精品解析：2025—2026学年山东省职教高考研究联合体第二次联合考试数学试题

2025—2026学年山东省职教高考研究联合体第二次联合考试 数学试题 2025-12 本试卷分卷一（选择题）和卷二（非选择题）两部分，满分120分，考试时间120分钟.考生请在答题卡上答题，考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回. 卷一（选择题 共60分） 一、选择题（本大题20个小题，每小题3分，共60分.在每小题列出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将符合题目要求的选项字母代号选出，并填涂在答题卡上） 1. 已知集合，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据并集的定义求解. 【详解】. 故选：D. 2. 已知，则下列关系正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据不等式的性质即可求解. 【详解】对A：因为，所以，又，所以，故A项正确； 对B：若，则，即，故B项错误； 对C：若，则，即，故C项错误； 对D：若，则，即，故D项错误； 故选：A. 3. 已知复数，与互为共轭复数，则在复平面内，复数对应的点所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】根据共轭复数的定义及复数的几何意义求解. 【详解】由题意知，所以在复平面内，对应的点为，在第一象限. 故选：A. 4. 若函数在区间上单调递减，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数单调性得到对称轴范围即可求参数范围. 【详解】函数的图像开口向下， 对称轴为， 因为函数在区间上单调递减，所以，即. 则实数m的取值范围是. 故选：C. 5. 已知等差数列的前三项分别为，，，则第10项等于（ ） A. B. 19 C. D. 29 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意结合等差中项公式求出值，即可求出首项及公差，求出通项公式即可得解. 【详解】等差数列的前三项分别为，，， 由等差中项的性质，得，解得， 则等差数列的前三项为， 所以等差数列的首项，公差， 通项公式为，则， 故选：. 6. 已知平面向量，，，有下列说法：（ ） ①若，则或； ②若且，则； ③若，，则； ④若，，则. 其中，说法正确的个数是 A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 【答案】C 【解析】 【分析】依据向量的模及向量相等的定义判断①；根据向量内积的运算判断②；根据向量相等的传递性判断③；根据向量平行的定义判断④. 【详解】对于说法①：由可知向量与的模长相等，但方向不确定，它们不一定共线， 所以不一定有或，故该说法错误， 对于说法②：设，，，， 此时，， 满足，但显然，故该说法错误， 对于说法③：若且，那么必然有，故该说法正确， 对于说法④：当为零向量时，满足，，但与不一定平行，故该说法错误， 故选：C. 7. 若表示双曲线，则角的终边所在的象限是（ ） A. 第一象限或第四象限 B. 第二象限或第三象限 C. 第一象限或第三象限 D. 第二象限或第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意结合双曲线方程的特点即可得解. 【详解】因为表示双曲线，所以或， 当时，角的终边在第二象限； 当时，角的终边在第四象限， 综上所述，角的终边在第二象限或第四象限， 故选：. 8. 如图所示，已知直线，则直线的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用两直线垂直时斜率的关系求出直线的斜率，再结合直线所过的点，利用点斜式方程求解直线的方程. 【详解】由题图知，直线m过点，， 故直线m的斜率， 又因为，则，所以， 又直线l过点， 所以直线l的方程是，即. 故选：B. 9. 已知水平放置的平面四边形用斜二测画法所画的直观图是菱形，如图所示，若，则四边形的面积是（ ） A. B. C. 8 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据斜二测画法的面积关系即可计算. 【详解】斜二测画法所画的直观图是菱形，边长，且斜二测中与轴的夹角为（或）， 所以直观图的面积为：， 斜二测画法中，原图形面积与直观图的面积关系为：， 所以四边形的面积为. 故选：C 10. 已知是奇函数，若当时，，其中，则当时，的图像大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意结合指数函数的图像及奇函数的性质即可得解. 【详解】因为，所以为减函数，其在的图像大致如图所示： 又因为是奇函数，所以图像关于原点对称， 所以当时，函数的图象大致如图所示： 故选：. 11. 已知函数，则的值是（ ） A. 2 B. 8 C. 24 D. 26 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数解析式求出函数值即可得解. 【详解】函数， 因为，， 所以. 故选：. 12. 已知向量，若，则等于（ ） A. 1 B. C. 2 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量垂直的坐标表示列方程求出，再由向量模的坐标表示求值即可. 【详解】已知向量， 且，则有，即， 所以. 故选：B. 13. 在一次测试中，甲、乙两名选手射击得分分别用变量，表示，经统计，变量，的分布列分别如下表所示： 1 2 3 1 2 3 P 0.1 0.6 0.3 P 0.4 0.2 0.4 依据表中数据，射击成绩较好的选手是（得分越大越好）（ ） A. 甲 B. 乙 C. 甲、乙一样好 D. 无法判断 【答案】A 【解析】 【分析】分别计算变量，的期望，比较大小即可. 【详解】变量的期望， 变量的期望， 则，故选手甲的射击成绩较好. 故选：A. 14. 已知，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二倍角公式及正余弦齐次式的解法计算. 【详解】因为，显然， ， 故选：A. 15. 圆与坐标轴相交的交点个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】分别令，代入圆的方程中求解，由此确定与坐标轴相交的交点个数即可. 【详解】已知圆，当时，， 解得或，所以该圆与轴交点为， 当时，，解得或， 所以该圆与轴的交点为， 所以该圆与坐标轴相交的交点为共3个， 故选：C. 16. 已知的二项展开式中，第3项与第9项的二项式系数相等，则正整数n的值是（ ） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】根据二项式系数的公式及组合数的性质求解. 【详解】第3项与第9项的二项式系数分别为，， 由题意，所以. 故选：B. 17. 设，表示不同的直线，、表示不同的平面，已知，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线与平面以及平面与平面的位置关系求解即可. 【详解】对A：若，，，则与可能平行，也可能相交，故A项错误； 对B：若，，，则与可能平行，也可能异面，故B项错误； 对C：由平面与平面垂直的判定定理，若，，则，故C项正确； 对D：若，，，则与可能平行或相交或异面，故D项错误. 故选：C. 18. 现有6本不同的书，随机分为三堆，每堆2本，则不同分法的种数是（ ） A. 15 B. 30 C. 45 D. 90 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意结合均匀分堆的原则即可得解. 【详解】6本不同的书，随机分为三堆，每堆2本，分法的种数是， 故选：. 19. 已知事件A与B是互斥事件，事件A的对立事件记为，若，，则等于（ ） A. 1 B. 0.9 C. 0.8 D. 0.7 【答案】B 【解析】 【分析】根据互斥事件与对立事件的概率公式求解. 【详解】因为，所以， 因为事件A与B是互斥事件， 所以. 故选：B. 20. 已知，分别是双曲线（，）的左、右焦点，经过的直线l与双曲线C的左支交于A，B两点，若，，，则双曲线C的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据双曲线的定义求出，再结合勾股定理求出，进而得到离心率. 【详解】如图所示，由双曲线的定义可知，. 又，所以，. 因为，所以， 所以在中，，所以，， 故双曲线C的离心率. 故选：D. 卷二（非选择题 共60分） 二、填空题（本大题5个小题，每小题4分，共20分.请将答案填写在答题卡相应题号的横线上） 21. 已知正三棱锥的底面边长为6，侧棱长为5，则该三棱锥的侧面积等于____________． 【答案】36 【解析】 【分析】先求出正三棱锥的侧面三角形的高，再计算侧面积. 【详解】设正三棱锥为，取中点，连接， 因为底面是边长为的正三角形，所以， 在中，，，可得， 所以正三棱锥侧面积. 故答案为：36. 22. 已知函数，，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据分段函数的定义域，逐步确定函数值. 【详解】由题意，，所以. 故答案为：. 23. 已知点F为抛物线的焦点，点，若M是抛物线上的动点，则的最小值是______. 【答案】12 【解析】 【分析】根据抛物线的定义，结合平面几何知识求出的最小值即可. 【详解】由抛物线可知其准线，点M到直线l的距离等于， 设抛物线上的点，当时，大于点P的纵坐标5， 所以过点P作l的垂线，必与抛物线相交， 当点M为此交点时，取得最小值， 此最小值为点P到准线l的垂线段长. 故答案为：12. 24. 教育局为了解全市12000名高一学生的体能素质情况，在全市高一学生中随机抽取了1000名学生进行体能测试，并依据测试成绩绘制如图所示的频率分布直方图，数据的分组分别为，，，，.根据此频率分布直方图，可估计全市高一学生体测成绩优异（80分及以上）的人数约是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据频率分布直方图即可求解. 【详解】由图可得，，解得， 样本在80分及以上的频率为，即总体在80分及以上的频率为0.55， 则全市高一学生体测成绩优异（80分及以上）的人数约为. 故答案为：. 25. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则角______. 【答案】 【解析】 【分析】根据正弦定理化角为边，然后利用余弦定理求解. 【详解】由正弦定理，， 得，，， 代入得， 化简得，即， 又由余弦定理可得， 因为，所以. 故答案为：. 三、解答题（本大题5个小题，共40分.请将解答过程填写在答题卡相应题号的位置上） 26. 在等比数列中，，. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前n项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用等比数列的通项公式求解； （2）根据对数的运算、等差数列的定义及前项和公式求解. 【小问1详解】 设等比数列的公比为，， 因为，， 所以解得 所以数列的通项公式为. 【小问2详解】 ，， 因为， 所以数列是首项为，公差为的等差数列， 故. 27. 已知函数.求证： （1）是偶函数； （2）在上是增函数. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据偶函数的定义即可求解. （2）根据增函数的定义即可求解. 【小问1详解】 因为函数的定义域为R，所以定义域关于原点对称， 又因为，所以是偶函数. 【小问2详解】 任取，则，， 所以， 即，所以在上是增函数. 28. 函数（，，，）的部分图像如图所示.求： （1）函数的解析式； （2）函数的单调递增区间. 【答案】（1） （2）（） 【解析】 【分析】（1）根据函数的最值确定，根据函数的周期确定，由图像过点求出的值； （2）利用正弦函数的单调递增区间求解. 【小问1详解】 由图像可知，最大值为3，最小值为，所以. 设最小正周期为T，因为，所以， 又因为，所以，则， 因为图像过点，所以， 所以，，解得，， 又因为，所以. 所以函数的解析式为. 【小问2详解】 由，， 得，， 故函数的单调递增区间是（）. 29. 如图所示，在三棱锥中，平面，，且，P为的中点. （1）求证：平面； （2）若，求与所成角的正切值. 【答案】（1）证明见解析. （2）. 【解析】 【分析】（）根据题意利用线面垂直的判定及性质得出，结合等腰三角形的性质得出，利用线面垂直的判定定理即可得解. （）作出辅助线，找到异面直线所成角，结合线面垂直的性质及勾股定理求出的长即可得解. 【小问1详解】 证明：因为平面，平面，所以， 又因为，且，平面，平面， 所以平面， 又因为平面，所以， 因为在中，，P为的中点，所以， 又因为平面，平面，， 所以平面. 【小问2详解】 设，则，， 如图所示，取中点M，连接，，则， 因为在中，P，M分别为，的中点，所以，且， 所以与所成的角即为与所成的角， 因为平面，所以平面，平面，所以， 在中，， 在中，， 所以与所成角的正切值为. 30. 已知椭圆的中心为坐标原点，焦点在x轴上，且焦距为2，椭圆的离心率为. （1）求椭圆的标准方程； （2）若倾斜角为的直线l与椭圆交于M，N两点，且，求直线l的方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据椭圆焦点在轴上，由焦距得出，再结合离心率求出，最后求出，进而得到椭圆标准方程. （2）先设出直线l的方程，然后联立直线与椭圆方程，利用弦长公式结合已知弦长的值，求出直线中的参数，从而得出直线的方程. 【小问1详解】 因为焦距，所以， 又因为离心率，所以， 所以， 因为椭圆的中心为坐标原点，焦点在x轴上，所以椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 因为直线l的倾斜角为45°，所以斜率， 设直线l的方程为， 联立，消去y，整理得， 因为直线l与椭圆有两个交点，所以该方程根的判别式， 即，解得， 设，， 可得，， 则， 因为，所以， 解得， 经检验满足， 所以直线l的方程为或. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年山东省职教高考研究联合体第二次联合考试 数学试题 2025-12 本试卷分卷一（选择题）和卷二（非选择题）两部分，满分120分，考试时间120分钟.考生请在答题卡上答题，考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回. 卷一（选择题 共60分） 一、选择题（本大题20个小题，每小题3分，共60分.在每小题列出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将符合题目要求的选项字母代号选出，并填涂在答题卡上） 1. 已知集合，，则等于（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则下列关系正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知复数，与互为共轭复数，则在复平面内，复数对应的点所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 4. 若函数在区间上单调递减，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 已知等差数列的前三项分别为，，，则第10项等于（ ） A. B. 19 C. D. 29 6. 已知平面向量，，，有下列说法：（ ） ①若，则或； ②若且，则； ③若，，则； ④若，，则. 其中，说法正确的个数是 A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 7. 若表示双曲线，则角的终边所在的象限是（ ） A. 第一象限或第四象限 B. 第二象限或第三象限 C. 第一象限或第三象限 D. 第二象限或第四象限 8. 如图所示，已知直线，则直线的方程是（ ） A. B. C. D. 9. 已知水平放置的平面四边形用斜二测画法所画的直观图是菱形，如图所示，若，则四边形的面积是（ ） A. B. C. 8 D. 4 10. 已知是奇函数，若当时，，其中，则当时，的图像大致是（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数，则的值是（ ） A. 2 B. 8 C. 24 D. 26 12. 已知向量，若，则等于（ ） A. 1 B. C. 2 D. 4 13. 在一次测试中，甲、乙两名选手射击得分分别用变量，表示，经统计，变量，的分布列分别如下表所示： 1 2 3 1 2 3 P 0.1 0.6 0.3 P 0.4 0.2 0.4 依据表中数据，射击成绩较好的选手是（得分越大越好）（ ） A. 甲 B. 乙 C. 甲、乙一样好 D. 无法判断 14. 已知，则的值是（ ） A. B. C. D. 15. 圆与坐标轴相交的交点个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 16. 已知的二项展开式中，第3项与第9项的二项式系数相等，则正整数n的值是（ ） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 17. 设，表示不同的直线，、表示不同的平面，已知，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 18. 现有6本不同的书，随机分为三堆，每堆2本，则不同分法的种数是（ ） A. 15 B. 30 C. 45 D. 90 19. 已知事件A与B是互斥事件，事件A的对立事件记为，若，，则等于（ ） A. 1 B. 0.9 C. 0.8 D. 0.7 20. 已知，分别是双曲线（，）的左、右焦点，经过的直线l与双曲线C的左支交于A，B两点，若，，，则双曲线C的离心率为（ ） A. B. C. D. 卷二（非选择题 共60分） 二、填空题（本大题5个小题，每小题4分，共20分.请将答案填写在答题卡相应题号的横线上） 21. 已知正三棱锥的底面边长为6，侧棱长为5，则该三棱锥的侧面积等于____________． 22. 已知函数，，则______. 23. 已知点F为抛物线的焦点，点，若M是抛物线上的动点，则的最小值是______. 24. 教育局为了解全市12000名高一学生的体能素质情况，在全市高一学生中随机抽取了1000名学生进行体能测试，并依据测试成绩绘制如图所示的频率分布直方图，数据的分组分别为，，，，.根据此频率分布直方图，可估计全市高一学生体测成绩优异（80分及以上）的人数约是______. 25. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则角______. 三、解答题（本大题5个小题，共40分.请将解答过程填写在答题卡相应题号的位置上） 26. 在等比数列中，，. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前n项和. 27. 已知函数.求证： （1）是偶函数； （2）在上是增函数. 28. 函数（，，，）的部分图像如图所示.求： （1）函数的解析式； （2）函数的单调递增区间. 29. 如图所示，在三棱锥中，平面，，且，P为的中点. （1）求证：平面； （2）若，求与所成角的正切值. 30. 已知椭圆的中心为坐标原点，焦点在x轴上，且焦距为2，椭圆的离心率为. （1）求椭圆的标准方程； （2）若倾斜角为的直线l与椭圆交于M，N两点，且，求直线l的方程. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $