专题26 概率的简单性质-北师大版《数学》基础模块下册《同步必备知识清单》（原卷版+解析版）

专题26 概率的简单性质 一、知识梳理 1. 互斥事件 定义：在一次试验中，不可能同时发生的两个事件称为互斥事件。 判断：事件与互斥。 2. 对立事件 定义：一次试验中不能同时发生，且必有一个发生的两个事件，互为对立事件。 判断：事件与对立且（全集）。 关系：对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件。 3. 概率的基本性质 1　 对任意事件，有。 2　 必然事件概率，不可能事件概率。 3　 若、互斥，则（互斥事件加法公式）。 4　 若与对立，则（对立事件概率公式）。 4. 相互独立事件 定义：事件是否发生对事件发生的概率没有影响，称、相互独立。 公式：若、独立，则。 2、 题型精练 题型1 互斥事件与对立事件的判断 [典例 1] 抛掷一枚骰子，判断下列事件是否互斥、对立： ①“出现奇数点” 与 “出现偶数点”；②“出现 2 点” 与 “出现奇数点”。 题型 2 互斥事件的概率加法公式 [典例 2] 事件、互斥，，，求。 题型 3 对立事件的概率计算 [典例 3]，求。 题型 4 相互独立事件的概率计算 [典例 4] 、独立，，，求。 题型 5 “至少”“至多” 型概率（对立事件简化） [典例 5] 甲、乙独立，甲及格概率，乙及格概率，求至少一人及格概率。 3、 知识检测 1．一批产品共7件，其中5件正品，2件次品，从中随机抽取2件，下列两个事件互斥的是（    ） A．“恰有2件次品”和“恰有1件次品” B．“恰有1件次品”和“至少1件次品” C．“至多1件次品”和“恰有1件次品” D．“恰有1件正品”和“恰有1件次品” 2．将一枚均匀硬币连抛2次，则所有等可能的结果是（　　） A．（正反），（正正），（反反） B．（正反），（反正） C．（正反），（正正），（反反），（反正） D．（正正），（反反） 3．甲乙两人下棋，乙胜概率是，甲乙和棋的概率是，则下列说法正确的是（   ） A．甲获胜概率是 B．甲不输的概率是 C．乙输的概率是 D．乙不输的概率是 4．抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A=“第一枚硬币正面朝上”，事件B=“第二枚硬币正面朝上”.下列结论正确的是（    ） A．A与B互为对立事件 B．A与B互斥 C．A与B相等 D．P(A)=P(B) 5．，则是（    ） A． B． C． D．1 6．某产品分为一等品、二等品和三等品三个等级，若生产中出现二等品的概率为，三等品的概率为，则对该产品进行抽查时，抽到一等品的概率为（    ） A． B． C． D． 7．若事件A与事件B互斥，且，，则（   ） A．0.3 B．0.4 C．1 D．0.7 8．抛掷一粒骰子，观察掷出的点数，设事件为出现偶数，事件为出现3点，已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 9．从装有3个红球和4个白球的口袋中任取2个小球，则下列选项中两个事件是互斥事件的是（   ） A．“都是红球”和“至少一个红球” B．“恰有一个红球”和“至少一个白球” C．“至少一个白球”和“至多一个红球” D．“都是红球”和“至少一个白球” 10．抛掷一颗骰子，点数大于3或是奇数的概率（    ）. A． B． C． D． 11．甲、乙两人比赛下中国象棋，若甲获胜的概率是，两人下成和棋的概率是，则甲不输的概率是（    ） A． B． C． D． 12．如果事件A与B是互斥事件且事件的概率是0.8，事件A的概率是事件B的概率的3倍，则事件B的概率是（   ） A．0.4 B．0.6 C．0.8 D．0.2 13．某同学做对某套试卷中每一个选择题的概率都为，则他连续做对第一题和第二题的概率是（　　） A． B． C． D． 14．甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是0.5，乙获胜的概率是0.3，则甲获胜的概率是（    ） A．0.7 B．0.8 C．0.2 D．0.3 15．下列选项中，两个事件为互斥事件的是（   ）． A．某班统计数学考试成绩，事件{成绩不低于90分}与事件{成绩不高于90分} B．运动员射击一次，事件{命中环数不大于6}与事件{命中环数小于6} C．从数字1，2，3中抽取两个数字．事件{抽取到1,2}与事件{抽取的数字有1} D．抛掷一颗骰子，事件{向上的一面出现偶数点}与事件{向上的一面出现3点} 16．已知独立，若，则_____． 17．从一副扑克牌（去掉大、小王，共52张）中随机选取一张，给出如下四组事件： ①“这张牌是红心”与“这张牌是方块”； ②“这张牌是红色牌”与“这张牌是黑色牌”； ③“这张牌牌面是2，3，4，6，10之一”与“这张牌是是方块”； ④“这张牌牌面是2，3，4，5，6，7，8，9，10之一”与“这张牌牌面是A，K，Q，J之一”. 其中互为对立事件的有______________.（写出所有正确的编号） 18．一个口袋中有若干大小相同的红球、黄球和蓝球，从中摸出一只球．摸出红球的概率为0.48，摸出黄球的概率为0.35，则摸出蓝球的概率为_____. 19．已知在一次随机试验E中，定义两个随机事件A，B，且，，，则________. 20．暑假期间，甲外出旅游的概率是0.5，乙外出旅游的概率是0.4，假定甲乙两人的行动相互之间没有影响，则暑假期间甲乙中至少有一人外出旅游的概率是______. 21．在数学考试中，小明的成绩在90分以上的概率是0.18，在分的概率是0.51，在分的概率是0.15，在分的概率是0.09，60分以下的概率是0.07.计算： (1)小明在数学考试中取得80分以上成绩的概率； (2)小明考试及格的概率． 22．一个袋子中装有标号分别为1，2的2个黑球和标号分别为的3个白球，这5个球除标号和颜色外，没有其他差异. (1)若有放回的从中随机摸两次，每次摸出一个球，求第一次摸出黑球且第二次摸出白球的概率； (2)若不放回的从中随机摸出两个球，已知黑球的标号用表示，白球的标号用表示.求满足条件的概率. 23．某县城有甲、乙两种报纸供居民订阅，记事件A为“只订甲报”，事件B为“至少订一种报”，事件C为“至多订一种报”，事件D为“不订甲报”，事件E为“一种报也不订”，判断下列事件是否为互斥事件，如果是，判断它们是否为对立事件． (1)A与C； (2)B与E； (3)B与D； (4)B与C； (5)C与E. 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题26 概率的简单性质 一、知识梳理 1. 互斥事件 定义：在一次试验中，不可能同时发生的两个事件称为互斥事件。 判断：事件与互斥。 2. 对立事件 定义：一次试验中不能同时发生，且必有一个发生的两个事件，互为对立事件。 判断：事件与对立且（全集）。 关系：对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件。 3. 概率的基本性质 1　 对任意事件，有。 2　 必然事件概率，不可能事件概率。 3　 若、互斥，则（互斥事件加法公式）。 4　 若与对立，则（对立事件概率公式）。 4. 相互独立事件 定义：事件是否发生对事件发生的概率没有影响，称、相互独立。 公式：若、独立，则。 2、 题型精练 题型1 互斥事件与对立事件的判断 [典例 1] 抛掷一枚骰子，判断下列事件是否互斥、对立： ①“出现奇数点” 与 “出现偶数点”；②“出现 2 点” 与 “出现奇数点”。 答案：①互斥且对立；②互斥但不对立。 分析：本题考查知识点.本题考查互斥事件、对立事件的定义与辨析知识点.。 详解：①不能同时发生且必有一个发生，互斥且对立；②不能同时发生，但还有其他可能，互斥不对立。 题型 2 互斥事件的概率加法公式 [典例 2] 事件、互斥，，，求。 答案： 分析：本题考查知识点.本题考查互斥事件概率加法公式知识点.。 详解：由互斥加法公式得。 题型 3 对立事件的概率计算 [典例 3]，求。 答案： 分析：本题考查知识点.本题考查对立事件概率公式知识点.。 详解：。 题型 4 相互独立事件的概率计算 [典例 4] 、独立，，，求。 答案： 分析：本题考查知识点.本题考查相互独立事件概率公式知识点.。 详解：。 题型 5 “至少”“至多” 型概率（对立事件简化） [典例 5] 甲、乙独立，甲及格概率，乙及格概率，求至少一人及格概率。 答案： 分析：本题考查知识点.本题考查对立事件、独立事件概率综合应用知识点.。 详解：先求都不及格概率，故至少一人及格。 3、 知识检测 1．一批产品共7件，其中5件正品，2件次品，从中随机抽取2件，下列两个事件互斥的是（    ） A．“恰有2件次品”和“恰有1件次品” B．“恰有1件次品”和“至少1件次品” C．“至多1件次品”和“恰有1件次品” D．“恰有1件正品”和“恰有1件次品” 答案：A 分析：本题考查判断所给事件是否是互斥关系知识点.根据互斥事件的概念分析. 详解：根据互斥事件的概念可知，A项正确． “至少1件次品”包含“两件次品”和“一件正品一件次品”，B项不正确． “至多1件次品”包含“一件正品一件次品”和“两件正品”，C项不正确． “恰有1件正品”和“恰有1件次品”是同一事件，D项不正确． 故选：A. 2．将一枚均匀硬币连抛2次，则所有等可能的结果是（　　） A．（正反），（正正），（反反） B．（正反），（反正） C．（正反），（正正），（反反），（反正） D．（正正），（反反） 答案：C 分析：本题考查生活中的概率、列举法表示集合知识点.根据每次抛硬币的结果情况，通过列举法得出抛2次硬币所有等可能的结果. 详解：将一枚均匀硬币连抛2次，则所有等可能的结果是（正反），（正正），（反反），（反正）， 故选：C． 3．甲乙两人下棋，乙胜概率是，甲乙和棋的概率是，则下列说法正确的是（   ） A．甲获胜概率是 B．甲不输的概率是 C．乙输的概率是 D．乙不输的概率是 答案：A 分析：本题考查利用对立事件的概率公式求概率、利用互斥事件的概率公式求概率知识点.利用互斥事件和对立事件的概率公式，逐项计算即可得出答案. 详解：对于选项A：设甲获胜为事件，“甲获胜”是“和棋或乙获胜”的对立事件， 所以“甲获胜”的概率，故A正确； 对于选项B：设甲不输为事件，“甲不输”是“甲胜”和“和棋”这两个互斥事件的并事件， 所以“甲不输”的概率，故B错误； 对于选项C：设乙输为事件C，“乙输”即为“甲赢”，则，故C错误； 对于选项D：设乙不输为事件D，“乙不输”是“乙输”的对立事件， 则，故D错误， 故选：A. 4．抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A=“第一枚硬币正面朝上”，事件B=“第二枚硬币正面朝上”.下列结论正确的是（    ） A．A与B互为对立事件 B．A与B互斥 C．A与B相等 D．P(A)=P(B) 答案：D 分析：本题考查确定所给事件的对立关系、确定所给事件的包含关系、计算古典概型问题的概率、判断所给事件是否是互斥关系知识点.先把抛掷两枚质地均匀的硬币的所有可能结果都罗列出来，然后再把事件A和事件B包含的可能结果找出来，然后根据事件对立、互斥、相等的定义即可判断ABC选项；对于D选项，只要根据古典概型的概率计算公式计算出事件A和事件B的概率即可判断. 详解：抛掷两枚质地均匀的硬币的所有可能结果有：（正，正），（正，反），（反，正），（反，反）4种结果， 事件A包含的结果有：（正，正），（正，反）2种，事件B包含的结果有：（正，正），（反，正）2种， 显然事件A和事件B都包含（正，正）这一结果，即事件A和事件B能同时发生， 所以事件A和事件B既不对立也不互斥，故选项A、B错误； 事件A和事件B中有不同的结果，所以事件A和事件B不相等，故选项C错误； 由古典概型得,所以,故选项D正确； 故选：D. 5．，则是（    ） A． B． C． D．1 答案：C 分析：本题考查利用对立事件的概率公式求概率知识点.根据对立事件概率的性质，即可求解. 详解：因为0.3，所以， 故选：C. 6．某产品分为一等品、二等品和三等品三个等级，若生产中出现二等品的概率为，三等品的概率为，则对该产品进行抽查时，抽到一等品的概率为（    ） A． B． C． D． 答案：A 分析：本题考查利用概率的加法公式计算古典概型的概率知识点.根据所有事件概率之和等于1即可. 详解：设抽到一等品的概率为 ，二等品概率为 ，三等品概率为 ， 则 ++=1 ，=0.92 ， 故选：A. 7．若事件A与事件B互斥，且，，则（   ） A．0.3 B．0.4 C．1 D．0.7 答案：B 分析：本题考查互斥事件的概率加法公式知识点.根据互斥事件的计算公式计算即可. 详解：因为事件A与事件B互斥， 且，， 所以， 故选：B. 8．抛掷一粒骰子，观察掷出的点数，设事件为出现偶数，事件为出现3点，已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 答案：D 分析：本题考查互斥事件的概率加法公式知识点.用互斥事件概率公式可求. 详解：事件A与事件B互斥事件， ； 故选：D. 9．从装有3个红球和4个白球的口袋中任取2个小球，则下列选项中两个事件是互斥事件的是（   ） A．“都是红球”和“至少一个红球” B．“恰有一个红球”和“至少一个白球” C．“至少一个白球”和“至多一个红球” D．“都是红球”和“至少一个白球” 答案：D 分析：本题考查判断所给事件是否是互斥关系知识点.根据互斥事件的概念判断选项即可. 详解：A：“至少一个红球”包含1个红球1个白球和2个红球这两种情况， 与“都是红球”可能同时发生，不是互斥事件，故A错误. B：“至少一个白球”包含1个红球1个白球和2个白球这两种情况， 与“恰有一个红球”可能同时发生，不是互斥事件，故B错误. C：“至少一个白球”包含1个红球1个白球和2个白球这两种情况， “至多一个红球”包含1个红球1个白球和2个白球这两种情况，是同一事件，故C错误. D：“至少一个白球”包含1个红球1个白球和2个白球这两种情况， 与“都是红球”不可能同时发生，是互斥事件，故D正确. 故选：D. 10．抛掷一颗骰子，点数大于3或是奇数的概率（    ）. A． B． C． D． 答案：A 分析：本题考查计算古典概型问题的概率、概率的基本性质知识点.根据题意运用古典概型和概率的加法公式即可得解. 详解：抛掷一颗骰子，样本空间为{1,2,3,4,5,6} ，共有6个基本事件， 设事件A：点数大于3；事件B：点数为奇数， 则A={4,5,6},B={1,3,5}， 则，，， ， 故选：A. 11．甲、乙两人比赛下中国象棋，若甲获胜的概率是，两人下成和棋的概率是，则甲不输的概率是（    ） A． B． C． D． 答案：D 分析：本题考查互斥事件的概率加法公式知识点.由互斥事件的概率加法公式即可求解. 详解：由题意，在象棋比赛中，可能的结果有三种，甲胜、乙胜、和棋，它们两两互斥， “甲不输”即排除乙胜的情况，包含甲胜和和棋两种结果， 由互斥事件的概率加法公式可得甲不输的概率为. 故选：D. 12．如果事件A与B是互斥事件且事件的概率是0.8，事件A的概率是事件B的概率的3倍，则事件B的概率是（   ） A．0.4 B．0.6 C．0.8 D．0.2 答案：D 分析：本题考查利用互斥事件的概率公式求概率知识点.根据互斥事件的概率公式求解即可 详解：事件A与事件B互斥，所以． 又因为，所以,． 故选：D 13．某同学做对某套试卷中每一个选择题的概率都为，则他连续做对第一题和第二题的概率是（　　） A． B． C． D． 答案：C 分析：本题考查独立事件的判断知识点.该同学做第一题和做第二题是相互独立事件，他做对第一题的概率与做对第二题的概率相乘即为他连续做对两题的概率. 详解：他做第一题和做第二题是相互独立事件，因此他连续做对第一题和第二题的概率为. 故选：C. 14．甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是0.5，乙获胜的概率是0.3，则甲获胜的概率是（    ） A．0.7 B．0.8 C．0.2 D．0.3 答案：C 分析：本题考查利用对立事件的概率公式求概率知识点.利用对立事件的概率公式求解． 详解：因为甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是0.5，乙获胜的概率是0.3， 所以甲获胜的概率是． 故选：C． 15．下列选项中，两个事件为互斥事件的是（   ）． A．某班统计数学考试成绩，事件{成绩不低于90分}与事件{成绩不高于90分} B．运动员射击一次，事件{命中环数不大于6}与事件{命中环数小于6} C．从数字1，2，3中抽取两个数字．事件{抽取到1,2}与事件{抽取的数字有1} D．抛掷一颗骰子，事件{向上的一面出现偶数点}与事件{向上的一面出现3点} 答案：D 分析：本题考查判断所给事件是否是互斥关系知识点.根据互斥事件的定义求解即可. 详解：选项A.事件A={成绩不低于90分}与事件B={成绩不高于90分}可以同时发生，不符. 选项B.事件A={命中环数不大于6}与事件B={命中环数小于6}可以同时发生，不符. 选项C.事件A={抽取到1,2}与事件B={抽取的数字有1}可以同时发生，不符. 选项D.事件A={向上的一面出现偶数点}与事件B={向上的一面出现3点}无法同时发生，是互斥事件. 故选：D. 16．已知独立，若，则_____． 答案：0.34 分析：本题考查相互独立事件与互斥事件、独立事件的判断、独立事件的概率公式的知识点.根据A,B独立，由求解. 详解：因为A,B独立， 所以， 所以． 故答案为：0.34 17．从一副扑克牌（去掉大、小王，共52张）中随机选取一张，给出如下四组事件： ①“这张牌是红心”与“这张牌是方块”； ②“这张牌是红色牌”与“这张牌是黑色牌”； ③“这张牌牌面是2，3，4，6，10之一”与“这张牌是是方块”； ④“这张牌牌面是2，3，4，5，6，7，8，9，10之一”与“这张牌牌面是A，K，Q，J之一”. 其中互为对立事件的有______________.（写出所有正确的编号） 答案：②④ 分析：本题考查确定所给事件的对立关系知识点.由题意和互斥事件及对立事件的定义，逐个判断即可. 详解：从一副扑克牌（去掉大、小王，共52张）中随机选取一张， ①“这张牌是红心”与“这张牌是方块”是互斥事件，但不是对立事件； ②“这张牌是红色牌”与“这张牌是黑色牌”是互斥事件，也是对立事件； ③“这张牌牌面是2，3，4，6，10之一”与“这张牌是方块”不是互斥事件，故更不会是对立事件； ④“这张牌牌面是2，3，4，5，6，7，8，9，10之一”与“这张牌牌面是A，K，Q，J之一”是互斥事件，也是对立事件. 故答案为：②④. 18．一个口袋中有若干大小相同的红球、黄球和蓝球，从中摸出一只球．摸出红球的概率为0.48，摸出黄球的概率为0.35，则摸出蓝球的概率为_____. 答案：0.17 分析：本题考查利用对立事件的概率公式求概率知识点.利用对立事件的概率公式求解. 详解：一个口袋中有若干大小相同的红球、黄球和蓝球，从中摸出一只球， ∵摸出红球的概率为0.48，摸出黄球的概率为0.35， ∴摸出蓝球的概率为． 故答案为：0.17． 19．已知在一次随机试验E中，定义两个随机事件A，B，且，，，则________. 答案：0.8 分析：本题考查事件的运算及其含义、概率的基本性质知识点.利用概率的基本性质及事件的运算求概率即可. 详解：由. 故答案为：0.8 20．暑假期间，甲外出旅游的概率是0.5，乙外出旅游的概率是0.4，假定甲乙两人的行动相互之间没有影响，则暑假期间甲乙中至少有一人外出旅游的概率是______. 答案：0.7 分析：本题考查利用对立事件的概率公式求概率知识点.由独立事件、互斥事件和对立事件的概率公式计算可得． 详解：甲外出旅游的概率是0.5，乙外出旅游的概率是0.4， 假定甲乙两人的行动相互之间没有影响， 暑假期间两人中至少有一人外出旅游的对立事件是甲、乙二人都没有外出旅游， 所以暑假期间两人中至少有一人外出旅游的概率：. 故答案为：0.7. 21．在数学考试中，小明的成绩在90分以上的概率是0.18，在分的概率是0.51，在分的概率是0.15，在分的概率是0.09，60分以下的概率是0.07.计算： (1)小明在数学考试中取得80分以上成绩的概率； (2)小明考试及格的概率． 答案：(1)0.69 (2)0.93 分析：本题考查利用互斥事件的概率公式求概率知识点.（1）由互斥事件的概率加法公式进行计算即可得解； （2）解法一：由互斥事件的概率加法公式进行计算即可得解； 解法二：利用样本的概率之和1减去小明不及格的概率即可得解. 详解：（1）分别记小明的成绩“在90分以上”“在80~89分”“在70~79分”“在60~69分”为事件B、C、D、E，这四个事件彼此互斥． 小明的成绩在80分以上的概率是 . （2）解法一：小明考试及格的概率是. 解法二：小明考试不及格的概率是0.07， 所以小明考试及格的概率是1-0.07=0.93. 22．一个袋子中装有标号分别为1，2的2个黑球和标号分别为的3个白球，这5个球除标号和颜色外，没有其他差异. (1)若有放回的从中随机摸两次，每次摸出一个球，求第一次摸出黑球且第二次摸出白球的概率； (2)若不放回的从中随机摸出两个球，已知黑球的标号用表示，白球的标号用表示.求满足条件的概率. 答案：(1) (2) 分析：本题考查相互独立事件与互斥事件、计算古典概型问题的概率知识点.（1）根据题意，由相互独立事件的概率计算公式，代入计算即可得到结果； （2）根据题意，由古典概型的概率计算公式，代入计算即可得到结果. 详解：（1）记摸一次得到黑球的事件为A，得到白球的事件为B，则， 又事件A与B相互独立，所以. （2） 从中摸两个球，所得样本空间为 ，包含10个样本点， 满足条件的样本点有共3个，满足条件的事件的概率为. 23．某县城有甲、乙两种报纸供居民订阅，记事件A为“只订甲报”，事件B为“至少订一种报”，事件C为“至多订一种报”，事件D为“不订甲报”，事件E为“一种报也不订”，判断下列事件是否为互斥事件，如果是，判断它们是否为对立事件． (1)A与C； (2)B与E； (3)B与D； (4)B与C； (5)C与E. 答案：(1)A与C不是互斥事件 (2)B与E是互斥事件，也是对立事件 (3)B与D不是互斥事件 (4)B与C不是互斥事件 (5)C与E不是互斥事件 分析：本题考查互斥事件与对立事件关系的辨析知识点. 详解：（1）由于事件C“至多订一种报”中可能只订甲报，即事件A与事件C有可能同时发生，故A与C不是互斥事件． （2）事件B“至少订一种报”与事件E“一种报也不订”是不可能同时发生的，故事件B与E是互斥事件．由于事件B和事件E必有一个发生，故B与E也是对立事件． （3）事件B“至少订一种报”中有可能只订乙报，即有可能不订甲报，也就是说事件B发生，事件D也可能发生，故B与D不是互斥事件． （4）事件B“至少订一种报”中有3种可能：“只订甲报”“只订乙报”“订甲、乙两种报”，事件C“至多订一种报”中有3种可能：“一种报也不订”“只订甲报”“只订乙报”．即事件B与事件C可能同时发生，故B与C不是互斥事件． （5）由（4）的分析可知，事件E“一种报也不订”仅仅是事件C的一种可能，事件C与事件E可能同时发生，故C与E不是互斥事件． 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $