2026年中考数学复习讲义 专题2.2一次函数及其应用（题型归纳+核心考点+常考题型）.

专题2.2一次函数及其应用中考复习讲义 考点、考情分析 一、核心考点 1.概念与解析式：一次函数、正比例函数定义，自变量取值范围，待定系数法求解析式。 2.图象与性质：一次函数图象特征，k、b的几何意义及对图象的影响，象限判断。 3.图象变换：一次函数图象平移、对称变换规律及解析式求解。 4.与方程、不等式综合：利用函数图象求方程的解、不等式（组）的解集。 5.与几何综合：求直线交点、线段距离、图形面积及相关存在性问题。 6.实际应用：一次函数建模，解决行程、收费、方案选择等实际问题。 二、考情分析 中考总分约占比8–14分，覆盖选择、填空、解答三种题型：选择题、填空题侧重考查一次函数概念、图象性质、简单解析式求解，基础题，难度偏低；解答题必考1道核心题，多为解析式求解、实际应用建模，或与几何、方程不等式综合设问，中档题为主，部分地区作为压轴题前置小问。 题型归纳 题型1一次函数的定义 题型2正比例函数的图象与性质 题型3判断一次函数的图象 题型4根据一次函数解析式判断其经过的象限 题型5一次函数图象与坐标轴的交点问题 题型6根据一次函数的增减性判断自变量的变化情况 题型7一次函数与几何综合 题型8一次函数与方程（组）的关系 题型9一次函数与不等式（组）的关系 题型10一次函数的分配方案问题 题型11一次函数的最大利润问题 题型12一次函数的行程问题 题型13一次函数的梯度计价问题 题型14一次函数的规律探究问题 考点梳理 考点 一、一次函数的基础概念 1.一次函数的基础 正比例函数的定义：一般地，形如y=kx(k为常数，k≠0)的函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数. 一次函数的定义：一般地，形如y=kx+b(k,b是常数，k≠0)的函数，叫做一次函数. 一次函数的一般形式：y=kx+b(k≠0) 特征：k≠0；x的次数为1；常数b可以取任意实数. 2.待定系数法 待定系数法：先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知的系数，从而得出函数解析式的方法叫做待定系数法. 用待定系数法确定一次函数解析式的一般步骤： 设：设一次函数的解析式为y=kx+b(k≠0)； 列：将已知条件代入解析式，列出关于k、b的二元一次方程组； 解：解二元一次方程组，求出k、b； 代：将k、b的值代回所设的函数解析式中. 考点 二、一次函数、正比例函数的图像与性质 1.一次函数的图像：一次函数y=kx+b(k≠0)的图像是一条直线，通常也称直线y=kx+b. 2.正比例函数的图像：正比例函数y=kx(k≠0)的图像是经过原点（0，0）的一条直线. 3.k，b的符号与直线的关系 在直线中，令y=0，则x=，即直线与x轴交于 1）当时，即k，b异号时，直线与x轴交于正半轴． 2）当，即b=0时，直线经过原点． 3）当，即k，b同号时，直线与x轴交于负半轴． 4.正比例函数与一次函数图像的关系 图像关系：正比例函数的图像是经过原点的一条直线，一次函数的图像可由正比例函数的图像平移|b|个单位长度得到.（当b＞0时，向上平移；当b＜0时，向下平移） 常见的变换方式： 平移变换 平移方式（m＞0） 函数解析式 向上平移m个单位 向下平移m个单位 向左平移m个单位 向右平移m个单位 平移口诀：左加有减，上加下减. 对称变换 变换方式 变换后 关于x轴对称 关于y轴对称 关于原点对称 对称口诀：关于谁对称谁不变，关于原点对称都改变. 考点三、一次函数与方程（组）﹑不等式 1.一次函数与一元一次方程 从“数”上看：方程的解⇔函数中，y=0时对应的x的值 从“形”上看：方程的解⇔函数的图像与x轴交点的横坐标. 2.一次函数与二元一次方程组 从“数”的角度看：解二元一次方程组相当于考虑自变量为何值时，两个函数的值相等，以及这两个函数值是何值； 从“形”的角度看：解二元一次方程组相当于确定两条直线的交点坐标，一般地，如果一个二元一次方程组有唯一解，那么这个解就是方程组对应的两条直线的交点坐标. 3.一次函数与一元一次不等式 从“数”的角度看：解一元一次不等式就是寻求使一次函数的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围； 从“形”的角度看：就是确定直线在x轴上（或下）方部分的点的横坐标满足的条件. 利用解一元一次不等式可确定相应的函数值对应的自变量的取值范围，具体的对应关系如下： 不等式的解集直线在x轴上方的部分所对应的x的取值范围； 不等式的解集直线在x轴下方的部分所对应的x的取值范围； 不等式的解集直线在直线上方的部分所对应的x的取值范围； 不等式的解集直线在直线下方的部分所对应的x的取值范围. 考点 四、一次函数的应用 1．判断两个变量之间是不是一次函数关系的步骤： 通过实验、测量获得数量足够多的两个变量的对应值； 建立适当的平面直角坐标系，画出图像； 观察图像特征，判断函数的类型． 2.建立一次函数解析式的常用方法 根据基本的量之间存在的关系列函数解析式； 若题目中已明确给出两个变量的函数关系，则可用待定系数法求出函数解析式； 3.利用一次函数的图像解决实际问题的一般步骤： 观察图像，提取其中的有效信息，如横纵坐标代表的实际意义、关键点坐标等； 对获取的信息进行整理、加工，理清各数量之间的内在关联； 选择合适的数学工具：如一次函数解析式、方程、不等式等，通过建立数学模型解决实际问题。 核心考点解析 题型1一次函数的定义 1．若关于的函数是一次函数，则的值为（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】本题主要考查了一次函数的定义，一次函数的定义条件是：、为常数，，自变量次数为1．根据一次函数的定义列式计算即可得解． 【详解】解：根据题意得，且， 解得且， 所以，． 故选：B． 2．如图，在平面直角坐标系中，点，点，若将直线向上平移d个单位长度后与线段有交点，则d的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一次函数图象的平移以及一次函数与线段的交点问题，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 先求出直线平移后的解析式，再根据直线与线段有交点，分别求出直线经过点A和点B时d的值，进而确定d的取值范围，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：依题意，将直线向上平移d个单位长度后得 ∵点，点，且直线向上平移d个单位长度后与线段有交点， ∴把代入得，解得； 把代入得，解得； 则， 故选：D． 3．新定义：函数图象上任意一点，称为该点的“坐标差”，函数图像上所有点的“坐标差”的最大值称为该函数的“特征值”，一次函数（）的“特征值”是______． 【答案】4 【分析】由题意知，一次函数的“特征值”为，当时，最大，代入求解即可． 【详解】解：由题意知，一次函数的“特征值”为， 当时，， ∴一次函数的“特征值”为4， 故答案为：4． 【点睛】本题考查了新定义，一次函数．解题的关键在于理解题意并正确的运算． 4．书法是文字美的艺术表现形式，中国书法历史悠久，书体沿革流变，书法艺术异采迷人，是中国汉字特有的一种传统艺术．某校举办以“发扬艺术之光，传承书法风采”为主题的书法比赛活动，校团委计划购买某种标价为120元/套的书法套具，文具店老板给出了如下优惠条件：如果一次性购买不超过10套，单价为120元/套；如果一次性购买超过10套，那么每增加1套，购买的所有书法套具的单价每套降低5元，但单价不得低于60元/套．设校团委一次性购买书法套具x套，购买的实际单价为y元/套． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)当时，求校团委购买这些书法套具的实际付款总额． 【答案】(1) (2)1400元 【分析】本题考查一次函数的实际应用，正确的列出函数关系式是解题的关键： （1）根据优惠方案，列出函数关系式即可； （2）把代入（1）中的解析式进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得：； （2）当时，， 故校团委购买这些书法套具的实际付款总额为元． 题型2正比例函数的图象与性质 1．已知正比例函数的图象经过二、四象限，则一次函数的图象大致是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查正比例函数与一次函数的图象和性质．熟悉正比例函数的图象所在象限与系数的关系，一次函数中系数、常数项的符号对图象经过象限的影响，是解题的关键． 【详解】解：∵正比例函数的图象经过二、四象限， ∴， ∵对于一次函数，， ∴图象从左到右呈下降趋势， ∵， ∴与轴交点在正半轴， 故选：． 2．已知点、在同一正比例函数的图象上，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，根据反比例函数的图象和性质判断即可求解，掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：∵点、在同一正比例函数的图象上， ∴，， ∴， ∵， ∴正比例函数的图象经过二、四象限，当时，当时， ∵， ∴，， ∴选项正确，选项错误， 故选：． 3．在平面直角坐标系中，点，，分别在三个不同的象限．若函数的图象经过其中两点，则m的值为______． 【答案】 【分析】本题考查了正比例函数的图象，求正比例函数解析式，正比例函数图象上点的坐标特征，由点的坐标及正比例函数的图象的分别特点可得函数的图象经过，，进而利用待定系数法可得函数解析式为，再把点坐标代入计算即可求解，判断出函数的图象经过S是解题的关键． 【详解】解：点，，分别在三个不同的象限，点在第二象限，点在第一象限， ∴点在第三象限， ∵函数的图象经过其中两点， ∴函数的图象经过，， 把代入得，， ∴， ∴函数解析式为， 把代入得，， 故答案为：． 4．已知正比例函数． (1)若它的图象经过第二、四象限，求k的取值范围． (2)若点在它的图象上，求它的解析式． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了正比例函数的性质，熟练掌握正比例函数的性质是解题的关键． （1）根据函数图象经过第二、四象限，可得，即可求解； （2）将点代入函数解析式中，待定系数法求解析式即可求解． 【详解】（1）解：函数图象经过第二、四象限 ∴，即k的取值范围是； （2）将点代入函数解析式中，得：， 解得：， 所以正比例函数解析式为． 题型3判断一次函数的图象 1．已知函数，则在此函数图象上的点是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一次函数的图象，熟练掌握一次函数的图象是解题的关键． 将各选项依次点代入进行判断即可解答． 【详解】解：逐项将点的坐标代入进行判断如下： 当时，，故选项A不符合题意； 当时，，故选项B不符合题意； 当时，，故选项C不符合题意； 当时，，故选项D符合题意． 故选：D． 2．已知一次函数的图象经过点，则（   ） A．3 B．4 C．6 D．7 【答案】D 【分析】本题主要考查了一次函数的图象上点的坐标特征．将点代入一次函数解析式，解方程即可求出b的值． 【详解】解：∵ 一次函数的图象经过点， ∴ 将，代入解析式，得： ， 解得：， 故选：D． 3．定义：横、纵坐标都是整数的点叫做整点．当二次函数的图象与直线（a为常数）围成的封闭区域内（不包含边界）只有2个整点时，则a的取值范围是______． 【答案】 【分析】由题意大致画出二次函数的图象与直线的图象，再根据围成的封闭区域内（不包含边界）只有2个整点，结合图象即可得出，求解集即可． 【详解】∵，且， ∴二次函数的图象与直线的图象大致如图， ∵围成的封闭区域内（不包含边界）只有2个整点， ∴， 解得：． 故答案为：． 【点睛】本题考查二次函数的图象和性质．正确画出大致图象，并利用数形结合的思想是解题关键． 4．化简求值：，其中在一次函数的图象上． 【答案】， 【分析】本题考查的是分式的化简求值，一次函数图象上点的坐标特征，熟知分式混合运算的法则是解题的关键． 先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再根据在一次函数的图象上得出，代入代数式进行计算即可． 【详解】解： ， ∵在一次函数的图象上， ∴， ∴， ∴原式． 题型4根据一次函数解析式判断其经过的象限 1．一次函数的图像大致是（   ） A．B．C． D． 【答案】B 【分析】根据一次函数图象与系数的关系进行判断即可． 【详解】解：∵一次函数中，，， ∴一次函数经过一、三、四象限，B选项符合题意． 2．关于函数，下列结论正确的是（   ） A．图象必经过点 B．图象与轴的交点为 C．函数值随的增大而增大 D．图象经过第二、三、四象限 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数图象与坐标轴的交点问题、一次函数的增减性以及一次函数图象与系数的关系，逐一分析四个选项的正误是解题的关键．将和分别代入解析式，即可判断A和B选项，根据一次函数图象与性质，即可判断C和D选项． 【详解】解：A、当时，， ∴一次函数的图象经过点，选项A不符合题意； B、当时，， ∴一次函数的图象与轴的交点为，选项B不符合题意； C、∵， ∴随的增大而减小，选项C不符合题意； D、∵，， ∴一次函数的图象经过第二、三、四象限，选项D符合题意． 故选：D． 3．已知直线经过点且不经过第三象限，那么关于的不等式的解集是______． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的图象所经过的象限及解一元一次不等式，由已知条件得，代入不等式的，由一次函数的性质得，即可求解；能由一次函数的图象经过象限得出是解题的关键． 【详解】解：由题意得 ， ， ， ， 直线不经过第三象限， ， ， 故答案为：． 4．已知，其中． (1)化简并选择其中符合条件的一个整数作为的值代入求出的值； (2)请绘制在平面直角坐标系中的图像，并直接判断是否经过第二象限． 【答案】(1)，当时， (2)画图见详解；是 【分析】本题考查了分式的化简求值，画一次函数的图象以及一次函数的性质，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法和一次函数的性质． （1）根据分式加减法和乘法化简，再根据分式有意义和选值代入求解即可； （2）画出一次函数图象，根据图象判断即可 【详解】（1）解： ， ∵， ∴， ∵， ∴当时，； （2）解：令，则，令，则，令，则，令，则， 令，则，故图象经过和， ∵且， ∴点不在图象上， 故的图象如图： 根据图象可得，的图象经过第二象限． 题型5一次函数图象与坐标轴的交点问题 1．若直线与两坐标轴所围成的三角形的面积为6，则的值为（   ） A．6 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴围成的三角形面积运算，熟练掌握一次函数的图象性质是解题的关键． 先求直线与坐标轴的交点坐标，再根据三角形面积公式列出方程求解即可． 【详解】解：把代入可得：， ∴直线与轴交点为， 把代入可得：， 解得：， ∴直线与轴交点为， ∴三角形的面积， ∵， ∴ ， 故选：C． 2．直线与x轴的交点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了求一次函数与x轴的交点坐标，求出时x的值即可得到答案． 【详解】解：在中，当时，，解得， ∴直线与x轴的交点坐标是， 故选：A． 3．如图，直线与抛物线相交于、两点，若，则的值为______．    【答案】 【分析】本题考查的知识点是一次函数与二次函数的 综合应用，涉及到联立方程求交点、根与系数的关系的运用、全等三角形的判定与性质以及两点间距离公式等知识；利用相似三角形的性质找出是解题的关键．联立两函数解析式成方程组，通过解方程组求出点、的坐标，利用两点间的距离公式可求出、、的长度，设直线与轴的交点为，由直线的解析式为可得出，结合公共角可得出∽，根据相似三角形的性质可得出，代入数据即可得出，解之即可得出值． 【详解】：联立两函数解析式成方程组， ， 解得：，， 点，， ，，． 设直线与轴的交点为如图所示，则点的坐标为．    直线的解析式为， ． 又， ∽， ， ，即， 整理得：， 解得：或不合题意，舍去． 故答案为：． 4．如图，直线与直线交于点，交x轴于点B，直线分别与x轴、y轴交于点C、，连接． (1)求k、b的值； (2)点是线段上的一动点，点是点P关于y轴的对称点，当在内部时（不含边界），求m的取值范围． 【答案】(1)，； (2) 【分析】本题考查了一次函数综合题，考查了求一次函数解析式，关于轴对称的点的性质，两直线的交点坐标，利用数形结合的思想解决问题是关键． （1）先将点代入，得出点的坐标，再利用待定系数法求解即可； （2）先求出，根据关于轴对称的点的性质得到，作点关于轴的对称点，则，连接，与交于点．利用待定系数法求出直线和直线的解析式，联立得到点的坐标，再根据点在线段之间（不含线段端点），即可求解． 【详解】（1）解：将点代入得，，即． 将点，代入得，， 解得：，． （2）解：由（1）知直线的解析式为． 令，则，解得：， ． 是关于轴的对称点， ． 如图，作点关于轴的对称点，则，连接，与交于点． 设直线的解析式为， 把代入得，解得， 直线的解析式为； 设直线的解析式为，则有， ，． 直线的解析式为， 联立可得：，解得，． 点， 当在内部时（不含边界），点在线段之间（不含线段端点）， ． ． 题型6根据一次函数的增减性判断自变量的变化情况 1．已知一次函数的图象如图，则下列说法正确的是（    ） A． B．当时， C．函数值y随自变量x的增大而减小 D．图象与y轴交于点 【答案】D 【分析】本题主要考查了一次函数图像的性质、一次函数与坐标轴交点问题等知识点，灵活运用一次函数性质成为解题的关键． 根据一次函数的性质逐项判断即可． 【详解】解：根据一次函数图像可知：函数值y随自变量x的增大而增大，，即A、C选项错误；由于k的值不确定，则一次函数与x轴交点坐标不确定，故B选项错误；当时，，即图象与y轴交于点，则D选项正确，符合题意． 故选：D． 2．已知，，，为直线上的三个点，且，则以下判断正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】先分析出一次函数的增减性，再根据不同情况进行分类讨论． 【详解】解：直线是一次函数， 是小于0的， 随的增大而减小． ， ． 若，则与同号， 但不能确定、的正负，故选项A不符合题意； 若，则与异号， 但不能确定、的正负，故选项B不符合题意； 若，则与异号，则与同时为负， 故、同时为正，故，选项C符合题意； 若，则与同号， 但不能确定、的正负，故选项D不符合题意． 故选：C． 【点睛】此题考查一次函数图象和性质，掌握一次函数的增减性性质是解题关键． 3．已知一次函数，当时，的最大值是，则的最小值是______． 【答案】1或 【分析】本题考查了一次函数的增减性及解一元一次方程，解题的关键是理解函数的增减性． 分及两种情况，根据的最大值是，求出此时的的值，从而得出的值，再求出的值即可． 【详解】解：当时，一次函数中，y随x的增大而增大， 当时，的最大值是， ， 此时，即 当时，一次函数有最小值，最小值为； 当时，一次函数中，y随x的增大而减小， 当时，的最大值是， ， 此时，即 当时，一次函数有最小值，最小值为； 综上所述，的最小值是1或； 故答案为：1或． 4．如图，已知直线经过点，直线． (1)求直线的解析式；并判断点是否在直线上？ (2)若，直线与x轴交于点C，直线与交于点P． ①点P的坐标为________． ②求面积． (3)直线上有两点、，若直线与线段有交点，直接写出k的取值范围． 【答案】(1)，点不在直线； (2)①，②； (3)或． 【分析】本题考查了一次函数的交点问题，求函数解析式，三角形面积公式等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）直接用待定系数法求解，然后把点代入即判断； （2）①联立得，求解即可； ②求出，，根据三角形面积公式即可求解； （3）先求出，，再根据一次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：设直线的解析式为， ∵直线经过点， ， ， ∴直线的解析式为， 在中，当时，、 ∴点不在直线上； （2）解：①当时直线 联立得：， 解得：， ∴点坐标为， 故答案为：， ②在中，当时，，当时，， ，， ； （3）解：∵点在直线上， ，， ，， 当直线过点时，则， 解得：， 当直线过点时，则， 解得：， ∴的取值范围或． 题型7一次函数与几何综合 1．在平面直角坐标系中，将点沿箭头方向按如图所示规律移动，当点首次位于y轴上时，停止移动．关于甲、乙两位同学的说法，下列判断正确的是（　　） 甲：点的坐标为； 乙：若在直线两侧的点（点）的个数相等，则k的取值范围为． A．只有甲对 B．只有乙对 C．甲、乙都对 D．甲、乙都不对 【答案】C 【分析】本题考查了坐标的平移变化、一次函数表达式的求解以及正比例函数比例系数的求解，其中找出符合规律的所有点并且理解直线两侧点个数相等的意义是解题的关键． 甲：根据题中信息，把横纵相加再除以3，所得的余数如果是为1时，向上平移；如果余数为2时，向左平移，先从坐标开始算，依次计算即可； 乙：根据规则满足条件的总共有10个点，由此得出直线两侧点个数相等经过的坐标，再把坐标代入即可求出k，从而得出k的范围． 【详解】解：甲：∵点横纵坐标之和为5， ∴， ∴第一次向左平移1个单位，即， ∵横纵坐标之和为4， ∴，即第二次向上平移1个单位， ∴，而的横纵坐标之和为5， ∴，即第三次向左平移1个单位，即， ∵的横纵坐标之和为4， ∴第四次向上平移1个单位，即， ∵横纵坐标之和为5， ∴第五次向左平移1个单位，即， ∵的横纵坐标之和为4， ∴第六次向上平移1个单位，即， ∵的横纵坐标之和为5， ∴第七次向左平移1个单位，即， ∵的横纵坐标之和为4， ∴第八次向上平移1个单位，即， ∴甲同学说法正确，符合题意； 乙：按照平移规则依次计算可得点共有10个点， 当直线两侧点的个数相等时，直线过点和之间， 设直线过点时，即，解得， 设直线过点时，即，解得， ∴当时，直线两侧点（）的个数相等， ∴乙同学说法正确，符合题意， 故选：C． 2．如图，在直角坐标系中，一次函数的图象与x轴、y轴分别相交于点A，B，与正比例函数的图象相交于点C，点C的纵坐标为2．若点D在y轴上，且满足，则点D的坐标为（    ） A．或B． C． D．或 【答案】D 【分析】这是一道关于一次函数的综合题，考查了一次函数的交点问题，一次函数与一元一次不等式，求三角形的面积等，应用割补法表示出不规则三角形的面积是解题的关键． 先将代入，求出点C的坐标；可得一次函数关系式为．再求出分别求出点A，B的坐标，再分两种情况，根据求出坐标即可． 【详解】解：根据题意，将代入，得， 解得， ∴点C的坐标是； 将点代入，得， 解得， ∴一次函数关系式为． ∵当时，；当时，， ∴，； 如图，当点D在直线上方时，设点， 则， 解得， ∴； 如图，当点D在直线下方时，设点， 则， 解得， ∴， 综上，点D的坐标是或． 故选：D． 3．在平面直角坐标系中，以点为圆心，为半径作．直线与交于两点，则的最小值为____________． 【答案】6 【分析】本题主要考查了一次函数的图象，垂径定理，对于，当时，得直线过定点，再求出，得点P在内部，根据过圆内定点P的所有弦中，与垂直的弦最短，得当直线与垂直时，为最小，此时，在中，由勾股定理求出，进而可得的最小值． 【详解】解：∵ ∴直线过定点， ∵点， ∴， 又∵的半径为， ∴， ∴点P在内部， 由于过圆内定点P的所有弦中，与垂直的弦最短，即当直线与垂直时，为最小，如图所示： 由垂径定理得：， ∴， 在中，，， 由勾股定理得：， ∴， 即的最小值为6． 故答案为：6． 4．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，其中点、点的横坐标分别是和3． (1)当时，直接写出的取值范围； (2)求出一次函数和反比例函数的表达式； (3)将直线向左平移2个单位长度，与反比例函数在第一象限的图象交于点，求的面积． 【答案】(1)或 (2)， (3) 【分析】（1）时的取值范围即为直线在双曲线上方时交点的横坐标的取值范围； （2）先将点、点的横坐标代入反比例函数解析式求出，再代入一次函数解析式求解即可； （3）先求出平移后的一次函数解析式为，然后求出交点，过点作轴交于点，则，再由求解即可． 【详解】（1）解：∵一次函数与反比例函数的图象交于，两点，其中点、点的横坐标分别是和3， ∴当时，或； （2）解：∵点、点的横坐标分别是和3，且点、点在上， ∴ ∴， 将点代入， 则 解得， ∴一次函数和反比例函数的表达式分别为，； （3）解：由题意得，平移后的一次函数解析式为， 联立， ∴ 解得， ∵点在第一象限， ∴， ∴， ∴， 过点作轴交于点， ∴ ∵， ∴． 题型8一次函数与方程（组）的关系 1．如图，已知一次函数的图象分别与、轴交于、两点，若，，则关于的方程的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的知识点是一次函数与一元一次方程之间的关系，解题关键是利用数形结合思想解题． 根据一次函数与轴交点坐标可得出答案． 【详解】解：， ， 一次函数的图象与轴交于点， 时，，即时，， 关于的方程的解为． 故选：． 2．如图，直线与坐标轴分别交于两点，为坐标原点，则的面积为（   ） A．8 B．4 C．2 D．1 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及三角形的面积，利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出点A，B的坐标，进而可得出，的长，再利用三角形的面积公式，即可求出的面积． 【详解】解：对于，当时，， ∴点B的坐标为， ∴； 当时，， 解得：， ∴点A的坐标为， ∴， ∴． 故选：B． 3．一次函数与坐标轴围成的三角形的面积为2，则k的值为_____． 【答案】或 【分析】本题考查了一次函数图像与坐标轴围成的三角形面积问题，关键点在于一次函数与坐标轴交点的求解． 先求出与坐标轴交点，继而得到直角三角形的底和高，然后列出含有k的绝对值方程，再求解即可． 【详解】解：当时，与x轴交点为 ， 当时，与x轴交点为， ∴， 解得：． 故答案为：或． 4．在同一直角坐标系中，一次函数，的图像如图所示，则方程组的解为________． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程（组）的解，先求出交点的坐标，然后利用方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标进行解答． 【详解】解：当时，，解得， ∴交点坐标为， ∴方程组的解为， 故答案为：． 题型9一次函数与不等式（组）的关系 1．已知一次函数b(k、b为常数)的图象如图所示，那么关于x的不等式的解集是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了一次函数与一元一次不等式的关系，关键是能正确利用数形结合的方法解决问题． 一次函数的图象在x轴上方时，，再根据图象写出解集即可． 【详解】解：函数的图象经过点， ∴当，直线在轴的上方， ∴关于x的不等式的解集是． 故选：C． 2．如图，直线与相交于点，则不等式的解集是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了一次函数与一元一次不等式，解题的关键是得出两函数图象的交点横坐标，根据函数图象可得答案．先求得点A的横坐标，观察函数图象得到在点A的左边部分的点的横坐标范围即可求解． 【详解】解：∵直线与相交于点，点A的纵坐标为3， ∴将代入中，得，则， ∴， 由图象得，不等式的解集是， 故选：B． 3．一次函数的图像经过点(1，0)．当y>0时，x的取值范围是__________． 【答案】x<1 【分析】先用待定系数法，求出a的值．当y>0时，用含x的代数式表示y，解不等式即可． 【详解】解：把(1，0)代入一次函数，得 a+2=0， 解得：a=-2， ∴， 当y>0时，即， 解得：x<1． 故答案为：x<1． 【点睛】此题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数与一元一次不等式，解题的关键是正确列出不等式，算出x的取值范围． 4．如图，已知函数和的图像交于点，这两个函数的图像与轴分别交于点、． (1)分别求出这两个函数的解析式； (2)求的面积； (3)请根据图像直接写出不等式的解集． 【答案】(1)这两个函数的解析式分别为和 (2) (3) 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式，一次函数与一元一次方程等，熟练掌握待定系数法求解析式，求一次函数与坐标轴的交点，利用函数图像直接得出不等式的解集，是解答此题的关键． （1）把点分别代入函数和，求出a、b的值即可； （2）根据（1）中两个函数的解析式得出A、B两点的坐标，再由三角形的面积公式即可得出结论； （3）直接观察函数图像即可得出结论． 【详解】（1）解：∵将点 代入， 得， 解得， 将点代入， 得， 解得， 这两个函数的解析式分别为和； （2）解：∵在中， 令，得， ， 在中， 令，得， ， ， （3） ； 解：由函数图像可知，当时，． 题型10一次函数的分配方案问题 1．已知某租车公司有A，B两种租车方案：A方案为先支付500元，再按每千米元收费；B方案直接按每千米1元收费，已知小明租车花费了800元，若他使用的是最优租车方案，则他的行驶里程是（　　） A．600千米 B．700千米 C．800千米 D．900千米 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，设小明行驶里程是x千米，需要花费y元，分别列出A方案和B方案的费用，分别求出选择A方案和B方案行驶的里程，进而可判断出最优方案． 【详解】解：设小明行驶里程是x千米，需要花费y元， A方案：一共需要花费：， B方案∶ 一共需要花费：， 若选择A方案，，解得：， 若选择B方案，得， 由于，则选择B方案是最优租车方案，行驶里程为800千米， 故选：C． 2．某通信公司实行的部分套餐资费标准如下： 套餐类型 月费 （元/月） 套餐内包含内容 套餐外资费 国内数据流量（MB） 国内主叫（分钟） 国内流量 国内主叫 套餐1 18 100 0 0．29元/MB 0．19元/分钟 套餐2 28 100 50 套餐3 38 300 50 套餐4 48 500 50 小明每月大约使用国内数据流量200MB，国内主叫200分钟，若想使每月付费最少，则他应预定的套餐是（    ） A．套餐1 B．套餐2 C．套餐3 D．套餐4 【答案】C 【分析】根据付费情况分别计算出四个套餐下，使用国内数据流量200MB，国内主叫200分钟时应付的费用，然后进行比较即可得出答案. 【详解】A．    套餐1：（元）； B．    套餐2：（元）； C．    套餐3：（元）； D．    套餐4：（元）； 85.5>85>76.5>66.5，套餐3付费最少. 故选C. 【点睛】每个套餐应付费用为基础月费+超出套餐流量产生费用+超出国内主叫分钟产生费用. 3．西宁将丁香定为市花，是这座城市同丁香的精神共鸣——坚韧、顽强、浪漫．某小区物业计划购买白丁香、紫丁香两个品种的丁香，用于美化小区．若购买12株白丁香和7株紫丁香共1160元；购买9株白丁香和14株紫丁香共1570元． (1)求白丁香和紫丁香的单价分别是多少？ (2)该小区物业计划购买白丁香和紫丁香共45株，其中紫丁香至少购买20株，怎样购买总费用最少？最少费用为多少元？ 【答案】(1)50元；80元 (2)购买紫丁香20株，白丁香25株；2850元 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，一次函数的实际应用，正确地列出方程组和一次函数关系式是解题的关键： （1）设白丁香的单价为x元，紫丁香的单价为y元，根据买12株白丁香和7株紫丁香共1160元；购买9株白丁香和14株紫丁香共1570元，列出方程组进行计算即可； （2）设购买紫丁香m株，总费用为w元，列出一次函数关系式，利用一次函数的性质求最值即可． 【详解】（1）解：设白丁香的单价为x元，紫丁香的单价为y元． 根据题意，列方程组 解方程组得； 答：白丁香的单价为50元，紫丁香的单价为80元； （2）解：设购买紫丁香m株，则购买白丁香株，总费用为w元． 根据题意， ∵ ∴w随m的增大而增大 又∵， ∴当时，． 答：购买紫丁香20株，白丁香25株时，总费用最少，最少费用为2850元． 4．某公司要将总重量为的货物运送到距公司分别为和的A地和B地，公司拥有甲，乙两种型号车辆共辆，车辆的信息如下表： 车辆型号 装载量 每百千米油耗 甲 t 升 乙 8 t 升 (1)若每辆车都满载且刚好将货物运完，则公司拥有甲，乙两种型号的车辆各多少辆？ (2)在（1）的条件下，现公司将辆车派往A地，其中甲种车辆m辆，其余车辆派往B地，且运往A地的货物不得多于，公司该如何分派车辆才能使油耗最少？最少油耗多少升？ 【答案】(1)甲辆，乙辆 (2)当派往A地甲车5辆，乙车7辆，派往B地甲车9辆，乙车3辆时，油耗最少，最少为升 【分析】本题考查二元一次方程组，一次函数的性质，一元一次不等式，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）设甲种车辆有辆，乙种车辆有辆，根据表格找到两个等量关系，列出方程组求解即可； （2）根据题意求出m的取值范围为，设总油耗升，然后写出关于的函数关系式，利用一次函数的性质求出的最小值即可． 【详解】（1）解：设甲种车辆有辆，乙种车辆有辆， 根据题意， ， 解得， 则甲种车辆辆，乙种车辆辆； （2）设总油耗升， 已知派往A地的甲车m辆，则派往A地的乙车辆， 根据题意需满足∶ 解得 又∵乙车总数辆，而需辆车派往A地， ， ∴m的取值范围为， 油耗计算∶ A地∶甲车每辆油耗升，乙车每辆油耗升， B地∶甲车每辆油耗升，乙车每辆油耗升， ∴， ， 随增大而减小， ∴当最大为5时，最小， 升， ∴当派往A地甲车5辆，乙车7辆，派往B地甲车9辆，乙车3辆时，油耗最少，最少为升． 题型11一次函数的最大利润问题 1．某公司新产品上市30天全部售完．图1表示产品的市场日销售量与上市时间之间的关系，图2表示单件产品的销售利润与上市时间之间的关系，下列四个结论中错误的是（　　） A．第30天该产品的市场日销售量最大 B．第20天至30天该产品的单件产品的销售利润最大 C．第20天该产品的日销售总利润最大 D．第20天至30天该产品的日销售总利润逐日增多 【答案】C 【分析】从图1和图2中可知，当时，日销售量达到最大，所以根据日销售利润=日销售量每件产品的销售利润即可求解． 【详解】由图1知，当天数时，市场日销售量达到60件：从图2知，当天数时，每件产品销售利润达到最大30元．销售总利润为：（元）． A：从图1，可以看出当时，市场日销售量最大，选项正确，不符合题意； B：从图2，可以看出第20天至30天该产品单件销售利润相同，都达到最大值30元，选项正确，不符合题意； C：当时，日销售量低于时的日销售量，但单件销售利润相同，所以当天数为30时，销售利润最大，选项错误，符合题意； D：从图2中可以看出，第20天至30天该产品单件销售利润相同，从图一看出，日销售量逐日增加，成正比例函数关系，所以日销售利润逐日增加，选项正确，不符合题意； 故答案为：C 【点睛】本题考查的一次函数变量之间的实际应用，通过观察图形，结合相关数据处理实际问题，利用数形结合是解决问题的关键． 2．炎炎夏日，清凉爽口的西瓜是最受欢迎的水果之一．某大型超市每天从当地的西瓜种植基地购进甲、乙两种西瓜共600千克．根据以往的销售经验，甲种西瓜的进货量不低于乙种西瓜的进货量，但不能超过乙种西瓜进货量的3倍．若甲种西瓜每千克获利1.2元，乙种西瓜每千克获利1.4元，则该超市每天能获得的最大利润是_______元． 【答案】780 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，一元一次不等式组的应用， 设购进甲种西瓜x千克，可知乙种西瓜为千克，再根据不等式关系得，进而得出取值范围，然后根据利润得出一次函数，最后结合自变量取值范围讨论最大值即可． 【详解】解：设购进甲种西瓜x千克，可知乙种西瓜为千克，每天获得利润为y元，根据题意，得 ， 解得，且． ∵， ∴函数值y随着x的增大而减小， 即当时，（元）． 所以该超市每天获得的最大利润是780元． 故答案为：780． 3．在月份，某地的蔬菜批发市场指导菜农生产和销售某种蔬菜，并向他们提供了这种蔬菜每千克售价与每千克成本的信息如图所示，则出售该种蔬菜每千克利润最大的月份可能是_____月． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数和二次函数的应用，要注意需先根据图中得出两个函数解析式，然后再表示出收益与月份的函数式，再求解．先根据图中的信息用待定系数法表示出每千克售价的一次函数以及每千克成本的二次函数，然后每千克收益每千克售价每千克成本，得出关于收益和月份的函数关系式，根据函数的性质得出收益的最值以及相应的月份． 【详解】解：设月份出售时，每千克售价为元，每千克成本为元， 根据图像，设， ， ， ， 根据图像，设， ， ， ， ， ， ， ， 故当时，有最大值， 故答案为： 4．据灯塔专业版数据，截至2025年2月18日，《哪吒之魔童闹海》总票房达123.2亿元，登顶全球动画电影票房榜，是亚洲首部票房过百亿的影片，并创造了全球单一电影市场最高票房纪录．该片来源于哪吒闹海的传统故事，但又重塑了全新的“魔童”哪吒形象：表面吊儿郎当，实则勇敢坚毅，强烈反差引发情感共鸣；“我命由我不由天”的不屈精神，让观众泪目．为满足儿童对哪吒的喜爱，某玩具店决定各用300元购进了、两种哪吒玩偶．已知一个种哪吒玩偶是一个种玩偶价格的2倍，且购进两种玩偶的数量共15个． (1)求购进、两种哪吒玩偶的单价各是多少元？ (2)因销售效果不错，该玩具店决定再次购进、两种哪吒玩偶共80个，且种哪吒玩偶的数量不多于种哪吒玩偶数量的2倍，问此次购进最少要花多少钱？ 【答案】(1)A种哪吒玩偶单价是30元，B种哪吒玩偶单价是60元 (2)此次购进至少要花元钱 【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用． （1）设购进A种哪吒玩偶的单价是x元，则购进B种哪吒玩偶的单价是元，利用数量=总价÷单价，结合购进两种玩偶的数量共15个，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出x的值（即购进A种哪吒玩偶的单价），再将其代入中，即可求出购进B种哪吒玩偶的单价； （2）设购进A种哪吒玩偶个，则购进B种哪吒玩偶个，根据购进A种哪吒玩偶的数量不多于B种哪吒玩偶数量的2倍，可列出关于a的一元一次不等式，解之可得出a的取值范围，设该玩具店再次购进A、B两种哪吒玩偶共花费w元，利用总价=单价×数量，可找出w关于a的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题． 【详解】（1）解：设A种哪吒玩偶的单价为元，则B种哪吒玩偶的单价为元． 根据题意，得： 解得： 经检验：是原分式方程的解 B种：元 答：A种哪吒玩偶单价是30元，B种哪吒玩偶单价是60元． （2）解：设购进A种哪吒玩偶个，则购进B种哪吒玩偶个 根据题意，得： 解得： 设该玩具店再次购进A、B两种哪吒玩偶共花费w元， 花费 整理，得： ∵，当时，随的增大而减小 ∴当时，取得最小值，最小值元 答：此次购进至少要花元钱． 题型12一次函数的行程问题 1．甲、乙两人从地分别驾车前往地，、两地距离．甲因临时处理事务，比乙晚小时出发，两人都匀速行驶，甲、乙两人距B地的距离（单位：）与乙行驶时间（单位：）的关系如图所示，甲的行驶速度为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的应用．利用待定系数法求得乙所在直线的解析式，求得点，据此求解即可． 【详解】解：设乙所在直线的解析式为， ∵乙过点和， ∴， 解得， ∴乙所在直线的解析式为， 设甲所在直线、乙所在直线交于点， ∵， ∴， ∴点， ∴甲的行驶速度为， 故选：B． 2．为了参加2025“奔跑江淮”和美乡村健康跑（庐江冶父山站），大龙和小磊赛前每周六同时从甲地到相距6000米的乙地匀速往返跑（中途不休息），已知大龙的速度比小磊的速度快．如图中的折线表示前两次相遇，两人的距离y（米）与跑步时间x（分）之间的函数关系的图象，下列结论错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】A．分别根据速度路程时间求出两人的速度，当时，计算两人的路程之差即可； B．当时，小磊刚好到达乙地，此时大龙已在返回的途中，求出此时大龙离开乙地的距离即可； C．二人第一次相遇时路程之和等于甲、乙两地之间距离的2倍，据此列关于c的一元一次方程并求解即可； D．当时，小磊在返回甲地途中与大龙相遇，此时大龙第二次从甲地出发前往乙地途中，此时二人的路程之和等于甲、乙两地之间距离的4倍，据此列关于d的一元一次方程并求解即可． 本题考查一次函数的应用，弄清二人跑步的过程，掌握时间、速度和路程之间的关系是解题的关键． 【详解】解：大龙的速度为（米/分），小磊的速度为（米/分）， （米）， ∴， ∴A正确，不符合题意； （米）， ∴， ∴B正确，不符合题意； 根据题意，得， 解得， ∴C错误，符合题意； 根据题意，得， 解得， ∴D正确，不符合题意． 故选：C． 3．A，B两地相距，甲、乙两人骑车同时分别从A，B两地相向而行．假设他们都保持匀速行驶，甲、乙两人各自到A地的距离与骑车时间的关系如图所示，则他们相遇时距离A地___________ ． 【答案】/ 【分析】本题属于一次函数的应用，熟练掌握待定系数法是关键； 设甲的函数图象为，乙的函数图象为，结合图形进而确定两函数解析式； 利用两函数解析式联立方程组，进而求得方程组的解即可． 【详解】解：由图可得，甲的函数图象为正比例函数，乙的函数图象为一次函数，与纵坐标轴的交点为， 设甲的函数图象为，乙的函数图象为， 则，， 解得，， 甲的函数图象为，乙的函数图象为， 联立， 解得 即他们相遇时距离A地． 故答案为：． 4．李华步行去离家1200米的学校上学，出发十分钟后爸爸发现李华的数学作业落在家里了，便骑车追赶李华，图中、分别表示了两人离家的路程（米）与李华出发时间（分钟）之间的关系．由图设的函数表达式为． (1)请求出，的函数表达式，并解释、实际含义； (2)请计算爸爸能否在李华到达学校前追上李华？ 【答案】(1)的函数表达式为，实际含义为李华步行的速度为米/分，的函数表达式为，实际含义为爸爸骑车的速度为米/分． (2)能追上 【分析】本题主要考查了函数图像、求函数解析式、一次函数的实际应用等知识点，从函数图像上获取所需信息是解题的关键． （1）根据速度等于路程除以时间并结合图像可得点A的实际意义，进而得出的函数关系式，利用待定系数法求得函数表达式，爸爸的骑车速度即可确定的实际意义； （2）先求得的函数表达式，与函数表达式联立求得相遇时间，再求出李华的行走距离，然后与1200比较即可解答． 【详解】（1）解：由题意设的表达式为， ∵当时，， ，解得：， ∴的表达式为，实际含义为李华步行的速度为米/分， 由题意设的表达式为， ∵当时，；当时，． ∴，解得：， ∴的表达式为，实际含义为爸爸骑车的速度为米/分． （2）解：当时，解得：， 把代入，得：， ， ∴能追上． 题型13一次函数的梯度计价问题 1．市自来水公司为鼓励居民节约用水，采取月用水量分段收费办法，某户居民应交水费（元）与用水量（吨）的函数关系如图所示．若该用户本月用水18吨，则应交水费（   ） A．元 B．45元 C．元 D．48元 【答案】C 【分析】分和，求得解析式，根据自变量的范围，选择解析式后代入计算解答即可． 本题考查了一次函数的应用，熟练掌握待定系数法，求函数值是解题的关键． 【详解】解：当时，设解析式为， 把代入解析式，得， 解得， 故解析式为 当时，设直线的解析式为，代入，， 得， 解得， 直线的解析式为， ， 故， 故选：C． 2．为鼓励居民合理用电，广东某市电力公司对居民用户采取分月用电量分档收费办法（按夏季和非夏季区分），下表1是某户居民某月电费发票的部分信息： 表1                                                      表2 ××居民电费专用发票 （非夏季标准：1~4月、11~12月） x 0 y 0 m 计费期限：一个月    用电量x（度） 电价（元/度） 第一档： 第二档： 第三档： 本月实付金额：（元） （大写）壹佰叁拾叁元零角 根据以上提供的信息解答下列问题： (1)如果月用电量用x（度）来表示，实付金额用y（元）来表示，则当时，y与x之间的函数关系式为 ． (2)根据（1）中函数关系式，列出y与x的几组对应值（如表2），其中 ，并在平面直角坐标系中，根据表2中的数值描点，在图3中画出该函数的图象． (3)当时，y与x之间的函数关系式为 ；根据表中该用户的本月实付金额，计算该用户本月的实际用电量为 度． 【答案】(1) (2)，图象见解析 (3)， 【分析】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是要根据用电量的多少分阶梯求出实付电费与用电量之间的函数关系． （1）当时，根据表中数据，可得到y与x的函数关系式； （2）根据解析式求出m的值，再根据表2中的数值描点，连线画出函数图象；； （3）当时，成一次函数关系，实付金额等于度内的用电付出金额与超出度的用电付出金额的和，然后即可得到y与x的函数关系式；先计算出元的用电量超出度，然后把实付金额代入函数关系式进行计算即可得解． 【详解】（1）解：依题意得，当时， y与x之间的函数关系式为． 故答案为：． （2）解：由（1）知，当时，． 故答案为∶； 描点，连线画出函数图象∶ （3）解：当时，； 当时，， 解得． 该用户本月的实际用电量为度． 故答案为∶；． 3．某社区推出智能可回收垃圾投放箱，居民投放可回收物，可以赚取积分兑换生活用品．为了鼓励居民积极投放，超过一定投放质量后，奖励积分升级．其中塑料与纸张的奖励积分（分）与投放质量的函数关系如图所示，已知投放纸张超过后，奖励积分为分，规定积分满分，可以兑换智能扫地机器人一台． (1)求投放塑料的奖励积分； (2)求的值； (3)若投放的塑料的奖励积分是投放相同质量纸张的奖励积分的 倍，求一次性投放塑料和纸张所获得的积分和，可以兑换到智能扫地机器人吗？通过计算说明． 【答案】(1)； (2)； (3)能，理由见解析． 【分析】本题主要考查了一次函数的应用、分段函数的应用，解决本题的关键是根据图象找到因变量与自变量之间的关系． 用待定系数法求出一次函数的关系式为，把代入函数关系式中求值即可； 根据投放纸张超过后，奖励积分为分，从到增加了，可知； 因为获得的积分与投放的塑料与纸张的质量有关，所以应分当时，当时，当时，三种情况求解． 【详解】（1）解：设与的函数关系式为， 当时，， 当时，， ， 解得：， 与的函数关系式为， 当时，， 答：投放塑料的奖励积分分； （2）解：由图可知投放纸张奖励积分分， 投放纸张超过后，奖励积分为分， ， ； （3）解：当时， 投放的塑料的积分为分， 投放的纸张的积分为分， ， 不符合题意； 当时， 投放的塑料的积分为分， 投放的纸张的积分为分， 塑料的奖励积分是投放相同质量纸张的奖励积分的 倍， ， 解得：， 此时，分， ， 不能兑换扫地机器人； 当时， 投放的塑料的积分为分， 投放的纸张的积分为分， 塑料的奖励积分是投放相同质量纸张的奖励积分的 倍， ， 解得：， 此时，分， ， 能兑换智能扫地机器人． 4．今年雨水稀少，土地干旱，对我国多个地区产生显著影响为了加强居民的节约用水意识，某市制订了每月用水12吨以内（包括12吨）和用水12吨以上两种收费标准某用户每月应交水费y（元）与用水量x（吨）的函数图象如图所示． (1)若该用户每月用水量都超过12吨，求该用户每月应交水费y（元）与用水量x（吨）的函数表达式； (2)若该用户5月交水费63元，则该用户5月用了多少吨水？ 【答案】(1) (2)14.5吨 【分析】本题考查了一次函数的实际应用， （1）利用待定系数法求解即可； （2）将代入求解即可． 【详解】（1）根据题意，得当时，设该用户每月应交水费（元）与用水量（吨）的函数表达式为． 将点和点的坐标代入 得， 解得 当时，该用户每月应交水费（元）与用水量（吨）的函数表达式为． （2）当时，得． 解得． 答：该用户5月用了14.5吨水． 题型14一次函数的规律探究问题 1．如图，在平面直角坐标系中，函数的图象为直线，作点关于直线的对称点，将向右平移2个单位得到点；再作关于直线的对称点，将向右平移2个单位得到点；…则按此规律，所作出的点的坐标为（   ） A．B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了点的坐标规律探索，轴对称的性质，坐标与图形变化平移，一次函数的图象和性质，通过求出，，，，，进而得到规律当（k为正整数）时，，当时，，再由，即可求出答案． 【详解】解：如图所示， 设与直线l交于点C， ∵， ∴， ∵函数的图象为直线， ∴， 由轴对称的性质可得，， ∴， ∴， ∵将向右平移2个单位得到点， ∴， 同理可得， ∴，， ......， 以此类推，可知当（k为正整数）时，，当时，， ∵， ∴，即． 故选：D． 2．正方形，，，…按如图所示的方式放置，点，，，…和点，，，…分别在直线和轴上，则点的纵坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一次函数与几何综合和正方形性质，由题意可得出、的纵坐标相同，根据点，，，…在直线上和正方形性质，推出点，，，的坐标，根据坐标找出点的坐标规律为的坐标为，利用规律表示出的坐标，即可解题． 【详解】解：由题知，四边形为正方形， 轴，即、的纵坐标相同， 当时，，即， ，则， 当时，， 的坐标为， 同理可得的坐标为，的坐标为， 的坐标为， 的坐标为， 点的纵坐标是， 故选：B． 3．在学习一次函数、二次函数图象的平移时知道：将一次函数的图象向上平移1个单位得到的图象，将二次函数的图象向左平移2个单位得到的图象，若将反比例函数的图象向下平移4个单位，如图所示，则得到的图象对应的函数表达式是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数图象与几何变换、一次函数图象与几何变换，根据“上加下减”的平移法则即可解决问题． 【详解】解：由题知，将反比例函数的图象向下平移4个单位后，所得图象对应的函数表达式为， 故答案为：． 4．某中学数学兴趣小组对函数（是常数，）的性质进行了初步探究，部分过程如下，请你将其补充完整． (1)当时，探究函数的性质． 当时，函数化简为________；当时，函数化简为________； 请你画出的图象，并结合图象写出该函数的一条性质：_________；    (2)当时，探究函数的性质．你认为函数 与函数的图象有何关系，请把你的猜想写下来：_______； (3)已知函数的图象与轴交于两点（点在点的左侧），与轴交于点，若点的坐标是，则求的大小． 【答案】(1)， ；图象关于轴对称或，随的增大而减小或时， 随的增大而减小或有最小值（答案不唯一） (2)函数的图象是由向右平移个单位； (3)． 【分析】（1）根据绝对值的性质直接求解即可得到答案； 将代入解析式即可得到答案，根据表格描点用直线连接起来即可得到答案； （3）根据绝对值性质化简即可得到答案，根据解析式找点，描点用直线连接，图象比较即可得到答案； （4）根据绝对值性质化简函数解析式，结合一次函数性质直接写即可得到答案． 【详解】（1）当时，；当时，； 列表： 描点： 连线， 如图：    根据图象可知：图象关于轴对称或，随的增大而减小或时， 随的增大而减小或有最小值（答案不唯一）， 故答案为：图象关于轴对称或，随的增大而减小或时， 随的增大而减小或有最小值（答案不唯一）； （2）同上画出函数图象，如图，    函数的图象是由向右平移个单位， 故答案为：函数的图象是由向右平移个单位； （3）当时，，∴点， 当时，，解得：或，    ∴，， ∵，，， ∴，，， ∴， ∴是直角三角形， ∴． 【点睛】此题考查了一次函数图象上点的特征，掌握绝对值的意义及数形结合思想是解题的关键． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.2一次函数及其应用中考复习讲义 考点、考情分析 一、核心考点 1.概念与解析式：一次函数、正比例函数定义，自变量取值范围，待定系数法求解析式。 2.图象与性质：一次函数图象特征，k、b的几何意义及对图象的影响，象限判断。 3.图象变换：一次函数图象平移、对称变换规律及解析式求解。 4.与方程、不等式综合：利用函数图象求方程的解、不等式（组）的解集。 5.与几何综合：求直线交点、线段距离、图形面积及相关存在性问题。 6.实际应用：一次函数建模，解决行程、收费、方案选择等实际问题。 二、考情分析 中考总分约占比8–14分，覆盖选择、填空、解答三种题型：选择题、填空题侧重考查一次函数概念、图象性质、简单解析式求解，基础题，难度偏低；解答题必考1道核心题，多为解析式求解、实际应用建模，或与几何、方程不等式综合设问，中档题为主，部分地区作为压轴题前置小问。 题型归纳 题型1一次函数的定义 题型2正比例函数的图象与性质 题型3判断一次函数的图象 题型4根据一次函数解析式判断其经过的象限 题型5一次函数图象与坐标轴的交点问题 题型6根据一次函数的增减性判断自变量的变化情况 题型7一次函数与几何综合 题型8一次函数与方程（组）的关系 题型9一次函数与不等式（组）的关系 题型10一次函数的分配方案问题 题型11一次函数的最大利润问题 题型12一次函数的行程问题 题型13一次函数的梯度计价问题 题型14一次函数的规律探究问题 考点梳理 考点 一、一次函数的基础概念 1.一次函数的基础 正比例函数的定义：一般地，形如y=kx(k为常数，k≠0)的函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数. 一次函数的定义：一般地，形如y=kx+b(k,b是常数，k≠0)的函数，叫做一次函数. 一次函数的一般形式：y=kx+b(k≠0) 特征：k≠0；x的次数为1；常数b可以取任意实数. 2.待定系数法 待定系数法：先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知的系数，从而得出函数解析式的方法叫做待定系数法. 用待定系数法确定一次函数解析式的一般步骤： 设：设一次函数的解析式为y=kx+b(k≠0)； 列：将已知条件代入解析式，列出关于k、b的二元一次方程组； 解：解二元一次方程组，求出k、b； 代：将k、b的值代回所设的函数解析式中. 考点 二、一次函数、正比例函数的图像与性质 1.一次函数的图像：一次函数y=kx+b(k≠0)的图像是一条直线，通常也称直线y=kx+b. 2.正比例函数的图像：正比例函数y=kx(k≠0)的图像是经过原点（0，0）的一条直线. 3.k，b的符号与直线的关系 在直线中，令y=0，则x=，即直线与x轴交于 1）当时，即k，b异号时，直线与x轴交于正半轴． 2）当，即b=0时，直线经过原点． 3）当，即k，b同号时，直线与x轴交于负半轴． 4.正比例函数与一次函数图像的关系 图像关系：正比例函数的图像是经过原点的一条直线，一次函数的图像可由正比例函数的图像平移|b|个单位长度得到.（当b＞0时，向上平移；当b＜0时，向下平移） 常见的变换方式： 平移变换 平移方式（m＞0） 函数解析式 向上平移m个单位 向下平移m个单位 向左平移m个单位 向右平移m个单位 平移口诀：左加有减，上加下减. 对称变换 变换方式 变换后 关于x轴对称 关于y轴对称 关于原点对称 对称口诀：关于谁对称谁不变，关于原点对称都改变. 考点三、一次函数与方程（组）﹑不等式 1.一次函数与一元一次方程 从“数”上看：方程的解⇔函数中，y=0时对应的x的值 从“形”上看：方程的解⇔函数的图像与x轴交点的横坐标. 2.一次函数与二元一次方程组 从“数”的角度看：解二元一次方程组相当于考虑自变量为何值时，两个函数的值相等，以及这两个函数值是何值； 从“形”的角度看：解二元一次方程组相当于确定两条直线的交点坐标，一般地，如果一个二元一次方程组有唯一解，那么这个解就是方程组对应的两条直线的交点坐标. 3.一次函数与一元一次不等式 从“数”的角度看：解一元一次不等式就是寻求使一次函数的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围； 从“形”的角度看：就是确定直线在x轴上（或下）方部分的点的横坐标满足的条件. 利用解一元一次不等式可确定相应的函数值对应的自变量的取值范围，具体的对应关系如下： 不等式的解集直线在x轴上方的部分所对应的x的取值范围； 不等式的解集直线在x轴下方的部分所对应的x的取值范围； 不等式的解集直线在直线上方的部分所对应的x的取值范围； 不等式的解集直线在直线下方的部分所对应的x的取值范围. 考点 四、一次函数的应用 1．判断两个变量之间是不是一次函数关系的步骤： 通过实验、测量获得数量足够多的两个变量的对应值； 建立适当的平面直角坐标系，画出图像； 观察图像特征，判断函数的类型． 2.建立一次函数解析式的常用方法 根据基本的量之间存在的关系列函数解析式； 若题目中已明确给出两个变量的函数关系，则可用待定系数法求出函数解析式； 3.利用一次函数的图像解决实际问题的一般步骤： 观察图像，提取其中的有效信息，如横纵坐标代表的实际意义、关键点坐标等； 对获取的信息进行整理、加工，理清各数量之间的内在关联； 选择合适的数学工具：如一次函数解析式、方程、不等式等，通过建立数学模型解决实际问题。 核心考点解析 题型1一次函数的定义 1．若关于的函数是一次函数，则的值为（   ） A． B． C．1 D．2 2．如图，在平面直角坐标系中，点，点，若将直线向上平移d个单位长度后与线段有交点，则d的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．新定义：函数图象上任意一点，称为该点的“坐标差”，函数图像上所有点的“坐标差”的最大值称为该函数的“特征值”，一次函数（）的“特征值”是______． 4．书法是文字美的艺术表现形式，中国书法历史悠久，书体沿革流变，书法艺术异采迷人，是中国汉字特有的一种传统艺术．某校举办以“发扬艺术之光，传承书法风采”为主题的书法比赛活动，校团委计划购买某种标价为120元/套的书法套具，文具店老板给出了如下优惠条件：如果一次性购买不超过10套，单价为120元/套；如果一次性购买超过10套，那么每增加1套，购买的所有书法套具的单价每套降低5元，但单价不得低于60元/套．设校团委一次性购买书法套具x套，购买的实际单价为y元/套． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)当时，求校团委购买这些书法套具的实际付款总额． 题型2正比例函数的图象与性质 1．已知正比例函数的图象经过二、四象限，则一次函数的图象大致是（    ）． A． B． C． D． 2．已知点、在同一正比例函数的图象上，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 3．在平面直角坐标系中，点，，分别在三个不同的象限．若函数的图象经过其中两点，则m的值为______． 4．已知正比例函数． (1)若它的图象经过第二、四象限，求k的取值范围． (2)若点在它的图象上，求它的解析式． 题型3判断一次函数的图象 1．已知函数，则在此函数图象上的点是（　　） A． B． C． D． 2．已知一次函数的图象经过点，则（   ） A．3 B．4 C．6 D．7 3．定义：横、纵坐标都是整数的点叫做整点．当二次函数的图象与直线（a为常数）围成的封闭区域内（不包含边界）只有2个整点时，则a的取值范围是______． 4．化简求值：，其中在一次函数的图象上． 题型4根据一次函数解析式判断其经过的象限 1．一次函数的图像大致是（   ） A．B．C． D． 2．关于函数，下列结论正确的是（   ） A．图象必经过点 B．图象与轴的交点为 C．函数值随的增大而增大 D．图象经过第二、三、四象限 3．已知直线经过点且不经过第三象限，那么关于的不等式的解集是______． 4．已知，其中． (1)化简并选择其中符合条件的一个整数作为的值代入求出的值； (2)请绘制在平面直角坐标系中的图像，并直接判断是否经过第二象限． 题型5一次函数图象与坐标轴的交点问题 1．若直线与两坐标轴所围成的三角形的面积为6，则的值为（   ） A．6 B． C． D． 2．直线与x轴的交点坐标是（    ） A． B． C． D． 3．如图，直线与抛物线相交于、两点，若，则的值为______．    4．如图，直线与直线交于点，交x轴于点B，直线分别与x轴、y轴交于点C、，连接． (1)求k、b的值； (2)点是线段上的一动点，点是点P关于y轴的对称点，当在内部时（不含边界），求m的取值范围． 题型6根据一次函数的增减性判断自变量的变化情况 1．已知一次函数的图象如图，则下列说法正确的是（    ） A． B．当时， C．函数值y随自变量x的增大而减小 D．图象与y轴交于点 2．已知，，，为直线上的三个点，且，则以下判断正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 3．已知一次函数，当时，的最大值是，则的最小值是______． 4．如图，已知直线经过点，直线． (1)求直线的解析式；并判断点是否在直线上？ (2)若，直线与x轴交于点C，直线与交于点P． ①点P的坐标为________． ②求面积． (3)直线上有两点、，若直线与线段有交点，直接写出k的取值范围． 题型7一次函数与几何综合 1．在平面直角坐标系中，将点沿箭头方向按如图所示规律移动，当点首次位于y轴上时，停止移动．关于甲、乙两位同学的说法，下列判断正确的是（　　） 甲：点的坐标为； 乙：若在直线两侧的点（点）的个数相等，则k的取值范围为． A．只有甲对 B．只有乙对 C．甲、乙都对 D．甲、乙都不对 2．如图，在直角坐标系中，一次函数的图象与x轴、y轴分别相交于点A，B，与正比例函数的图象相交于点C，点C的纵坐标为2．若点D在y轴上，且满足，则点D的坐标为（    ） A．或B． C． D．或 3．在平面直角坐标系中，以点为圆心，为半径作．直线与交于两点，则的最小值为____________． 4．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，其中点、点的横坐标分别是和3． (1)当时，直接写出的取值范围； (2)求出一次函数和反比例函数的表达式； (3)将直线向左平移2个单位长度，与反比例函数在第一象限的图象交于点，求的面积． 题型8一次函数与方程（组）的关系 1．如图，已知一次函数的图象分别与、轴交于、两点，若，，则关于的方程的解为（   ） A． B． C． D． 2．如图，直线与坐标轴分别交于两点，为坐标原点，则的面积为（   ） A．8 B．4 C．2 D．1 3．一次函数与坐标轴围成的三角形的面积为2，则k的值为_____． 4．在同一直角坐标系中，一次函数，的图像如图所示，则方程组的解为________． 题型9一次函数与不等式（组）的关系 1．已知一次函数b(k、b为常数)的图象如图所示，那么关于x的不等式的解集是（　　） A． B． C． D． 2．如图，直线与相交于点，则不等式的解集是（　　） A． B． C． D． 3．一次函数的图像经过点(1，0)．当y>0时，x的取值范围是__________． 4．如图，已知函数和的图像交于点，这两个函数的图像与轴分别交于点、． (1)分别求出这两个函数的解析式； (2)求的面积； (3)请根据图像直接写出不等式的解集． 题型10一次函数的分配方案问题 1．已知某租车公司有A，B两种租车方案：A方案为先支付500元，再按每千米元收费；B方案直接按每千米1元收费，已知小明租车花费了800元，若他使用的是最优租车方案，则他的行驶里程是（　　） A．600千米 B．700千米 C．800千米 D．900千米 2．某通信公司实行的部分套餐资费标准如下： 套餐类型 月费 （元/月） 套餐内包含内容 套餐外资费 国内数据流量（MB） 国内主叫（分钟） 国内流量 国内主叫 套餐1 18 100 0 0．29元/MB 0．19元/分钟 套餐2 28 100 50 套餐3 38 300 50 套餐4 48 500 50 小明每月大约使用国内数据流量200MB，国内主叫200分钟，若想使每月付费最少，则他应预定的套餐是（    ） A．套餐1 B．套餐2 C．套餐3 D．套餐4 3．西宁将丁香定为市花，是这座城市同丁香的精神共鸣——坚韧、顽强、浪漫．某小区物业计划购买白丁香、紫丁香两个品种的丁香，用于美化小区．若购买12株白丁香和7株紫丁香共1160元；购买9株白丁香和14株紫丁香共1570元． (1)求白丁香和紫丁香的单价分别是多少？ (2)该小区物业计划购买白丁香和紫丁香共45株，其中紫丁香至少购买20株，怎样购买总费用最少？最少费用为多少元？ 4．某公司要将总重量为的货物运送到距公司分别为和的A地和B地，公司拥有甲，乙两种型号车辆共辆，车辆的信息如下表： 车辆型号 装载量 每百千米油耗 甲 t 升 乙 8 t 升 (1)若每辆车都满载且刚好将货物运完，则公司拥有甲，乙两种型号的车辆各多少辆？ (2)在（1）的条件下，现公司将辆车派往A地，其中甲种车辆m辆，其余车辆派往B地，且运往A地的货物不得多于，公司该如何分派车辆才能使油耗最少？最少油耗多少升？ 题型11一次函数的最大利润问题 1．某公司新产品上市30天全部售完．图1表示产品的市场日销售量与上市时间之间的关系，图2表示单件产品的销售利润与上市时间之间的关系，下列四个结论中错误的是（　　） A．第30天该产品的市场日销售量最大 B．第20天至30天该产品的单件产品的销售利润最大 C．第20天该产品的日销售总利润最大 D．第20天至30天该产品的日销售总利润逐日增多 2．炎炎夏日，清凉爽口的西瓜是最受欢迎的水果之一．某大型超市每天从当地的西瓜种植基地购进甲、乙两种西瓜共600千克．根据以往的销售经验，甲种西瓜的进货量不低于乙种西瓜的进货量，但不能超过乙种西瓜进货量的3倍．若甲种西瓜每千克获利1.2元，乙种西瓜每千克获利1.4元，则该超市每天能获得的最大利润是_______元． 3．在月份，某地的蔬菜批发市场指导菜农生产和销售某种蔬菜，并向他们提供了这种蔬菜每千克售价与每千克成本的信息如图所示，则出售该种蔬菜每千克利润最大的月份可能是_____月． 4．据灯塔专业版数据，截至2025年2月18日，《哪吒之魔童闹海》总票房达123.2亿元，登顶全球动画电影票房榜，是亚洲首部票房过百亿的影片，并创造了全球单一电影市场最高票房纪录．该片来源于哪吒闹海的传统故事，但又重塑了全新的“魔童”哪吒形象：表面吊儿郎当，实则勇敢坚毅，强烈反差引发情感共鸣；“我命由我不由天”的不屈精神，让观众泪目．为满足儿童对哪吒的喜爱，某玩具店决定各用300元购进了、两种哪吒玩偶．已知一个种哪吒玩偶是一个种玩偶价格的2倍，且购进两种玩偶的数量共15个． (1)求购进、两种哪吒玩偶的单价各是多少元？ (2)因销售效果不错，该玩具店决定再次购进、两种哪吒玩偶共80个，且种哪吒玩偶的数量不多于种哪吒玩偶数量的2倍，问此次购进最少要花多少钱？ 题型12一次函数的行程问题 1．甲、乙两人从地分别驾车前往地，、两地距离．甲因临时处理事务，比乙晚小时出发，两人都匀速行驶，甲、乙两人距B地的距离（单位：）与乙行驶时间（单位：）的关系如图所示，甲的行驶速度为（   ） A． B． C． D． 2．为了参加2025“奔跑江淮”和美乡村健康跑（庐江冶父山站），大龙和小磊赛前每周六同时从甲地到相距6000米的乙地匀速往返跑（中途不休息），已知大龙的速度比小磊的速度快．如图中的折线表示前两次相遇，两人的距离y（米）与跑步时间x（分）之间的函数关系的图象，下列结论错误的是（　　） A． B． C． D． 3．A，B两地相距，甲、乙两人骑车同时分别从A，B两地相向而行．假设他们都保持匀速行驶，甲、乙两人各自到A地的距离与骑车时间的关系如图所示，则他们相遇时距离A地___________ ． 4．李华步行去离家1200米的学校上学，出发十分钟后爸爸发现李华的数学作业落在家里了，便骑车追赶李华，图中、分别表示了两人离家的路程（米）与李华出发时间（分钟）之间的关系．由图设的函数表达式为． (1)请求出，的函数表达式，并解释、实际含义； (2)请计算爸爸能否在李华到达学校前追上李华？ 题型13一次函数的梯度计价问题 1．市自来水公司为鼓励居民节约用水，采取月用水量分段收费办法，某户居民应交水费（元）与用水量（吨）的函数关系如图所示．若该用户本月用水18吨，则应交水费（   ） A．元 B．45元 C．元 D．48元 2．为鼓励居民合理用电，广东某市电力公司对居民用户采取分月用电量分档收费办法（按夏季和非夏季区分），下表1是某户居民某月电费发票的部分信息： 表1                                                      表2 ××居民电费专用发票 （非夏季标准：1~4月、11~12月） x 0 y 0 m 计费期限：一个月    用电量x（度） 电价（元/度） 第一档： 第二档： 第三档： 本月实付金额：（元） （大写）壹佰叁拾叁元零角 根据以上提供的信息解答下列问题： (1)如果月用电量用x（度）来表示，实付金额用y（元）来表示，则当时，y与x之间的函数关系式为 ． (2)根据（1）中函数关系式，列出y与x的几组对应值（如表2），其中 ，并在平面直角坐标系中，根据表2中的数值描点，在图3中画出该函数的图象． (3)当时，y与x之间的函数关系式为 ；根据表中该用户的本月实付金额，计算该用户本月的实际用电量为 度． 3．某社区推出智能可回收垃圾投放箱，居民投放可回收物，可以赚取积分兑换生活用品．为了鼓励居民积极投放，超过一定投放质量后，奖励积分升级．其中塑料与纸张的奖励积分（分）与投放质量的函数关系如图所示，已知投放纸张超过后，奖励积分为分，规定积分满分，可以兑换智能扫地机器人一台． (1)求投放塑料的奖励积分； (2)求的值； (3)若投放的塑料的奖励积分是投放相同质量纸张的奖励积分的 倍，求一次性投放塑料和纸张所获得的积分和，可以兑换到智能扫地机器人吗？通过计算说明． 4．今年雨水稀少，土地干旱，对我国多个地区产生显著影响为了加强居民的节约用水意识，某市制订了每月用水12吨以内（包括12吨）和用水12吨以上两种收费标准某用户每月应交水费y（元）与用水量x（吨）的函数图象如图所示． (1)若该用户每月用水量都超过12吨，求该用户每月应交水费y（元）与用水量x（吨）的函数表达式； (2)若该用户5月交水费63元，则该用户5月用了多少吨水？ 题型14一次函数的规律探究问题 1．如图，在平面直角坐标系中，函数的图象为直线，作点关于直线的对称点，将向右平移2个单位得到点；再作关于直线的对称点，将向右平移2个单位得到点；…则按此规律，所作出的点的坐标为（   ） A．B． C． D． 2．正方形，，，…按如图所示的方式放置，点，，，…和点，，，…分别在直线和轴上，则点的纵坐标是（    ） A． B． C． D． 3．在学习一次函数、二次函数图象的平移时知道：将一次函数的图象向上平移1个单位得到的图象，将二次函数的图象向左平移2个单位得到的图象，若将反比例函数的图象向下平移4个单位，如图所示，则得到的图象对应的函数表达式是______． 4．某中学数学兴趣小组对函数（是常数，）的性质进行了初步探究，部分过程如下，请你将其补充完整． (1)当时，探究函数的性质． 当时，函数化简为________；当时，函数化简为________； 请你画出的图象，并结合图象写出该函数的一条性质：_________；    (2)当时，探究函数的性质．你认为函数 与函数的图象有何关系，请把你的猜想写下来：_______； (3)已知函数的图象与轴交于两点（点在点的左侧），与轴交于点，若点的坐标是，则求的大小． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $