第八章 排列组合（B卷·单元测试卷）-《同步单元AB卷》（《数学 拓展模块一下册》高教版2023修订版）（原卷版+解析版）

编写说明：本套【河南专用】《同步单元AB卷》紧扣《数学 拓展模块一（下册）》（高教版2023修订版）教材，以教材单元为基准精准覆盖河南省对口高考真题核心考点。A卷为考点梳理卷，侧重考点分层突破；B卷为单元测试卷，强化综合能力检测，助力师生高效把握区域教学重点，提升应试能力与知识应用水平。 本卷是第八章排列组合的单元测试卷，主要考查分类和分步计数原理、排列与组合的定义及公式、二项式定理及性质等知识应用。 第八章 排列组合 考试时间：60分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题(本大题共15小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．某兴趣小组由5名高一学生、7名高二学生和8名高三学生组成，选1名代表小组参加比赛，不同的选法有（ ） A．5种 B．7种 C．15种 D．20种 【答案】D 【分析】根据已知确定成员总数，分析即可得答案. 由题意，兴趣小组有名成员，从中选1名，有20种不同的选法． 故选：D． 2．已知三地的位置及其间修筑的道路如图所示，则从地到地不同路线的条数是（ ） A．5 B． C．7 D．8 【答案】C 【分析】根据分类加法和分步乘法计数原理可得. 由图知，从地到地的道路有2条，从地到地的道路有3条，由分步乘法计数原理可知，从地经过地到地不同的路线共有条； 从地不经过地到地的路线有1条. 根据分类加法计数原理可得，从地到地不同的路线共条. 故选：C. 3．甲、乙、丙三人去看电影，每人可在《惊蛰无声》、《飞驰人生3》、《熊猫计划之部落奇遇记》、《重返狼群》、《熊出没·年年有熊》五部电影中任选一部，则三人看同一部电影的概率为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据题意，三人的选择组合共有种， 其中看同一部电影的情况有种， 所以三人看同一部电影的概率为． 4．某大厦东侧有3个出入口，西侧有2个出入口，某人从一侧进入，接着从另一侧离开，则不同走法的种数是（   ） A．6 B．10 C．12 D．20 【答案】C 【分析】根据题意分类讨论东侧进，西侧出及西侧进，东侧出的情况，结合分步计数原理即可得解. 【详解】从东侧进，西侧出，有种走法； 从西侧进，东侧出，有种走法； 共有种走法， 故选：. 5．有5名学生和2名老师并坐一排合影，若老师不能坐在两端，且要坐在一起，则不同坐法的种数是（   ） A．70 B．240 C．480 D．960 【答案】D 【分析】根据题意结合排列数的计算即可得解. 【详解】先排5名学生，排法有； 老师不能坐在两端，且要坐在一起，所以在中间个空位中选一个，排法有； 则坐法的种数是， 故选：D. 6．从1，2，3，4，5这五个数字中选出3个不同的数字组成一个三位数，则所有满足条件的三位数的个数为（ ） A．20 B．30 C．48 D．60 【答案】D 【分析】根据已知条件结合排列数公式排数即可. 从1，2，3，4，5这五个数字中选出3个不同的数字组成一个三位数， 则所有满足条件的三位数的个数为. 故选：D. 7．可表示为排列数（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据排列数公式计算求解. . 故选：A. 8．从1，2，3，4，5，6，7中任取两个数，其和是偶数的取法的个数是（   ）． A．9 B．8 C．7 D．6 【答案】A 【分析】根据两个数的和为偶数的情况为两个数都是奇数或者两个数都是偶数进行求解即可. 【详解】从1，2，3，4，5，6，7中任取两个数，其和是偶数的情况为： 两个数都是奇数或者两个数都是偶数， 当两个数都为奇数时，需从1，3，5，7中任取两个数，方法数为种， 当两个数都为偶数时，需从2，4，6中任取两个数，方法数为种， 所以其和是偶数的取法的个数是种. 故选：A. 9．若，则（　　） A．4 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【分析】根据排列数和组合数的计算方法，列出方程，求出结果. 由得，解得. 故选：D. 10．清明节前夕，某校团委决定举办“缅怀革命先烈，致敬时代英雄”主题演讲比赛，经过初赛，共10人进入决赛，其中职高一年级2人，职高二年级3人，职高三年级5人，现采取抽签方式决定演讲顺序，则在职高二年级3人相邻的前提下，职高一年级2人不相邻的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用捆绑法、插空法，结合古典概型的概率公式求解. 【详解】职高二年级3人相邻，基本事件总数， 在职高二年级3人相邻的前提下，职高一年级2人不相邻包含的基本事件个数， 所以在职高二年级3人相邻的前提下，职高一年级2人不相邻的概率为：. 故选：D. 11．从班级中成绩为“优秀”的6位同学中选3位分别参加数学、英语、专业技能大赛，其中甲同学不参加数学大赛的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意结合古典概型公式及排列组合的应用即可得解. 【详解】先考虑参加数学大赛的同学，因为甲同学不参加数学大赛， 所以参加数学大赛的同学可以从除甲外的5位同学中选择，有种选择方法； 然后考虑参加英语和专业技能大赛的同学，可以从包括剩余4位和甲在内的5位同学中选择， 由于与顺序有关，所以有种选择方法. 根据分步乘法计数原理，甲同学不参加数学大赛共有种选择方法， 所以甲同学不参加数学大赛的概率. 故选：. 12．子贡曾曰：夫子温､良､恭､俭､让以得之.“温､良､恭､俭､让”指五种品德：温和､善良､恭敬､节俭､谦让.现有分别印着这5个字的卡片各1张，将这5张卡片排成一行，其中印着“温”的卡片排在最中间，则总的排法共有（ ） A．30种 B．96种 C．24种 D．4种 【答案】C 【分析】应用排列数计算求解. 根据题意可得总的排法共有种. 故选：C. 13．在的展开式中，含的项的二项式系数为（ ） A．6 B．16 C．24 D．216 【答案】A 【分析】根据展开项二项式系数的特点直接计算即可． 由题可知：的项的二项式系数为， 故选：A． 14．若展开式中存在常数项，则n的值可以是（ ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】利用二项式展开式的通项公式，结合常数项的意义即可求解. 对于，第项为： ， 其中，， 根据题意可知的指数为，即，得，所以必须是的正整数倍， 对比选项： 选项中只有满足，故C正确. 15．若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据组合数的运算公式，结合二项式系数和公式进行求解即可. ，或舍去， 因此. 故选：C 二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分). 16．将5封信投入3个邮筒，不同的投法共有__________种．（用数字作答） 【答案】243 【分析】使用分步乘法计数原理计算即可. 【详解】每一封信投到邮筒都有3种选择， 所以将5封信投入3个邮筒，共有种投法， 故答案为：243． 17．若某公司从甲、乙、丙、丁、戊五位大学毕业生中录用三人，若每个人被录用的机会均等，则甲、乙两人都被录用的概率为__________. 【答案】/0.3 【分析】根据题意结合古典概型公式及组合数的计算即可得解. 【详解】记“甲、乙两人都被录用”为事件， 所以， 故答案为：. 18．编号为1，2，3，4，5的五个人入座编号也为1，2，3，4，5的五个座位，至多有两个人对号入座的坐法有______种． 【答案】109 【分析】由对立事件为全对号（四人对号时一定全对号）、有且仅有三人对号，再利用分步乘法计算原理计算即可. 问题的正面有三种情况：全不对号、有且仅有一人对号、有且仅有两人对号，且每种情况均较难处理， 而反面只有两种情况：全对号（四人对号时一定全对号）、有且仅有三人对号． 全对号只有一种方法，三人对号时只要先从五人中选出三人，即， 其余两人不对号只有一种情况．由加法、乘法原理得． 故反面情况共有11种． 五人全排列有种，可得．所以满足要求的种数为109种． 故答案为：109. 19．在的展开式中，x的系数是______． 【答案】7 【分析】根据二项式展开式的通项公式，即可求得答案. 由题意知的通项为， 令，则，即x的系数是. 20．的展开式所有项的系数之和等于______． 【答案】 【分析】利用赋值法求解. 【详解】令，可得：， 即的展开式所有项的系数之和等于. 故答案为：. 三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 21．从数字1，2，3，4，5中任取2个数字，组成没有重复数字的两位数，试求： (1)这个两位数是5的倍数的概率； (2)这个两位数是偶数的概率. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先求出所有的基本情况，再求出两位数是5的倍数的个数，最后根据古典概型的概率公式求解即可. （2）根据（1）以及两位数是偶数的个数，再根据古典概型的概率公式求解即可. 【详解】（1）由题意可知“从数字1，2，3，4，5中任取2个数字， 组成没有重复数字的两位数”共有个等可能基本事件. 而“这个两位数是5的倍数”必须保证个位为5，而十位从1，2，3，4个任选一个， 则有4个等可能基本事件，所以这个两位数是5的倍数的概率为． （2）由（1）可知，“从数字1，2，3，4，5中任取2个数字， 组成没有重复数字的两位数”共有个等可能基本事件. “这个两位数是偶数”必须保证个位为2或4， 十位从剩余的4个数中任选一个，则有个等可能基本事件， 所以这个两位数是偶数的概率为． 22．有编号为1，2，3，4的四张不同的卡片，按照下列要求处理，各有几种方法？ (1)甲得2张，乙得2张； (2)平均分成2堆，每堆2张． 【答案】(1)6 (2)3 【分析】（1）根据组合及分步乘法计数原理得解； （2）根据平均分堆及排列问题，建立方程求解即可. （1）甲先拿两张卡片，有（种）；乙再拿时，只有从剩下的两张卡片中取两张，有（种），故利用分步乘法计数原理可得（种）． 可列出所有分法： 甲 乙 1 2 3 4 1 3 2 4 1 4 2 3 2 3 1 4 2 4 1 3 3 4 1 2 （2）把这四张不同的卡片平均分成2堆，与把这四张不同的卡片平均分给甲、乙二人是不同的．如甲得编号为的两张卡片，乙得编号为3、4的两张卡片，与甲得编号为3、4的两张卡片，乙得编号为1、2的两张卡片是不同的分法，但若编号为1、2的两张看作一堆，编号为3、4的两张看成一堆，上面的两种情况实质是一种平均分成两堆的分法． 所以将四张不同卡片平均分给甲、乙两人，每人2张，相当于把四张不同卡片平均分成2堆后，再把每次分得的2堆分给甲、乙两人．设平均分成2堆的方法有种， 则：是将四张不同的卡片平均分给甲、乙两人的分法，由（1）知：，所以（种）． 23．已知展开式中前三项的二项式系数和为16. (1)求的值； (2)求展开式中含的项的系数. 【答案】(1)5 (2)80 【分析】（1）根据已知结合组合数公式，通过解一元二次方程进行求解即可； （2）利用二项式的通项公式进行求解即可. 解：（1）由题意，展开式中前三项的二项式系数和为16. 即：，解得：或（舍去）. 即的值为5. （2）由通项公式， 令，可得：. 所以展开式中含的项为， 故展开式中含的项的系数为80. 24．（1）在的展开式中，若第项与第项的系数相等，求； （2）已知． （ⅰ）求； （ⅱ）求； 【答案】（1）；（2）（i）；（ii） 【分析】（1）由题意可得，由此可求得的值； （2）设，可得：（i）；（ii）. （1）由已知可得，所以，； （2）设. （i）； （ii）. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：本套【河南专用】《同步单元AB卷》紧扣《数学 拓展模块一（下册）》（高教版2023修订版）教材，以教材单元为基准精准覆盖河南省对口高考真题核心考点。A卷为考点梳理卷，侧重考点分层突破；B卷为单元测试卷，强化综合能力检测，助力师生高效把握区域教学重点，提升应试能力与知识应用水平。 本卷是第八章排列组合的单元测试卷，主要考查分类和分步计数原理、排列与组合的定义及公式、二项式定理及性质等知识应用。 第八章 排列组合 考试时间：60分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题(本大题共15小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．某兴趣小组由5名高一学生、7名高二学生和8名高三学生组成，选1名代表小组参加比赛，不同的选法有（ ） A．5种 B．7种 C．15种 D．20种 2．已知三地的位置及其间修筑的道路如图所示，则从地到地不同路线的条数是（ ） A．5 B． C．7 D．8 3．甲、乙、丙三人去看电影，每人可在《惊蛰无声》、《飞驰人生3》、《熊猫计划之部落奇遇记》、《重返狼群》、《熊出没·年年有熊》五部电影中任选一部，则三人看同一部电影的概率为（ ） A． B． C． D． 4．某大厦东侧有3个出入口，西侧有2个出入口，某人从一侧进入，接着从另一侧离开，则不同走法的种数是（   ） A．6 B．10 C．12 D．20 5．有5名学生和2名老师并坐一排合影，若老师不能坐在两端，且要坐在一起，则不同坐法的种数是（   ） A．70 B．240 C．480 D．960 6．从1，2，3，4，5这五个数字中选出3个不同的数字组成一个三位数，则所有满足条件的三位数的个数为（ ） A．20 B．30 C．48 D．60 7．可表示为排列数（ ） A． B． C． D． 8．从1，2，3，4，5，6，7中任取两个数，其和是偶数的取法的个数是（   ）． A．9 B．8 C．7 D．6 9．若，则（　　） A．4 B．6 C．7 D．8 10．清明节前夕，某校团委决定举办“缅怀革命先烈，致敬时代英雄”主题演讲比赛，经过初赛，共10人进入决赛，其中职高一年级2人，职高二年级3人，职高三年级5人，现采取抽签方式决定演讲顺序，则在职高二年级3人相邻的前提下，职高一年级2人不相邻的概率为（   ） A． B． C． D． 11．从班级中成绩为“优秀”的6位同学中选3位分别参加数学、英语、专业技能大赛，其中甲同学不参加数学大赛的概率是（   ） A． B． C． D． 12．子贡曾曰：夫子温､良､恭､俭､让以得之.“温､良､恭､俭､让”指五种品德：温和､善良､恭敬､节俭､谦让.现有分别印着这5个字的卡片各1张，将这5张卡片排成一行，其中印着“温”的卡片排在最中间，则总的排法共有（ ） A．30种 B．96种 C．24种 D．4种 13．在的展开式中，含的项的二项式系数为（ ） A．6 B．16 C．24 D．216 14．若展开式中存在常数项，则n的值可以是（ ） A．6 B．7 C．8 D．9 15．若，则（ ） A． B． C． D． 二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分). 16．将5封信投入3个邮筒，不同的投法共有__________种．（用数字作答） 17．若某公司从甲、乙、丙、丁、戊五位大学毕业生中录用三人，若每个人被录用的机会均等，则甲、乙两人都被录用的概率为__________. 18．编号为1，2，3，4，5的五个人入座编号也为1，2，3，4，5的五个座位，至多有两个人对号入座的坐法有______种． 19．在的展开式中，x的系数是______． 20．的展开式所有项的系数之和等于______． 三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 21．从数字1，2，3，4，5中任取2个数字，组成没有重复数字的两位数，试求： (1)这个两位数是5的倍数的概率； (2)这个两位数是偶数的概率. 22．有编号为1，2，3，4的四张不同的卡片，按照下列要求处理，各有几种方法？ (1)甲得2张，乙得2张； (2)平均分成2堆，每堆2张． 23．已知展开式中前三项的二项式系数和为16. (1)求的值； (2)求展开式中含的项的系数. 24．（1）在的展开式中，若第项与第项的系数相等，求； （2）已知． （ⅰ）求； （ⅱ）求； 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $