5.2.2 异面直线（教案）-人教版《数学 拓展模块一》《上好课》

人教版《数学 拓展模块一》 第五章 立体几何 5.2.2异面直线 一、教材 人民教育出版社《数学》（拓展模块一） 二、教学时长 2课时（可根据学生水平调整） 三、授课类型 新授课 四、教材分析 《立体几何》是人民教育出版社《数学拓展模块一》中的重要章节，属于几何学科主干知识体系，是平面几何知识的延伸与拓展.本节课承接学生所学的平面相交、平行直线知识，完善空间内两条直线的三类位置关系，打破学生固化的平面几何思维，是学生建立三维空间认知的关键内容.异面直线作为立体几何入门基础知识点，承接空间线线平行内容，同时为后续线面、面面位置关系的学习铺垫基础，是构建完整立体几何知识体系的重要纽带.本节课侧重区分共面直线与异面直线，能够有效锻炼学生的直观想象、数学抽象与逻辑推理核心素养.同时它在工程建模、建筑测绘等领域实用性较强，可帮助学生跳出平面思维，建立立体空间模型思维，规范几何语言表达与推理逻辑，提升知识迁移与几何辨析能力，为后续立体几何证明、空间几何计算题的学习筑牢根基. 五、学情分析 学生在初中接触了平面内两直线所成角的知识，在前面学习了空间中直线的三种位置关系以及异面直线的概念，为异面直线的学习奠定了知识基础．本节课以学生掌握的知识为基础，进一步引导学生判断异面直线以及求异面直线所成的角. 从学科核心素养来看，学生已初步具备一定的数学运算、直观想象素养，可识别简单的空间几何图形.但学生存在明显薄弱点：一是受平面几何思维固化影响，难以理解空间不共面的概念，无法区分平行直线与异面直线；二是几何辨析能力不足，无法精准判断几何体中的异面直线；三是逻辑推理薄弱，难以总结异面直线的判定规律.教学中需坚持低起点、多实例、多辨析，依托几何模型、小组探究、习题纠错，帮助学生打破平面思维局限，构建空间立体思维，提升学生几何辨析、逻辑推理和知识迁移能力. 六、教学目标 1.理解异面直线的定义和异面直线所成的角的概念，能结合图形识别异面直线； 2.通过观察实物、模型，培养空间想象与直观感知能力，掌握求异面直线所成角的方法，提升学生的数学运算、直观想象、逻辑推理、数学抽象等核心素养； 3.建立空间几何思维，体会空间与平面位置关系差异，培养学生勇于发现、勇于探索、勇于创新的精神，培养合作交流等品质. 七、教学重点 异面直线的判断方法与求异面直线所成的角. 八、教学难点 求异面直线所成的角． 九、教学方法 合作探究法：设计小组任务，通过讨论交流突破认知难点. 讲练结合法：教师精讲点拨与学生即时练习交替进行，及时巩固、反馈纠错，提升课堂实效. 类比迁移法：通过平面几何与立体几何的对比联系，实现知识与方法的正向迁移，降低认知难度. 直观演示法：借助实物、模型与动态演示，化抽象为直观，帮助学生建立空间观念、突破想象障碍. 动手操作法：让学生亲身搭建、折叠、模型操作，在实践中感知空间结构，增强直观理解与空间想象. 十、教学环节设计 教学环节 教学内容 师生活动 设计意图 引入 如图所示的长方体中，直线与直线具有怎样的位置关系？ 它们是异面直线． 可以说说你得出这个结论的理由吗？ 教师展示长方体，学生观察直线关系 直观感知，引出异面直线概念 探索新知 假设直线与共面，由于经过点和直线的平面只能有一个，所以直线和都应在平面内，于是点在平面内，这与点在平面外矛盾，因此直线与不在同一平面内. 上述证明方法称为反证法，反证法是间接论证的方法之一. 异面直线的判断方法 与一个平面相交于一点的直线和这个平面内不经过交点的直线是异面直线。 我们知道平面内两直线相交形能形成角，观察长方体，直线AB与直线两条异面的直线是否也能形成角？这个角如何找出来？ 异面直线所成的角 如图（1）所示，，是两条异面直线.经过空间中任意一点，作直线，，我们把相交直线和所成的角称为异面直线，所成的角，如图（2）所示.为了简便，点常取在两条异面直线中的一条上，如图（3）所示. 根据定义，长方体中，直线与直线两条异面直线所成的角为. 异面直线垂直 异面直线所成的角θ的取值范围：． 特别地，如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就称这两条异面直线互相垂直.两条互相垂直的异面直线，，记作 教师讲解推理过程，引出反证法 小组互讲证明逻辑，巩固理解 教师演示 “交线 + 面内不过交点” 模型 小组合作，确定异面直线，并尝试寻找异面直线所成角 教师演示平移作图，讲解如何确定异面直线所成角 学生尝试确定直线与直线所成角 教师给出垂直定义，板书a⊥b 渗透间接证明方法，训练逻辑推理 合作梳理，加深严谨性 提炼判定方法，便于应用，提高识图意识 合作探究，掌握异面直线的判断方法，提升空间思维 化空间为平面，突破难点 强化 “平移找角” 步骤，掌握平移转化核心思想 拓展特殊情况，完善知识体系 例题讲解 例 如图所示，已知正方体，则 (1) 正方体中哪些棱所在的直线与直线是异面直线？ (2) 异面直线与所成的角是多少？ (3) 异面直线与所成的角是多少？ 解：(1) 由异面直线的定义可知，棱，，，所在的直线分别与直线是异面直线. (2) 因为，所以异面直线与所成的角就是与所成的角，即.因为，所以异面直线与所成的角为. (3) 连接，.因为，，所以四边形是平行四边形，故. 因此，异面直线与所成的角就是与所成的角，即. 因为，，都是正方体的面对角线，所以，从而是等边三角形. 因此，即异面直线与所成的角为. 举一反三1如图所示，在长方体中，若棱，则与所成的角等于________，与所成的角等于________. 答案：. 【思路点拨】一找二证三算 异面直线所成角 解题步骤：1.作/找：作出/找出平行线（平移大法）； 2.证：证明所作的角为所求的异面直线所成的角； 3.算：结合三角形知识计算该角. （直角三角形：锐角三角函数；一般三角形：余弦定理） 补充： 锐角三角函数 正弦sinA=，余弦cosA=，正切tanA= 常见的平移法： ①平行四边形平移法；②中位线平移法；③补形平移法 举一反三2 如图所示，在四棱锥中，底面是正方形，中心为，且底面边长和侧棱长相等，是的中点。求与所成的角的大小. 解：如图所示，连接，，交于点， ，分别是，的中点，， 则即为直线与直线所成的角. 四棱锥底面边长和侧棱长相等， 是等边三角形， 则，即与所成的角为. 教师出示三问，引导学生逐题分析 学生独立思考，小组交流思路 点名板演，师生共同订正 教师出示例题，了解学生掌握情况 学生尝试独立完成，同桌间互讲 教师总结 “一找二证三算” 步骤，并对相关知识点进行补充 教师出示例题，引导学生分析题意 小组合作，共同探究，整理解题思路 选学生上台板书，教师纠错，学生整理解题步骤 分层设问，由易到难 学以致用，提升解题能力 暴露问题，及时纠错 巩固平移法，落实 “作 — 证 — 算” 流程 互助学习，共同提高 总结解题思路，规范答题，为后续解题铺垫 巩固学生掌握情况 训练逻辑推理与表达，规范书写，便于模仿 课堂小结 1.异面直线的判断方法 2.异面直线所成角 生回顾知识点，师补充梳理 总结归纳，构建知识网络 当堂检测 1. 空间两条直线所成角的范围是（ A ） A． B． C. D． 2.下列命题中，正确的是（ C ） A. 若，是异面直线，，也是异面直线，则，是异面直线 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，是相交直线，，也是相交直线，则，是相交直线 3.如图所示，正三棱锥的侧棱长与底面边长相等，若，分别为，的中点，则异面直线与所成的角为（ C ） A． B． C． D． 4.分别在两个平行平面内的直线的位置关系为平行或异面. 5.如图所示，正四面体中，是的中点，则与所成的角的余弦值为____. 6.如图所示，在正方体中，点是的中点。求： (1)与的夹角； (2)与的夹角的余弦值. 解：(1) 在正方体中，， 与所成的角就是异面直线与所成的角. 是正方形，则，与的夹角为。 (2) 如图所示，连接，同 (1) 可得， 为异面直线与的夹角， 连接，设正方体的棱长为 1， 则在中，， 又，. 学生单人单桌独立完成检测题，教师巡视课堂，维持纪律，提醒学生注意答题规范 检测结束后，学生交换试卷进行小组互批，按照参考答案标注对错，统计得分情况并上报给教师 教师针对错误率较高的题目进行集中讲解，强化相关知识点 及时检测学生本节课的知识掌握情况，全面了解学生对核心概念的理解和应用能力 通过小组互批，让学生在核对答案的过程中再次巩固知识点，发现自己的薄弱环节 教师根据检测结果进行针对性讲评和辅导，确保每个学生都能在原有基础上有所收获 作业布置 1. 书面作业 （1） 课后习题第×题写到作业本上。 （2） 完成《同步练习》5.2.2； 2.查漏补缺：根据个人情况对课堂学习复习与回顾 板书设计 5.2.2异面直线 1、 异面直线的判定方法 练习 小结 2、 异面直线所成的角 练习 作业 十一、教学反思 本节课围绕异面直线的判定及所成角展开教学，整体达成预设目标.通过长方体模型导入，能帮助学生直观感知异面直线，降低理解难度；用反证法证明异面关系，有效锻炼逻辑推理.但教学中存在不足：部分学生对异面直线所成角的 “平移转化” 思路掌握不熟练，计算步骤易出错；课堂练习节奏偏快，学困生跟进不足.后续教学应增加实物演示与动手操作，强化 “一作二证三算” 步骤训练，分层设计习题，兼顾不同层次学生，提升空间想象与运算能力. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $