专题19正余弦函数图像与性质（讲义）-2027年广东省（“3+证书”考试）《数学一轮讲练测》（原卷版+解析版）

编写说明：2027年广东省“3+证书”考试《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027版广东省（“3+证书”考试） 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题19正余弦函数图像与性质 【复习目标】 1.理解正弦函数的图象和性质 2.理解余弦函数的图象和性质 【考点1 正弦函数的图像与性质】 1.正弦曲线 定义：正弦函数的图象叫做正弦曲线 2.正弦函数的性质 （1）定义域R （2）值域 （3）当时，取最大值1 （4）当时，取最x小值-1， （5）函数周期为，最小正周期为 （6）函数是奇函数，关于原点对称 （7）函数在区间单调递增 （8）函数在区间单调递减 3.正弦型函数 (1)最大值是，最小值是 (2)最小正周期为 (3)是奇函数 【即时训练】 一、单选题 1．下列关于函数的图像正确的是（    ）. A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由正弦函数的图像及性质，结合三角函数图像变化分析判断即可. 【详解】由三角函数图像变换可知， 函数是由正弦函数向上平移一个单位得到的， 所以函数的图像为：， 故选：A. 2．函数在上的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用诱导公式将函数化为，再根据正弦函数的图象和性质可判断结果. 【详解】由于函数， 故函数的值域为，故A、B选项错误； 当时，，当时，， 故C选项正确，D选项错误. 故选：C 3．用“五点法”作y＝2sin2x的图象，首先描出的五个点的横坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据“五点法”作图，只需令2x＝0，，π，，2π，即可解得答案. 【详解】由“五点法”作图知：令2x＝0，，π，，2π， 解得x＝0，，，，π，即为五个关键点的横坐标， 故选：B. 4．下列函数在其定义域内单调递减的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正弦函数、余弦函数、指数函数、对数函数的图象和性质可判断. 【详解】由正弦函数、余弦函数的图象和性质可知，它们在定义域内不是单调函数，故A、B错误； 对C选项，，根据指数函数图象和性质可知，它在定义域内单调递减，故正确； 对D选项，根据对数函数图象和性质可知，它在定义域内单调递增，故错误； 故选：C 5．函数的单调递增区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正弦型函数的单调性求解即可. 【详解】由正弦函数的性质可知，在区间上单调递增， 令，解得， 则函数的单调递增区间为． 故选：A. 6．函数在区间上的最大值为（    ） A．2 B．0 C． D． 【答案】C 【分析】利用诱导公式和函数的单调性，可求出最大值. 【详解】，则函数在上单调递减，在上单调递增， 当时，； 当时，， ∴最大值为. 故选：C. 7．“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据题意利用正弦函数的性质结合充分性及必要性的定义即可得解. 【详解】判断充分必要条件： 当时，或 ，不一定是，故不充分； 当时，，一定成立，故必要， 综上，“”是“”的必要不充分条件， 故选：. 8．函数 的最小正周期和最大值为（    ） A．，3 B．，3 C．，4 D．，3 【答案】C 【分析】根据正弦型函数的周期公式和最值求解. 【详解】因为的最小正周期，最大值为， 所以的最小正周期，最大值为4. 故选：C. 9．函数的部分图象如图所示，则的值分别是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正弦型函数的性质分析求解即可. 【详解】由图可知，，即， 因为函数的最小正周期为，所以， 解得：，又因为，所以， 又因为函数图象过点， 所以， 又因为，所以， 综上所述，，， 故选：A. 10．函数是（   ） A．周期为的奇函数 B．周期为的偶函数 C．周期为的奇函数 D．周期为的偶函数 【答案】A 【分析】根据题意，结合正弦函数的周期性和奇偶性，即可判断求解. 【详解】因为函数，所以最小正周期； 因为函数的定义域为R，关于原点对称， 又， 所以函数是奇函数； 故该函数是周期为的奇函数. 故选：A. 11．下列函数为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，结合指数函数、对数函数、正弦函数、余弦函数的奇偶性，即可判断求解. 【详解】因为函数的定义域为R，关于原点对称， 又，所以该函数不是奇函数，故A错误； 因为函数的定义域为，不关于原点对称， 所以该函数不是奇函数，故B错误； 因为函数的定义域为R，关于原点对称， 又， 所以该函数是奇函数，故C正确； 因为函数的定义域为R，关于原点对称， 因为， 所以该函数是偶函数，不是奇函数，故D错误； 故选：C． 12．函数的最小正周期是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用三角函数的最小正周期公式求解即可. 【详解】函数的最小正周期为， 故选：D. 13．函数的最小正周期是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角函数的周期公式即可得解. 【详解】， 故选：C. 14．正弦型函数的最大值与最小正周期分别是（   ） A．3，2π B．1，2π C．1，π D．3，π 【答案】D 【分析】根据正弦型函数的性质即可得解. 【详解】正弦型函数， 函数的最大值，最小正周期． 故选：D． 15．函数的最小正周期为（    ）） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正弦型函数的最小正周期公式，即可求解. 【详解】函数的最小正周期为. 故选：D. 二、填空题 16．用“五点法”作正弦函数在上的简图时，一般先作出对确定图像形状起关键作用的五个点是_________、_________、_________、_________、_________. 【答案】 【分析】由正弦函数图像即可求解. 【详解】由正弦函数图像可知, 对确定图像形状起关键作用的五个点是,,,,. 故答案为：,,,,. 17．用五点法作函数图像时，最高点为___________. 【答案】 【分析】根据五点法作图求解即可得答案. 【详解】由五点法作图知，当时，所取的五点分别为 故最高点为. 故答案为： 18．比较大小：________；________．（填“>”或“<”） 【答案】 【分析】根据题意，结合三角函数诱导公式，及正弦函数的单调性，即可比较大小. 【详解】因为，， 又，所以， 所以； 因为， 又，所以， 所以； 故答案为：；. 19．函数的最小值为________． 【答案】 【分析】利用辅助角公式和正弦型函数的性质即可得解. 【详解】， 故函数的最小值为． 故答案为：． 三、解答题 20．在下列平面直角坐标系中，用“五点法”作出函数在上的函数图像（需要描出关键点，不需要列表和书写文字过程）. 【答案】图像见解析 【分析】利用五点法作正弦函数图像即可. 【详解】列表， x 0 0 0 0 描点、连线. 21．函数的部分图象如图所示． (1)求函数的解析式； (2)当时，求函数的值域． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）结合图像分析函数的最值，周期等求出的值代入解析式中即可. （2）求出函数在的最大值，最小值即可求出值域范围. 【详解】（1）由图像可知，函数的最大值为，所以， 由图像可知，，所以周期. 即，，则， 由图像过点，可知， 即 则，解得， 当时，. 所以函数的解析式为. （2）由（1）可知，， 当，则， 且时，即时，单调递增， 时，即时，单调递减， 所以当时，即时，， 当时，即时，， 当时，即时，， 所以， 则当时，求函数的值域为. 【考点2 余弦函数的图像与性质】 1、余弦曲线 定义：余弦函数的图象叫做余弦曲线 2、余弦函数的性质 （1）定义域R （2）值域 （3）当时，取最大值1 （4）当时，取最x小值， （5）函数周期为，最小正周期为 （6）函数是偶函数，关于y轴对称 （7）函数在区间单调递增 （8）函数在区间单调递减 3、余弦型函数 (1)最大值是，最小值是 (2)最小正周期为 (3)是偶函数 【即时训练】 一、单选题 1．在下列区间上函数是减函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】画出余弦函数图像，结合单调性的定义逐项判断即可得解. 【详解】 如图所示，作出函数的图像，根据图像可知， 在区间上，为减函数，故选项正确； 在区间上，先递增后递减，故选项错误； 在区间上，为增函数，故选项错误； 在区间上，为增函数，故选项错误. 故选：. 2．用“五点法”作函数y＝cos2x，x∈R的图象时，首先应描出的五个点的横坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】将看成整体取五个关键值，得到答案. 【详解】令 ，得 . 故选：B. 【点睛】本题考查了五点作图法，属于基础题. 3．函数的简图是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】利用余弦函数的图象平移可得． 【详解】把的图象向上平移1个单位即可. 故选：D 【点睛】本题考查余弦函数的图象和性质，考查学生数形结合思想和逻辑推理能力，属于基础题． 4．下列函数中既是偶函数又在上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用一次函数、指数函数、余弦函数、二次函数的图象及性质即可判断. 【详解】对于A，一次函数为非奇非偶函数，故A错误； 对于B，指数函数为非奇非偶函数，故B错误； 对于C，余弦函数在上不单调，故C错误； 对于D，二次函数对称轴为轴，则是偶函数且在上单调递增，故D正确. 故选：D 5．下列是的图象的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】根据余弦函数的图像即可得到所求函数图像. 【详解】因为与关于轴对称. 只需将在上的图像作关于轴对称即可. 故选：C． 6．下列函数在其定义域内单调递减的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一次函数、余弦函数、指数函数、对数函数的单调性判断即可. 【详解】对于选项A：由一次函数的性质可知在定义域内单调递增，故A错误； 对于选项B：由余弦函数的性质可知在定义域内既有增区间也有减区间，故B错误； 对于选项C：函数为指数函数，且其底数大于0小于1，所以该函数在定义域内单调递减，故C正确； 对于D选项：函数为对数函数，且其底数大于1，所以该函数在定义域内单调递增，故D错误. 故选：C. 7．函数在区间上的单调性是（   ） A．单调递增 B．单调递减 C．先增后减 D．先减后增 【答案】B 【分析】根据余弦函数的单调性，即可求解． 【详解】余弦函数在上随增大而减小，即单调递减． 故选：B． 8．关于余弦函数，下列说法正确的是（    ） A．值域为R B．最小正周期为 C．在上递增 D．是奇函数 【答案】B 【分析】利用余弦函数的性质即可得解. 【详解】对于余弦函数， 其值域为，故A错误；其最小正周期为，故B正确； 其在上递减，故C错误；它是偶函数，不是奇函数，故D错误. 故选：B. 9．下列函数为偶函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的奇偶性的定义求解即可. 【详解】选项A，的定义域为，且， 所以该函数不是偶函数，错误， 选项B，的定义域为，且， 所以该函数为偶函数，正确， 选项C，的定义域为，且， 所以该函数不是偶函数，错误， 选项D，的定义域为，且， 所以该函数不是偶函数，错误. 故选：B. 10．函数的最小值是（   ） A． B． C．2 D．1 【答案】B 【分析】根据余弦函数的性质求解. 【详解】根据余弦函数的性质， 函数的范围为：， 所以函数的范围为：， 所以函数最小值为， 故选：B. 11．函数的最小值、最大值分别为 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据余弦函数的性质即可求解. 【详解】根据余弦函数的图像和性质可知， ， 所以函数的最小值、最大值分别为 . 故选：B 12．函数的最大值和最小正周期分别是（   ）． A．， B．0， C．2， D．4， 【答案】D 【分析】根据余弦函数的性质求出最值，代入最小正周期公式即可得解. 【详解】因为，则， 函数的最大值为， 最小正周期为， 故选：. 13．函数的最小正周期为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用二倍角的余弦公式，可得，据此可求解. 【详解】因为， 所以函数的最小正周期为. 故选：C 14．函数的周期是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据余弦型函数的周期求解即可. 【详解】因为函数， 所以其周期， 故选：B 二、填空题 15．比较大小：_______(填“>、<或=”) 【答案】 【分析】根据余弦函数的单调性比较大小即可得解. 【详解】因为函数在上单调递减， 且， 所以， 故答案为：. 16．函数最小正周期为______； 【答案】 【分析】根据余弦函数的最小正周期的公式求解即可. 【详解】函数最小正周期为. 故答案为：. 1.（2026·广东·真题T05）函数的最大值为（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】根据正弦函数的性质求解． 【详解】根据正弦函数的性质可知，当时，的最大值为1， 所以函数的最大值为2． 故选：B． 2.（2025·广东·真题T06）函数的最小正周期是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正弦型函数的周期性求解即可. 【详解】因为正弦型函数的最小正周期， 由函数可知， 所以函数的最小正周期， 故选：D. 3.（2022·广东·真题T11）函数的最小正周期是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正弦函数的最小正周期公式即可解答. 【详解】已知函数， 则最小正周期是， 故选：B. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年广东省“3+证书”考试《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027版广东省（“3+证书”考试） 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题19正余弦函数图像与性质 【复习目标】 1.理解正弦函数的图象和性质 2.理解余弦函数的图象和性质 【考点1 正弦函数的图像与性质】 1.正弦曲线 定义：正弦函数的图象叫做正弦曲线 2.正弦函数的性质 （1）定义域 （2）值域 （3）当时，取最大值 （4）当时，取最x小值 （5）函数周期为，最小正周期为 （6）函数是 函数，关于原点对称 （7）函数在区间 单调递增 （8）函数在区间 单调递减 3.正弦型函数 (1)最大值是 ，最小值是 (2)最小正周期为 (3)是 函数 【即时训练】 一、单选题 1．下列关于函数的图像正确的是（    ）. A． B． C． D． 2．函数在上的图象大致为（   ） A． B． C． D． 3．用“五点法”作y＝2sin2x的图象，首先描出的五个点的横坐标是（   ） A． B． C． D． 4．下列函数在其定义域内单调递减的是（    ） A． B． C． D． 5．函数的单调递增区间为（   ） A． B． C． D． 6．函数在区间上的最大值为（    ） A．2 B．0 C． D． 7．“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8．函数 的最小正周期和最大值为（    ） A．，3 B．，3 C．，4 D．，3 9．函数的部分图象如图所示，则的值分别是（    ） A． B． C． D． 10．函数是（   ） A．周期为的奇函数 B．周期为的偶函数 C．周期为的奇函数 D．周期为的偶函数 11．下列函数为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 12．函数的最小正周期是（    ） A． B． C． D． 13．函数的最小正周期是（   ） A． B． C． D． 14．正弦型函数的最大值与最小正周期分别是（   ） A．3，2π B．1，2π C．1，π D．3，π 15．函数的最小正周期为（    ）） A． B． C． D． 二、填空题 16．用“五点法”作正弦函数在上的简图时，一般先作出对确定图像形状起关键作用的五个点是_________、_________、_________、_________、_________. 17．用五点法作函数图像时，最高点为___________. 18．比较大小：________；________．（填“>”或“<”） 19．函数的最小值为________． 三、解答题 20．在下列平面直角坐标系中，用“五点法”作出函数在上的函数图像（需要描出关键点，不需要列表和书写文字过程）. 21．函数的部分图象如图所示． (1)求函数的解析式； (2)当时，求函数的值域． 【考点2 余弦函数的图像与性质】 1、余弦曲线 定义：余弦函数的图象叫做余弦曲线 2、余弦函数的性质 （1）定义域 （2）值域 （3）当时，取最大值 （4）当时，取最小值 （5）函数周期为，最小正周期为 （6）函数是 函数，关于y轴对称 （7）函数在区间 单调递增 （8）函数在区间 单调递减 3、余弦型函数 (1)最大值是 ，最小值是 (2)最小正周期为 (3)是 函数 【即时训练】 一、单选题 1．在下列区间上函数是减函数的是（    ） A． B． C． D． 2．用“五点法”作函数y＝cos2x，x∈R的图象时，首先应描出的五个点的横坐标是（    ） A． B． C． D． 3．函数的简图是（    ） A． B． C． D． 4．下列函数中既是偶函数又在上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 5．下列是的图象的是（    ） A．   B．   C．   D．   6．下列函数在其定义域内单调递减的是（    ） A． B． C． D． 7．函数在区间上的单调性是（   ） A．单调递增 B．单调递减 C．先增后减 D．先减后增 8．关于余弦函数，下列说法正确的是（    ） A．值域为R B．最小正周期为 C．在上递增 D．是奇函数 9．下列函数为偶函数的是（    ） A． B． C． D． 10．函数的最小值是（   ） A． B． C．2 D．1 11．函数的最小值、最大值分别为 （    ） A． B． C． D． 12．函数的最大值和最小正周期分别是（   ）． A．， B．0， C．2， D．4， 13．函数的最小正周期为（    ） A． B． C． D． 14．函数的周期是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 15．比较大小：_______(填“>、<或=”) 16．函数最小正周期为______； 1.（2026·广东·真题T05）函数的最大值为（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 2.（2025·广东·真题T06）函数的最小正周期是（   ） A． B． C． D． 3.（2022·广东·真题T11）函数的最小正周期是（    ） A． B． C． D． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $