精品解析：山东济宁市邹城市2025-2026学年第二学期期中教学质量检测高二数学试题

山东济宁市邹城市2025-2026学年第二学期期中教学质量检测高二数学试题 2026.04 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考号、班级等填写在答题卡上，并将条形码粘贴在“贴条形码区”． 2.做选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，须用黑色签字笔将答案写在答题卡指定的区域内相应位置上；写在本试卷上无效． 3.考生必须保持答题卡的整洁；书写力求字体工整、符号规范、笔迹清楚． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列求导运算正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 在的展开式中的系数是（ ） A. B. C. 4 D. 6 3. 用0，1，2，3，4这五个数能够组成无重复数字的三位数的个数是（ ） A. 48 B. 36 C. 24 D. 16 4. 已知随机变量服从正态分布，且，则（ ） A. B. C. D. 5. 除以5的余数是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 6. 已知函数，若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 五一期间，某市文旅部门打造了“儒家文化，运河风情，水浒江湖，湖光山色”四大主题文旅产品，甲、乙、丙3名游客每人从中至少选择一个主题体验，且每个主题都恰有1人体验，记事件“甲体验儒家文化”，“乙体验湖光山色”，则（ ） A. B. C. D. 8. 函数在区间上的值域为，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知随机变量，且，的分布列如下： 0 1 2 若，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知定义在上的函数的导函数为，且函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 函数在上单调递增 B. 是函数的极大值点 C. 是函数的极小值点 D. 11. 二项式定理是代数版的二项分布，二项分布是概率版的二项式定理，组合数是二者共同的数学基础，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. C. 若随机变量的概率分布列为，则当时，的方差为1013 D. 若函数，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 从4名男教师和3名女教师中选派3名教师下乡支教，要求选派的教师中男、女教师均至少有1名，则不同的选派方法共有__________种. 13. 已知，则在处的切线的斜率为__________. 14. 已知袋中有1个红球，2个白球，每次从中随机取一个球，若取出红球，则放回袋中并再放入一个白球；若取出白球，则不放回.记第次取球后，袋中白球个数为，则的数学期望__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知. （1）求展开式中所有项的二项式系数之和； （2）求； （3）求. 16. 某运动品牌店开展店庆促销活动：顾客购物每满200元可抽奖一次.抽奖箱中有3个蓝球、2个红球，每次随机抽取2个球，记录结果后将球放回，返现规则如下： 抽中2个红球：返现40元； 抽中2个蓝球：返现20元； 抽中1蓝1红：返现10元． （1）顾客甲恰好消费200元，设获得返现金额为随机变量，求的分布列与数学期望； （2）顾客乙消费了600元，若该店对购满600元的客户提供两个方案，方案一：参加抽奖活动，方案二：享受九五折优惠，但两种活动不能同时参与.请通过计算判断顾客乙选择哪种方案更优惠． 17. 已知函数在处取得极小值. （1）求a，b的值； （2）若方程有唯一的实数根，求实数的取值范围. 18. 某学校组织“校园文化”知识竞赛，竞赛分为初赛和复赛两个阶段，每位参加比赛的同学，初赛必须回答3个问题，每题答对得1分，答错得0分，且初赛总得分不低于2分方可晋级复赛；复赛分为3轮，每轮设置2个问题，每题答对得2分，答错得0分，晋级复赛的选手需完成全部复赛问题，复赛3轮得分累加为复赛总得分． 已知小张同学在初赛中每题答对的概率均为；复赛每轮中，第1题答对的概率为，第2题答对的概率为0.3，且所有问题之间的回答结果互不影响. （1）求小张同学成功晋级复赛的概率； （2）已知小张同学已晋级复赛. （i）若，求小张同学复赛总得分为10分的概率； （ii）设小张同学在复赛3轮中，恰有2轮每轮得分不低于2分的概率为，求的最大值. 19. 已知函数. （1）讨论函数的单调性； （2）证明：当时，； （3）若不等式对恒成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山东济宁市邹城市2025-2026学年第二学期期中教学质量检测高二数学试题 2026.04 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考号、班级等填写在答题卡上，并将条形码粘贴在“贴条形码区”． 2.做选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，须用黑色签字笔将答案写在答题卡指定的区域内相应位置上；写在本试卷上无效． 3.考生必须保持答题卡的整洁；书写力求字体工整、符号规范、笔迹清楚． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列求导运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】对于选项A：，故A错误； 对于选项B：，故B错误； 对于选项C：，故C错误； 对于选项D：，故D正确. 2. 在的展开式中的系数是（ ） A. B. C. 4 D. 6 【答案】B 【解析】 【详解】因为的展开式中二项式通项为， 令，得，则，所以的系数是. 3. 用0，1，2，3，4这五个数能够组成无重复数字的三位数的个数是（ ） A. 48 B. 36 C. 24 D. 16 【答案】A 【解析】 【分析】应用特殊位置优先处理方法结合排列数及分步乘法原理计算求解. 【详解】首位有4种选法，十位与个位选法为种， 所以用0，1，2，3，4这五个数能够组成无重复数字的三位数的个数是种. 4. 已知随机变量服从正态分布，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为随机变量服从正态分布， 所以. 5. 除以5的余数是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】根据二项式展开式计算余数. 【详解】 因为， 所以除以5的余数为1，所以除以5的余数为， 所以除以5的余数与  除以5的余数相同，即余数为2. 6. 已知函数，若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分析可知函数为奇函数，且在定义域内单调递增，根据单调性和奇偶性解不等式即可. 【详解】因为函数的定义域为， 且，可知函数为奇函数， 又因为，当且仅当，即时，等号成立， 可知函数在定义域内单调递增， 若，则， 可得，解得， 所以实数的取值范围是. 7. 五一期间，某市文旅部门打造了“儒家文化，运河风情，水浒江湖，湖光山色”四大主题文旅产品，甲、乙、丙3名游客每人从中至少选择一个主题体验，且每个主题都恰有1人体验，记事件“甲体验儒家文化”，“乙体验湖光山色”，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分类讨论甲、乙是否选择两个主题体验，求得，，结合条件概率公式即可得结果. 【详解】若甲体验儒家文化，则有： 当甲只选择一个主题体验，则不同的选法种数为； 当甲选择两个主题体验，则不同的选法种数为； 综上所述：不同的选法种数为，即； 若甲体验儒家文化且乙体验湖光山色，则有： 当甲、乙均只选择一个主题体验，则不同的选法种数为1； 当甲选择两个主题体验，乙只选择一个主题体验，则不同的选法种数为； 当甲只选择一个主题体验，乙选择两个主题体验，则不同的选法种数为； 综上所述：不同的选法种数为，即； 所以. 8. 函数在区间上的值域为，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数的单调性分析值域，可知等价于与在内有2个不同的交点，利用导数分析的图象，结合图象即可得结果. 【详解】由题意可知：，且函数在区间上单调递增， 若函数在区间上的值域为， 则，整理可得， 令，，则在内恒成立， 可知在内单调递增，则， 令，，原题意等价于与在内有2个不同的交点， 因为， 令，解得；令，解得； 可知在内单调递增，在内单调递减，则， 当趋近于0或时，趋近于， 则，所以实数的取值范围是. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知随机变量，且，的分布列如下： 0 1 2 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【详解】对于A：由题意知，解得，故A正确； 对于B：，故B正确； 对于C：，故C正确； 对于D：因为，所以，故D错误. 10. 已知定义在上的函数的导函数为，且函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 函数在上单调递增 B. 是函数的极大值点 C. 是函数的极小值点 D. 【答案】AD 【解析】 【分析】通过分析函数的图象判断的符号，从而得到的单调区间，再对各个选项进行判断即可. 【详解】结合函数的图象可知： 当时，，故，所以在上单调递减； 当时，，故，所以在上单调递增； 当时，，故，所以在上单调递增； 当时，，故，所以在上单调递增. 对于A：在区间上，（仅在时等于0，其余点都大于0）恒成立，所以函数在上单调递增，故A正确； 对于B：因为函数在左右两侧都为正，所以不是极大值点，故B错误； 对于C：因为在左右两侧都为正，所以不是极小值点，故C错误； 对于D：由上述分析可知，函数在单调递减，在单调递增， 所以在取到极小值，也是最小值，所以，故D正确. 11. 二项式定理是代数版的二项分布，二项分布是概率版的二项式定理，组合数是二者共同的数学基础，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. C. 若随机变量的概率分布列为，则当时，的方差为1013 D. 若函数，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】A选项，根据组合数公式即可求解；B选项，利用组合数公式对两边化简即可求得；C选项，根据二项分布的概率公式可判断出随机变量服从的分布，再根据二项分布的方差公式即可求得；D选项，先对函数求导，再将代入导函数，最后结合二项式定理化简即可. 【详解】对于A：因为，即，整理得：，解得：或（舍去），所以，故A正确； 对于B：根据组合数公式，，故B正确； 对于C：因为随机变量的概率分布列为， 而二项分布的概率公式为， 令，所以， 所以当时，，故C错误； 对于D：对函数求导，可得，则， 又因为（时，）， 令，则， 所以，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 从4名男教师和3名女教师中选派3名教师下乡支教，要求选派的教师中男、女教师均至少有1名，则不同的选派方法共有__________种. 【答案】30 【解析】 【详解】分成两种情况： 第一种是有1名男教师，2名女教师，共有种， 第二种是有2名男教师，1名女教师，共有种， 所以共有种. 13. 已知，则在处的切线的斜率为__________. 【答案】 【解析】 【分析】先求出导函数代入计算求出参数，再代入求解即可. 【详解】因为，所以， 令，则，即得， 所以，即得， 则在处的切线的斜率为. 14. 已知袋中有1个红球，2个白球，每次从中随机取一个球，若取出红球，则放回袋中并再放入一个白球；若取出白球，则不放回.记第次取球后，袋中白球个数为，则的数学期望__________. 【答案】## 【解析】 【分析】设取到红球的次数为，可得，结合概率乘法公式求相应概率，进而可得期望. 【详解】设取到红球的次数为，则第3次取球后，袋中白球个数为， 由题意可知：随机变量的可能取值为1，3，5，则有： ； ； ； 所以. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知. （1）求展开式中所有项的二项式系数之和； （2）求； （3）求. 【答案】（1）32 （2）121 （3）405 【解析】 【分析】（1）根据二项式系数之和的性质，可直接求得二项式系数之和； （2）先分别令和，得到两个等式，再将两个等式相减，即可求得结果； （3）先对已知等式两边求导，再令，即可求得. 【小问1详解】 因为中，，所以展开式中所有的二项式系数之和为. 【小问2详解】 因为， 令，可得，即①，令，可得，即②，用①式减去②式得：，即. 【小问3详解】 对两边求导， 可得， 令，可得， 即. 16. 某运动品牌店开展店庆促销活动：顾客购物每满200元可抽奖一次.抽奖箱中有3个蓝球、2个红球，每次随机抽取2个球，记录结果后将球放回，返现规则如下： 抽中2个红球：返现40元； 抽中2个蓝球：返现20元； 抽中1蓝1红：返现10元． （1）顾客甲恰好消费200元，设获得返现金额为随机变量，求的分布列与数学期望； （2）顾客乙消费了600元，若该店对购满600元的客户提供两个方案，方案一：参加抽奖活动，方案二：享受九五折优惠，但两种活动不能同时参与.请通过计算判断顾客乙选择哪种方案更优惠． 【答案】（1）随机变量的分布列为 10 20 40 的数学期望 （2）选择方案一更优惠 【解析】 【分析】（1）分析可知随机变量的可能取值有10，20，40，结合超几何分布求分布列和期望； （2）根据期望的性质分析求两种方案的最终花费，比较大小即可判断. 【小问1详解】 由题意可知随机变量的可能取值有10，20，40，则有： ；；； 所以随机变量的分布列为 10 20 40 的数学期望. 【小问2详解】 若选择方案一：此时可以参与3次抽奖，最终花费的期望为元； 若选择方案二：最终花费为元； 因为，所以选择方案一更优惠. 17. 已知函数在处取得极小值. （1）求a，b的值； （2）若方程有唯一的实数根，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意结合极值点和极值可得，并根据函数单调性检验即可； （2）令，原题意等价于与有且仅有1个交点，利用导数判断的性质和图象，结合图象即可得结果. 【小问1详解】 因为函数的定义域为，且， 由题意可得：，解得， 则，， 令，解得或；令，解得； 可知函数在内单调递增，在内单调递减， 则函数在处取得极小值，即符合题意， 综上所述：. 【小问2详解】 对于方程，即为，可得， 令，原题意等价于与有且仅有1个交点， 因为， 令，解得或；令，解得； 可知函数在内单调递增，在内单调递减， 则函数的极大值为，极小值为， 且当趋近于时，趋近于；当趋近于时，趋近于0； 由图可知：或，所以实数的取值范围为. 18. 某学校组织“校园文化”知识竞赛，竞赛分为初赛和复赛两个阶段，每位参加比赛的同学，初赛必须回答3个问题，每题答对得1分，答错得0分，且初赛总得分不低于2分方可晋级复赛；复赛分为3轮，每轮设置2个问题，每题答对得2分，答错得0分，晋级复赛的选手需完成全部复赛问题，复赛3轮得分累加为复赛总得分． 已知小张同学在初赛中每题答对的概率均为；复赛每轮中，第1题答对的概率为，第2题答对的概率为0.3，且所有问题之间的回答结果互不影响. （1）求小张同学成功晋级复赛的概率； （2）已知小张同学已晋级复赛. （i）若，求小张同学复赛总得分为10分的概率； （ii）设小张同学在复赛3轮中，恰有2轮每轮得分不低于2分的概率为，求的最大值. 【答案】（1） （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）设小张同学在初赛的得分为，则，结合二项分布运算求解即可； （2）设在复赛中每轮得分为，并求对应的概率.（i）分析可知2轮4分，1轮2分，进而求概率；（ii）可得，，利用导数求最值即可. 【小问1详解】 设小张同学在初赛的得分为，则， 所以小张同学成功晋级复赛的概率. 【小问2详解】 设在复赛中每轮得分为，则有： ； ； ， （i）若，则，，， 因为小张同学复赛总得分为10分，则2轮4分，1轮2分， 所以小张同学复赛总得分为10分的概率； （ii）由题意可知：，， 则， 令，解得；令，解得； 则在内单调递增，在内单调递减， 所以取到最大值. 19. 已知函数. （1）讨论函数的单调性； （2）证明：当时，； （3）若不等式对恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）若，函数在定义域内单调递增； 若，函数在内单调递增，在内单调递减. （2）证明见详解 （3） 【解析】 【分析】（1）求导，分类讨论参数的正负性，结合导数的符号判断原函数单调性； （2）根据（1）中单调性可得，令，，利用导数证明不等式； （3）令，，根据端点效应可得，并代入检验即可. 【小问1详解】 由题意可知：的定义域为，且， 若，则，可知函数在定义域内单调递增； 若，令，解得；令，解得； 可知函数在内单调递增，在内单调递减； 综上所述：若，函数在定义域内单调递增； 若，函数在内单调递增，在内单调递减. 【小问2详解】 当时，可知函数在内单调递增，在内单调递减， 则， 令，，则在内恒成立， 可知在内单调递增，则， 所以当时，. 【小问3详解】 令，， 原题意等价于不等式对恒成立， 因为，且， 则，解得， 若，令，，则， 令，，则在内单调递增， 可得，可知在内单调递增， 则，即， 可知在内单调递增，则，即， 可知在内单调递增，则，符合题意； 综上所述：实数的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $