精品解析：2025—2026学年山东省职教高考研究联合体第五次联合考试数学试题

2025—2026学年山东省职教高考研究联合体第五次联合考试 数学试题 2026-04 本试卷分卷一（选择题）和卷二（非选择题）两部分，满分120分，考试时间120分钟.考生请在答题卡上答题，考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回. 卷一（选择题共60分） 一、选择题（本大题20个小题，每小题3分，共60分.在每小题列出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将符合题目要求的选项字母代号选出，并填涂在答题卡上） 1. 已知集合，，则所有满足条件的集合B的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】根据集合并集的结果求解集合B即可. 【详解】集合，且，则B必含， 满足条件的集合B：、、、，共4个. 故选：D. 2. 已知复数，则在复平面内复数z对应的点Z在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的运算法则化简复数，求出在复平面对应的点的坐标即可得解. 【详解】，对应点在第四象限， 故选：. 3. 已知实数a，b，则“，”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意结合充分性及必要性的定义即可得解. 【详解】，，故充分性成立； 推不出，， 例如：当时，满足，不成立，故必要性不成立， 故“，”是“”的充分不必要条件， 故选：. 4. 函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意结合分母及二次根式的性质列出不等式组即可得解. 【详解】函数， 定义域满足， 因为函数图像为开口向上的抛物线，， 所以恒成立， 所以不等式组解集为， 则定义域为， 故选：. 5. 如图所示，在平行四边形中，已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用向量加法的平行四边形法则和三角形法则求解. 【详解】由题意，，， 故. 故选：B. 6. 已知在等比数列中，公比，且，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意结合等比数列的通项公式列出方程组，求出公比即可得解. 【详解】等比数列中，公比，且，， ，两式相除，， 解得或（舍）， ， 故选：. 7. 已知角α的顶点在坐标原点O，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】先由任意角的三角函数的定义求解与的值，再结合两角和的正弦公式求解即可. 【详解】∵角α的终边过点， ∴，， ∴. 故选：B. 8. 已知随机变量X的分布列如下表所示，则随机变量X的均值（ ） X 0 1 2 3 P 0.12 0.18 A. 1.44 B. 1.5 C. 1.64 D. 1.72 【答案】C 【解析】 【分析】先由分布列的性质求解m的值，再结合随机变量的均值公式求解即可. 【详解】由分布列可知：，解得， 所以. 故选：C. 9. 如图所示，某中空铸件的三视图中、正视图和左视图是全等的正方形内切圆，俯视图是半径为1的圆，则该铸件需要材料（不计损耗）的体积是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先分析该几何体为圆柱挖去内切球，再结合圆柱与球的体积公式求解即可. 【详解】根据该几何体的三视图可知该几何体为圆柱挖去内切球， 由此可知该圆柱底面半径1、高2，则体积； 球的体积，材料体积为. 故选：B. 10. 已知点，，则线段的垂直平分线方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出线段的中点坐标，再求出线段所在直线的斜率，进而得到其垂直平分线的斜率，最后根据点斜式方程求出垂直平分线方程. 【详解】因为点，，所以的中点，， 故线段的垂直平分线斜率为， 由点斜式方程可得：，整理. 故选：A. 11. 某职业学校开展“蓝天白云”宣讲活动，现将4名志愿者分别安排到A，B，C三个社区进行宣讲，若每个人都要参加，且每个社区至少要安排1名志愿者，则所有不同的安排方法种数是（ ） A. 24 B. 36 C. 48 D. 72 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意先分组再分配即可得解. 【详解】将4名志愿者分成组，因每个社区至少人，故只能分为人，人，人，分组方法有种可能， 再向三个社区分配，有种可能， 则共种安排方法， 故选：. 12. 已知函数与轴交点的横坐标分别是，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数与轴交点的横坐标得到对应方程的根，再结合韦达定理求出参数，最后解一元二次不等式即可. 【详解】与轴交点的横坐标分别是， 则由可得：， 由韦达定理可得：，， 则不等式即， 解得或，则解集为. 故选：D. 13. 已知函数，的最大值与最小值的差为2，则a的值为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据对数函数的单调性求解即可. 【详解】函数在单调递增，则，则有， 又函数的最大值与最小值的差为2， 所以， 则有，解得. 故选：A. 14. 先后抛掷两枚质地均匀的正方体骰子，朝上一面的点数之和是3的倍数的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意求出基本事件总数，求出符合题意事件数，代入古典概型公式即可得解. 【详解】总事件数为，两枚骰子点数和是的倍数的有， 则符合题意的组合有，共种， 所以概率为， 故选：. 15. 已知点P在圆上，则点P到直线的最小距离为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】将圆的一般方程化为圆的标准方程，先求解圆心和半径，再结合圆上的点到直线的最小距离为点到直线的距离减去半径求解即可. 【详解】圆的标准方程，圆心，半径， 圆心到直线距离， 最小距离为. 故选：B. 16. 已知直线a，b和平面，，则下列结论正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意结合直线与平面平行，平面与平面平行，直线与平面垂直，平面与平面垂直的判定与性质即可得解. 【详解】若，，则或，故错误； 若，，则，或直线a与平面相交，故错误； ，，，故正确； 若，，，则与可能平行，相交或异面，故错误， 故选：. 17. 在的二项展开式中，含项的系数是（ ） A. 10 B. C. 40 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二项式的通项公式求解即可. 【详解】二项式的通项为， 令，， 所以含项的系数是. 故选：B 18. 已知，，则实数的最大值是（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据正弦函数的值域求解即可. 【详解】因为，则， 可得，实数 的最大值是. 故选：C. 19. 已知a，b是任意实数，定义法则：，则（ ） A. 1 B. 4 C. 8 D. 9 【答案】D 【解析】 【分析】根据所给的定义法则逐步计算即可. 【详解】根据定义法则：， 则，. 故选：D. 20. 如图所示，已知双曲线（，）的左、右焦点分别是，，点P在双曲线的右支上，点A在y轴上，若，且，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，再由向量的线性坐标表示和向量垂直的坐标表示列方程得出 【详解】设， 则， 由，得， 则，即， 因为，且， 所以，整理得， 因为点P在双曲线的右支上，所以，即， 所以，所以， ，由， 得，即，所以离心率， 故选：D. 卷二（非选择题共60分） 二、填空题（本大题5个小题，每小题4分，共20分.请将答案填写在答题卡相应题号的横线上） 21. 已知函数，则的解集是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意列出不等式即可得解. 【详解】函数， ， 解得， 故答案为：. 22. 已知非零向量，的夹角为，，且，则______. 【答案】4 【解析】 【分析】根据向量内积的运算律列方程求解即可. 【详解】已知， 则， 由，得， 解得. 故答案为：4. 23. 有一批产品共计1000件，为检验这批产品的质量，对产品进行编号，编号范围从000到999.现采用系统抽样法，按照编号从小到大的顺序从中依次抽取容量为20的样本.若首个样本编号为036，那么最后一个号码段抽到的样本编号为______. 【答案】986 【解析】 【分析】先求出系统抽样的间隔，再根据首个样本编号求解即可. 【详解】因为按照编号从小到大的顺序从中依次抽取容量为20的样本， 所以系统抽样间隔， 因为首个样本编号为036， 当时，编号为. 故答案为：986. 24. 已知P是抛物线上的动点，F是抛物线的焦点，且，若周长的最小值为18，则该抛物线的焦点到准线的距离为______. 【答案】12 【解析】 【分析】根据抛物线的定义表示出周长，根据三点共线求解即可. 【详解】抛物线焦点，， 则， ∵， 根据抛物线的定义可知，， ∴， 若使的周长最小，则点P，点A，点B三点共线， ∴，解得， ∴该抛物线的焦点到准线的距离为12. 故答案为：12. 25. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，D是的中点，，若，且，则的面积为______. 【答案】 【解析】 【分析】先由正弦定理将边化角，求解角A，再结合三角形中线公式以及余弦定理整体求出的值，再由三角形面积公式求解即可. 【详解】由，可得， 则有， 即，由， 可得，由， 则有， 因为D是的中点，， 则由三角形中线公式可得，， 即，整理可得①， 再由余弦定理可得，， 即②， 将①代入②中可得，， 即③， 因为，则， 即④， 将④代入③中可得，，解得， 所以. 故答案为：. 三、解答题（本大题5个小题，共40分.请将解答过程填写在答题卡相应题号的位置上） 26. 已知在等差数列中，，前3项和 （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前10项和. 【答案】（1）. （2）50. 【解析】 【分析】（）根据等差数列的通项公式列出方程组求出首项与公差即可得解. （）根据题意求出，利用等差数列的定义得出数列为等差数列，代入等差数列的求和公式即可得解. 【小问1详解】 设等差数列公差为d，因为，前3项和， 则，解得，， 所以通项公式为. 【小问2详解】 ， ， 所以数列为首项为，公差为的等差数列， ，则前10项和. 27. 已知函数是奇函数. （1）求实数m的值； （2）若，求x的值（结果精确到0.01，参考数据）. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（）根据题意结合奇函数的定义列出方程即可得解. （）化简方程，结合对数的定义即可得解. 【小问1详解】 函数是奇函数， ，解得，所以函数定义域为，， ， 则， 整理得，解得. 【小问2详解】 因为函数， ， 则. 28. 已知函数. （1）求函数的最大值及取得最大值时x的取值集合； （2）若函数.求函数的最小正周期. 【答案】（1）最大值为2， （2） 【解析】 【分析】（1）使用辅助角公式将函数化为正弦型函数，再由正弦型函数的性质求解即可； （2）先表示出函数的解析式，再由最小正周期公式求解即可. 【小问1详解】 函数. 函数的最大值2，此时，可得， 所以最大值为2，集合为. 【小问2详解】 由（1）知，函数， 所以， 则函数， 因为， 所以， 最小正周期为. 29. 如图所示，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，，E，F分别为棱，的中点，求证： （1）平面； （2）平面. 【答案】（1）证明见解析. （2）证明见解析. 【解析】 【分析】（）根据中位线的性质结合线面平行的判定定理即可得解. （）根据题意得出平面，利用线面垂直的性质及勾股定理得出，，结合线面垂直的判定定理即可得解. 【小问1详解】 因为E，F分别为棱，的中点，所以， 平面，平面，故平面. 【小问2详解】 设，，， 因为平面，，所以平面， 平面，所以， 因为为中点，则， ，又因为， 所以在中，， 所以， 因为，平面， 所以平面. 30. 如图所示，椭圆（）的离心率是，且经过点 （1）求椭圆的标准方程； （2）已知点和点，过点P的直线交椭圆于B，C两点，直线交x轴于点D，若，求直线的方程. 【答案】（1）. （2）. 【解析】 【分析】（）根据题意结合椭圆的性质及离心率公式求出的值即可得解. （）根据题意结合平面向量的坐标表示求出，根据两点间斜率公式及点斜式方程求出直线的方程， 联立方程组求出点坐标，根据直线经过点，即可得解. 【小问1详解】 椭圆（）的离心率是， 则， 因为，所以即， 所以椭圆方程为， 将点代入椭圆方程中得，解得，则， 所以椭圆方程为. 【小问2详解】 点和点，则， 设，则， 因为，则， 所以，解得，所以， 因为直线经过，， 则直线的斜率为， 所以直线的方程为，即， 联立直线与椭圆方程， 因为在椭圆上，所以是方程的一个根， 设，则，解得， 将代入直线的方程中，，解得， 所以， 因为直线经过点，， 则直线的斜率为， 所以直线的方程为，化为一般式方程为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年山东省职教高考研究联合体第五次联合考试 数学试题 2026-04 本试卷分卷一（选择题）和卷二（非选择题）两部分，满分120分，考试时间120分钟.考生请在答题卡上答题，考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回. 卷一（选择题共60分） 一、选择题（本大题20个小题，每小题3分，共60分.在每小题列出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将符合题目要求的选项字母代号选出，并填涂在答题卡上） 1. 已知集合，，则所有满足条件的集合B的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 已知复数，则在复平面内复数z对应的点Z在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知实数a，b，则“，”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 5. 如图所示，在平行四边形中，已知，，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知在等比数列中，公比，且，，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知角α的顶点在坐标原点O，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 8. 已知随机变量X的分布列如下表所示，则随机变量X的均值（ ） X 0 1 2 3 P 0.12 0.18 A. 1.44 B. 1.5 C. 1.64 D. 1.72 9. 如图所示，某中空铸件的三视图中、正视图和左视图是全等的正方形内切圆，俯视图是半径为1的圆，则该铸件需要材料（不计损耗）的体积是（ ） A. B. C. D. 10. 已知点，，则线段的垂直平分线方程是（ ） A. B. C. D. 11. 某职业学校开展“蓝天白云”宣讲活动，现将4名志愿者分别安排到A，B，C三个社区进行宣讲，若每个人都要参加，且每个社区至少要安排1名志愿者，则所有不同的安排方法种数是（ ） A. 24 B. 36 C. 48 D. 72 12. 已知函数与轴交点的横坐标分别是，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 13. 已知函数，的最大值与最小值的差为2，则a的值为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 14. 先后抛掷两枚质地均匀的正方体骰子，朝上一面的点数之和是3的倍数的概率是（ ） A. B. C. D. 15. 已知点P在圆上，则点P到直线的最小距离为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 16. 已知直线a，b和平面，，则下列结论正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 17. 在的二项展开式中，含项的系数是（ ） A. 10 B. C. 40 D. 18. 已知，，则实数的最大值是（ ） A. B. C. 1 D. 19. 已知a，b是任意实数，定义法则：，则（ ） A. 1 B. 4 C. 8 D. 9 20. 如图所示，已知双曲线（，）的左、右焦点分别是，，点P在双曲线的右支上，点A在y轴上，若，且，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 卷二（非选择题共60分） 二、填空题（本大题5个小题，每小题4分，共20分.请将答案填写在答题卡相应题号的横线上） 21. 已知函数，则的解集是______. 22. 已知非零向量，的夹角为，，且，则______. 23. 有一批产品共计1000件，为检验这批产品的质量，对产品进行编号，编号范围从000到999.现采用系统抽样法，按照编号从小到大的顺序从中依次抽取容量为20的样本.若首个样本编号为036，那么最后一个号码段抽到的样本编号为______. 24. 已知P是抛物线上的动点，F是抛物线的焦点，且，若周长的最小值为18，则该抛物线的焦点到准线的距离为______. 25. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，D是的中点，，若，且，则的面积为______. 三、解答题（本大题5个小题，共40分.请将解答过程填写在答题卡相应题号的位置上） 26. 已知在等差数列中，，前3项和 （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前10项和. 27. 已知函数是奇函数. （1）求实数m的值； （2）若，求x的值（结果精确到0.01，参考数据）. 28. 已知函数. （1）求函数的最大值及取得最大值时x的取值集合； （2）若函数.求函数的最小正周期. 29. 如图所示，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，，E，F分别为棱，的中点，求证： （1）平面； （2）平面. 30. 如图所示，椭圆（）的离心率是，且经过点 （1）求椭圆的标准方程； （2）已知点和点，过点P的直线交椭圆于B，C两点，直线交x轴于点D，若，求直线的方程. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $