5.1平面的基本性质- 高二《数学》人教版拓展模块一《同步必备知识清单》（原卷版+解析版）

5.1平面的基本性质 一、知识梳理 （1）公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内． （2）公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面． （3）公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线． （4）推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面． （5）推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面． （6）推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面． 二、题型精练 题型1 平面的特征 【典例1】：下列说法正确的有___________; ①铺的很平的一张白纸时一个平面； ②一个平面的面积可以等于6cm2; ③平面是矩形或平行四边形的形状； ④两个平面叠在一起比一个平面厚； 【典例2】：下列命题正确的是（ ） A.点A可以在平面的边界上 B.平面无厚薄，无边界，无限延伸 C.平面的形状是平行四边形 D.有一个平面的长是10米，宽5米的矩形 题型2 点与线面用属于 【典例1】：用合适的符号填空 A____l，B____l A____面α，B____面α 线m____面α，线l____面α 线m____面α=A 面α∩面β=____ 面α____面β 【典例2】：试用集合符号表示下列语句： ①点A在平面内：__________ ②直线AB在平面内：__________ ③直线m、n相交于点P：__________ 题型3 平面-正方体 【典例1】：在正方体中， (1)有____个顶点，____条棱，____个面. (2)与棱AB平行的棱有__________、__________、__________; (3)与棱AB平行的面有__________、__________; (4)与棱AB垂直的面有__________、__________; (5)与棱AB垂直的棱有_____、_____、_____、_____、_____、_____、_____、_____. 题型4 平面的确定条件 【典例1】：下列条件能确定一个平面的是（） A.3个点 B.一条直线和一个点 C.两条平行直线 D.空间的两条垂直直线 【典例2】：下列四个命题中，假命题是（） A.两条平行直线一定共面 B.平行四边形是平面图形 C.四边形是平面图形 D.过一条直线的平面有无数个 题型5 平面个数 【典例1】：空间四个点，任意三点不共线，则可以确定平面的个数是（） A.1个 B.4个 C.1个或4个 D.无法确定 【典例2】：两两相交的三条直线能确定平面的个数是________ 三、知识检测 1.以下不可以看成平面的一部分的是（） A.平静的湖面 B.黑板面 C.地球表面 D.窗户玻璃面 2.下列命题正确的是__________ ①10个平面重叠起来，要比5个平面重叠起来厚. ②平面与平面若有公共点，就不止一个. ③黑板面是平面. ④平面是绝对的平，没有大小，没有厚度，可以无限延展的抽象的数学概念. ⑤因为平面型斜屋面不与地面相交，所以屋面所在的平面与地面不相交。 3.若点N在直线a上，而a在平面内，则点N在平面内，用集合符号语言表示为（ ） A.若点N∈a，a⊂，则点N⊂ B.若点N∈a，a⊂，则点N∈ C.若点N∈a，a∈，则点N∈ D.若点N∈a，a∈，则点N⊂ 4.根据下列各点、直线和平面之间的位置关系，画出相应的图形。 ①点A在直线l上，直线l与平面无公共点； ②直线l在平面内，直线m与平面交于点A，且点A在直线l上。 5.在长方体中， (1)有____个顶点，____条棱，____个面. (2)与棱D₁D平行的棱有__________、__________、__________; (3)与棱D₁D平行的面有__________、__________; (4)与棱D₁D垂直的面有__________、__________. (5)与棱D₁D垂直的棱有_____、_____、_____、_____、_____、_____、_____、_____. 6.下面4个条件中，能确定一个平面的是（） ①两条直线；②一点和一条直线；③一个三角形；④不共线的三个点。 A.①② B.③④ C.②③ D.①④ 7.下列四个条件中，在空间中不能确定一个平面的是（） A.梯形的两腰所在的直线 B.三角形的两条边 C.两条互相垂直的直线 D.一条直线和线外一个点 8.不共面的四点中，每三个点确定一个平面，共可确定平面的个数为（） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 9.空间不共面的6个点最多可以确定的平面个数为________ 10.空间三条直线相互平行，可确定平面的个数为（） A.3 B.1或2 C.1或3 D.2或3 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 5.1平面的基本性质 一、知识梳理 （1）公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内． （2）公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面． （3）公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线． （4）推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面． （5）推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面． （6）推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面． 二、题型精练 题型1 平面的特征 【典例1】：下列说法正确的有___________; ①铺的很平的一张白纸时一个平面； ②一个平面的面积可以等于6cm2; ③平面是矩形或平行四边形的形状； ④两个平面叠在一起比一个平面厚； 【答案】0个（或没有正确的说法） 【分析】根据平面的基本性质，逐一判断每个说法的正误。 【详解】①平面是无限延展的，没有边界，而白纸有大小和厚度，只是平面的近似模型，不是平面本身，故①错误； ②平面是无限延展的，没有面积大小的概念，故②错误； ③平面没有固定形状，矩形或平行四边形只是表示平面的图形，不是平面的实际形状，故③错误； ④平面是没有厚度的，多个平面叠在一起也不会有厚度，故④错误。 因此，四个说法均不正确，正确的有0个。 【典例2】：下列命题正确的是（ ） A.点A可以在平面的边界上 B.平面无厚薄，无边界，无限延伸 C.平面的形状是平行四边形 D.有一个平面的长是10米，宽5米的矩形 【答案】B 【分析】根据平面的基本性质，逐一判断选项。 【详解】A：平面没有“边界”，点在平面内的表述是“点在平面上”，而非“边界上”，故A错误； B：平面的基本性质为无厚薄、无边界、无限延伸，故B正确； C：平面没有固定形状，平行四边形只是表示平面的图形，故C错误； D：平面无限延展，没有长、宽的概念，故D错误。 题型2 点与线面用属于 【典例1】：用合适的符号填空 A____l，B____l A____面α，B____面α 线m____面α，线l____面α 线m____面α=A 面α∩面β=____ 面α____面β 【答案】第一行：∈，∉；∈，∉；⊄，⊂第二行：∩；l；∥ 【分析】根据空间中点、线、面的位置关系，对应使用正确的数学符号填空。 【详解】 1. 第一行第一列:点A在直线l上，用符号A∈l；点B不在直线l上，用符号B∉l。 2. 第一行第二列:点A在平面α内，用符号A∈α；点B不在平面α内，用符号B∉α。 3. 第一行第三列:直线m不在平面α内，用符号m⊄α；直线l在平面α内，用符号l⊂α。 4. 第二行第一列:直线m与平面α相交于点A，用符号m∩α=A。 5. 第二行第二列:平面α与平面β相交，交线为直线l，用符号α∩β=l。 6. 第二行第三列:平面α与平面β平行，用符号α∥β。 【典例2】：试用集合符号表示下列语句： ①点A在平面内：__________ ②直线AB在平面内：__________ ③直线m、n相交于点P：__________ 【答案】①A∈；②AB⊂；③m∩=P} 【分析】根据点、线、面的集合表示规则，用对应符号表示语句。 【详解】 ①点与平面的关系用“∈”（属于），因此点A在平面内表示为A∈； ②直线与平面的关系用“⊂”（包含于），因此直线AB在平面内表示为AB⊂； ③两条直线相交于点P，用交集符号表示为m∩=P。 题型3 平面-正方体 【典例1】：在正方体中， (1)有____个顶点，____条棱，____个面. (2)与棱AB平行的棱有__________、__________、__________; (3)与棱AB平行的面有__________、__________; (4)与棱AB垂直的面有__________、__________; (5)与棱AB垂直的棱有_____、_____、_____、_____、_____、_____、_____、_____. 【答案】(1)8，12，6； (2)A₁B₁，C₁D₁，CD (3)平面A₁B₁C₁D₁，平面CC₁D₁D； (4)平面ADD₁A₁，平面BCC₁B₁ (5)AD，BC，AA₁，BB₁，CC₁，DD₁，A₁D₁，B₁C₁ 【分析】根据正方体的结构特征，结合线线平行、线面平行、线面垂直、线线垂直的定义，逐一分析求解。 【详解】(1)正方体有上下两个底面，每个底面4个顶点，共8个顶点；每个底面4条棱，4条侧棱，共12条棱；上下底面+4个侧面，共6个面。 (2)棱AB的方向为水平向右，在正方体中，与AB平行的棱为：A₁B₁（上底面对应棱）、C₁D₁（上底面平行棱）、CD（下底面对应棱）。 (3)线面平行的定义：直线与平面无公共点。棱AB与平面A₁B₁C₁D₁（上底面）、平面CC₁D₁D（后侧面）无公共点，因此与AB平行的面为这两个平面。 (4)线面垂直的定义：直线垂直于平面内所有直线。棱AB垂直于平面ADD₁A₁（左侧面）、平面BCC₁B₁（右侧面）内的所有直线，因此与AB垂直的面为这两个平面。 (5)线线垂直的定义：两直线夹角为90°。与AB垂直的棱分为三类： 底面内垂直于AB的棱：AD、BC；侧棱（垂直于底面）：AA₁、BB₁、CC₁、DD₁；上底面内垂直于AB的棱：A₁D₁、B₁C₁。共8条，依次为AD、BC、AA₁、BB₁、CC₁、DD₁、A₁D₁、B₁C₁。 题型4 平面的确定条件 【典例1】：下列条件能确定一个平面的是（） A.3个点 B.一条直线和一个点 C.两条平行直线 D.空间的两条垂直直线 【答案】C 【分析】根据平面的基本公理（确定平面的条件），逐一分析各选项。 【详解】 A选项：3个点。只有不共线的3个点才能确定一个平面，若3个点共线，则无法确定唯一平面，故A错误。 B选项：一条直线和一个点。只有直线外的一个点和这条直线才能确定一个平面，若点在直线上，则无法确定唯一平面，故B错误。 C选项：两条平行直线。根据平面的基本性质，两条平行直线能确定唯一的一个平面，故C正确。 D选项：空间的两条垂直直线。空间中两条垂直直线可能是异面垂直，异面直线无法确定一个平面，故D错误。 【典例2】：下列四个命题中，假命题是（） A.两条平行直线一定共面 B.平行四边形是平面图形 C.四边形是平面图形 D.过一条直线的平面有无数个 【答案】C 【分析】根据平面的基本公理（确定平面的条件），逐一分析各选项。 【详解】 A选项：两条平行直线一定共面，根据平面性质，两条平行直线确定一个平面，故A为真命题； B选项：平行四边形的对边平行，两条平行直线确定一个平面，因此平行四边形是平面图形，故B为真命题； C选项：四边形是平面图形：空间中存在空间四边形（四个顶点不共面），因此四边形不一定是平面图形，故C为假命题； D选项：过一条直线的平面有无数个：以直线为轴旋转，可得到无数个不同的平面，故D为真命题。 因此假命题是C，选C。 题型5 平面个数 【典例1】：空间四个点，任意三点不共线，则可以确定平面的个数是（） A.1个 B.4个 C.1个或4个 D.无法确定 【答案】C 【分析】根据平面的基本公理，分两种情况讨论空间四点的位置关系，确定平面的个数。 【详解】空间四个点，任意三点不共线，分两种情况： 1. 四点共面：当四个点在同一个平面内时，任意三点不共线，根据“不共线三点确定一个平面”，此时只能确定1个平面； 2. 四点不共面：当四个点不共面时（如空间四面体的四个顶点），每三个不共线的点都可以确定一个平面，共4个平面，此时确定4个平面。 因此，空间四个点（任意三点不共线）可以确定平面的个数是1个或4个，选C。 【典例2】：两两相交的三条直线能确定平面的个数是________ 【答案】1或3 【分析】根据组合数公式及线线位置关系确定平面的公理，分情况讨论。 【详解】三条直线共点且不共面：确定3个平面；三条直线共点且共面：确定1个平面。故为1或3。 三、知识检测 1.以下不可以看成平面的一部分的是（） A.平静的湖面 B.黑板面 C.地球表面 D.窗户玻璃面 【答案】C 【分析】判断生活中的物体表面能否近似看作平面的一部分。 【详解】A：平静的湖面可近似看作平面的一部分； B：黑板面可近似看作平面的一部分； C：地球表面是曲面，不能看作平面的一部分； D：窗户玻璃面可近似看作平面的一部分。 2.下列命题正确的是__________ ①10个平面重叠起来，要比5个平面重叠起来厚.②平面与平面若有公共点，就不止一个. ③黑板面是平面.④平面是绝对的平，没有大小，没有厚度，可以无限延展的抽象的数学概念. ⑤因为平面型斜屋面不与地面相交，所以屋面所在的平面与地面不相交。 【答案】②④ 【分析】根据平面的基本性质，逐一判断命题正误。 【详解】①：平面没有厚度，多个平面重叠厚度不变，故①错误； ②：两个平面若有公共点，则它们有一条公共直线，公共点不止一个，故②正确； ③：黑板面是平面的近似模型，不是平面本身，故③错误； ④：平面是绝对平、无大小、无厚度、无限延展的抽象数学概念，故④正确； ⑤：平面无限延展，斜面所在平面与地面必相交，故⑤错误。 3.若点N在直线a上，而a在平面内，则点N在平面内，用集合符号语言表示为（ ） A.若点N∈a，a⊂，则点N⊂ B.若点N∈a，a⊂，则点N∈ C.若点N∈a，a∈，则点N∈ D.若点N∈a，a∈，则点N⊂ 【答案】B 【分析】根据点、线、面的集合表示规则，逐一判断选项正误。 【详解】 点与直线、点与平面的关系用“∈”（属于），直线与平面的关系用“⊂”（包含于）； 选项A：N⊂错误，点与平面的关系不能用“⊂”； 选项B：N∈a，a⊂，则N∈，符号使用正确； 选项C：a∈错误，直线与平面的关系不能用“∈”； 选项D：a∈，N⊂均错误。 因此正确答案为B。 4.根据下列各点、直线和平面之间的位置关系，画出相应的图形。 ①点A在直线l上，直线l与平面无公共点； ②直线l在平面内，直线m与平面交于点A，且点A在直线l上。 【答案】如下 【分析】根据点、线、面的位置关系，绘制对应直观图。 【详解】 5.在长方体中， (1)有____个顶点，____条棱，____个面. (2)与棱D₁D平行的棱有__________、__________、__________; (3)与棱D₁D平行的面有__________、__________; (4)与棱D₁D垂直的面有__________、__________. (5)与棱D₁D垂直的棱有_____、_____、_____、_____、_____、_____、_____、_____. 【答案】(1)8，12，6;(2)A₁A，B₁B，C₁C;(3)平面A₁B₁C₁D₁，平面ABCD; (4)平面ABCD，平面A₁B₁C₁D₁;(5)AB，BC，CD，DA，A₁B₁，B₁C₁，C₁D₁，D₁A₁ 【分析】根据长方体的结构特征，结合线线平行、线面平行、线面垂直、线线垂直的定义，逐一分析求解。 【详解】(1)长方体有上下两个底面，每个底面4个顶点，共8个顶点；每个底面4条棱，4条侧棱，共12条棱；上下底面+4个侧面，共6个面。 (2)棱D₁D是竖直方向的侧棱，在长方体中，与D₁D平行的棱为：A₁A（左前侧棱）、B₁B（右前侧棱）、C₁C（右后侧棱）。 (3)线面平行的定义：直线与平面无公共点。棱D₁D与平面A₁B₁C₁D₁（上底面）、平面ABCD（下底面）无公共点，因此与D₁D平行的面为这两个平面。 (4)线面垂直的定义：直线垂直于平面内所有直线。 棱D₁D垂直于平面ABCD（下底面）、平面A₁B₁C₁D₁（上底面）内的所有直线，因此与D₁D垂直的面为这两个平面。 (5)线线垂直的定义：两直线夹角为90°。与D₁D垂直的棱分为两类： 下底面内垂直于D₁D的棱：AB、BC、CD、DA；上底面内垂直于D₁D的棱：A₁B₁、B₁C₁、C₁D₁、D₁A₁。 共8条，依次为AB、BC、CD、DA、A₁B₁、B₁C₁、C₁D₁、D₁A₁。 6.下面4个条件中，能确定一个平面的是（） ①两条直线；②一点和一条直线；③一个三角形；④不共线的三个点。 A.①②B.③④C.②③D.①④ 【答案】B 【分析】根据平面的基本公理（确定平面的条件），逐一分析各选项。 【详解】 ①两条直线：只有两条平行直线或两条相交直线才能确定一个平面，若为异面直线则无法确定，故①错误； ②一点和一条直线：只有直线外一点和这条直线才能确定一个平面，若点在直线上则无法确定，故②错误； ③一个三角形：三角形的三个顶点不共线，根据公理，不共线三点确定一个平面，因此三角形能确定一个平面，故③正确； ④不共线的三个点：根据平面基本公理，不共线的三点确定唯一平面，故④正确。 因此能确定平面的是③④，选B。 7.下列四个条件中，在空间中不能确定一个平面的是（） A.梯形的两腰所在的直线 B.三角形的两条边 C.两条互相垂直的直线 D.一条直线和线外一个点 【答案】C 【分析】根据平面的基本公理（确定平面的条件），逐一分析各选项。 【详解】 A选项：梯形的两腰所在直线是相交直线，两条相交直线确定一个平面，故A能确定； B选项：三角形的两条边是相交直线，两条相交直线确定一个平面，故B能确定； C选项：两条互相垂直的直线：空间中两条垂直直线可能是异面垂直，异面直线无法确定一个平面，故C不能确定； D选项：一条直线和线外一个点：根据公理，一条直线和直线外一点确定唯一平面，故D能确定。 因此选C。 8.不共面的四点中，每三个点确定一个平面，共可确定平面的个数为（） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】D 【分析】根据组合数公式及线线位置关系确定平面的公理，分情况讨论。 【详解】不共面的四点，任意三点不共线。每三个点确定一个平面，组合数选D。 9.空间不共面的6个点最多可以确定的平面个数为________ 【答案】20 【分析】根据组合数公式及线线位置关系确定平面的公理，分情况讨论。 【详解】任意三点不共线、任意四点不共面时，平面个数最多。组合数。 10.空间三条直线相互平行，可确定平面的个数为（） A.3 B.1或2 C.1或3 D.2或3 【答案】C 【分析】根据组合数公式及线线位置关系确定平面的公理，分情况讨论。 【详解】三条平行线共面：确定1个平面；三条平行线不共面：确定3个平面。故为1或3，选C。 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $