第八章 排列组合（A卷·考点梳理卷）-《同步单元AB卷》（《数学 拓展模块一下册》高教版2023修订版）（原卷版+解析版）

编写说明：本套【河南专用】《同步单元AB卷》紧扣《数学 拓展模块一 （下册）》（高教版2023修订版）教材，以教材单元为基准精准覆盖河南省对口高考真题核心考点。A卷为考点梳理卷，侧重考点分层突破；B卷为单元测试卷，强化综合能力检测，助力师生高效把握区域教学重点，提升应试能力与知识应用水平。 本卷是第八章排列组合的考点梳理卷，主要梳理和考查了分类和分步计数原理、排列与组合的定义及公式、二项式定理及性质等常见考点。 第八章 排列组合 目录 考点一 分类加法计数原理 1 考点二 分步乘法计数原理 1 考点三 计数原理的综合应用 2 考点四 排列的定义与排列数公式 2 考点五 排列的实际应用 2 考点六 组合的定义与组合数公式 2 考点七 组合的实际应用 2 考点八 排列组合综合应用 3 考点九 二项式定理 3 考点十 二项式系数的性质 3 考点一 分类加法计数原理 1．现某学校自愿组成数学建模社团，其中高一年级3人，高二年级4人，高三年级6人，选其中一人为负责人，有多少种不同的选法?（ ） A．13 B．78 C．18 D．20 【答案】A 【分析】根据分类加法计数原理直接计算即可. 根据题意，选择其中一人为负责人，共有三种情况： 若选出的是高一学生，有3种情况； 若选出的是高二学生，有4种情况； 若选出的是高三学生，有6种情况. 由分类加法计数原理可得：共有种不同的选法. 故选：A 2．设集合，A与B是U的不同子集，若，则称为一个“理想匹配”，规定与是两个不同的“理想匹配”，那么符合条件的“理想匹配”的个数是（   ） A．8 B．9 C． D． 【答案】A 【分析】根据理想匹配的概念一一列举，再由分类计数原理计算即可. 【详解】已知集合，且A与B是U的不同子集， 因为， 若，则，，，共个“理想匹配”， 若，则，，共个“理想匹配”， 若，则，，共个“理想匹配”， 若，则，共个“理想匹配”， 所以符合条件的“理想匹配”的个数是个， 故选：A. 考点二 分步乘法计数原理 3．现有4件不同款式的上衣和3件不同颜色的长裤，如果一件上衣和一条长裤配成一套，则不同的搭配法种数为（ ） A．7 B．12 C．64 D．81 【答案】B 【分析】根据分步乘法计数原理将问题分为两步，再将每一步的方法数相乘即可求得结果. 完成一种搭配有两个步骤，第一步，选上衣有4种不同的选法； 第二步，选长裤有3种不同的选法． 所以根据分步乘法计数原理共有（种）不同的搭配方法． 故选：B 4．某政协委员从泉城济南前往北京参加会议，他有两类快捷途径：一是乘坐飞机，二是乘坐动车，假如这天适合他乘坐的飞机有3个航班，动车有4个班次． (1)此委员这一天从济南到北京共有多少种快捷途径？ (2)如果该委员先从家乡乘坐汽车到达济南市，再乘坐飞机前往北京参加会议，其中汽车有4班，飞机有3个航班，此委员想从家乡到达北京共有多少种途径？ 【答案】(1)7 (2)12 【分析】（1）由分类加法计数原理直接计算可得结果； （2）由分步乘法计数原理，算出每一步的结果再相乘计算可得结果. （1）分成两类： 第一类：乘坐飞机，飞机共有3个航班可选择，即3种方法； 第二类：乘坐动车，动车有4个班次可选择，即有4种方法； 由分类加法计数原理可得此委员这一天从济南到北京共有种快捷途径. （2）分成两步： 第一步：从家乡乘坐汽车到达济南市，有4种选择； 第二步：再乘坐飞机前往北京，有3种选择； 由分步乘法计数原理可知此委员想从家乡到达北京共有种途径. 考点三 计数原理的综合应用 5．现有来自高一4个班的学生34人，其中7人、8人、9人、10人分别来自一、二、三、四班，他们自愿组成数学课外小组． (1)从来自同一班的学生中各选1名组长，共有多少种不同的选法？ (2)推选2人做中心发言，这2人须来自不同的班级，共有多少种不同的选法？ 【答案】(1)5040 (2)431 【分析】（1）由分步乘法计算原理即可求解； （2）先分2人来自哪两个班，再用分步乘法计算原理求解. （1）分四步：第一、二、三、四步分别为从一、二、三、四班的学生中选1名组长． 所以，共有（种）不同的选法． （2）分六类，每一类又分两步： 从一、二班的学生中各选1人，有（种）不同的选法； 从一、三班的学生中各选1人，有（种）不同的选法； 从一、四班的学生中各选1人，有（种）不同的选法； 从二、三班的学生中各选1人，有（种）不同的选法； 从二、四班的学生中各选1人，有（种）不同的选法； 从三、四班的学生中各选1人，有（种）不同的选法． 所以，共有（种）不同的选法． 6．现有高一学生50人，高二学生42人，高三学生30人，组成冬令营． (1)若从中选1人作为总负责人，共有多少种不同的选法？ (2)若每年级各选1名负责人，共有多少种不同的选法？ (3)若从中推选两人作为中心发言人，要求这两人要来自不同的年级，则有多少种不同的选法？ 【答案】(1)122 (2)63000 (3)4860 【分析】（1）利用分类加法计数原理将三个年级人数相加即可； （2）利用分步乘法计数原理将三个年级人数相乘即可； （3）结合分类加法计数原理和分步乘法计数原理分为三类，每一类分成两步相乘再求和即可. （1）从高一选1人作为总负责人有50种选法； 从高二选1人作为总负责人有42种选法； 从高三选1人作为总负责人有30种选法． 由分类加法计数原理，可知共有50（种）选法． （2）从高一选1名负责人有50种选法； 从高二选1名负责人有42种选法； 从高三选1名负责人有30种选法． 由分步乘法计数原理，可知共有（种）选法． （3）①从高一和高二中各选1人作为中心发言人，有（种）选法； ②从高二和高三中各选1人作为中心发言人，有（种）选法； ③从高一和高三中各选1人作为中心发言人，有（种）选法． 故共有（种）选法． 考点四 排列的定义与排列数公式 7．某校运动会米接力赛，某班有6名候选队员，若要从中选出4人安排第1、2、3、4棒，其中甲同学不跑第一棒，则不同的安排方法有（    ） A．60种 B．120种 C．300种 D．360种 【答案】C 【分析】采用间接法，即利用排列计数原理先求出不考虑限制条件时的排法总数，再去掉甲跑第1棒的选法即可. 【详解】从6人中选出4人安排第1、2、3、4棒，总选法有：，而甲跑第1棒的选法有：， 所以符合条件（甲不跑第1棒）有：． 故选：C 8．若为正整数，则等于（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为. 考点五 排列的实际应用 9．已知4名学生和2名教师站成一排照相，求： (1)2名教师站在正中间两个位置，有多少种不同的排法？ (2)2名教师不能相邻，有多少种不同的排法？ (3)2名教师必须相邻，且不站在两端，有多少种不同的排法？ 【答案】(1)48 (2)480 (3)144 【分析】（1）先排教师，再排学生，根据排列及分步计数原理可求解； （2）先排学生，再利用插空法排教师，根据排列及分步计数原理可求解； （3）先排学生，再将教师“捆绑”在一起，看作一个元素插入学生队伍的空隙中（不含两端），最后将教师的内部排序，根据排列及分步计数原理可求解. 【详解】（1）先排教师，共有种排法，再排学生，共有种排法， 根据分步计数原理，不同的排法有：（种）， 所以教师站在正中间，有48种不同的排法； （2）先排学生，共有种排法，再将教师插入学生队伍的空隙中，共有种排法， 根据分步计数原理，不同的排法有：（种）， 所以教师不能相邻，有480种不同的排法； （3）先排学生，共有种排法，再将2名教师“捆绑”在一起，看作一个元素插入学生队伍的空隙中（不含两端），共有3种排法， 最后将2名教师内部按顺序排列，有种排法，根据分步计数原理，不同的排法有： （种）， 所以教师相邻，且不站在两端有144种不同的排法. 10．用0，1，2，3这四个数字可以组成________个无重复数字的三位偶数. 【答案】 【分析】根据题意分类讨论个位数字是和的情况即可排列数的计算即可得解. 【详解】当个位数字是，无重复数字的三位偶数的个数为； 当个位数字是，无重复数字的三位偶数的个数为， 所以共有个， 故答案为：. 考点六 组合的定义与组合数公式 11．某市医院安排5位专家医生深入山区参加为民志愿服务活动，需要分为3个服务小组，每个服务小组至少有1位专家医生，则所有不同的分组方法种数是（   ） A．10 B．15 C．20 D．25 【答案】D 【分析】根据题意分类讨论一个组3人，另外2个组每组1人和一个组1人，另外2个组每组2人的情况，结合组合数的计算即可得解. 【详解】将5位专家医生分为3个服务小组，每组至少有1位专家医生， 可分类讨论：①一个组3人，另外2个组每组1人， 此时分组方法种数为； ②一个组1人，另外2个组每组2人， 此时分组方法种数为； 根据分类加法计数原理，所有不同的分组方法种数是. 故选：. 12．________． 【答案】 【分析】直接根据组合数公式及组合数的性质计算可得. 因为． 故答案为： 考点七 组合的实际应用 13．某学校开设了选修课，体育类和艺术类各有4门课程可选．学生需从这8门选修课中选修2门或3门，且每类选修课至少要选修1门，则所有不同的选课方案种数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先分别讨论从8门课中选修2门和从8门课中选修3门两种情况，再由组合数分别计算即可. 【详解】当从8门课中选修2门，则不同的选课方案共有种， 当从8门课中选修3门，可分为两种情况， 若体育类选修课1门，则不同的选课方案共有种， 若体育类选修课2门，则不同的选课方案共有种， 所以不同的选课方案共有种． 故选：C． 14．年“苏超”横空出世，推动了江苏“足球+文旅”的融合发展.某地推出款足球文创产品，具体如下：玩偶系列款，定价分别为元，元；手作系列款，定价分别为元，元；画册系列款，定价分别为元，元.某足球爱好者欲从款中随机购买款，同一款式不重复购买，每款产品被选购的可能性相等，求下列事件的概率： (1) {3款中恰有1款是手作系列}； (2) {3款中至少有1款定价不超过100元}； (3) {3款定价之和不超过300元，且至少有1款是玩偶系列}. 【答案】(1). (2). (3). 【分析】（）根据题意结合组合数的计算及古典概型公式即可得解. （）先算出取出3款定价均超过100元的情况数，利用间接法即可得解. （）根据题意写出基本事件数即可得解. 【详解】（1）总基本事件数：从6款中选3款，共种， 事件：恰有1款手作系列.手作系列2款选1款，非手作4款选2款，共种， 因此. （2）总基本事件数：从6款中选3款，共种， 事件的对立事件为“3款定价均超过100元”，定价超过100元的共3款， 从中选3款的情况共种，因此. （3）总基本事件数：从6款中选3款，共种， 事件C：3款定价之和元，且至少1款玩偶的组合有： ， 因此. 考点八 排列组合综合应用 15．从1到9的九个数字中取三个偶数和四个奇数，试问： (1)能组成多少个没有重复数字的七位数？ (2)上述七位数中3个偶数排在一起的有几个？ (3)在（1）中的七位数中，偶数排在一起，奇数也排在一起的有几个？ (4)在（1）中任意两个偶数不相邻的七位数有几个？ 【答案】(1)100800 (2)14400 (3)5760 (4)28800 【分析】（1）利用分步乘法计数原理可得答案； （2）利用相邻元素捆绑法可得答案； （3）利用相邻元素捆绑法可得答案； （4）利用不相邻元素插空法可得答案. （1）分步完成：第一步，在4个偶数中取3个，可有种取法； 第二步，在5个奇数中取4个，可有种取法； 第三步，3个偶数、4个奇数进行排列，可有种排法． 所以符合题意的七位数有（个）． （2）上述七位数中，3个偶数排在一起的有（个）． （3）上述七位数中，3个偶数排在一起， 4个奇数也排在一起的有（个）． （4）上述七位数中，偶数都不相邻，可先把4个奇数排好， 再将3个偶数分别插入5个空中，共有（个）． 16．7名师生站成一排照相留念，其中老师1人，男生4人，女生2人，在下列情况下，各有不同站法多少种? (1)两个女生必须相邻而站； (2)4名男生互不相邻； (3)老师不站中间，女生甲不站左端. 【答案】(1)1440种 (2)144种 (3)3720种 【分析】（1）采用捆绑法，将两个女生视为一个元素，先对该元素与其余5个元素全排列，再排列女生内部，计算站法数. （2）采用插空法，先排列老师与女生，再将4名男生插入形成的空位中，计算站法数. （3）分类讨论老师站左端与不站左端的情况，结合分步乘法计数原理，利用分类加法计数原理计算站法数. （1）两个女生必须相邻而站，∴把两个女生看作一个元素，则共有6个元素 进行全排列，还有女生内部的一个排列，所以共有（种）站法． （2）∵4名男生互不相邻，∴应用插空法， 对老师和女生先排列，形成四个空再排男生，共有（种）站法． （3）当老师站左端时，其余六个位置可以进行全排列，所以共有（种）站法： 当老师不站左端时，老师有5种站法，女生甲有5种站法， 余下的5个人在五个位置进行排列，共有（种）站法． 根据分类加法计数原理知共有（种）站法． 考点九 二项式定理 17．二项式展开式中，不含的项是（    ） A．第3项 B．第4项 C．第5项 D．第6项 【答案】C 【分析】利用二项式展开式的通项公式，令的幂指数为0即可解得. 【详解】二项式展开式通项公式：， 令，解得，所以不含的项是第5项. 故选：C 18．已知二项式. (1)求展开式的第4项； (2)求展开式中的有理项； (3)求展开式中的常数项. 【答案】(1) (2) (3)540 【分析】（1）令，即可求得展开式的第4项； （2）令的指数为整数，即可求得展开式中的有理项； （3）令的指数为0，即可求得展开式中的常数项. （1）的二项展开式通项是： ， 当时，展开式的第4项为. （2）由（1）知 的二项展开式通项是， 有理项是使变量的指数为整数的项，故只需，且， 解得，因此有理项分别为： ， ， ， . （3）由（1）知 的二项展开式通项是， 常数项即为变量的指数为0的项，令，解得， 因此常数项为. 考点十 二项式系数的性质 19．已知的二项展开式中，第3项与第9项的二项式系数相等，则正整数n的值是（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】B 【分析】根据二项式系数的公式及组合数的性质求解. 【详解】第3项与第9项的二项式系数分别为，， 由题意，所以. 故选：B. 20．二项式的展开式的所有系数之和为__________. 【答案】 【分析】令，即可得解. 【详解】令，，则的展开式的所有系数之和为. 故答案为：. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：本套【河南专用】《同步单元AB卷》紧扣《数学 拓展模块一 （下册）》（高教版2023修订版）教材，以教材单元为基准精准覆盖河南省对口高考真题核心考点。A卷为考点梳理卷，侧重考点分层突破；B卷为单元测试卷，强化综合能力检测，助力师生高效把握区域教学重点，提升应试能力与知识应用水平。 本卷是第八章排列组合的考点梳理卷，主要梳理和考查了分类和分步计数原理、排列与组合的定义及公式、二项式定理及性质等常见考点。 第八章 排列组合 目录 考点一 分类加法计数原理 1 考点二 分步乘法计数原理 1 考点三 计数原理的综合应用 2 考点四 排列的定义与排列数公式 2 考点五 排列的实际应用 2 考点六 组合的定义与组合数公式 2 考点七 组合的实际应用 2 考点八 排列组合综合应用 3 考点九 二项式定理 3 考点十 二项式系数的性质 3 考点一 分类加法计数原理 1．现某学校自愿组成数学建模社团，其中高一年级3人，高二年级4人，高三年级6人，选其中一人为负责人，有多少种不同的选法?（ ） A．13 B．78 C．18 D．20 2．设集合，A与B是U的不同子集，若，则称为一个“理想匹配”，规定与是两个不同的“理想匹配”，那么符合条件的“理想匹配”的个数是（   ） A．8 B．9 C． D． 考点二 分步乘法计数原理 3．现有4件不同款式的上衣和3件不同颜色的长裤，如果一件上衣和一条长裤配成一套，则不同的搭配法种数为（ ） A．7 B．12 C．64 D．81 4．某政协委员从泉城济南前往北京参加会议，他有两类快捷途径：一是乘坐飞机，二是乘坐动车，假如这天适合他乘坐的飞机有3个航班，动车有4个班次． (1)此委员这一天从济南到北京共有多少种快捷途径？ (2)如果该委员先从家乡乘坐汽车到达济南市，再乘坐飞机前往北京参加会议，其中汽车有4班，飞机有3个航班，此委员想从家乡到达北京共有多少种途径？ 考点三 计数原理的综合应用 5．现有来自高一4个班的学生34人，其中7人、8人、9人、10人分别来自一、二、三、四班，他们自愿组成数学课外小组． (1)从来自同一班的学生中各选1名组长，共有多少种不同的选法？ (2)推选2人做中心发言，这2人须来自不同的班级，共有多少种不同的选法？ 6．现有高一学生50人，高二学生42人，高三学生30人，组成冬令营． (1)若从中选1人作为总负责人，共有多少种不同的选法？ (2)若每年级各选1名负责人，共有多少种不同的选法？ (3)若从中推选两人作为中心发言人，要求这两人要来自不同的年级，则有多少种不同的选法？ 考点四 排列的定义与排列数公式 7．某校运动会米接力赛，某班有6名候选队员，若要从中选出4人安排第1、2、3、4棒，其中甲同学不跑第一棒，则不同的安排方法有（    ） A．60种 B．120种 C．300种 D．360种 8．若为正整数，则等于（ ） A． B． C． D． 考点五 排列的实际应用 9．已知4名学生和2名教师站成一排照相，求： (1)2名教师站在正中间两个位置，有多少种不同的排法？ (2)2名教师不能相邻，有多少种不同的排法？ (3)2名教师必须相邻，且不站在两端，有多少种不同的排法？ 10．用0，1，2，3这四个数字可以组成________个无重复数字的三位偶数. 考点六 组合的定义与组合数公式 11．某市医院安排5位专家医生深入山区参加为民志愿服务活动，需要分为3个服务小组，每个服务小组至少有1位专家医生，则所有不同的分组方法种数是（   ） A．10 B．15 C．20 D．25 12．________． 考点七 组合的实际应用 13．某学校开设了选修课，体育类和艺术类各有4门课程可选．学生需从这8门选修课中选修2门或3门，且每类选修课至少要选修1门，则所有不同的选课方案种数是（   ） A． B． C． D． 14．年“苏超”横空出世，推动了江苏“足球+文旅”的融合发展.某地推出款足球文创产品，具体如下：玩偶系列款，定价分别为元，元；手作系列款，定价分别为元，元；画册系列款，定价分别为元，元.某足球爱好者欲从款中随机购买款，同一款式不重复购买，每款产品被选购的可能性相等，求下列事件的概率： (1) {3款中恰有1款是手作系列}； (2) {3款中至少有1款定价不超过100元}； (3) {3款定价之和不超过300元，且至少有1款是玩偶系列}. 考点八 排列组合综合应用 15．从1到9的九个数字中取三个偶数和四个奇数，试问： (1)能组成多少个没有重复数字的七位数？ (2)上述七位数中3个偶数排在一起的有几个？ (3)在（1）中的七位数中，偶数排在一起，奇数也排在一起的有几个？ (4)在（1）中任意两个偶数不相邻的七位数有几个？ 16．7名师生站成一排照相留念，其中老师1人，男生4人，女生2人，在下列情况下，各有不同站法多少种? (1)两个女生必须相邻而站； (2)4名男生互不相邻； (3)老师不站中间，女生甲不站左端. 考点九 二项式定理 17．二项式展开式中，不含的项是（    ） A．第3项 B．第4项 C．第5项 D．第6项 18．已知二项式. (1)求展开式的第4项； (2)求展开式中的有理项； (3)求展开式中的常数项. 考点十 二项式系数的性质 19．已知的二项展开式中，第3项与第9项的二项式系数相等，则正整数n的值是（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 20．二项式的展开式的所有系数之和为__________. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $