综合测试卷（二）-《数学 拓展模块下册》（高教版第三版） 单元过关卷（原卷版+解析版）

编写说明：本套试卷紧扣《数学 拓展模块下册》（高教版第三版）教材，以教材章节为基准精准覆盖核心考点。 每个章节设置AB卷，A卷为基础巩固卷，侧重基础考点训练，帮助学生扎实掌握知识要点；B卷为能力提升卷，注重知识整合与全面检测，引导学生构建知识网络。全书设计4份综合测试卷，模拟实战情境，聚焦解题能力突破，全面提升应试能力与知识应用水平。 综合测试卷（二） 考试时间：150分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、选择题（每小题3分，共30分，每小题中只有一个选项是正确的，请将正确答案的序号填写在题后的括号内） 1．已知数列的前项和为，且，，则（    ） A． B． C．1 D．3 【答案】C 【分析】根据等比数列基本量的计算即可求解. 【详解】由可得为等比数列且公比为， ，故， 故选：C 2．已知是第二象限角，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知，根据同角三角函数的基本关系，可得的值，再利用两角差的余弦公式可求解. 【详解】因为是第二象限角， 所以. 所以 . 故选：B 3．老张为锻炼身体，增强体质，计划从下个月号开始慢跑，第一天跑步公里，以后每天跑步比前一天增加的距离相同.若老张打算用天跑完公里，则预计这天中老张日跑步量超过公里的天数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知可得这天日跑步量成等差数列，再根据等差数列的通项公式求解. 【详解】由已知可得这天日跑步量成等差数列，记为， 设其公差为，前项和为，且 则，即， 解得， 所以， 由，得， 解得， 所以这天中老张日跑步量超过公里的天数为天， 故选：B. 4．已知的展开式中，第3项与第项的二项式系数相等，则二项式系数和是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二项式系数的性质，得出，再由组合数的性质求出的值，再由二项式系数和公式求值即可. 【详解】因为展开式中的第3项与第项的二项式系数相等， 即，所以， 所以二项式系数和是. 故选：A. 5．下表给出了5组数据(x，y)，为选出4组数据使得x与y的线性相关程度最大，且保留第1组数据(－5，－3)，则应去掉(　　) 第i组 1 2 3 4 5 xi －5 －4 －3 －2 4 yi －3 －2 4 －1 6 A．第2组数据 B．第3组数据 C．第4组数据 D．第5组数据 【答案】B 【分析】画出表中熟记的对应的散点图，可知第3组数据表示的点，比较离散，所以应去掉第3组的数据，得到答案. 【详解】画出散点图如图所示，则应去掉第3组数据(－3，4)． 故选：B 6．现有10份不同的食品，其中有2份不合格.每次取出1份进行检测，直到2份不合格的食品全部辨别出为止.若最后1份不合格食品正好在第3次检测时被发现，则前三次不同检测方案的种数为（    ） A．16 B．20 C．28 D．32 【答案】D 【分析】利用排列组合以及分步乘法计数原理即可. 【详解】依题意，前2次检测出1份不合格，1份合格，第3次检测出第2份不合格， 所以前三次不同检测方案的种数为. 故选：D 7．已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先将两边同时平方，再由同角三角函数的平方关系和二倍角的正弦公式化简求解即可. 【详解】， 即，则， 解得. 故选：B. 8．已知各项不相等的等比数列的前项和为，若，，则（    ） A． B． C． D．64 【答案】C 【分析】根据已知条件，以及等比数列的基本量运算求得. 【详解】设等比数列的公比为，， 依题意，， 两式相除得， 解得或（舍去）， 所以. 故选：C 9．四名学生与两名老师排成一排拍照，两名老师不能排在一起的不同排法共有（    ） A．720种 B．120种 C．240种 D．480种 【答案】D 【分析】根据插空法求排列数. 【详解】先将四名学生进行全排列有种排法. 再将两名老师进行插空有种排法. 所以四名学生与两名老师排成一排，两名老师不能排在一起的不同排法有； 故选：. 10．已知随机变量ξ满足P(ξ＝1)＝0.3，P(ξ＝2)＝0.7，则E(ξ)和D(ξ)的值分别为(　　) A．0.6和0.7 B．1.7和0.09 C．0.3和0.7 D．1.7和0.21 【答案】D 【详解】E(ξ)＝1×0.3＋2×0.7＝1.7，D(ξ)＝(1.7－1)2×0.3＋(1.7－2)2×0.7＝0.21. 二、填空题（每小题3分，共24分） 11．函数的最小值为___________. 【答案】 【分析】根据诱导公式和两角和的正弦公式化简函数，即可求得函数最值. 【详解】根据诱导公式，将化简为， . 而， 令，满足. 即. . ∴. 故答案为：. 12．在等比数列中，，是方程的两根，则的值为______． 【答案】 【分析】根据给定条件，利用等比数列性质计算即得. 【详解】由，是方程的两根，得，显然， 则，在等比数列中，同号，即， 又，，所以. 故答案为： 13．的展开式的二项式系数的和为______________.(用数字作答) 【答案】2048 【分析】理解二项展开式的二项式系数的含义，以及二项展开式的性质即得. 【详解】由题意得，二项式系数的和为. 故答案为：. 14．锐角满足，则______. 【答案】/ 【分析】根据三角函数基本关系式与正余弦二倍角公式可求. 【详解】解：，， 因为，所以，； 故答案为：. 15．tan 25°－tan 70°＋tan 70°tan 25°＝________. 【答案】－1 【分析】逆用两角差的正切公式化简求值． 【详解】∵tan 25°－tan 70° ＝tan(25°－70°)(1＋tan 25°tan 70°) ＝tan(－45°)(1＋tan 25°tan 70°) ＝－1－tan 25°tan 70° ∴tan 25°－tan 70°＋tan 70°tan 25°＝－1. 故答案为：． 16．老师排练节目需要4个男生和2个女生，将这六名学生随机排成一排，2个女生不相邻的排法为___________. 【答案】 【分析】利用插空法计算可得. 【详解】若2个女生不相邻，先排4个男生有种排法，4个男生产生5个空， 将2个女生插人5个空中有种排法，故有种排法， 故答案为： 17．若展开式中各项系数之和为64，则该展开式中含的项的系数为____________， 【答案】 【分析】利用赋值法，令可求得n；再由二项展开式的通项求得含项的系数. 【详解】令，则的展开式各项系数之和为，则， 其中通项，， 令，则， 则， 故含的项的系数为. 故答案为：. 18．已知，则的值是______． 【答案】 【分析】利用排列数公式，将等式化为，即可求解. 【详解】由题设，，即， 所以. 故答案为： 三、解答题（每小题8分，共24分.） 19．已知有红、黄、蓝、白、黑五种颜色的染料，现用它们涂“田”字形的4个小方格，要求每格涂一种颜色的染料，且相邻两格涂不同颜色的染料.若染料可以重复使用，则共有多少种不同的涂色方法？ 【答案】260 【分析】根据分类分步计数原理可得结果. 【详解】如图所示，将4个小方格依次编号为1，2，3，4. 1号小方格可以从五种颜色的染料中任取一种涂色，有5种不同的涂法. ①当2号、3号小方格涂不同颜色的染料时，有种不同的涂法，4号小方格有3种不同的涂法，故由分步乘法计数原理，可知有种不同的涂法. ②当2号、3号小方格涂相同颜色的染料时，有4种不同的涂法，4号小方格也有4种不同的涂法，故由分步乘法计数原理，可知有种不同的涂法. 综上，由分类加法计数原理，可得共有种不同的涂法. 20．在中，已知，求. 【答案】或. 【分析】先利用正弦定理判断三角形解的个数，再根据余弦定理计算边即可. 【详解】因为中，，所以，三角形有两解. 利用余弦定理得，即， 即，或. 21．在等差数列中，已知是一元二次方程的两个根.求： (1)和的值； (2)的通项公式. 【答案】(1)或 (2)或 【分析】（1）根据一元二次方程得解即可求得和的值； （2）由（1）求出和的值，再根据等差数列的通项公式即可求解. 【详解】（1）因为一元二次方程的两个根分别为14和5， 所以或. （2）设等差数列的公差为d， 若，得， 所以通项公式为. 若，得， 所以通项公式为. 故该数列的通项公式为：或. 四、证明题（每小题6分，共12分） 22．求证：＝tan. 【答案】证明见解析. 【分析】先利用二倍角公式展开，再提取公因式约分化简，即得结果. 【详解】 ＝ ＝＝. 23．设为等差数列的前项和，求证：数列是等差数列． 【答案】证明见解析 【分析】由等差数列求和公式求得，根据，由等差数列定义可得结论. 【详解】设等差数列的公差为，则，， ， 数列是以为首项，为公差的等差数列. 五、综合题（共10分） 24．已知等差数列，，． (1)求数列的通项公式； (2)若该数列的前项和为，求的最大值； (3)当数列的前项和是正数时，求的最大值． 【答案】(1) (2)78 (3)12 【分析】（1）根据等差数列的项求解通项公式即可. （2）根据等差数列的前项和公式求解即可. （3）由（2）得到前项和，结合一元二次不等式求解即可. 【详解】（1）在等差数列中，，，令公差为， 则，即，解得， 则该数列的通项公式是. （2）由（1）可知公差，， 令，，即， 时，；时，， 所以前 6 项和最大，， 故时，取最大值，最大值为． （3）由（2）知， 当数列的前项和是正数时，即，可化为， 解得， 因为，所以的最大值是12． 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10．已知随机变量ξ满足P(ξ＝1)＝0.3，P(ξ＝2)＝0.7，则E(ξ)和D(ξ)的值分别为(　　) A．0.6和0.7 B．1.7和0.09 C．0.3和0.7 D．1.7和0.21 二、填空题（每小题3分，共24分） 11．函数的最小值为___________. 12．在等比数列中，，是方程的两根，则的值为______． 13．的展开式的二项式系数的和为______________.(用数字作答) 14．锐角满足，则______. 15．tan 25°－tan 70°＋tan 70°tan 25°＝________. 16．老师排练节目需要4个男生和2个女生，将这六名学生随机排成一排，2个女生不相邻的排法为___________. 17．若展开式中各项系数之和为64，则该展开式中含的项的系数为____________， 18．已知，则的值是______． 三、解答题（每小题8分，共24分.） 19．已知有红、黄、蓝、白、黑五种颜色的染料，现用它们涂“田”字形的4个小方格，要求每格涂一种颜色的染料，且相邻两格涂不同颜色的染料.若染料可以重复使用，则共有多少种不同的涂色方法？ 20．在中，已知，求. 21．在等差数列中，已知是一元二次方程的两个根.求： (1)和的值； (2)的通项公式. 四、证明题（每小题6分，共12分） 22．求证：＝tan. 23．设为等差数列的前项和，求证：数列是等差数列． 五、综合题（共10分） 24．已知等差数列，，． (1)求数列的通项公式； (2)若该数列的前项和为，求的最大值； (3)当数列的前项和是正数时，求的最大值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $