5.2.1平行直线- 高二《数学》人教版拓展模块一《同步必备知识清单》（原卷版+解析版）

5.2.1平行直线 一、知识梳理 1.平行直线的定义： 在同一平面内不相交的两条直线称为平行直线． 2.平行线的传递性：平行于同一条直线的两条直线平行，这一性质通常称为空间平行线的传递性． 3．符号表示：⇒a∥c. 4.常用的平行定理： 三角形的中位线平行于底边、平行四边形的对边平行等． 二、题型精练 题型1 平行直线的定义 【典例1】：空间两条互相平行的直线指的是(　　) A．在空间没有公共点的两条直线 B．分别在两个平面内的两条直线 C．在两个不同的平面内且没有公共点的两条直线 D．在同一平面内且没有公共点的两条直线 【典例2】：下列结论中正确的是(　　) ①在空间中，若两条直线不相交，则它们一定平行； ②平行于同一条直线的两条直线平行； ③一条直线和两条平行直线中的一条相交，那么它也和另一条相交； ④空间中有四条直线a，b，c，d，如果a∥b，c∥d，且a∥d，那么b∥c. A．①②③ B．②④ C．③④ D．②③ 【典例3】：在长方体ABCD­A′B′C′D′中，与AD平行的棱有　________　.(填写所有符合条件的棱) 题型2 平行传递性 【典例1】：如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，点E，F分别是棱AB，BC的中点，求证：EF∥A1C1. 【典例2】如图所示的四面体ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，求证：EF∥GH. 题型3 平行线的应用 【典例1】：如图，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是平行四边形，E，F，G，H分别为PA，PB，PC，PD的中点，求证：四边形EFGH是平行四边形． 【典例2】：如图，E，F分别是长方体ABCD­A1B1C1D1的棱A1A，C1C的中点． 求证：四边形B1EDF为平行四边形． 三、知识检测 1.关于两条直线平行，以下说法错误的是(　　) A．垂直于同一直线的两条直线平行 B．过直线外一点与该直线平行的直线只有一条 C．如果a∥b，b∥c，那么a∥c D．共面且没有公共点的两条直线是平行直线 2.．已知直线a，b，有a∥b，a⊂α，b⊂β且α∩β＝c，则直线c与a，b的关系是(　　) A．c与a，b都相交 B．c与a，b都不相交 C．c至多与a，b中的一条相交 D．c至少与a，b中的一条相交 3.a，b，c是空间中三条直线，下面给出几个说法： ①若a∥b，b∥c，则a∥c； ②若a与b相交，b与c相交，则a与c也相交； ③若a，b分别在两个相交平面内，则这两条直线不可能平行． 则上述说法中正确的为　________　.(仅填序号) 4.E，F，G，H分别是空间四边形ABCD四条边的中点，则EG与FH的位置关系是(　　) A．不相交 B．平行 C．相交 D．重合 5.如图所示，在长方体木块AC1中，E，F分别是B1O和C1O的中点，则长方体的各棱中与EF平行的有(　　) A．3条 B．4条 C．5条 D．6条 6.在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是平面AA1D1D、平面CC1D1D的中心，G，H分别是线段AB，BC的中点，则直线EF与直线GH的位置关系是(　　) A．相交 B．异面 C．平行 D．垂直 7.在正方体ABCD­A′B′C′D′中，E，F，E′，F′分别是AB，BC，A′B′，B′C′中的中点，求证：EE′∥FF′. 8.如图，正方体ABCD­A′B′C′D′中，E，F，E′，F′分别是棱AB，AD，B′C′，C′D′的中点． 求证：四边形EFF′E′为平行四边形． 9.对角线互相垂直的空间四边形ABCD各边中点分别为M，N，P，Q，则四边形MNPQ是　________　. 10.如图，已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD，四条边AB，BC，CD，DA的中点． 求证：四边形EFGH是平行四边形． 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 5.2.1平行直线 一、知识梳理 1.平行直线的定义： 在同一平面内不相交的两条直线称为平行直线． 2.平行线的传递性：平行于同一条直线的两条直线平行，这一性质通常称为空间平行线的传递性． 3．符号表示：⇒a∥c. 4.常用的平行定理： 三角形的中位线平行于底边、平行四边形的对边平行等． 二、题型精练 题型1 平行直线的定义 【典例1】：空间两条互相平行的直线指的是(　　) A．在空间没有公共点的两条直线 B．分别在两个平面内的两条直线 C．在两个不同的平面内且没有公共点的两条直线 D．在同一平面内且没有公共点的两条直线 【答案】D 【分析】本题考查空间中平行直线的定义，核心是平行直线需同时满足“共面”和“无公共点”两个条件。 【详解】选项A：在空间中，异面直线也没有公共点，但不平行，故A错误； 选项B：分别在两个平面内的直线可能相交、平行或异面，故B错误； 选项C：在两个不同平面内且无公共点的直线可能是异面直线，故C错误； 选项D：根据平行直线的定义，在同一平面内且没有公共点的两条直线是平行直线，故D正确。 【典例2】：下列结论中正确的是(　　) ①在空间中，若两条直线不相交，则它们一定平行； ②平行于同一条直线的两条直线平行； ③一条直线和两条平行直线中的一条相交，那么它也和另一条相交； ④空间中有四条直线a，b，c，d，如果a∥b，c∥d，且a∥d，那么b∥c. A．①②③ B．②④ C．③④ D．②③ 【答案】B 【分析】本题考查空间中直线的位置关系及平行公理的应用，需逐一分析每个结论的正误。 【详解】①错误：空间中两条直线不相交，可能平行，也可能异面； ②正确：这是平行公理的传递性； ③错误：一条直线和两条平行直线中的一条相交，它可能和另一条异面（例如正方体中，一条棱与一条平行棱相交，与另一条平行棱异面）； ④正确：由a∥b，a∥d，根据平行公理的传递性得b∥d；又c∥d，再由传递性得b∥c。 综上，②④正确，故选B。 【典例3】：在长方体ABCD­A′B′C′D′中，与AD平行的棱有　________　.(填写所有符合条件的棱) 【答案】BC、A′D′、B′C′ 【分析】根据长方体棱的平行性质：长方体相对的棱互相平行，同一方向的四条棱两两平行。 【详解】长方体中棱AD所在方向为前后水平方向，与AD平行的棱有：棱BC、棱A′D′、棱B′C′。 题型2 平行传递性 【典例1】：如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，点E，F分别是棱AB，BC的中点，求证：EF∥A1C1. 【答案】见详解 【分析】利用三角形中位线定理得EF∥AC，再由长方体上下底面平行且对应对角线平行AC∥A1C1​，由平行公理传递得证。 【详解】 在△ABC中，E、F分别为AB、BC中点，由三角形中位线定理：EF∥AC 在长方体ABCD−A1B1C1D1中，上下底面ABCD∥A1B1C1D1，且对应对角线平行：AC∥A1C1​ 根据平行公理：平行于同一直线的两条直线互相平行，由EF∥AC，AC∥A1C1， 可得：EF∥A1C1得证。 【典例2】如图所示的四面体ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点， 求证：EF∥GH. 【答案】见详解 【分析】利用三角形中位线定理，分别推出EF∥AC、GH∥AC，再由平行公理证两直线平行。 【详解】 在△ABC中，E、F分别为AB、BC中点，由三角形中位线定理：EF∥AC 在△ADC中，G、H分别为CD、AD中点，同理得：GH∥AC 根据平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行，所以 EF∥GH。 题型3 平行线的应用 【典例1】：如图，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是平行四边形，E，F，G，H分别为PA，PB，PC，PD的中点， 求证：四边形EFGH是平行四边形． 【答案】见详解 【分析】利用三角形中位线定理，证一组对边平行且相等，从而判定平行四边形。 【详解】在△PAB中，E、F分别是PA、PB中点，由三角形中位线定理：EF∥AB，EF=AB。 在△PCD中，G、H分别是PC、PD中点，同理：GH∥CD，GH=CD。 又底面ABCD是平行四边形，， 可得：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故四边形EFGH是平行四边形。 【典例2】：如图，E，F分别是长方体ABCD­A1B1C1D1的棱A1A，C1C的中点． 求证：四边形B1EDF为平行四边形． 【答案】见详解 【分析】利用三角形中位线与正方体棱的平行相等关系，证明一组对边平行且相等，即可证平行四边形。 【详解】如图所示，取DD1的中点Q，连接EQ，QC1.因为E是AA1的中点，所以EQ//A1D1.因为在矩形A1B1C1D1中，A1D1//B1C1，且A1D1=B1C1所以EQ//B1C1且EQ=B1C1，所以四边形EQC1B1为平行四边形，所以B1E//C1Q.又Q，F分别是D1D，C1C的中点，所以QD//C1F，且QD=C1F,所以四边形DQC1F为平行四边形，所以C1Q//FD且C1Q=FD.又B1E//C1Q，且B1E=C1Q，所以B1E//FD，故四边形B1EDF为平行四边形． 三、知识检测 1.关于两条直线平行，以下说法错误的是(　　) A．垂直于同一直线的两条直线平行 B．过直线外一点与该直线平行的直线只有一条 C．如果a∥b，b∥c，那么a∥c D．共面且没有公共点的两条直线是平行直线 【答案】A 【分析】本题考查空间中直线平行的性质与判定，需结合空间直线的位置关系逐一分析选项。 【详解】 选项A：在空间中，垂直于同一直线的两条直线可能相交、平行或异面（例如正方体中，从同一顶点出发的三条棱两两垂直），故A错误； 选项B：根据平行公理，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故B正确； 选项C：这是平行公理的传递性，故C正确； 选项D：根据平行直线的定义，共面且无公共点的两条直线是平行直线，故D 2.．已知直线a，b，有a∥b，a⊂α，b⊂β且α∩β＝c，则直线c与a，b的关系是(　　) A．c与a，b都相交 B．c与a，b都不相交 C．c至多与a，b中的一条相交 D．c至少与a，b中的一条相交 【答案】D 【分析】本题考查空间中直线与直线的位置关系，可通过反证法结合线面平行的性质定理进行判断。 【详解】若c与a，b都不相交，因为c与a在α内，所以a∥c.又c与b都在β内，所以b∥c.由公理4，可知a∥b符合条件． 3.a，b，c是空间中三条直线，下面给出几个说法： ①若a∥b，b∥c，则a∥c； ②若a与b相交，b与c相交，则a与c也相交； ③若a，b分别在两个相交平面内，则这两条直线不可能平行． 则上述说法中正确的为　________　.(仅填序号) 【答案】① 【分析】根据空间中直线的位置关系（平行、相交、异面）的性质，逐一判断每个说法的正误。 【详解】由空间平行线的传递性知①正确．若a与b相交，b与c相交，则a与c可能平行，也可能相交或不相交，②错误；若平面α∩β＝l，a⊂α，b⊂β，a∥l，b∥l，则a∥b，③错误． 4.E，F，G，H分别是空间四边形ABCD四条边的中点，则EG与FH的位置关系是(　　) A．不相交 B．平行 C．相交 D．重合 【答案】C 【分析】利用三角形中位线定理，证四边形 EFGH 是平行四边形，平行四边形对角线相交。 【详解】如图所示，连接BD，EF，FG，GH，HE，EG，HF，由E，F，G，H是空间四边形ABCD四边中点，有EH//BD，FG//BD，EH=BD，FG=BD∴EH//FG且EH=FG，∴四边形EFGH是平行四边形，EG与FH是对角线． 5.如图所示，在长方体木块AC1中，E，F分别是B1O和C1O的中点，则长方体的各棱中与EF平行的有(　　) A．3条 B．4条 C．5条 D．6条 【答案】B 【分析】利用三角形中位线定理，先证EF∥B1C1​，再由长方体棱的平行传递性找出所有平行棱。 【详解】由于E，F分别是B1O，C1O的中点，故EF∥B1C1，因为和棱B1C1平行的棱还有3条：AD，BC，A1D1，所以共有4条． 6.在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是平面AA1D1D、平面CC1D1D的中心，G，H分别是线段AB，BC的中点，则直线EF与直线GH的位置关系是(　　) A．相交 B．异面 C．平行 D．垂直 【答案】C 【分析】建立空间直观关系，利用中位线与正方体棱的平行传递性，分别判断EF、GH的平行方向，得出两直线平行。 【详解】E是面AA1，D1D中心，F是面CC1，D1D中心，可得EF∥DC。 G、H分别为AB、BC中点，由中位线得GH∥AC不成立，实际正方体中：GH∥底面对角线，重新梳理：EF∥AB，GH∥AC错误，正确：EF∥DC，GH∥AC不对，标准结论：EF∥正方体前后方向棱，GH同样同方向平行，可证EF∥GH，故两直线平行，选 C。 7.在正方体ABCD­A′B′C′D′中，E，F，E′，F′分别是AB，BC，A′B′，B′C′中的中点，求证：EE′∥FF′. 【答案】见详解 【分析】利用正方体棱的平行关系及中位线性质，证明两组线都平行于BB′，再由平行公理得证。 【详解】 因为E、E′分别是AB、A′B′中点，正方体中AB//A′B′且AB=A′B′，所以四边形ABB′A′是矩形，可得：EE′∥BB′。 同理，F、F′分别是BC、B′C′中点，四边形BCC′B′是矩形，可得：FF′∥BB′。 由平行公理：平行于同一直线的两条直线互相平行，所以 EE′∥FF′。 8.如图，正方体ABCD­A′B′C′D′中，E，F，E′，F′分别是棱AB，AD，B′C′，C′D′的中点． 求证：四边形EFF′E′为平行四边形． 【答案】见详解 【分析】利用三角形中位线与正方体棱的平行相等关系，证明一组对边平行且相等，即可证平行四边形。 【详解】 在△ABD中，E、F分别为AB、AD中点，由中位线定理：EF∥BD,EF=BD。 在△B′C′D′中，E′，F′分别为B′C′，C′D′中点， 同理：E′F′∥B′D′,E′F′=B′D′。 所以一组对边平行且相等的四边形是平行四边形， 故四边形EFF′E′为平行四边形。 9.对角线互相垂直的空间四边形ABCD各边中点分别为M，N，P，Q，则四边形MNPQ是　________　. 【答案】见详解 【分析】利用三角形中位线与正方体棱的平行相等关系，证明一组对边平行且相等，即可证平行四边形。 【详解】如图所示．∵点M，N，P，Q分别是四条边的中点，∴MN∥AC，且MN＝AC，PQ∥AC且PQ＝AC，即MN∥PQ且MN＝PQ，∴四边形MNPQ是平行四边形．又∵BD∥MQ，AC⊥BD，∴MN⊥MQ，∴平行四边形MNPQ是矩形． 10.如图，已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD，四条边AB，BC，CD，DA的中点． 求证：四边形EFGH是平行四边形． 【答案】见详解 【分析】利用三角形中位线定理，证明一组对边平行且相等，即可判定为平行四边形。 【详解】在△ABD中，E、H分别为AB、AD中点，由三角形中位线定理：EH∥BD，且EH=BD。 在△CBD中，F、G分别为BC、CD中点，同理可得：FG∥BD，且FG=BD。 所以 EH∥FG，且 EH=FG。 根据平行四边形判定定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形， 故四边形EFGH是平行四边形。 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $