综合测试卷（四）-《数学 拓展模块下册》（高教版第三版） 单元过关卷（原卷版+解析版）

编写说明：本套试卷紧扣《数学 拓展模块下册》（高教版第三版）教材，以教材章节为基准精准覆盖核心考点。 每个章节设置AB卷，A卷为基础巩固卷，侧重基础考点训练，帮助学生扎实掌握知识要点；B卷为能力提升卷，注重知识整合与全面检测，引导学生构建知识网络。全书设计4份综合测试卷，模拟实战情境，聚焦解题能力突破，全面提升应试能力与知识应用水平。 综合测试卷（四） 考试时间：150分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、选择题（每小题3分，共30分，每小题中只有一个选项是正确的，请将正确答案的序号填写在题后的括号内） 1．6名同学排成一排，其中甲与乙互不相邻，丙与丁必须相邻的不同排法有（   ） A．72种 B．144种 C．216种 D．256种 【答案】B 【分析】要使元素不相邻，则用插空法，要使元素相邻，则运用捆绑法，分步完成即得. 【详解】先将丙与丁看成一“个”人，与除甲和乙之外的另外两个人留下4个空， 在其中选2个给甲和乙，有种方法； 再考虑丙丁这“个”人和另两个人进行全排，有种排法； 最后将丙丁“松绑”，有种方法，由分步计数原理，可得不同排法数为：种. 故选：B. 2．在等比数列中，，则公比q等于（      ） A．1或2 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】根据等比数列的通项公式及所给条件，列出方程求解即可. 【详解】因为数列为等比数列，设公比为，且， 所以，且， 所以， 解得或. 故选：C. 3．小方每次投篮的命中率为，假设每次投篮相互独立，则他连续投篮2次，恰有1次命中的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先弄清连续投篮2次，恰有1次命中的情况有两种，它们是互斥关系，因此根据相互独立事件以及互斥事件的概率计算公式进行求解. 【详解】由题意知，他连续投篮2次，有两种互斥的情况， 即第一次投中第二次不中和第一次不中第二次投中， 因此恰有1次命中的概率为， 故选：A. 4．已知，，是一个等比数列的前3项，则它的第四项是（    ） A． B． C．13.5 D．12 【答案】B 【分析】由等比数列中项计算出x的值，计算出第四项即可. 【详解】因为，，是一个等比数列的前3项， 所以， 解得或， 当时，第二项为0，不合题意舍， 当时，前三项为，公比， 故第四项为. 故选:B. 5．若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接用二倍角的余弦公式即可求解. 【详解】因为，所以． 故选：C. 6．函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】用余弦的二倍角公式化函数为关于的二次函数，结合二次函数性质可得值域． 【详解】， 因为，所以．即值域为， 故选：C． 7．的三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，则的形状是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【答案】B 【分析】根据正弦定理的三边比值，然后能得到，即可得到答案 【详解】由正弦定理可知， 设， 所以，所以，所以的形状是直角三角形， 故选：B 8．函数的部分图像如图所示，则，的值分别为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由正弦型函数图像的性质即可得解. 【详解】由图像可知. 周期. 因为. 所以. 解得. 所以. 故选:. 9．在的二项展开式中，奇数项的系数之和为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】写出展开式通项，即可求得展开式中所有奇数项的系数之和. 【详解】的展开式通项为， 因此，展开式中所有奇数项的系数和为. 故选：D. 10．某校有200人参加联合考试，其中数学考试成绩近似服从正态分布，试卷满分150分，统计结果显示数学成绩优秀（不低于120分）的人数占总人数的，则此次数学成绩在90分到120分之间的人数约为（    ） A．75 B．105 C．125 D．150 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用正态分布的对称性求出成绩在90分到120分之间的概率即可求解作答. 【详解】由数学考试成绩近似服从正态分布，得， 因此， 所以此次数学考试成绩在分到120分之间的人数约为. 故选：D 二、填空题（每小题3分，共24分） 11．设等比数列的前项和为，若，，则_______． 【答案】 【分析】根据等比数列的前项和的性质，可得答案. 【详解】因为数列为等比数列，且等比数列的前项和为， 所以成等比数列， 则，因为，， 所以，即，解得. 故答案为：． 12．已知随机变量的分布列如表： 0 1 2 m n 若，则_________． 【答案】 【分析】根据离散型随机变量的分布列和两个信息，可求出，得值，再根据离散型随机变量方差的性质，即可求出答案． 【详解】，①， 又 ②， 联立①②得， 所以， 则． 故答案为：． 13．某批种子(数量很大)发芽率为，从中随机选取4粒种子种植，至少一粒种子发芽的概率为__________. 【答案】 【分析】先设发芽的种子数为X，判断，再利用二项分布的概率公式计算即可. 【详解】设发芽的种子数为X，依题意可知，X服从二项分布，即， 故至少一粒种子发芽的概率为. 故答案为：. 14．已知，则______． 【答案】 【分析】由诱导公式直接求得，然后诱导公式变形，然后由余弦的二倍角公式计算． 【详解】． 故答案为：. 15．若，，则__________. 【答案】 【分析】利用正弦的和差公式展开，即可求解. 【详解】解：① ② ①+②得. 故答案为： 16．函数（其中，）的图像如图所示，为了得到的图像，则需将的图象向右最小平移_____________个长度单位. 【答案】 【分析】根据正弦型函数图像解得参数，再由图像平移规律即可解得. 【详解】根据函数的图象：，，所以， 由于， 所以，故， 由于，取，得：， 因此 要得到的图象，则需将的图象向右最小平移个单位即可. 故答案为：. 17．的三内角成等差数列，且，则______. 【答案】 【分析】由已知条件和三角形内角和与等差中项的性质易得答案. 【详解】因为的三内角成等差数列，则， 则，解得， 所以 . 故答案为：. 18．有3名司机、3名售票员要分配到3辆汽车上，使每辆汽车上有一名司机和一名售票员，则可能的分配方法有________种．（填数字） 【答案】36 【分析】利用排列数公式表示司机、售票员的安排方法，由分步计数原理得出结果. 【详解】司机、售票员各有种安排方法，由分步计数原理知，共有（种）不同的安排方法． 故答案为：36. 三、解答题（每小题8分，共24分.） 19．某校高一、高二、高三人数分别是400人、350人、350人.为调查该校学习情况，采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为的样本.已知从高一的同学中抽取的同学有8人. (1)求样本容量的值和高二抽取的同学的人数； (2)若从高二抽取的同学中选出2人参加某活动，已知高二被抽取的同学中有2名女生，求至少有1名女同学被选中的概率. 【答案】(1)， 高二抽7人 (2) 【分析】（1）利用分层抽样的性质列出方程，由此能求出n的值和从高二抽取的同学人数； （2）设“至少有1名女同学被选中”为事件A，利用组合知识，求出从高二抽取的7名同学中选出2人参加某活动的结果数及事件A中的结果数，根据古典概型的计算公式可求解. 【详解】（1）由题可得分层抽样比为， ，解得， 所以高二抽取的同学的人数为（人）. （2）设“至少有1名女同学被选中”为事件A，则 从高二抽取的7名同学中选出2人参加某活动，共有个基本事件，而事件A中包含个基本事件， 所以. 20．已知是等差数列的前项和，且,求数列的通项公式. 【答案】； 【分析】利用公式进行求解. 【详解】等差数列的前项和， 当时，， 当时，， 显然满足上式， 所以数列的通项公式是. 21．已知的展开式中，所有项系数之和为729． (1)求 n 的值以及二项式系数最大的项； (2)若，求的值． 【答案】(1)，二项式系数最大的项为； (2)365. 【分析】（1）根据所有项系数之和先求出，即可得到二项式系数最大的项； （2）对等式赋值，，将得到的等式相加即可解出． 【详解】（1）∵的展开式中，所有项系数之和为729， ∴， 所以， 所以的通项公式为， 故当时，二项式系数最大， 此时所求项为； （2）令得：， 令得：， 两式联立得：. 四、证明题（每小题6分，共12分） 22．求证：． 【答案】证明见解析 【解析】运用二倍角公式的余弦公式及两角和差的余弦公式，即可得证； 【详解】证明  左边 右边， ∴原等式成立． 23．数列满足：，，记，求证：数列为等比数列. 【答案】证明见解析． 【分析】由已知可得，再由等比数列的定义即可证明. 【详解】∵， ∴， ∴， ∴数列是以，公比为的等比数列． 五、综合题（共10分） 24．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且向量与向量共线． (1)求B； (2)若，的面积为，判断的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2)为正三角形，理由见解析 【分析】（1）由平面向量共线向量的坐标运算得，结合正弦定理可得，即可得角； （2）根据三角形面积公式结合余弦定理可求边，从而可判断三角形形状. 【详解】（1）解：∵向量与向量共线， ∴，由正弦定理得：， ∴， ∵，则，∴， ∵，∴； （2）解：由已知， 所以 由余弦定理得， 所以 解得或（舍） 又因为，所以为正三角形． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：本套试卷紧扣《数学 拓展模块下册》（高教版第三版）教材，以教材章节为基准精准覆盖核心考点。 每个章节设置AB卷，A卷为基础巩固卷，侧重基础考点训练，帮助学生扎实掌握知识要点；B卷为能力提升卷，注重知识整合与全面检测，引导学生构建知识网络。全书设计4份综合测试卷，模拟实战情境，聚焦解题能力突破，全面提升应试能力与知识应用水平。 综合测试卷（四） 考试时间：150分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、选择题（每小题3分，共30分，每小题中只有一个选项是正确的，请将正确答案的序号填写在题后的括号内） 1．6名同学排成一排，其中甲与乙互不相邻，丙与丁必须相邻的不同排法有（   ） A．72种 B．144种 C．216种 D．256种 2．在等比数列中，，则公比q等于（      ） A．1或2 B．或 C．或 D．或 3．小方每次投篮的命中率为，假设每次投篮相互独立，则他连续投篮2次，恰有1次命中的概率为（    ） A． B． C． D． 4．已知，，是一个等比数列的前3项，则它的第四项是（    ） A． B． C．13.5 D．12 5．若，则（ ） A． B． C． D． 6．函数的值域为（    ） A． B． C． D． 7．的三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，则的形状是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 8．函数的部分图像如图所示，则，的值分别为（    ） A． B． C． D． 9．在的二项展开式中，奇数项的系数之和为（    ） A． B． C． D． 10．某校有200人参加联合考试，其中数学考试成绩近似服从正态分布，试卷满分150分，统计结果显示数学成绩优秀（不低于120分）的人数占总人数的，则此次数学成绩在90分到120分之间的人数约为（    ） A．75 B．105 C．125 D．150 二、填空题（每小题3分，共24分） 11．设等比数列的前项和为，若，，则_______． 12．已知随机变量的分布列如表： 0 1 2 m n 若，则_________． 13．某批种子(数量很大)发芽率为，从中随机选取4粒种子种植，至少一粒种子发芽的概率为__________. 14．已知，则______． 15．若，，则__________. 16．函数（其中，）的图像如图所示，为了得到的图像，则需将的图象向右最小平移_____________个长度单位. 17．的三内角成等差数列，且，则______. 18．有3名司机、3名售票员要分配到3辆汽车上，使每辆汽车上有一名司机和一名售票员，则可能的分配方法有________种．（填数字） 三、解答题（每小题8分，共24分.） 19．某校高一、高二、高三人数分别是400人、350人、350人.为调查该校学习情况，采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为的样本.已知从高一的同学中抽取的同学有8人. (1)求样本容量的值和高二抽取的同学的人数； (2)若从高二抽取的同学中选出2人参加某活动，已知高二被抽取的同学中有2名女生，求至少有1名女同学被选中的概率. 20．已知是等差数列的前项和，且,求数列的通项公式. 21．已知的展开式中，所有项系数之和为729． (1)求 n 的值以及二项式系数最大的项； (2)若，求的值． 四、证明题（每小题6分，共12分） 22．求证：． 23．数列满足：，，记，求证：数列为等比数列. 五、综合题（共10分） 24．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且向量与向量共线． (1)求B； (2)若，的面积为，判断的形状，并说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $