限时集训：2026届高考数学解答题（五）

限时集训：2026高考数学解答题（五） 命题人：李文元 （考试时间：60分钟 试卷满分：77分） 班级： 姓名： 成绩： 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）在三角形ABC中，角A，B，C所对的边为a，b，c，，． (1)求c的值； (2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得三角形ABC为钝角三角形，求边上的高． 条件①：；条件②：；条件③：三角形ABC的周长为18． 【答案】(1)5 (2)选择条件①或③时，边上的高为；选择条件②时，不满足题意. 【分析】(1)利用正弦定理即可求解； (2)选择条件①或③，首先验证是钝角三角形，再利用余弦定理和面积公式即可求解，选择条件②，验证不满足钝角三角形的条件. 【详解】（1）因为，且，所以， 设三角形ABC外接圆半径为， 由正弦定理得 所以，即：，所以. （2）选择条件①： 由余弦定理，得，代入，，，得，则， 此时，所以，为钝角三角形， 设边上的高为，则 ，即 ，. 选择条件②：若，则，所以， 由余弦定理得： ， 因为，，，所以，则三角形ABC是直角三角形，不满足题意. 选择条件③：若三角形ABC周长为18，则， 由余弦定理得：，联立解得：，， 所以，所以，三角形ABC为钝角三角形， 设边上的高为，则 ，即，. 16．（15分）如图，多边形是由一个等腰三角形和一个菱形组成的，其中，，．现将沿翻折，点翻折到点的位置，得到四棱锥，如图（2）所示． (1)求证：． (2)如图（2），若二面角的大小为，点为的重心，点在线段上，且． （i）求证：平面； （ii）求平面与平面夹角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2)（i）证明见解析；（ii）． 【分析】（1）取的中点，连接，证明平面即可证明； （2）（i）以为原点，以及垂直于平面的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量及，利用向量法即可证明；（ii）求出平面的法向量，利用向量法即可求解. 【详解】（1）如图， 取的中点，连接， 因为为等腰三角形，点为的中点，所以， 因为四边形为菱形，所以，所以， 因为四边形为菱形，，所以为等边三角形， 所以，进而，又，平面， 所以平面，又平面，所以，即. （2） （i）如图， 以为原点，以及垂直于平面的直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 因为，，二面角的大小为，所以， 则，，，，，， 所以，，， 设平面的法向量为，则，令，则，， 所以，所以，又平面，所以平面. （ⅱ）由（i），，，设平面CGF的法向量为， 则，令，则，，所以， 所以， 所以平面CGF与平面PCD夹角的正弦值为． 17．（15分）某芯片公司生产两种芯片，一种是用于人工智能计算的甲类芯片，另一种是用于基础信号传输的乙类芯片.现将4个甲类芯片和2个乙类芯片混合放置在一个容器中，这些芯片外观完全相同. (1)质检员从中随机抽取2个芯片进行破坏性测试，求至少抽到1个乙类芯片的概率； (2)自动化测试机随机逐个对芯片进行性能检测，检测过的芯片不再放回，直到甲类芯片或乙类芯片被全部检测完毕时停止，记停止时检测的芯片总数为，求的分布列与数学期望. 【答案】(1) (2) 2 3 4 5 . 【分析】（1）用对立事件处理，即“至少抽到1个乙类芯片”的对立事件是“抽到的2个芯片均为甲类芯片”； （2）把6个芯片的检测顺序看作随机排列，停止时间由2个乙类芯片的位置决定：若前2个均为乙类则，若第2个乙类出现在第3位则，若第2个乙类出现在第4位或前4个均为甲类则，其余情况为.分别计数即可得到分布列，再由数学期望公式求出. 【详解】（1）（1）设“至少抽到1个乙类芯片”为事件，则表示事件“抽取的两个芯片都是甲类芯片”，则. （2）由题意知的所有可能取值为2，3，4，5. ，， ，，         所以的分布列为 2 3 4 5 . 18．（17分）已知椭圆：（）的离心率为，，分别为椭圆的上、下顶点，且. (1)求椭圆的方程； (2)过点的斜率存在且不为1的直线与椭圆交于不同的两点，（均不与点重合），点与点关于原点对称，直线与直线交于点.求证：直线经过点. 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【分析】（1）根据给定条件，结合离心率公式求出即可. （2）设点，求出直线的方程及点的坐标，再设出直线方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理及向量共线的坐标表示推理得证. 【详解】（1）由椭圆：的下顶点为，得， 由的离心率为，得，解得， 所以椭圆的方程为. （2）设直线的方程为，点，则点， 直线的方程为，直线的方程为，联立解得点， 由消去得， 则，， 而点，则， ， 即，又有公共点，则点三点共线，所以直线经过点. 19．（17分）已知函数. (1)当时，求的极值； (2)当时，求在上的最小值； (3)若在上存在零点，求的取值范围. 【答案】(1)极大值为，没有极小值 (2)0 (3) 【分析】（1）利用导函数求函数的极值； （2）根据导函数求函数的最值； （3）根据的导数，对进行分类，结合函数的单调性和极值可得的取值范围. 【详解】（1）当时，，定义域是 求导可得 令，解得， 当变化时，，的变化情况如下表： 0 单调递增 极大值 单调递减 由此可得的极大值为，没有极小值. （2）当时，，定义域是 求导可得 令，定义域是，则 求导可得，当时，，因此在上是增函数， 所以，即在上是增函数，. （3），定义域是 求导可得， 令，定义域是 求导可得 分类讨论， 当时，，因此在上是减函数，； 当时，是负数，因此，在上是减函数，，不符合题目要求； 当时，，，因此存在，使得，即， 当变化时，，的变化情况如下表： 0 单调递增 极大值 单调递减 因此，只需要，即时，在上存在零点；当时，由第一问可知在上是增函数，，不符合题目要求；当时，，即，在上是增函数，，不符合题目要求，综上所述，的取值范围是. 学科网（北京）股份有限公司 $限时集训：2026高考数学解答题（五) 命题人：李文元 (考试时间：60分钟试卷满分：77分) 班级： 姓名： 成绩： 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 4 15.(13分)在三角形ABC中，角A,B,C所对的边为a,b,c,cosB= (a+c)sin B-bsin A=3. (1)求c的值： (②)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得三角形ABC为钝角三 角形，求AC边上的高. 条件①：b=5;条件②：BA.BC=16;条件③：三角形ABC的周长为18. 16.(15分)如图，多边形ABCDE是由一个等腰三角形ABE和一个菱形BCDE组成的，其中 AB=AE=V3,BC=2,∠D=60°.现将△ABE沿BE翻折，点A翻折到点P的位置，得 到四棱锥P-BCDE,如图(2)所示. A E 、E D G B F (1) (2) (1)求证：∠PCD=90°. (②)如图(2)，若二面角P-BE-D的大小为120°，点G为△PBE的重心，点F在线段BC上， 且BF=)BC. (i)求证：GF/1平面PCD; (ii)求平面CGF与平面PCD夹角的正弦值. 17.(15分)某芯片公司生产两种芯片，一种是用于人工智能计算的甲类芯片，另一种是用 于基础信号传输的乙类芯片.现将4个甲类芯片和2个乙类芯片混合放置在一个容器中，这 些芯片外观完全相同 (1)质检员从中随机抽取2个芯片进行破坏性测试，求至少抽到1个乙类芯片的概率； (②)自动化测试机随机逐个对芯片进行性能检测，检测过的芯片不再放回，直到甲类芯片或 乙类芯片被全部检测完毕时停止，记停止时检测的芯片总数为X,求X的分布列与数学期 望 ⑧.7分)已迎瘦E上名+(a>6>0)的腐心率为，1,8分捌为圆留 2 上、下顶点，且B(0,-1) (1)求椭圆E的方程； (2)过点D(-1,-1)的斜率存在且不为1的直线1与椭圆E交于不同的两点M,N(均不与点 A重合)，点P与点M关于原点O对称，直线BP与直线OD交于点Q.求证：直线NQ经过 点A. 19.17分》已知顾致=+afr- (1)当a=0时，求f(x的极值： (②)当a=1时，求f(x)在[1，+0）上的最小值； (3)若(x)在1，e上存在零点，求a的取值范围限时集训：2026高考数学解答题（五) 命题人：李文元 (考试时间：60分钟试卷满分：77分) 班级： 姓名： 成绩： 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 在三角形ABC中，角A,B,C所对的边为abc,cosB=(a+C)SmB (1)求c的值； (2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得三角形ABC为钝角三 角形，求AC边上的高. 条件①：b=5:条件②：BABC=16;条件③：三角形ABC的周长为18. 24 【答案】(1)5 (②)选择条件D或③时，AC边上的高为5：选择条件②时，不满足题意 【分析】(1)利用正弦定理即可求解： (2)选择条件①或③，首先验证是钝角三角形，再利用余弦定理和面积公式即可求解，选择 条件②，验证不满足钝角三角形的条件 【详解】1)因为coB=手且8∈@，所以s血B=co万-} 设三角形ABC外接圆半径为R, 由正弦定理得(a+c)sinB-bsinA=2 RsinAsinB+2 RsinCsinB-2 RsinBsinA=3 所以2 Rsin Csin B=3,即：csinB=3,所以c=5. (2)选择条件①： 余弦定理，得b=心+c2-2acc0sB,代入c=5,b=5,cosB=,得a-8a=0,则a 此时cosA=b+c2-a252+52-8: 所以5<A<π，△ABC为钝角三角形， 2bc =2x5x5=25 设4C边上的离为a,则8a心h,可片8x5号A,h 1 2 521 选择条件②：若BA.BC=16,则BA.BC=BA.BC cosB=4=16,所以a=4, 由余弦定理得：2=m2+c2-2 cco=4+5-2x4K5x19, 因为a2=16,b2=9,c2=25,所以d2+b2=c2,则三角形ABC是直角三角形，不满足题 意 选择条件③：若三角形ABC周长为18，则a+b=18-c=13, 由余弦定理得：b2=a2+c2-2 ac cos B=a2+25-8a,联立解得：a=8,b=5, 议o4上+6-五5+5-8所越4，角形ABc为能角国角 2bc 2×5×5 2 设AC边上的高为h,则So-)acsinb=)bh,即×85×-h,h=24 2 2 2 52 5 16.(15分)如图，多边形ABCDE是由一个等腰三角形ABE和一个菱形BCDE组成的，其中 AB=AE=√3，BC=2,∠D=60°.现将△ABE沿BE翻折，点A翻折到点P的位置，得 到四棱锥P-BCDE,如图(2)所示. D G、 E D B B F (1) (2) (1)求证：∠PCD=90°. (2)如图(2)，若二面角P-BE-D的大小为120°，点G为△PBB的重心，点F在线段BC上， 且BF=BC, (i)求证：GFI1平面PCD; (ii)求平面CGF与平面PCD夹角的正弦值， 【答案】(1)证明见解析 (2②)(i)证明见解析：(i)5V5 14 【分析】(1)取BE的中点H,连接PH,CH,CE,证明CD⊥平面PCH即可证明： (2)(i)以H为原点，HB,HC以及垂直于平面BCDE的直线分别为x,y,z轴，建立空间直 角坐标系，求出平面PCD的法向量及G,利用向量法即可证明；(i)求出平面CGF的法 向量，利用向量法即可求解 【详解】(1)如图， 、、E D G 、 B F 取BE的中点H,连接PH,CH,CE, 因为△PBE为等腰三角形，点H为BE的中点，所以PH⊥BE, 因为四边形BCDE为菱形，所以BE/ICD,所以PH⊥CD, 因为四边形BCDE为菱形，∠D=60°，所以△BCE为等边三角形， 所以CH⊥BE,进而CH⊥CD,又PH∩CH=H,PH,CHC平面PCH, 所以CD⊥平面PCH,又PCc平面PCH,所以PC⊥CD,即∠PCD=90. (2) E」 (i)如图， G B C x 以H为原点，HB,HC以及垂直于平面BCDE的直线分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系， 因为PH⊥BE,CH⊥BE,二面角P-BE-D的大小为120°，所以∠PHC=120°， nc05o小可wq.0-i办层9小oa-9 所元-a28.m-2a0.a[居295小 设平面PCD的法向量为n=(x,y,z),则 pCn=25v-3z=0,令y=5,则x=0,z=2: CD-n=-2x=0 所以n=(0,V5,2),所以GF=25×5-1k2=0,又GPc平面PCD,所以G11平面P0D. 3 0网-0-华，际-等小T预or为i-aa CGm=-43 b+c=0 3 ,令b=V3,则a=3,c=4,所以m=(3,5,4): G示m 2a+25b-c=0 3a+、 3 nV3×V3+2x411 所以cosm,m）= √7×2W7 14 所以平面CGF与平面PCD夹角的正弦值为 -55 14 14 17.(15分)某芯片公司生产两种芯片，一种是用于人工智能计算的甲类芯片，另一种是用 于基础信号传输的乙类芯片.现将4个甲类芯片和2个乙类芯片混合放置在一个容器中，这 些芯片外观完全相同. (1)质检员从中随机抽取2个芯片进行破坏性测试，求至少抽到1个乙类芯片的概率： (2)自动化测试机随机逐个对芯片进行性能检测，检测过的芯片不再放回，直到甲类芯片或 乙类芯片被全部检测完毕时停止，记停止时检测的芯片总数为X,求X的分布列与数学期 望 【答案】0 (2) X 2 3 4 5 1 2 4 8 15 15 15 15 B(K)= 15 【分析】(1)用对立事件处理，即“至少抽到1个乙类芯片”的对立事件是抽到的2个芯片 均为甲类芯片”： (2)把6个芯片的检测顺序看作随机排列，停止时间由2个乙类芯片的位置决定：若前2 个均为乙类则X=2,若第2个乙类出现在第3位则X=3,若第2个乙类出现在第4位或 前4个均为甲类则X=4,其余情况为X=5.分别计数即可得到分布列，再由数学期望公式 求出E(X) 【详解】(1)(1)设“至少抽到1个乙类芯片”为事件A,则A表示事件“抽取的两个芯片都 甲类芯片则P4=-P=1C兰16 155 (2)由题意知X的所有可能取值为2,3,4,5. r-)器-等}后 C6415 P-是管言x-1点品音品 1248 C4 所以X的分布列为 X 2 3 5 8 15 15 E☒=2X53x2+4×4 +5x8=64 15 15F15-15 18.17分)已知结圆E若+若-1a>b>0)的离心率为 x2 v2 2,A,B分别为椭圆E的 2 上、下顶点，且B(0,-1). (1)求椭圆E的方程： (2)过点D(-1,-1)的斜率存在且不为1的直线1与椭圆E交于不同的两点M,N(均不与点A 重合)，点P与点M关于原点O对称，直线BP与直线OD交于点2.求证：直线NQ经过点A. 【容案】a片r-1店 (2)证明见解析. 【分析】(1)根据给定条件，结合离心率公式求出a,b即可. (2)设点M(x,y),N(x2,y2),求出直线BP的方程及点2的坐标，再设出直线1方程，与椭 圆方程联立，利用韦达定理及向量共线的坐标表示推理得证 【详解】(1)由椭圆五：二+云=1的下顶点为B0,-),得b=1, 0a2b2 由E的离心率为5，得Va-B_V ,解得a=2, 2 a 2 所以椭圆尽的方程为+y广-1. (2)设直线1的方程为y=x+k-1,k≠1，点M(x,为)，Wx2y2),则点P(x1,-y), 直线BP的方程为y=二x-1,直线OD的方程为y=x,联立解得点 X Q( x-y+1'x-4+1 由=+k-1 x2+4y2=4 消去y得(4k2+1)x2+8k(k-1x+4k2-2)=0, 8歇(k-1) X1+x2=- 4k2+1 则△=642(k-1)2-16(4k2+1)2-2)=163k2+2k)>0, 4(k2-2k) XX2= 4k2+1 而点40，则40=(2+=k,必-少， x-y+1’x-y+1 -(y-_2,+4-12=,+k-2)2++k-2主2 x1-4+1 x1-乃+1 x1-y+1 x-y+1 2t-4--2+52-32）- 8k(k-1) 4k2+1 4k2+1=0' ￥-y+1 水-y+1 即A⊙/AN,又AO,AN有公共点A,则点A,O,N三点共线，所以直线NO经过点A D B 19.(17分)已知函数f)=2x+a-1). (1)当a=0时，求f(x)的极值： (2)当a=1时，求f(x)在[1，+∞)上的最小值： (3)若f(x)在(1，e)上存在零点，求a的取值范围 【答案】1)极大值为2，没有极小值 (2)0 e o52e 【分析】(1)利用导函数求函数的极值： (2)根据导函数求函数的最值： (3)根据f(x)的导数，对a进行分类，结合函数的单调性和极值可得a的取值范围 【详解】(1)当a=0时，f()=2x,定义域是(0，+) 求导可得f=2x血)x-血（到-2 1xx-mx x1-In x2 x2 令f'(x)=0,解得1-lnx=0→x=e, 当x变化时，f(x),f(x)的变化情况如下表： (0,e) e (e,+o) '(x) 0 f(x) 单调递增 极大值 单调递减 由此可得心的楼大直为e。 f(x)没有极小值。 (2)当a=1时，了)=2血+(x-1),定义域是L+) x 求导可得f似=20-n0+2x- 2(1-x+x) x2 令g(闭=1-血x+r,定义域是L,+o),则f)=28国 求导可得8K)=+3x:=3,当x≥1时，g(四)>0，因此g()在L,+)上是增函数， 1 8(x)mn=g(0)=1-lhl+13-2 所以/>0，即f(y在[L+m)上是增函数，f)。=了)=2血+1：-1=0 1 (3)fx)=2hx+ax-1),定义域是(，e) 求导可得f')-20-血+a=20-血x+am), x2 令g(x)=1-lnx+ar,定义域是(1，e) 求导可得g)=-1+3=3m-1 分类讨论， 当a<0时，g'(x)<0,因此g(x)在(1，e)上是减函数，g(x)<g(1)=a+1: 当a≤-1时，g(x)是负数，因此∫'(x)<0,f(d)在(1，e)上是减函数，f(x)<f)=0,不 符合题目要求： 当-1<a<0时，g()=a+1>0,g(e)=ae<0,因此存在x。∈(L,e),使得g(x)=0,即 f'()=0, 当x变化时，(x),f(x)的变化情况如下表： (1,x) Xo (o,e) f"(x) 0 f(x) 单调递增 极大值∫(x) 单调递减 因此f)>f0=-0,只需要/回名ae-0,ae2e时，f四在e上存 在零点：当a=0时，由第一问可知f()在(1，e)上是增函数，f(x)>f(I)=0,不符合题目 要求：当a>0时，g(x)>0,即f'(x)>0,f(x)在(1，e)上是增函数，f(x)>f()=0,不 符合题目要求，综上所述，a的取值范围是限时集训：2026高考数学解答题（五) 命题人：李文元 (考试时间：60分钟试卷满分：77分) 班级： 姓名： 成绩： 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(I3分)在三角形ABC中，角A,B,C所对的边为abc,cosB=(a+c)simB-bsinA-3 (1)求c的值； (2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得三角形ABC为钝角三 角形，求AC边上的高 条件①：b=5:条件②：BA.BC=16;条件③：三角形ABC的周长为18. 16.(I5分)如图，多边形ABCDE是由一个等腰三角形ABE和一个菱形BCDE组成的，其中 AB=AE=√13，BC=2,∠D=60°.现将△ABE沿BE翻折，点A翻折到点P的位置，得 到四棱锥P-BCDE,如图(2)所示. E C" D B BF (1) (2) (1)求证：∠PCD=90°. (2)如图(2)，若二面角P-BE-D的大小为120°，点G为△PBE的重心，点F在线段BC上， 且an-nc. (i)求证：GF//平面PCD; (i)求平面CGF与平面PCD夹角的正弦值. 17.(15分)某芯片公司生产两种芯片，一种是用于人工智能计算的甲类芯片，另一种是用 于基础信号传输的乙类芯片.现将4个甲类芯片和2个乙类芯片混合放置在一个容器中，这 些芯片外观完全相同， (1)质检员从中随机抽取2个芯片进行破坏性测试，求至少抽到1个乙类芯片的概率： (2)自动化测试机随机逐个对芯片进行性能检测，检测过的芯片不再放回，直到甲类芯片或 乙类芯片被全部检测完毕时停止，记停止时检测的芯片总数为X,求X的分布列与数学期 望 7分)已知椭圆E:+片(a>b>0)的离心率为，A,9分别为椭圆五 2 上、下顶点，且B(0,-1) (1)求椭圆E的方程： (2)过点D(-1,-1)的斜率存在且不为1的直线1与椭圆E交于不同的两点M,N(均不与点A 重合)，点P与点M关于原点O对称，直线BP与直线OD交于点Q.求证：直线NQ经过点A. 19.(17分)已知函数/x)=2血+ax-1). (1)当a=0时，求f(x)的极值： (2)当a=1时，求f(x)在[1，+o)上的最小值： (3)若f(x)在(L,e)上存在零点，求a的取值范围