5.2.2 异面直线（课件）--人教版《数学 拓展模块一》《上好课》

5.2.2 异面直线 第五章 立体几何 目 录 学习目标 01 新课导入 02 探究新知 03 课堂小结 04 当堂检测 05 学习目标 知识目标 理解异面直线的定义和异面直线所成的角的概念，能结合图形识别异面直线； 能力目标 通过观察实物、模型，培养空间想象与直观感知能力，掌握求异面直线所成角的方法； 情感目标 建立空间几何思维，体会空间与平面位置关系差异，培养学生勇于发现、勇于探索、勇于创新的精神，培养合作交流等品质； 核心素养 通过动手实践、小组探究，提升数学运算、直观想象、逻辑推理、数学抽象等核心素养． 新课导入 创设背景，生成问题 　　如图所示的长方体ABCD-A1B1C1D1中，直线AB与直线AC1具有怎样的位置关系？ 它们是异面直线．可以说说你得出这个结论的理由吗？ 探究新知 调动思维，探究新知 假设直线AB与A1C共面，由于经过点C和直线AB的平面只能有一个，所以直线A1C和AB都应在平面ABCD内，于是点A1在平面ABCD内，这与点A1在平面ABCD外矛盾，因此直线AB与A1C不在同一平面内. 上述证明方法称为反证法，反证法是间接论证的方法之一． 调动思维，探究新知 异面直线的判断方法 与一个平面相交于一点的直线和这个平面内不经过交点的直线是异面直线． 调动思维，探究新知 我们知道平面内两直线相交形能形成角，观察长方体ABCD-A1B1C1D1，直线AB与直线C两条异面的直线是否也能形成角？这个角如何找出来？ 调动思维，探究新知 异面直线所成的角 如图（1）所示，a，b是两条异面直线.经过空间中任意一点O，作直线 a1 //a，b1 // b，我们把相交直线 a1 和 b1所成的角称为异面直线a，b所成的角，如图（2）所示.为了简便，点O常取在两条异面直线中的一条上，如图（3）所示. 调动思维，探究新知 异面直线所成的角 根据定义，长方体ABCD-A1B1C1D1中，直线AB与直线A1C两条异面的直线所成的角为∠DCA1. 异面直线垂直 特别地，如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就称这两条异面直线互相垂直.两条互相垂直的异面直线a，b，记作a ⊥ b. 调动思维，探究新知 异面直线所成的角θ的取值范围：θ∈． 巩固练习，提升素养 例 如图所示，已知正方体ABCD-A1B1C1D1.则 (1) 正方体中哪些棱所在的直线与直线AA1是异面直线？ (2) 异面直线AB与A1D1所成的角是多少？ (3) 异面直线A1B与AC所成的角是多少？ 巩固练习，提升素养 解：（1）由异面直线的定义可知，棱BC，CD，B1C1，C1D1所在的直线分别与直线AA1是异面直线． （2）因为A1B1//AB，所以异面直线AB 与A1D1所成的角就是A1B1与A1D1所成的 角，即∠B1A1D1.因为∠B1A1D1=90°， 所以异面直线AB与A1D1所成的角为90°. 巩固练习，提升素养 （3）连接BC1，A1C1.因为AA1//CC1， AA1=CC1，所以四边形AA1C1C是 平行四边形，故AC // A1C1. 因此，异面直线A1B与AC所成的角就 是A1B与A1C1所成的角，即∠C1A1B. 因为A1B，BC1，A1C1都是正方体的面对 角线，所以A1B=BC1=A1C1，从而△A1BC1是等边三角形. 因此∠C1A1B= 60°，即异面直线A1B与AC所成的角为60°. 巩固练习，提升素养 举一反三1　如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，若棱BB1＝BC＝1，AB＝ ，则AD1与BC 所成的角等于________， CD1与AB所成的角等于________． 巩固练习，提升素养 【解析】∵BC∥AD， ∴∠DAD1是异面直线AD1与BC所成角， ∵BB1＝BC＝1，∴∠DAD1＝ ， ∴AD1与BC所成角等于 . ∵AB∥CD， ∴∠DCD1是CD1与AB所成角， ∵BB1＝BC＝1，AB＝ ， 巩固练习，提升素养 ∴cos ∠DCD1＝ 又∵∠DCD1∈ ， ∴∠DCD1＝ ， ∴CD1与AB所成角等于 . 巩固练习，提升素养 【思路点拨】异面直线所成角 解题步骤：1.作/找：作出/找出平行线（平移大法） 2.证：证明所作的角为所求的异面直线所成的角 3.求：结合三角形知识计算该角 （直角三角形：锐角三角函数；一般三角形：余弦定理） 补充： 锐角三角函数 正弦，余弦，正切 常见的平移法： ①平行四边形平移法；②中位线平移法；③补形平移法 一作二证三算 巩固练习，提升素养 举一反三2 如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，中心为O，且底面边长和侧棱长相等，M是PC的中点．求MO与AB所成的角的大小． 巩固练习，提升素养 解：如图所示，连接AC，BD，交于点O， ∵M，O分别是PC，AC的中点， ∴OM∥PA， 则∠PAB即为直线MO与直线AB所成的角． ∵四棱锥底面边长和侧棱长相等， ∴△PAB是等边三角形， 则∠PAB＝60°，即MO与AB所成的角为60°. 课堂小结 课堂小结 1. 异面直线的判断方法. 2. 异面直线所成的角. 当堂检测 随堂检测，查漏补缺 1．空间两条直线所成角的范围是(　　) A． B． C． D． A 2．下列命题中，正确的是(　　) A．若a，b是异面直线，b，c也是异面直线，则a，c是异面直线 B．若a⊥b，b⊥c，则a⊥c C．若a∥b，b∥c，则a∥c D．若a，b是相交直线，b，c也是相交直线，则a，c是相交直线 C 随堂检测，查漏补缺 3.如图所示，正三棱锥S－ABC的侧棱长与底面边长相等，若E，F分别为SC，AB的中点，则异面直线EF与SA所成的角为(　　) A． B． C． D． C 随堂检测，查漏补缺 【解析】　令SA＝AB＝a，取AC的中点G，连接AE，BE，EF，FG，GE，如图9－5－7所示． ∵E，F分别为SC，AB的中点， ∴FG BC，GE SA，∴FG＝ a＝GE， ∴∠FEG或其补角即为异面直线EF与SA所成角． ∵正三棱锥S－ABC的侧棱与底面边长相等， E，F分别为SC，AB的中点， 随堂检测，查漏补缺 ∴EA＝EB，∴EF⊥AB. ∵EA＝ ＝ ，AF＝ a， ∴EF＝ a， ∴FG2＋GE2＝EF2. ∵FG＝GE，∴∠FEG＝ . 随堂检测，查漏补缺 5．如图所示，正四面体S－ABC中，D是SC的中点，则BD与 SA所成的角的余弦值为________． 4.分别在两个平行平面内的直线的位置关系为__________. 平行或异面 随堂检测，查漏补缺 6．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E是AB的中点．求： (1)BA1与CC1的夹角； (2)A1E与CB1的夹角的余弦值． 随堂检测，查漏补缺 解：(1)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，CC1∥AA1， ∴BA1与AA1所成的角就是异面直线BA1与CC1所成的角． ∵AA1B1B是正方形，则∠BA1A＝45°， ∴BA1与CC1的夹角为45°. (2)如图所示，连接A1D，同(1)可得CB1∥DA1， ∴∠EA1D为异面直线A1E与CB1的夹角， 连接ED，设正方体的棱长为1， 随堂检测，查漏补缺 则在△A1DE中，A1E＝DE＝ 又∵A1D＝ ， ∴cos ∠EA1D＝ 谢谢 THANKS $