故选C。 8.若一条直线平行于一个平面，则该直线平行于该平面内的（） A.无数条相交直线 B.任意一条直线 C.无数条互相平行的直线 D.唯一确定的直线 【答案】C 【分析】本题考查线面平行的性质，核心是理解线面平行时直线与平面内直线的平行关系。 【详解】 若直线m//α，过m的平面与α相交，交线均与m平行，这些交线在平面内互相平行，且有无数条。 选项A：直线与平面内的相交直线无法同时平行，错误； 选项B：直线与平面内的直线可能异面，并非都平行，错误； 选项C：符合上述分析，正确； 选项D：平行的直线不唯一，错误。 9.下列结论正确的是（） A.a//b,b⊂α⇒a//α B.a//α,a//b⇒b//α C.α∩β=l,a⊂α,a//l⇒a//β D.a//α,b⊂α⇒a//b 【答案】C 【分析】本题考查线面平行的判定与性质定理，需逐一分析每个命题的逻辑是否严谨。 【详解】 选项A：缺少“a⊄α”的条件，若a⊂α，结论不成立，错误。 选项B：b可能在平面α内，不一定平行于α，错误。 选项C：a⊂α，α∩β=l，a//l，说明a与β无公共点，故a//β，正确。 选项D：a与b可能异面，不一定平行，错误。 10.在正方体AC1中，E是DD1中点，求证：BD1//平面AEC。 【答案】见详解 【分析】本题考查线面平行的判定定理，需先通过构造中位线找到平面内与BD1平行的直线。 【详解】 连接BD，交AC于点F，连接FE。 在正方体中，底面ABCD是正方形，对角线互相平分，故F是BD的中点。 又E是DD1的中点，在△BDD1中，FE是中位线，因此FE//BD1。 FE⊂平面AEC，且BD1⊄平面AEC。 根据线面平行的判定定理，可得BD1//平面AEC。 11.已知E,F,G,M分别是各棱长相等的四面体的棱AD,CD,BD,BC的中点，求证：AM//平面EFG。 【答案】见详解 【分析】本题考查三角形中位线定理与线面平行判定定理的综合应用，需两次利用中位线找到平行关系。 【详解】 法一：在△ACD中，E,F分别是AD,CD的中点，由中位线定理，EF//AC。 在△BCD中，G,M分别是BD,BC的中点，由中位线定理，FG//BC。 又EF∩FG=F，AC∩BC=C，因此平面EFG//平面ABC。  AM⊂平面ABC，故AM//平面EFG。 法二：在△BCD中，G,M为中点，故GM//CD， 又EF//CD，得GM//EF；同理EG//AB， 平面EFG//平面ABM，故AM//平面EFG。 12.已知两个全等的正方形ABCD和ABEF所在的平面相交于AB，且M,N分别为AC,FB的中点，求直线MN与平面BCE的位置关系。 【答案】MN//平面BCE 【分析】本题考查线面平行的判定定理，需构造辅助线找到平面内与MN平行的直线。 【详解】连接AE，因为ABEF是正方形，N是FB的中点，故N也是AE的中点。  在△ACE中，M是AC的中点，N是AE的中点，由三角形中位线定理，可得MN//CE。 CE⊂平面BCE，且MN⊄平面BCE。 根据线面平行的判定定理，可得MN//平面BCE。 13.四棱锥P-ABCD的底面ABCD为正方形，E为PB的中点，证明：PD//平面EAC。 【答案】见详解 【分析】本题考查线面平行的判定定理，核心是利用正方形对角线中点构造中位线。 【详解】 连接BD，交AC于点F，连接FE。  因为底面ABCD是正方形，对角线互相平分，故F是BD的中点。 又E是PB的中点，在△PBD中，FE是中位线，因此FE//PD。 FE⊂平面EAC，且PD⊄平面EAC。 根据线面平行的判定定理，可得PD//平面EAC。 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 5.3.1直线与平面平行 一、知识梳理 1.空间中直线与平面的位置关系 位置关系 图形表示 符号表示 公共点 直线a在平面α内 a⊂α 有无数个公共点 直线在平面外 直线a与平面α平行 a∥α 没有公共点 直线a与平面α斜交 a∩α＝A 有且只有一个公共点 2.空间中线面平行的判定定理和性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行(简记为“线线平行⇒线面平行”) ∵l∥a，a⊂α，l⊄α， ∴l∥α 性质定理 一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行(简记为“线面平行⇒线线平行”) ∵l∥α，l⊂β， α∩β＝b， ∴l∥b 二、题型精练 题型1 线面关系1 【典例1】：在正方体ABCD-A1B1C1D1中， ①与平面D1DBB1平行的棱是：______、______； ②与平面D1DBB1相交的棱有：______、______、______、______、______、______、______、______。 【典例2】：下列不属于直线与平面的位置关系的是（） A.直线与平面相交B.直线与平面平行C.直线在平面内D.直线与平面异面 题型2 线面关系2 【典例1】：已知直线l在平面α外，则（） A.l//α B.l和α至少有一个公共点 C.l和α相交 D.l和α最多有一个公共点 题型3 线面平行1 【典例1】：如图所示，已知一块矩形木板ABCD的一边AB在平面α内，把这块矩形木板绕AB转动，则在转动的过程中，AB的对边CD与平面α的位置关系是（） A.平行 B.相交 C.在平面α内 D.平行或在平面α内 【典例2】：下列命题正确的是（） A.如果一条直线在平面外，那么直线和平面平行。 B.如果一条直线和平面内的一条直线平行，那么直线和平面平行。 C.如果直线和平面内的无数条直线平行，那么直线和平面平行。 D.如果平面外的一条直线和平面内的一条平行，那么直线和平面平行。 题型4 线面平行2 【典例1】：以下命题（其中a,b表示直线，α表示平面），正确的是（） A.若a//b,b⊂α，则a//α B.若a⊄α,b⊂α,a//b，则a//α C.若a//b,b//α，则a//α D.若a平行α内无数条直线，则a//α 题型5 证明线面平行1 【典例1】：在长方体AC1中，求证：B1D1//平面ABCD。 【典例2】：如图，已知空间四边形ABCD中，E,F分别是AB,AD的中点，求证：EF//平面BCD。 题型6 证明线面平行2 【典例1】：在四棱锥P-ABCD中，已知底面ABCD是正方形，且E,F分别为PC,BD的中点，求证：EF//平面PAD。 三、知识检测 1.如果平面外有两个点到这个平面的距离相等，那么过这两个点的直线与这个平面的位置关系是（） A.平行 B.相交 C.相交或平行 D.在平面内 2.若两条直线都与同一个平面平行，则这两条直线的位置关系为（） A.异面 B.相交 C.平行 D.可能共面，也可能异面 3.下列命题中，正确的个数是（） ①如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线与平面内的任意一条直线都平行； ②如果一条直线与一个平面相交，那么这条直线与平面内的任意一条直线都不平行； ③如果一条直线与一个平面不平行，那么这条直线一定与这个平面相交； ④如果一条直线与一个平面内的无数条直线都平行，那么这条直线与这个平面平行。 A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 4.已知正方体ABCD-A1B1C1D1，判断下列直线与平面的位置关系： (1)直线A1B与平面D1DCC1； (2)直线AC与平面A1B1C1D1； (3)直线A1C1与平面ABCD。 5.已知直线a在平面α外，那么直线a与平面α的公共点个数为（） A.0个B.1个C.0个或1个D.无数个 6.经过平面外一点作直线平行于平面，可以作（） A.无数条 B.4条 C.2条 D.1条 7.设直线m//平面α，直线n在α内，则（） A.m//n B.m与n相交 C.m与n平行或异面 D.m与n异面 8.若一条直线平行于一个平面，则该直线平行于该平面内的（） A.无数条相交直线 B.任意一条直线 C.无数条互相平行的直线 D.唯一确定的直线 9.下列结论正确的是（） A.a//b,b⊂α⇒a//α B.a//α,a//b⇒b//α C.α∩β=l,a⊂α,a//l⇒a//β D.a//α,b⊂α⇒a//b 10.在正方体AC1中，E是DD1中点，求证：BD1//平面AEC。 11.已知E,F,G,M分别是各棱长相等的四面体的棱AD,CD,BD,BC的中点，求证：AM//平面EFG。 12.已知两个全等的正方形ABCD和ABEF所在的平面相交于AB，且M,N分别为AC,FB的中点，求直线MN与平面BCE的位置关系。 13.四棱锥P-ABCD的底面ABCD为正方形，E为PB的中点，证明：PD//平面EAC。 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $