专题20 正余弦定理及三角形面积公式（练习）-2027年广东省（“3+证书”考试）《数学一轮讲练测》（原卷版+解析版）

**基本信息** 围绕正余弦定理及三角形面积公式，通过分层题组与近5年真题构建从基础应用到综合推理的复习路径，培养推理能力与应用意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础巩固|单选18题+填空5题|定理直接应用、面积计算、形状判断|从公式记忆到边角关系转化，夯实概念理解| |能力提升|解答题10题|周长关联、几何分点综合计算|从单一公式到多条件融合，发展逻辑推理| |真题演练|近5年6道真题|高频考点（边长/面积/角度求解）|对接考情，强化知识迁移与问题解决能力|

编写说明：2027年广东省“3+证书”考试《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027版广东省（“3+证书”考试） 《数学一轮讲练测》练习 专题20 正余弦定理及三角形面积公式 一、单选题 1．在中，，，且的面积为5，则角的大小为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】根据题意，结合三角形面积公式，即可求解. 【详解】因为中，，，且的面积为5， 所以， 所以，又， 所以或. 故选：C. 2．在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由正弦定理求出角B，再由三角形内角和求出角A即可. 【详解】因为，，， 由正弦定理得，即， 因为且，则，故， 因此. 故选：C. 3．在中，若，且周长为18，则最长边的长（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【分析】根据题意，结合正弦定理，及三角形的周长，即可求解. 【详解】因为在中，若， ，设，，， 则，解得， 故最长边． 故选：C． 4．已知中，，则一定是（   ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．钝角三角形 【答案】B 【分析】利用正弦定理推论，求解即可． 【详解】因为则，故为等腰三角形． 故选：B． 5．在中，，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据余弦定理结合已知条件即可求解. 【详解】由余弦定理得， 因为b为三角形的一条边，所以，则. 故选：A. 6．在中，已知，，，则的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先用余弦定理求出一个角的余弦值，再得到正弦值，最后用三角形面积公式求解. 【详解】因为在中，，，. 所以. 因为是三角形内角，所以. 所以 所以. 故选：D. 7．在中，若，则边的长为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】根据题意结合余弦定理即可得解. 【详解】在中，若， 由余弦定理可知，， 即，解得. 故选：. 二、填空题 8．在中，，，，则__________ 【答案】 【分析】根据正弦定理列式求值即可. 【详解】已知，，， 由正弦定理，得， 则，因为在中，， 所以或，又因为， 所以，所以. 故答案为：. 9．已知在中，，，，则________. 【答案】或 【分析】根据正弦定理列式求值即可. 【详解】已知在中，，，， 由正弦定理得，， 则，因为 所以 或， 故答案为：或. 10．在中，角，，的对边分别是，，，且，，，则______． 【答案】/ 【分析】根据余弦定理求得的值，再结合三角形内角和求解即可； 【详解】因为，，， 所以由余弦定理可得，， 所以，所以， 所以. 故答案为： 三、解答题 11．在中，已知角，，对边为，，，且. (1)求角的值； (2)若，，求的面积. 【答案】(1) (2) 或 【分析】（1）根据正弦定理将边化为角，再根据特殊角的三角函数值求解即可. （2）根据正弦定理以及三角函数的面积公式求解即可. 【详解】（1）因为，所以. 因为为三角形的内角，所以，进而. 因为，所以. （2）因为，， 所以. 因为，所以或，进而或. 当时，； 当时，. 12．在中，求： (1)边b的值； (2)边c的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接用正弦定理求b； （2）先求，再用正弦定理求c. 【详解】（1）在中，， 根据正弦定理，得：. （2）根据三角形内角和为，得. . 再根据正弦定理，得：. 13．已知中，角的对边分别为，且． (1)求角的大小； (2)若，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正弦定理，两角和的正弦公式，结合三角形的性质，诱导公式即可求解. （2）根据余弦定理，三角形的面积公式即可求解. 【详解】（1）由正弦定理得，等价于, 则，解得，所以. （2）由余弦定理可得，， 解得，所以的面积为． 14．已知中，，且周长为27，求： (1)三边的长； (2)的面积． 【答案】(1)，， (2) 【分析】（1）根据题意，结合正弦定理即可求解； （2）根据题意，结合余弦定理，同角三角函数的平方关系，与三角形面积公式，求解即可． 【详解】（1）因为中，， 由正弦定理得， 设，，； 周长为，解得，故三边为，，； （2）由（1）知的三边为，，， 所以； 为三角形内角， 所以； 所以的面积． 15．在   中，已知  ， ， ， (1)求边   的长度（用余弦定理）； (2)求   的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据余弦定理求值即可. （2）根据三角形面积公式求值即可. 【详解】（1）在   中，已知  ， ， ， 则 ， 所以. （2）. 一、单选题 16．在中，“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】分析和之间的逻辑关系，判断前者是否为后者的充分或必要条件即可求解. 【详解】在中，，且，则， 即等价于，因为是的真子集， 所以在中，“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 17．在△ABC中，“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】由正弦函数的定义验证充分性、必要性即可. 【详解】在△ABC中，，，， 由，可得或（舍去），充分性成立. 在△ABC中，当，可得，必要性成立. 所以在△ABC中，“”是“”的充要条件. 故选：C. 18．已知的三个内角之比为，那么（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意求出的度数，结合正弦定理即可得解. 【详解】的三个内角之比为， 设，则，解得， 所以， 则，化简得， 故选：. 二、填空题 19．在中，，，，则的周长为________． 【答案】 【分析】利用正弦定理与三角形周长计算，求解即可． 【详解】因为在中，，，， 所以，即， 因为，故，得， 所以，即是直角三角形， 所以， 所以周长为． 故答案为：. 20．在中，，，，则_________． 【答案】 【分析】根据余弦定理求解即可. 【详解】∵在中，，，， ∴. 故答案为：. 三、解答题 21．在中，内角，，的对边分别为，，，且，，. (1)求的值； (2)设是边上的点，且，求的长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正弦定理解三角形即可. （2）根据余弦定理解三角形即可. 【详解】（1）已知在中，，，， 由正弦定理得，即， 则，解得. （2）设是边上的点， 则中，，，， 所以 ， 因为，所以.    22．在中，内角，，所对的边分别为a，b，c，已知，，． (1)求； (2)求的周长L和面积S． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）根据三角形内角和定理即可求出B，从而可求其余弦值； （2）利用余弦定理求出b，从而可求三角形周长L，利用三角形面积公式可求其面积． 【详解】（1），； ； ； （2），， 根据余弦定理得： ， （负值舍去）； 周长， 又， 由三角形面积公式得： ． 23．在中，角的对边分别为，已知． (1)求角； (2)若，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理边角互化，将方程转化为关于角的三角恒等式，利用角度和为的性质简化方程即可求解. （2）通过联立余弦定理和代数方程，求出边长的乘积，直接代入面积公式即可求解. 【详解】（1）由正弦定理可知，，为外接圆半径， 代入可得， 在中，， 所以，所以， 由于，故，代入得， 利用，方程可变为， 又，所以，即，解得，则. （2）利用余弦定理可得， 由，，可得，即， 又，代入得， 所以的面积. 24．在中，，c＝2，且． (1)求b的值； (2)求的大小； (3)求的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据正弦定理求解； （2）根据余弦定理和角的范围求解； （3）根据三角形面积公式求解. 【详解】（1）已知，可得 ，由正弦定理，得，得出. （2）由余弦定理，得，又因为，所以. （3）. 25．已知的三个内角所对边的长分别是，边，且．求： (1)边a的长； (2)的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）已知，利用二倍角公式，再结合正弦定理和余弦定理建立关于的方程求解； （2）先利用余弦定理求出，再求出，最后用两角和的正弦公式展开计算. 【详解】（1）， 由正弦定理得，由余弦定理得， ∴，∵， ∴， ∴，即（负值舍去）， （2）由余弦定理得， ∵，∴ ∴ ． 1．（2026·广东·真题T21）在中，内角，，的对边分别为，，，且，，. （1）求的值； （2）设是边上的点，且，求的长. 【答案】（1） （2） 【解析】 分析】（1）根据正弦定理解三角形即可. （2）根据余弦定理解三角形即可. 【小问1详解】 已知在中，，，， 由正弦定理得，即， 则，解得 【小问2详解】 设是边上的点， 则中，，，， 所以 ， 因为，所以. 2．（2025·广东·真题T21）在中，内角的对边分别是，已知，，. (1)求的值； (2)求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据余弦定理求解即可； （2）由三角形的面积公式可知的面积求解即可. 【详解】（1）因为内角的对边分别是，，，， 由余弦定理可得：， 所以. （2）由三角形的面积公式可知的面积. 3.（2024·广东·真题T14）在△ABC中，内角 A、B、C所对的边分别为 a、b、c，已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据余弦定理和条件等式整体代入求角A的余弦值即可求角. 【详解】由可得：， 则，且△ABC中，， 则. 故选：C. 4．（2024·广东·真题T22）在中，内角，，所对的边分别是，，，已知，，. (1)求的值； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据余弦定理，代入所给条件求值. （2）由余弦定理，求同角正弦值，再根据正弦定理，进而求解. 【详解】（1）∵. （2）∵，， ∴，， 由正弦定理得：，解得， ∴. 5.（2023·广东·真题T22）在中，，，是边上的点，且，. （1）求的值； （2）求的长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据余弦定理求解. （2）根据同角三角函数的基本关系以及正弦定理求解. 【小问1详解】 在中， 【小问2详解】 在中，，且， 由正弦定理得， . 6.（2022·广东·真题T22）在中，内角，，的对边分别为，，，已知，． (1)求的值； (2)若，求的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据两角和的正弦公式求值即可. （2）根据正弦定理求出的值，由此即可求出周长. 【详解】（1）已知，， 则， 所以 . （2）已知，，若， 则由正弦定理，得， 即，， 所以的周长为 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年广东省“3+证书”考试《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027版广东省（“3+证书”考试） 《数学一轮讲练测》练习 专题20 正余弦定理及三角形面积公式 一、单选题 1．在中，，，且的面积为5，则角的大小为（   ） A． B． C．或 D．或 2．在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，，，则（   ） A． B． C． D． 3．在中，若，且周长为18，则最长边的长（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 4．已知中，，则一定是（   ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．钝角三角形 5．在中，，，，则（   ） A． B． C． D． 6．在中，已知，，，则的面积是（   ） A． B． C． D． 7．在中，若，则边的长为（    ） A．1 B． C．2 D． 二、填空题 8．在中，，，，则__________ 9．已知在中，，，，则________. 10．在中，角，，的对边分别是，，，且，，，则______． 三、解答题 11．在中，已知角，，对边为，，，且. (1)求角的值； (2)若，，求的面积. 12．在中，求： (1)边b的值； (2)边c的值. 13．已知中，角的对边分别为，且． (1)求角的大小； (2)若，求的面积． 14．已知中，，且周长为27，求： (1)三边的长； (2)的面积． 15．在   中，已知  ， ， ， (1)求边   的长度（用余弦定理）； (2)求   的面积. 一、单选题 16．在中，“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 17．在△ABC中，“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 18．已知的三个内角之比为，那么（    ） A． B． C． D． 二、填空题 19．在中，，，，则的周长为________． 20．在中，，，，则_________． 三、解答题 21．在中，内角，，的对边分别为，，，且，，. (1)求的值； (2)设是边上的点，且，求的长. 22．在中，内角，，所对的边分别为a，b，c，已知，，． (1)求； (2)求的周长L和面积S． 23．在中，角的对边分别为，已知． (1)求角； (2)若，求的面积． 24．在中，，c＝2，且． (1)求b的值； (2)求的大小； (3)求的面积． 25．已知的三个内角所对边的长分别是，边，且．求： (1)边a的长； (2)的值． 1．（2026·广东·真题T21）在中，内角，，的对边分别为，，，且，，. （1）求的值； （2）设是边上的点，且，求的长. 2．（2025·广东·真题T21）在中，内角的对边分别是，已知，，. (1)求的值； (2)求的面积. 3.（2024·广东·真题T14）在△ABC中，内角 A、B、C所对的边分别为 a、b、c，已知，则（    ） A． B． C． D． 4．（2024·广东·真题T22）在中，内角，，所对的边分别是，，，已知，，. (1)求的值； (2)求的值. 5.（2023·广东·真题T22）在中，，，是边上的点，且，. （1）求的值； （2）求的长. 6.（2022·广东·真题T22）在中，内角，，的对边分别为，，，已知，． (1)求的值； (2)若，求的周长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $