5.2.2异面直线- 高二《数学》人教版拓展模块一《同步必备知识清单》（原卷版+解析版）

5.2.2异面直线 一、知识梳理 1.异面直线：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线. （1）异面直线的判别方法： ①两条直线不同在任何一个平面内. ②两条直线既不相交、也不平行. 2.异面直线所成的角 （1）定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)． （2）两条异面直线所成角的范围：范围：. 空间两条直线所成角的范围： （3）①异面直线的公垂线：与两条异面直线同时垂直且相交的直线 ②两条异面直线的公垂线有且只有一条.  ③两条异面直线的公垂线夹在两条异面直线之间的部分,称为这两条异面直线的公垂线段,公垂线段的长度称为两条异面直线的距离. 二、题型精练 题型1 异面直线的定义 【典例1】：两条异面直线是指（） A．空间两条没有公共点的直线B．平面内一条直线与平面外一条直线 C．不在一个平面内的两条直线D．既不相交也不平行的两条直线 【答案】D 【分析】本题考查异面直线的定义，需结合空间中两条直线的位置关系（相交、平行、异面），对各选项逐一辨析。 【详解】 选项A：空间中没有公共点的直线可能是平行直线（平行直线无公共点且共面），不一定是异面直线，故A错误。 选项B：平面内一条直线与平面外一条直线，可能相交、平行或异面，不一定是异面直线，故B错误。 选项C：“不在一个平面内”的表述不准确，异面直线的本质是“不共面”，而“不在一个平面内”容易被误解为分别在两个平面内（但分别在两个平面内的直线也可能平行或相交），故C错误。 选项D：空间中两条直线的位置关系只有相交、平行、异面三种，既不相交也不平行的直线，无法在同一平面内，符合异面直线的定义，故D正确。 【典例2】：如图所示，点P，Q，R，S分别在正方体的四条棱上，并且是所在棱的中点，则在下列图中，直线PQ与RS是异面直线的是（） 【答案】C 【分析】本题考查异面直线的判定，需利用正方体的结构特征，判断各选项中直线PQ与RS的位置关系（相交、平行或异面）。 【详解】 选项A：通过正方体的面结构可知，PQ与RS均平行于正方体的同一方向棱，且长度相等，故PQ//RS，是平行直线，不是异面直线。 选项B：延长PQ与RS，两直线会相交于一点，故PQ与RS相交，不是异面直线。 选项C：直线RS位于正方体的一个底面内，而直线PQ平行于正方体的侧面棱，两者无法共面，既不平行也不相交，故PQ与RS是异面直线。 选项D：通过构造辅助线或利用中位线性质，可证明PQ//RS，是平行直线，不是异面直线。 综上，答案选C。 题型2 找异面直线 【典例1】：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，与棱AA1异面的棱有：_______、_______、_______、_______ 【答案】BC、CD、B1C1、C1D1 【分析】本题考查正方体中异面棱的判断，需根据异面直线的定义（既不平行也不相交），逐一分析正方体的棱与棱AA1的位置关系。 【详解】正方体共有12条棱，棱AA1与棱BB1、CC1、DD1平行，与棱AB、AD、A1B1、A1D1相交，这些棱都不是异面直线。剩余的棱为BC、CD、B1C1、C1D1，它们与棱AA1既不平行也不相交，因此是异面直线。 综上，与棱AA1异面的棱为BC、CD、B1C1、C1D1。 【典例2】：正方体的一条对角线与正方体的棱可以组成异面直线的对数是（） A．2对B．3对C．6对D．12对 【答案】C 【分析】本题考查正方体中异面直线对数的计算，需结合正方体的棱与对角线的位置关系，通过排除相交和平行的棱，计算异面直线的对数。 【详解】正方体共有12条棱，以正方体的体对角线（如AC1）为例进行分析。 与体对角线AC1相交的棱：在顶点A处有AB、AD、AA1，在顶点C1处有B1C1、C1D1、CC1，共6条棱，这些棱与体对角线不是异面直线。 与体对角线AC1平行的棱：正方体中不存在与体对角线平行的棱。 因此，剩余的棱为BC、CD、BB1、DD1、A1B1、A1D1，共6条，它们与体对角线AC1既不平行也不相交，构成6对异面直线。 综上，答案选C。 题型3 异面直线概念理解 【典例1】：分别与两条异面直线平行的两条直线的位置关系是（） A．一定平行B．一定相交C．一定异面D．相交或异面 【答案】D 【分析】本题考查空间中直线位置关系的判断，需结合异面直线的定义，分析与两条异面直线分别平行的直线的可能位置关系。 【详解】设两条异面直线为a、b，直线c//a，直线d//b。 ① 相交的情况： 若将直线c、d平移到同一平面内，由于a、b异面，它们的方向不平行，因此c、d可以相交（例如在正方体中，取一组异面棱，分别作它们的平行线，可使两线相交）。 ②异面的情况： 若直线c、d不在同一平面内，且方向不平行，则它们既不相交也不平行，为异面直线（例如在正方体中，取一组异面棱，在不同平面内作它们的平行线，可使两线异面）。 综上，分别与两条异面直线平行的两条直线的位置关系是相交或异面，答案选D。 【典例2】：设有三条直线a、b、c，若a⊥b，b⊥c，则a与c（） A.是异面直线B.是相交直线C.是平行直线D.相交，平行，异面都可能 【答案】D 【分析】本题考查空间中直线垂直的传递性，需通过举例分析a与c的所有可能位置关系。 【详解】平行：例如正方体中，三条棱AA1⊥AB，BB1⊥AB，且AA1//BB1。 相交：例如正方体中，三条棱AB⊥AD，AA1⊥AD，且AB与AA1相交于A。 异面：例如正方体中，三条棱AB⊥BC，CC1⊥BC，且AB与CC1异面。 综上，a与c相交、平行、异面都可能，答案选D。 题型4 简单求异面角1 【典例1】：已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a，求两异面直线A1B与AC所成的角。 【答案】60° 【分析】本题利用平移法，通过构造平行线将异面直线所成角转化为相交直线的夹角，再结合等边三角形的性质求解。 【详解】连接A1C1、BC1。 因为AC//A1C1，因此异面直线A1B与AC所成的角等于A1B与A1C1所成的角（或其补角），即∠BA1C1。 又因为A1B，A1C1，BC1为对角线，因此A1B=A1C1=BC1，△A1BC1为等边三角形。 等边三角形的内角均为60°，故∠BA1C1=60°。 又因为异面直线所成角的范围为(0°,90°]，所以异面直线A1B与AC所成的角为60° 【典例2】：正方体ABCD-A1B1C1D1中，求异面直线AD与BC1所成角。 【答案】45° 【分析】利用平移法，结合正方体的平行关系，将异面直线所成角转化为相交直线的夹角，再通过等腰直角三角形求解。 【详解】∵正方体中AD//BC， ∴异面直线AD与BC1所成的角等于BC与BC1所成的角，即∠CBC1。 设正方体棱长为a，则BB1=BC=a，且BB1⊥BC。 在Rt△BCC1中，BC=CC1=a， ∴△BCC1为等腰直角三角形， ∴∠CBC1=45°。 故异面直线AD与BC1所成角为45°。 题型5 简单求异面角2 【典例1】：在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=1，AA1=，求异面直线BD1与CC1所成的角。 【答案】45° 【分析】利用平移法，结合长方体的棱的平行关系，将异面直线所成角转化为相交直线的夹角，再通过直角三角形求解。 【详解】 在长方体中，CC1//BB1，因此异面直线BD1与CC1所成的角等于BD1与BB1所成的角，即∠D1BB1。 底面ABCD为正方形，AB=BC=1，由勾股定理得底面对角线：BD=. 又AA1=BB1=，且BB1⊥底面ABCD，故BB1⊥BD。 在Rt△D1BB1中，BB1=，B1D1=BD=。 故∠D1BB1=45°。因此异面直线BD1与CC1所成的角为45°。 【典例2】：在空间四边形ABCD中，已知AB、BC、CD的中点分别为M、N、P，且MN=2，NP=，MP=3，求异面直线AC与BD所成的角。 【答案】90° 【分析】 利用三角形中位线定理平移直线，将异面直线所成角转化为三角形的内角，再通过勾股定理逆定理判断直角。 【详解】 由M、N分别为AB、BC的中点，根据中位线定理，MN//AC，且MN=AC。 由N、P分别为BC、CD的中点，根据中位线定理，NP//BD，且NP=BD。 因此，异面直线AC与BD所成的角等于MN与NP所成的角（或其补角），即∠MNP。 已知MN=2，NP=，MP=3，计算得：MN2+NP2=22+()2=4+5=9=32=MP2 由勾股定理逆定理，△MNP为直角三角形，且∠MNP=90°。 异面直线所成角的范围为(0°,90°]，因此异面直线AC与BD所成的角为90° 题型6 异面直线的公垂线 【典例1】：在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，求异面直线BC与AA1的距离。 【答案】1 【分析】 本题利用公垂线段法，找到同时与两条异面直线垂直且相交的线段，其长度即为异面直线的距离。 【详解】 在正方体中，棱AB与BC垂直，同时AB与AA1垂直，且AB与BC、AA1都相交，因此线段AB是异面直线BC与AA1的公垂线段。 正方体棱长为1，故AB=1。 因此，异面直线BC与AA1的距离为1。 三、知识检测 1.“两条直线不平行”是“两条直线是异面直线”的（） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分且必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】本题考查充分条件与必要条件的判断，需结合空间中两条直线的位置关系（相交、平行、异面），分别验证充分性与必要性。 【详解】 必要性验证：若两条直线是异面直线，则它们一定不平行（异面直线的定义是既不平行也不相交），因此“两条直线是异面直线”可以推出“两条直线不平行”，必要性成立。 充分性验证：若两条直线不平行，它们可能是相交直线（相交直线不平行且共面），不一定是异面直线，因此“两条直线不平行”不能推出“两条直线是异面直线”，充分性不成立。 综上，“两条直线不平行”是“两条直线是异面直线”的必要不充分条件，答案选B。 2.空间中两条没有公共点的直线，一定是（） A．异面直线 B．平行直线 C．不相交的直线 D．以上都不对 【答案】C 【分析】本题考查空间中直线的位置关系，需明确无公共点的直线包含平行直线和异面直线两种情况，再结合选项逐一判断。 【详解】 空间中两条直线的位置关系有三种：相交（有且只有一个公共点）、平行（无公共点且共面）、异面（无公共点且不共面）。 因此，没有公共点的直线可能是平行直线，也可能是异面直线，它们的共同特征是不相交。选项A（异面直线）和选项B（平行直线）都只是其中一种情况，不能概括所有无公共点的直线；选项C（不相交的直线）准确描述了无公共点直线的本质特征。 综上，答案选C。 3.下列关于异面直线的说法正确的叙述是______。（填出序号） ①分别在两个平面内的直线是异面直线 ②不相交的两条直线是异面直线 ③不平行的两条直线是异面直线 ④不同在任何一个平面内的直线是异面直线 ⑤不平行也不相交的直线是异面直线 【答案】④⑤ 【分析】本题考查异面直线的定义，需结合空间中直线的位置关系（相交、平行、异面），对每个说法逐一辨析。 【详解】 ①错误：分别在两个平面内的直线，可能平行、相交或异面，不一定是异面直线。 ②错误：不相交的两条直线，可能平行（平行直线共面），也可能异面，不一定是异面直线。 ③错误：不平行的两条直线，可能相交（相交直线共面），也可能异面，不一定是异面直线。 ④正确：这是异面直线的定义，即不同在任何一个平面内的两条直线。 ⑤正确：空间中两条直线的位置关系只有相交、平行、异面三种，因此不平行也不相交的直线，一定是异面直线。 综上，正确的叙述是④⑤。 4.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，与A1D异面的棱有：______、______、______、______、______、______。 【答案】AB、BC、CC1、B1C1、C1D1、BB1 【分析】本题考查正方体中异面棱的判断，需根据异面直线的定义（既不平行也不相交），逐一分析正方体的棱与棱A1D的位置关系。 【详解】正方体共有12条棱，棱A1D与棱A1A、A1D1、DD1、AD相交，这些棱不是异面直线； 棱A1D与棱B1C1、BC平行，也不是异面直线； 剩余的棱为AB、BB1、CC1、C1D1，它们与棱A1D既不平行也不相交，因此是异面直线。 综上，与棱A1D异面的棱为AB、BC、CC1、B1C1、C1D1、BB1。 5.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，与AA1垂直的直线有哪几条？请一一列举。 【答案】AB、BC、CD、DA、A1B1、B1C1、C1D1、D1A1 【分析】本题考查正方体中直线与直线垂直的判断，需结合正方体的结构特征，根据垂直的定义（相交成直角或异面垂直），找出所有与棱AA1垂直的棱。 【详解】 正方体中，棱AA1垂直于上、下底面，因此底面ABCD内的所有棱（AB、BC、CD、DA）均与AA1垂直； 同理，上底面A1B1C1D1内的所有棱（A1B1、B1C1、C1D1、D1A1）也均与AA1垂直； 侧棱BB1、CC1、DD1与AA1平行，不垂直。 综上，与AA1垂直的直线有：AB、BC、CD、DA、A1B1、B1C1、C1D1、D1A1。 6.一条直线与两条异面直线中的一条平行，则它和另一条的位置关系是（） A.平行或异面 B.相交或异面 C.异面 D.相交 【答案】B 【分析】本题考查空间直线位置关系的判断，需结合异面直线的定义，分析直线与另一条异面直线的可能位置关系。 【详解】设两条异面直线为a、b，直线c//a。 若c与b平行，则由平行公理，a//b，与a、b是异面直线矛盾，故c与b不可能平行。 因此，c与b的位置关系只能是相交或异面。 综上，答案选B。 7.a、b、c是空间三条直线，a//b，a与c相交，则b与c的位置关系是（） A.相交 B.共面 C.异面或相交 D.相交，平行，异面都可能 【答案】C 【分析】本题考查平行直线的传递性与空间直线位置关系，需结合已知条件排除不可能的情况。 【详解】若b//c，由a//b，根据平行公理，可得a//c，与a与c相交矛盾，故b与c不可能平行。 因此，b与c的位置关系只能是相交或异面。 综上，答案选C。 8.若异面直线a、b分别在平面α、β内，且，则下列说法正确的是（） A．直线l与直线a、b都相交 B．直线l至少与a、b中的一条相交 C．直线l至多与a、b中的一条相交 D．直线l与a、b中的一条相交，与另一条平行 【答案】B 【分析】本题考查异面直线与平面交线的位置关系，利用反证法结合异面直线定义分析。 【详解】 假设直线l与a、b都不相交，则l//a且l//b，根据平行公理，可得a//b，这与a、b是异面直线矛盾，因此假设不成立。故直线l至少与a、b中的一条相交。选项A错误（l不必与两条都相交）；选项C、D错误（l可能与两条都相交）。 9.已知a、b是异面直线，下面结论中不正确的是（） A．存在着一个平面与a、b都垂直 B．存在着一个平面与a、b等距离 C．存在着无数个平面与a、b都平行 D．存在着无数条直线与a、b都垂直 【答案】A 【分析】本题考查异面直线的性质，逐一分析选项正确性。 【详解】 选项A错误：若一个平面与两条异面直线都垂直，则根据线面垂直性质，可推出a//b，与a、b是异面直线矛盾。 选项B正确：过a、b公垂线段的中点作平行于公垂线的平面，该平面与a、b等距离。 选项C正确：在a、b公垂线段的中垂面上，取无数个点，分别作平行于a、b方向的平面，均与a、b都平行。 选项D正确：所有与a、b公垂线平行的直线，都与a、b都垂直，这样的直线有无数条。 10.下列命题中正确的是（） A．若a、b是异面直线b、c也是异面直线，则a、c也是异面直线 B．若a⊥b，b⊥c，则a⊥c C．若a//b，b//c，则a//c D若a、b是相交直线，b、c也是相交直线，则a、c也是相交直线 【答案】C 【分析】本题考查空间直线位置关系的基本性质，通过举反例排除错误选项。 【详解】 选项A错误a、c可能平行或相交。例如正方体中AB与AA1异面，AA1与CD异面，但AB//CD。 选项B错误：垂直于同一直线的两条直线，位置关系不确定。例如正方体中，AB⊥AD，AA1⊥AD，但AB⊥AA1；而若AB⊥AD，BC⊥AD，则AB//BC。 选项C正确：这是空间平行直线的传递性，公理成立。 选项D错误：a、c可能平行或异面。例如正方体中，AB与AA1相交,AA1与A1D1相交，但AB与A1D1异面。 11.若两条异面直线的夹角是θ，则θ的取值范围是（） A．0°<θ<90°B．0°<θ≤90°C．0°≤θ≤90°D．0°<θ<180° 【答案】B 【分析】 根据异面直线所成角的定义，其范围为(0°,90°]，当两直线平行时夹角为0°（不视为异面），垂直时为90°。 【详解】定义：异面直线所成角是过空间任一点作两条直线的平行线，这两条相交直线所成的锐角或直角即为异面直线的夹角。 夹角为锐角时，0°<θ<90°；夹角为直角时，θ=90°；若夹角为0°，说明两直线平行，不是异面直线。 因此θ的取值范围是0°<θ≤90° 12.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别为AD、AB的中点，求异面直线AB1与EF所成的角。 【答案】60° 【分析】利用中位线定理平移直线，构造三角形，通过等边三角形的性质求解角度。 【详解】连接BD，∵E、F分别为AD、AB的中点， ∴由中位线定理得EF//BD。 ∴异面直线AB1与EF所成的角等于AB1与BD所成的角（或其补角）。 连接B1D1、AD1，易知B1D1=AB1=AD1 ∴∠AB1D1为等边三角形。 ∵BD//B1D1，∴∠AB1D1=60°， 即异面直线AB1与EF所成的角为60°。 13.如图，正四棱锥S-ABCD的侧面都是边长为a的正三角形，求异面直线SA与CD所成的角。 【答案】60° 【分析】利用平移法，结合正四棱锥的底面平行关系，将异面直线所成角转化为相交直线的夹角，再通过等边三角形求解。 【详解】∵正四棱锥底面ABCD为正方形，∴CD//AB， ∴异面直线SA与CD所成的角等于SA与AB所成的角，即∠SAB。 由题意，侧面都是边长为a的正三角形，∴SA=AB=a，且∠SAB为正三角形。 正三角形的内角为60°，故∠SAB=60°， ∴异面直线SA与CD所成的角为60°。 14.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，BC=1，AA1=，求异面直线A1D与CC1所成的角。 【答案】30° 【分析】 利用长方体棱的平行关系平移直线，将异面直线所成角转化为相交直线的夹角，再通过直角三角形求解。 【详解】 在长方体中，AA1//CC1，因此异面直线A1D与CC1所成的角等于A1D与AA1所成的角，即∠DA1A。 由长方体性质，A1A⊥AD，故△A1AD为直角三角形。 已知BC=AD=1，AA1=，由勾股定理得A1D=2。 又∠DA1A为锐角，故∠DA1A=30°。 因此异面直线A1D与CC1所成的角为30°。 15.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=AA1=4，BC=3，E，F分别是所在棱AB，BC的中点，点P是棱A1B1上的动点，连接EF，AC1，求：异面直线EF，AC1所成角的正切值。 【答案】 【分析】 利用三角形中位线平移直线，将异面直线所成角转化为相交直线的夹角，再通过直角三角形求解正切值。【详解】 连接AC，∵E，F分别是AB，BC的中点， ∴由中位线定理，EF//AC， ∴异面直线EF与AC1所成的角等于AC与AC1所成的角，即∠C1AC。 在底面ABCD中，AB=4，BC=3，由勾股定理得AC=5 又AA1=4，且AA1⊥底面ABCD，∴CC1=AA1=4，且CC1⊥AC。 在Rt△ACC1中，tan∠C1AC== 16.在边长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是BB1的中点，求异面直线AE与DD1所成角的正切值。 【答案】2 【分析】 利用正方体棱的平行关系平移直线，将异面直线所成角转化为相交直线的夹角，再通过直角三角形求解。 【详解】 在正方体中DD1//AA1，∴异面直线AE与DD1所成的角等于AE与AA1所成的角，即∠EAA1。 E是BB1的中点，正方体边长为a，∴BE=BB1=a，AB=a。 在Rt△ABE中，tan∠EAB==。 又∠EAA1=90°-∠EAB，tan∠EAA1==2 17.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，已知AB=3，BC=2，AA1=1，求异面直线A1B与B1C所成角的余弦值。 【答案】 【分析】利用平移法构造三角形，通过余弦定理求解异面直线所成角的余弦值。 【详解】连A1D 在长方体中CB1//DA1，∴异面直线A1B与B1C所成的角等于CB1与DA1所成的角，即∠DA1B。 在Rt△DA1B中,由勾股定理可得：DA1=，A1B=，BD= 在Rt△ABE中,由余弦定理可得：cFs∠DA1B= 18.已知空间四边形ABCD中，AB=BD=DC=AC=BC=AD=1，且E是AB的中点、F是AD的中点，求异面直线CE与BD所成角的余弦值。 【答案】 【分析】利用三角形中位线平移直线，将异面直线所成角转化为三角形的内角，再通过余弦定理求解。 【详解】连接EF，∵E，F分别是AB，AD的中点， ∴EF//BD，且EF=BD=， ∴异面直线CE与BD所成的角等于CE与EF所成的角，即∠CEF。 在正△ABC中E是AB中点，AB=1， ∴CE=AB=，同理，在正△ACD中，CF=。 在△CEF中，由余弦定理：cFs∠CEF= 19.长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，BC=1，CC1=，求异面直线A1D与BC的距离。 【答案】2 【分析】 利用长方体棱的平行与垂直关系，找到异面直线的公垂线段，其长度即为距离。 【详解】 在长方体中，BC//AD，因此异面直线A1D与BC的距离等于直线BC到平面A1ADD1的距离。 由于AB⊥AD且AB⊥AA1，故AB⊥平面A1ADD1，同时AB⊥BC，因此线段AB是异面直线A1D与BC的公垂线段。 已知AB=2，故异面直线A1D与BC的距离为2。 20.在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，求异面直线BD与A1C1的距离。 【答案】a 【分析】利用正方体的平行关系，将异面直线距离转化为平面间的距离，再通过公垂线段求解。 【详解】 在正方体中，BD//B1D1，而B1D1与A1C1相交，故BD//平面A1B1C1D1，因此异面直线BD与A1C1的距离等于平面ABCD与平面A1B1C1D1之间的距离。 棱AA1（或BB1、CC1、DD1）同时垂直于两个底面，是两平面的公垂线段，也是异面直线BD与A1C1的公垂线段。 正方体棱长为a，故AA1=a，即异面直线BD与A1C1的距离为a。 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 5.2.2异面直线 一、知识梳理 1.异面直线：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线. （1）异面直线的判别方法： ①两条直线不同在任何一个平面内. ②两条直线既不相交、也不平行. 2.异面直线所成的角 （1）定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)． （2）两条异面直线所成角的范围：范围：. 空间两条直线所成角的范围： （3）①异面直线的公垂线：与两条异面直线同时垂直且相交的直线 ②两条异面直线的公垂线有且只有一条.  ③两条异面直线的公垂线夹在两条异面直线之间的部分,称为这两条异面直线的公垂线段,公垂线段的长度称为两条异面直线的距离. 二、题型精练 题型1 异面直线的定义 【典例1】：两条异面直线是指（） A．空间两条没有公共点的直线B．平面内一条直线与平面外一条直线 C．不在一个平面内的两条直线D．既不相交也不平行的两条直线 【典例2】：如图所示，点P，Q，R，S分别在正方体的四条棱上，并且是所在棱的中点，则在下列图中，直线PQ与RS是异面直线的是（） 题型2 找异面直线 【典例1】：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，与棱AA1异面的棱有：_______、_______、_______、_______ 【典例2】：正方体的一条对角线与正方体的棱可以组成异面直线的对数是（） A．2对B．3对C．6对D．12对 题型3 异面直线概念理解 【典例1】：分别与两条异面直线平行的两条直线的位置关系是（） A．一定平行B．一定相交C．一定异面D．相交或异面 【典例2】：设有三条直线a、b、c，若a⊥b，b⊥c，则a与c（） A.是异面直线B.是相交直线C.是平行直线D.相交，平行，异面都可能 题型4 简单求异面角1 【典例1】：已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a，求两异面直线A1B与AC所成的角。 【典例2】：正方体ABCD-A1B1C1D1中，求异面直线AD与BC1所成角。 题型5 简单求异面角2 【典例1】：在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=1，AA1=，求异面直线BD1与CC1所成的角。 【典例2】：在空间四边形ABCD中，已知AB、BC、CD的中点分别为M、N、P，且MN=2，NP=，MP=3，求异面直线AC与BD所成的角。 题型6 异面直线的公垂线 【典例1】：在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，求异面直线BC与AA1的距离。 三、知识检测 1.“两条直线不平行”是“两条直线是异面直线”的（） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分且必要条件 D．既不充分也不必要条件 2.空间中两条没有公共点的直线，一定是（） A．异面直线 B．平行直线 C．不相交的直线 D．以上都不对 3.下列关于异面直线的说法正确的叙述是______。（填出序号） ①分别在两个平面内的直线是异面直线 ②不相交的两条直线是异面直线 ③不平行的两条直线是异面直线 ④不同在任何一个平面内的直线是异面直线 ⑤不平行也不相交的直线是异面直线 4.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，与A1D异面的棱有：______、______、______、______、______、______。 5.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，与AA1垂直的直线有哪几条？请一一列举。 6.一条直线与两条异面直线中的一条平行，则它和另一条的位置关系是（） A.平行或异面 B.相交或异面 C.异面 D.相交 7.a、b、c是空间三条直线，a//b，a与c相交，则b与c的位置关系是（） A.相交 B.共面 C.异面或相交 D.相交，平行，异面都可能 8.若异面直线a、b分别在平面α、β内，且，则下列说法正确的是（） A．直线l与直线a、b都相交 B．直线l至少与a、b中的一条相交 C．直线l至多与a、b中的一条相交 D．直线l与a、b中的一条相交，与另一条平行 9.已知a、b是异面直线，下面结论中不正确的是（） A．存在着一个平面与a、b都垂直 B．存在着一个平面与a、b等距离 C．存在着无数个平面与a、b都平行 D．存在着无数条直线与a、b都垂直 10.下列命题中正确的是（） A．若a、b是异面直线b、c也是异面直线，则a、c也是异面直线 B．若a⊥b，b⊥c，则a⊥c C．若a//b，b//c，则a//c D若a、b是相交直线，b、c也是相交直线，则a、c也是相交直线 11.若两条异面直线的夹角是θ，则θ的取值范围是（） A．0°<θ<90°B．0°<θ≤90°C．0°≤θ≤90°D．0°<θ<180° 12.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别为AD、AB的中点，求异面直线AB1与EF所成的角。 13.如图，正四棱锥S-ABCD的侧面都是边长为a的正三角形，求异面直线SA与CD所成的角。 14.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，BC=1，AA1=，求异面直线A1D与CC1所成的角。 15.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=AA1=4，BC=3，E，F分别是所在棱AB，BC的中点，点P是棱A1B1上的动点，连接EF，AC1，求：异面直线EF，AC1所成角的正切值。 16.在边长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是BB1的中点，求异面直线AE与DD1所成角的正切值。 17.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，已知AB=3，BC=2，AA1=1，求异面直线A1B与B1C所成角的余弦值。 18.已知空间四边形ABCD中，AB=BD=DC=AC=BC=AD=1，且E是AB的中点、F是AD的中点，求异面直线CE与BD所成角的余弦值。 19.长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，BC=1，CC1=，求异面直线A1D与BC的距离。 20.在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，求异面直线BD与A1C1的距离。 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $