专题20 正余弦定理及三角形面积公式（讲义）-2027年广东省（“3+证书”考试）《数学一轮讲练测》（原卷版+解析版）

编写说明：2027年广东省“3+证书”考试《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027版广东省（“3+证书”考试） 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题20 正余弦定理及面积公式 【复习目标】 1.掌握正弦定理及其应用 2.掌握余弦定理及其应用 3.掌握三角形面积公式 【考点1 正弦定理及三角形面积公式】 1、正弦定理： 2、正弦定理的变形 3、面积公式： 【即时训练】 一、单选题 1．已知中，，，，那么角等于（    ） A．或 B． C． D． 【答案】C 【分析】利用正弦定理，结合特殊角的三角函数值即可得解. 【详解】因为在中，，，， 所以由正弦定理，得， 又，则，所以，则 . 故选：C. 2．在 中，，， 是角 ，， 的对边，，，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由同角三角函数的关系可求出，再根据正弦定理，即可求解. 【详解】因为在 中， ，得 ， 又 ，由正弦定理可得 ． 故选：A 3．在中，，，，则b的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正弦定理求解即可； 【详解】在中，，，， 所以根据正弦定理得, ， 故选： A 4．在中，，，，（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由正弦定理结合题干条件求解即可. 【详解】在中，，，， 由正弦定理，，得. 故选：B. 5．在中，三个内角，，的对边分别是，，，若，，，则此三角形的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角形面积公式求值即可. 【详解】在中，，，， 则， 故选：C. 6．在中，，，，则的面积为（    ） A． B． C． D．3​ 【答案】A 【分析】根据三角形的面积公式求解． 【详解】在中，，，， 则的面积为. 故选：A． 二、填空题 7．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若，，，则________． 【答案】 【分析】根据正弦定理求解即可. 【详解】因为，，， 则由正弦定理可知，， 则． 故答案为：. 8．在中，若，则_______ 【答案】 【分析】根据正弦定理的性质即可得解. 【详解】由正弦定理可知，. 故答案为：. 三、解答题 9．在中，内角，，的对边分别为，，，已知，． (1)求的值； (2)若，求的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据两角和的正弦公式求值即可. （2）根据正弦定理求出的值，由此即可求出周长. 【详解】（1）已知，， 则， 所以 . （2）已知，，若， 则由正弦定理，得， 即，， 所以的周长为. 10．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，. (1)求角A的大小. (2)若A为锐角，求边c的长度以及的面积. 【答案】(1)或 (2)4；. 【分析】（1）先根据正弦定理和已知条件求出，再根据和确定A的范围，从而得到角A的大小. （2）根据题意和（1）确定，，从而确定，再根据勾股定理可求得c的值，最后根据三角形面积公式即可求出面积. 【详解】（1）在中由正弦定理，得 = . 因为，，， 所以. 因为，所以根据大边对大角可知. 因为，所以，所以或. （2）因为A为锐角，所以. 因为，且，所以. 因为三角形内角和为，所以. 由勾股定理，将，代入，可得. 所以. 11．已知在中，角的对边分别为且． (1)求； (2)求的大小及的面积． 【答案】(1)5 (2)， 【分析】（）根据题意结合正弦定理即可得解. （）根据题意结合余弦定理求出，代入三角形面积公式即可得解. 【详解】（1）正弦定理中，又， 所以， 又，所以. （2）由余弦定理， 又，所以， 所以. 12．在锐角中，内角，，的对边分别为，，，已知，，. (1)求的值； (2)求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正弦定理得到角的值，将角直接代入求解即可. （2）根据第（1）问得到，再利用三角形面积公式求解即可. 【详解】（1）在锐角中，，，， 满足正弦定理，即， ∴，得到. 又∵为锐角，∴. ∴. （2）由（1）得： . ∴. 【考点2 余弦定理】 1.三角形的基本性质 (1)三角形的内角和为180°. (2)三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边. (3)在同一三角形中，大边对大角，等边对等角.反之亦然. (4)三角形的任何一个外角等于与它不相邻的两个内角之和. 2.余弦定理公式： 3.余弦定理变形： ， ， 【即时训练】 一、单选题 1．在中，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，结合余弦定理，即可判断求解. 【详解】因为在中，， 所以， 又，所以. 故选：C. 2．在三角形中，角A，B，C所对应的边长分别为a，b，c，若，则（    ） A．4 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】根据两边一夹角求边利用余弦定理易得答案. 【详解】由余弦定理得，， 所以. 故选：C． 3．在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，则角（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将已知条件化为余弦定理形式解三角形，即可求解. 【详解】∵，即， ∴，则， ∵，∴. 故选：C. 4．在中，三边长度分别为，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据余弦定理公式即可得解. 【详解】在中，三边长度分别为，，， 则， 故选：. 5．在△ABC中，内角 A、B、C所对的边分别为 a、b、c，已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据余弦定理和条件等式整体代入求角A的余弦值即可求角. 【详解】由可得：， 则，且△ABC中，， 则. 故选：C. 二、填空题 6．的内角的对边分别为.若，则的面积为_________． 【答案】 【分析】先利用余弦定理求得c的值，然后利用三角形的面积公式即可求解. 【详解】由余弦定理得:， 所以，即， 解得:（舍去）， 所以，， 故答案为：. 7．在中，，则c的值为____________. 【答案】 【分析】利用余弦定理即可得解. 【详解】在中，， 由余弦定理得， 即，解得 . 故答案为：. 二、解答题 8．已知在，内角的对边分别为， (1)求； (2)求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由余弦定理求解即可； （2）由正弦定理求解即可. 【详解】（1）已知， 由余弦定理得， 所以. （2）由（1）知且， 由正弦定理，得， 故. 9．在中，内角，，所对的边分别为，，，已知，，． (1)求的值； (2)求的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用三角函数的和角公式，计算得到答案； （2）利用余弦定理计算得到三边长，从而得到三角形周长. 【详解】（1）， ， ， ，． 由三角形内角和定理可得． （2）∵在中，，，， 由余弦定理可知， ， ，解得， 的周长为． 10．已知的内角A，B，C所对的边分别是，并且满足. (1)求角A的大小； (2)若，求的周长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据两角和的正弦公式求解角A的大小即可. （2）由余弦定理求解a的长，进而求解的边长即可. 【详解】（1）， ， 在中，，， ， ， ，. （2）在中，由余弦定理得：， ， . 11．已知的内角的对边分别为，且.求: (1)的值; (2)的面积. 【答案】(1) (2)2 【分析】（1）由余弦定理可求的值，再由同角三角函数的平方关系可求出. （2）利用三角形面积公式即可求出三角形面积． 【详解】（1）由题意可得， 在中. （2）由（1）得，由三角形的面积公式可知， . 12．在中，内角所对的边分别为，已知，且.求： (1)角的值； (2)的周长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据两角和的余弦公式，化简得到，结合三角形内角和为，得到，即可求解. （2）根据余弦定理求得，即可解得. 【详解】（1）因为， 所以，即， 得到， 又，所以. （2）因为， 所以由余弦定理得 所以， 所以的周长为. 13．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且. (1)求的面积； (2)求边长c及的值． 【答案】(1)； (2)12； 【分析】（1）由已知条件可求，再利用三角形面积公式可求解 （2）利用余弦定理可求出c边，再用正弦定理可求出. 【详解】（1）因为在中，且， 所以，， 所以. 因为， 所以. （2）由（1）得. 因为， 在中由余弦定理可得， 所以， 所以在中由正弦定理可得. 1．（2026·广东·真题T21）在中，内角，，的对边分别为，，，且，，. （1）求的值； （2）设是边上的点，且，求的长. 【答案】（1） （2） 【解析】 分析】（1）根据正弦定理解三角形即可. （2）根据余弦定理解三角形即可. 【小问1详解】 已知在中，，，， 由正弦定理得，即， 则，解得 【小问2详解】 设是边上的点， 则中，，，， 所以 ， 因为，所以. 2．（2025·广东·真题T21）在中，内角的对边分别是，已知，，. (1)求的值； (2)求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据余弦定理求解即可； （2）由三角形的面积公式可知的面积求解即可. 【详解】（1）因为内角的对边分别是，，，， 由余弦定理可得：， 所以. （2）由三角形的面积公式可知的面积. 3.（2024·广东·真题T14）在△ABC中，内角 A、B、C所对的边分别为 a、b、c，已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据余弦定理和条件等式整体代入求角A的余弦值即可求角. 【详解】由可得：， 则，且△ABC中，， 则. 故选：C. 4．（2024·广东·真题T22）在中，内角，，所对的边分别是，，，已知，，. (1)求的值； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据余弦定理，代入所给条件求值. （2）由余弦定理，求同角正弦值，再根据正弦定理，进而求解. 【详解】（1）∵. （2）∵，， ∴，， 由正弦定理得：，解得， ∴. 5.（2023·广东·真题T22）在中，，，是边上的点，且，. （1）求的值； （2）求的长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据余弦定理求解. （2）根据同角三角函数的基本关系以及正弦定理求解. 【小问1详解】 在中， 【小问2详解】 在中，，且， 由正弦定理得， . 6.（2022·广东·真题T22）在中，内角，，的对边分别为，，，已知，． (1)求的值； (2)若，求的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据两角和的正弦公式求值即可. （2）根据正弦定理求出的值，由此即可求出周长. 【详解】（1）已知，， 则， 所以 . （2）已知，，若， 则由正弦定理，得， 即，， 所以的周长为 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年广东省“3+证书”考试《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027版广东省（“3+证书”考试） 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题20 正余弦定理及面积公式 【复习目标】 1.掌握正弦定理及其应用 2.掌握余弦定理及其应用 3.掌握三角形面积公式 【考点1 正弦定理及三角形面积公式】 1、正弦定理： 2、正弦定理的变形 3、面积公式： 【即时训练】 一、单选题 1．已知中，，，，那么角等于（    ） A．或 B． C． D． 2．在 中，，， 是角 ，， 的对边，，，则 （    ） A． B． C． D． 3．在中，，，，则b的值为（    ） A． B． C． D． 4．在中，，，，（    ） A． B． C． D． 5．在中，三个内角，，的对边分别是，，，若，，，则此三角形的面积是（    ） A． B． C． D． 6．在中，，，，则的面积为（    ） A． B． C． D．3​ 二、填空题 7．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若，，，则________． 8．在中，若，则_______ 三、解答题 9．在中，内角，，的对边分别为，，，已知，． (1)求的值； (2)若，求的周长． 10．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，. (1)求角A的大小. (2)若A为锐角，求边c的长度以及的面积. 11．已知在中，角的对边分别为且． (1)求； (2)求的大小及的面积． 12．在锐角中，内角，，的对边分别为，，，已知，，. (1)求的值； (2)求的面积. 【考点2 余弦定理】 1.三角形的基本性质 (1)三角形的内角和为180°. (2)三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边. (3)在同一三角形中，大边对大角，等边对等角.反之亦然. (4)三角形的任何一个外角等于与它不相邻的两个内角之和. 2.余弦定理公式： 3.余弦定理变形： ， ， 【即时训练】 一、单选题 1．在中，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．在三角形中，角A，B，C所对应的边长分别为a，b，c，若，则（    ） A．4 B． C．2 D． 3．在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，则角（    ） A． B． C． D． 4．在中，三边长度分别为，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 5．在△ABC中，内角 A、B、C所对的边分别为 a、b、c，已知，则（    ） A． B． C． D． 二、填空题 6．的内角的对边分别为.若，则的面积为_________． 7．在中，，则c的值为____________. 三、解答题 8．已知在，内角的对边分别为， (1)求； (2)求. 9．在中，内角，，所对的边分别为，，，已知，，． (1)求的值； (2)求的周长． 10．已知的内角A，B，C所对的边分别是，并且满足. (1)求角A的大小； (2)若，求的周长. 11．已知的内角的对边分别为，且.求: (1)的值; (2)的面积. 12．在中，内角所对的边分别为，已知，且.求： (1)角的值； (2)的周长. 11．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且. (1)求的面积； (2)求边长c及的值． 1．（2026·广东·真题T21）在中，内角，，的对边分别为，，，且，，. （1）求的值； （2）设是边上的点，且，求的长. 2．（2025·广东·真题T21）在中，内角的对边分别是，已知，，. (1)求的值； (2)求的面积. 3.（2024·广东·真题T14）在△ABC中，内角 A、B、C所对的边分别为 a、b、c，已知，则（    ） A． B． C． D． 4．（2024·广东·真题T22）在中，内角，，所对的边分别是，，，已知，，. (1)求的值； (2)求的值. 5.（2023·广东·真题T22）在中，，，是边上的点，且，. （1）求的值； （2）求的长. 6.（2022·广东·真题T22）在中，内角，，的对边分别为，，，已知，． (1)求的值； (2)若，求的周长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $