专题25 古典概率-北师大版《数学》基础模块下册《同步必备知识清单》（原卷版+解析版）

专题25 古典概型 一、知识梳理 1. 基本事件 定义：一次试验中可能出现的每一个基本结果，是试验中不能再分的最简单的随机事件. 2. 古典概型 定义：满足有限性（试验中所有可能出现的基本事件只有有限个）和等可能性（每个基本事件出现的可能性相等）的概率模型称为古典概型. 概率计算公式：对于古典概型，若试验的所有基本事件总数为，随机事件包含的基本事件数为，则 . 3. 古典概型的核心特征 (1) 基本事件有限个； (2) 每个基本事件等可能发生； (3) 概率计算只与基本事件个数有关. 2、 题型精练 题型1 古典概型的判断 【典例 1】下列试验是古典概型的是（） A. 在适宜条件下，种下一粒种子观察它是否发芽 B. 口袋中有 2 个红球、2 个白球，从中任取一球 C. 向圆内随机抛掷一点 D. 射击运动员射击，命中 10 环、9 环、…、0 环 题型 2 直接计算古典概型概率 【典例 2】抛掷一枚质地均匀的骰子，求点数大于 3 的概率. 题型 3 有放回抽样的古典概型 【典例 3】有放回地从2红3白中抽 2 球，求两球都是白球的概率. 三、知识检测 1.在长度为1的线段AB上取一点C，则AC之间的距离小于的概率为（ ） A． B． C． D． 2.连续投掷两枚骰子，则朝上的点数之和等于6的概率为（   ） A． B． C． D． 3.抛掷一枚骰子得到偶数点的概率为（    ） A． B． C． D． 4.某兴趣小组由2名男同学与3名女同学组成，他们完成一项活动后，要从这5名同学中选2人写活动体会，则所选男生人数不少于1名的概率为（ ） A． B． C． D． 5.随礼抛掷两枚质地均匀的骰子，则“得到的两个点数中，其中一个点数能整除另一个点数”的事件概率为（   ） A． B． C． D． 6.下列对古典概型的说法中正确的个数是（    ） ①试验中所有可能出现的基本事件是有限个； ②每个事件出现的可能性相等； ③基本事件的总数为n，随机事件A包含k个基本事件，则； ④每个基本事件出现的可能性都相等． A．1 B．2 C．3 D．4 7.4张卡片上分别写有数字，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片的数字之积为偶数的概率为（   ） A． B． C． D． 8.从数字组中任意抽一个数，则抽到奇数的概率为（    ） A． B． C． D． 9.中国古典戏曲四大名著是《牡丹亭》《西厢记》《桃花扇》和《长生殿》，它们是中国古典文化艺术的瑰宝.某戏曲学院图书馆藏有上述四部戏曲名著各10本，由于该戏曲学院的部分学生对《牡丹亭》这部戏曲产生了浓厚的兴趣，该戏曲学院图书馆决定购买一批《牡丹亭》戏曲书籍(其他三部数量保持不变)若干本.若要保证购买后在该戏曲学院图书馆所藏有的这四大戏曲名著中任取一本，使得能取到一本《牡丹亭》戏曲书籍的概率不小于0.6，则该戏曲学院图书馆需至少购买《牡丹亭》戏曲书籍（    ） A．25本 B．30本 C．35本 D．40本 10.10件产品中有两件次品，现从中任取1件，则取到次品的概率为（） A． B． C． D. 11．甲、乙二人用7张不同的扑克牌（其中红桃4张，方片3张）玩游戏．他们将扑克牌洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一张．则甲、乙二人抽到花色相同的概率为_________． 12．若函数的定义域和值域分别为和，则满足的函数概率是______． 13．先后抛掷两枚质地均匀的骰子（它们的六个面上分别标有点数,,,,,），骰子朝上的一面点数分别记为,,则的概率为________. 14．从集合中任选一个元素，则该元素是质数的概率为______. 15．现有历史、生物、地理、物理和化学共5本书，从中任取1本，取出的是理科书（生物、物理、化学）的概率为______． 16．某单位要在名工人中安排名分别到两处出差（每人被安排是等可能的）． (1)共有多少种安排方法？ (2)其中甲、乙两人都被安排的方法有多少种？ (3)其中甲、乙两人都被安排的概率是多少？ 17．一个盒子中装有4个大小相同，编号依次为1，2，3，4的小球，现从中摸取一个球，放回后再摸取一个球. (1)求事件“取出的两球号码之和不小于5”的概率； (2)设第一次取出的球的号码为，第二次取出的球的号码为，求事件“点落在直线上”的概率. 18．学校为庆祝建党100周年，举行了班级合唱比赛，歌曲有：《中国梦，我们的梦》，《国家》，《我和我的祖国》（分别用字母A，B，C依次表示这三首歌曲）．比赛时，将A，B，C这三个字母分别写在3张无差别不透明的卡片正面上，洗匀后正面向下放在桌面上，（1）班班长先从中随机抽取一张卡片，放回后洗匀，再由（2）班班长从中随机抽取一张卡片，进行歌咏比赛． (1)《中国梦，我们的梦》被（1）班班长抽中的概率是______． (2)试用树状图或列表的方法表示所有可能的结果，并求出（1）班和（2）班抽中不同歌曲的概率． 19．某人连续抛掷两次一元硬币， (1)求第一次出现正面的概率； (2)求至少出现一次正面的概率. 20．袋子中有10个大小相同的小球，其中7个白球，3个黑球.每次从袋子中随机摸出1个球，摸出的球不再放回. (1)第一次摸到白球的概率； (2)在第1次摸到白球的条件下，第2次摸到白球的概率. 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题25 古典概型 一、知识梳理 1. 基本事件 定义：一次试验中可能出现的每一个基本结果，是试验中不能再分的最简单的随机事件. 2. 古典概型 定义：满足有限性（试验中所有可能出现的基本事件只有有限个）和等可能性（每个基本事件出现的可能性相等）的概率模型称为古典概型. 概率计算公式：对于古典概型，若试验的所有基本事件总数为，随机事件包含的基本事件数为，则 . 3. 古典概型的核心特征 (1) 基本事件有限个； (2) 每个基本事件等可能发生； (3) 概率计算只与基本事件个数有关. 2、 题型精练 题型1 古典概型的判断 【典例 1】下列试验是古典概型的是（） A. 在适宜条件下，种下一粒种子观察它是否发芽 B. 口袋中有 2 个红球、2 个白球，从中任取一球 C. 向圆内随机抛掷一点 D. 射击运动员射击，命中 10 环、9 环、…、0 环 答案：B 分析：本题考查古典概型的有限性与等可能性知识点. 详解：本题考查知识点.A 中发芽与不发芽概率不等；B 满足有限、等可能，是古典概型；C 中点有无限个；D 中各环数概率不等. 故选 B. 题型 2 直接计算古典概型概率 【典例 2】抛掷一枚质地均匀的骰子，求点数大于 3 的概率. 答案： 分析：本题考查古典概型概率公式知识点. 详解：本题考查知识点.试验基本事件总数，点数大于 3 的有 4、5、6，共个，. 题型 3 有放回抽样的古典概型 【典例 3】有放回地从 2 红 3 白中抽 2 球，求两球都是白球的概率. 答案： 分析：本题考查有放回抽样、古典概型概率计算知识点. 详解：本题考查知识点.总基本事件数，两白的事件数，. 三、知识检测 1．在长度为1的线段AB上取一点C，则AC之间的距离小于的概率为（ ） A． B． C． D． 答案：C 分析:根据几何概率求概率公式求出答案. 详解：本题考查几何概型知识点.在长度为1的线段AB上取一点C， 由几何概型求概率公式可得，AC之间的距离小于的概率为. 故选：C. 2．连续投掷两枚骰子，则朝上的点数之和等于6的概率为（   ） A． B． C． D． 答案：A 分析:根据古典概型概率的求法即可求解. 详解：本题考查写出基本事件、计算古典概型问题的概率知识点.由题意得，投掷两枚骰子的情况有种. 则朝上的点数之和为6有(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1),共5种. 所以朝上的点数之和等于6的概率为. 故选：A. 3．抛掷一枚骰子得到偶数点的概率为（    ） A． B． C． D． 答案：C 分析:根据古典概型的概率公式求解. 详解：本题考查计算古典概型问题的概率知识点.抛掷一枚骰子得到的点数可能为1，2，3，4，5，6，点数为偶数的情形有：2，4，6， 则得到偶数点的概率. 故选：C. 4．某兴趣小组由2名男同学与3名女同学组成，他们完成一项活动后，要从这5名同学中选2人写活动体会，则所选男生人数不少于1名的概率为（ ） A． B． C． D． 答案：D 分析:先确定所有基本事件的个数，求出男同学人数不少于1人的个数，利用概率公式可得结论． 详解：本题考查计算古典概型问题的概率知识点.设2名男生为，3名女生为， 从5人中选2人的总选法为 ， 共10种不同选法，则没有男生的选法共3种：， 所以所选男生人数不少于1名的选法有7种， 故所求概率为. 故选：D. 5．随礼抛掷两枚质地均匀的骰子，则“得到的两个点数中，其中一个点数能整除另一个点数”的事件概率为（   ） A． B． C． D． 答案：D 分析:利用古典概型的概率公式求解. 详解：本题考查计算古典概型问题的概率知识点.随机抛掷两枚骰子的点数，其结果共有36种， 而“其中一个点数能整除另一个点数”的情况共有22种，分别是： ， 则“得到的两个点数中，其中一个点数能整除另一个点数”的事件概率为． 故选：D． 6．下列对古典概型的说法中正确的个数是（    ） ①试验中所有可能出现的基本事件是有限个； ②每个事件出现的可能性相等； ③基本事件的总数为n，随机事件A包含k个基本事件，则； ④每个基本事件出现的可能性都相等． A．1 B．2 C．3 D．4 答案：C 分析:根据古典概率的定义判定. 详解：本题考查古典概型的特征知识点.古典概型的定义是：如果一个随机试验所包含的单位事件是有限的，且每个单位事件发生的可能性均相等，则这个随机试验叫做古典概型. 在古典概型中，任何事件发生的概率可以定义为：事件包含的基本事件个数除以基本事件的总数，即.这里，表示事件包含的基本事件数，表示基本事件的总数，每一个基本事件都是等可能的. 故，②说法应该是每个基本事件出现的可能性相等，不是事件，故②错，①③④都对． 故选：C. 7．4张卡片上分别写有数字，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片的数字之积为偶数的概率为（   ） A． B． C． D． 答案：D 分析:根据古典概型的概率公式求值即可. 详解：本题考查实际问题中的组合计数问题、计算古典概型问题的概率知识点.从4张卡片中随机抽取2张共有6个基本事件， 取出的2张卡片的数字之积为偶数的基本事件有 共5个， 所以取出的2张卡片的数字之积为偶数的概率为， 故选：D. 8．从数字组中任意抽一个数，则抽到奇数的概率为（    ） A． B． C． D． 答案：B 分析:由古典概型概率公式计算即可. 详解：本题考查计算古典概型问题的概率知识点.因为数字组1,2,4,3,6,0,2中有3个奇数， 所以抽到奇数的概率为. 故选：B. 9．中国古典戏曲四大名著是《牡丹亭》《西厢记》《桃花扇》和《长生殿》，它们是中国古典文化艺术的瑰宝.某戏曲学院图书馆藏有上述四部戏曲名著各10本，由于该戏曲学院的部分学生对《牡丹亭》这部戏曲产生了浓厚的兴趣，该戏曲学院图书馆决定购买一批《牡丹亭》戏曲书籍(其他三部数量保持不变)若干本.若要保证购买后在该戏曲学院图书馆所藏有的这四大戏曲名著中任取一本，使得能取到一本《牡丹亭》戏曲书籍的概率不小于0.6，则该戏曲学院图书馆需至少购买《牡丹亭》戏曲书籍（    ） A．25本 B．30本 C．35本 D．40本 答案：C 分析:设需购买《牡丹亭》戏曲书籍x本，由古典概率的计算公式可得答案. 详解：本题考查根据古典概型的概率求参数知识点.设需购买《牡丹亭》戏曲书籍x本，则购买后 该戏曲学院图书馆所藏有的这四大戏曲名著共40+x，从中任取1本有40+x种取法. 《牡丹亭》戏曲书籍共10+x，从中任取1本有10+x种取法. 从该戏曲学院图书馆所藏有的这四大戏曲名著中任取一本，使得能取到一本《牡丹亭》戏曲书籍的概率为 根据题意可得，解得， 即该戏曲学院图书馆需至少购买《社丹亭》戏曲书籍35本. 故选：C 10.10件产品中有两件次品，现从中任取1件，则取到次品的概率为（） A． B． C． D. 答案：C 分析:确定总事件数，以及取到次品的事件数，代入公式即可求出取到次品的概率. 详解：本题考查根据古典概型的基本计算知识点.总事件数,取到次品事件数为.根据概率公式,将代入可得：. 因此取到次品的概率为. 故本题选C. 11．甲、乙二人用7张不同的扑克牌（其中红桃4张，方片3张）玩游戏．他们将扑克牌洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一张．则甲、乙二人抽到花色相同的概率为_________． 答案： 分析:利用互斥事件与古典概型的概率公式即可得解. 详解：本题考查互斥事件的概率加法公式、有放回与无放回问题的概率知识点.因为一共有7张不同的扑克牌（其中红桃4张，方片3张），甲先抽，乙后抽， 所以甲、乙二人抽到花色相同的情况有： ①甲先抽到红桃，乙后抽到红桃，②甲先抽到方片，乙后抽到方片， 所以甲、乙二人抽到花色相同的概率为. 故答案为：. 12．若函数的定义域和值域分别为和，则满足的函数概率是______． 答案： 分析:根据给定条件，确定函数的个数，再求出满足的函数个数即可计算作答. 详解：本题考查函数关系的判断、计算古典概型问题的概率知识点.因函数的定义域和值域分别为和，则函数有6个，它们是： 满足的函数有2个数，它们是或， 因此满足的函数有4个，所以满足的函数概率是.. 故答案为： 13．先后抛掷两枚质地均匀的骰子（它们的六个面上分别标有点数,,,,,），骰子朝上的一面点数分别记为,,则的概率为________. 答案： 分析:首先求出试验的基本事件总数，再根据1求出满足条件的基本事件的个数，最后利用古典概型的概率公式进行求解. 详解：本题考查计算古典概型问题的概率知识点.先后抛掷两枚质地均匀的骰子，观察朝上面的点数， 共有6×6=36种不同结果，即基本事件总数为36种； 其中满足条件1，即2的有(1,2)、(2,1)共2种， 即满足条件的基本事件个数为2种， 所以所求概率. 故答案为：. 14．从集合中任选一个元素，则该元素是质数的概率为______. 答案： 分析:根据古典概型的概率求解方法，结合质数的知识求解即可. 详解：本题考查列举法求集合中元素的个数、计算古典概型问题的概率知识点.A中的元素为0，1，2，…，17，共18个， 质数有2，3，5，7，11，13，17，共7个， 任选一个元素，则该元素是质数的概率为. 故答案为： 15．现有历史、生物、地理、物理和化学共5本书，从中任取1本，取出的是理科书（生物、物理、化学）的概率为______． 答案： 分析:由古典概型直接计算概率. 详解：本题考查计算古典概型问题的概率知识点.从历史、生物、地理、物理和化学共5本书，从中任取1本，共有5种不同取法， 取出的是理科书的取法共3种， 则取出的是理科书的概率， 故答案为：. 16．某单位要在名工人中安排名分别到两处出差（每人被安排是等可能的）． (1)共有多少种安排方法？ (2)其中甲、乙两人都被安排的方法有多少种？ (3)其中甲、乙两人都被安排的概率是多少？ 答案：(1)12 (2)2 (3) 分析:（1）根据题意，用列举法列举出样本空间即可得解； （2）由（1）知样本空间，即可得出甲、乙两人都被安排的种数； （3）由（1）（2）知，利用古典概型即可求出甲、乙两人都被安排的概率. 详解：本题考查实际问题中的组合计数问题、计算古典概型问题的概率知识点.（1）设4名工人分别为，安排两人的样本空间为 由上述可知在4名工人中安排2名分别到两处出差，有12种方法； （2）若甲为，乙为，则由上述可知甲乙两人都被安排有2种方法； （3）由（1）（2）可知，甲、乙两人都被安排的概率是. 17．一个盒子中装有4个大小相同，编号依次为1，2，3，4的小球，现从中摸取一个球，放回后再摸取一个球. (1)求事件“取出的两球号码之和不小于5”的概率； (2)设第一次取出的球的号码为，第二次取出的球的号码为，求事件“点落在直线上”的概率. 答案：(1) (2) 分析:（1）首先求出所有的样本空间，再求出所求事件的个数，再求概率. （1）根据（1）的样本空间，再求出所求事件的个数，再求概率. 详解：本题考查计算古典概型问题的概率、有放回与无放回问题的概率知识点.（1）样本空间为，共有16个样本点， 设事件A={取出的两球号码之和不小于5}， 则事件A包含的样本点有，共10个， 所以. （2）设事件点落在直线上}， 则事件包含的样本点有，共3个. 所以 18．学校为庆祝建党100周年，举行了班级合唱比赛，歌曲有：《中国梦，我们的梦》，《国家》，《我和我的祖国》（分别用字母A，B，C依次表示这三首歌曲）．比赛时，将A，B，C这三个字母分别写在3张无差别不透明的卡片正面上，洗匀后正面向下放在桌面上，（1）班班长先从中随机抽取一张卡片，放回后洗匀，再由（2）班班长从中随机抽取一张卡片，进行歌咏比赛． (1)《中国梦，我们的梦》被（1）班班长抽中的概率是______． (2)试用树状图或列表的方法表示所有可能的结果，并求出（1）班和（2）班抽中不同歌曲的概率． 答案：(1)； (2)答案见解析，. 分析:（1）根据古典概型的概率计算公式直接计算即可； （2）依题意画出树状图或表格，根据图表计算概率即可. 详解：本题考查计算古典概型问题的概率、有放回与无放回问题的概率、写出基本事件知识点.（1）共有三首歌曲《中国梦，我们的梦》，《国家》，《我和我的祖国》. （1）班班长先从中随机抽取一张卡片，抽到《中国梦，我们的梦》的概率 （2）根据题意画树状图如图所示： 列表法如图所示： 由图可知共有9种结果，其中（1）班和（2）班抽中不同歌曲的情况有6种. 所以（（1）班和（2）班抽中不同歌曲）= 19．某人连续抛掷两次一元硬币， (1)求第一次出现正面的概率； (2)求至少出现一次正面的概率. 答案：(1) (2) 分析:（1）由于抛掷硬币出现正反面的概率相等，进而求得概率； （2）列出所有可能情况，由古典概型的概率公式计算. 详解：本题考查确定性事件与随机事件的概率、计算古典概型问题的概率知识点. （1）抛掷一次硬币，出现正面或反面的概率都为，所以第一次出现正面的概率为. （2）连续抛掷两次硬币，所有可能的结果有（正，正）、（正，反）、（反，正）、（反，反），共4种. 至少出现一次正面的情况有3种（正，正）、（正，反）、（反，正）. 所以概率. 20．袋子中有10个大小相同的小球，其中7个白球，3个黑球.每次从袋子中随机摸出1个球，摸出的球不再放回. (1)第一次摸到白球的概率； (2)在第1次摸到白球的条件下，第2次摸到白球的概率. 答案：(1) (2) 分析:（1）根据题设，由古典概型的概率求法求第一次摸到白球的概率； （2）由第一次摸到白球后，确定白、黑球的个数，由古典概型的概率求法求第2次摸到白球的概率. 详解：本题考查计算古典概型问题的概率、有放回与无放回问题的概率知识点.（1）由题设，第一次摸到白球的概率为. （2）第一次摸到白球，则剩余9个球中有6个白球，3个黑球， 所以第二次摸到白球的概率为. 1 2 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $