精品解析：2025-2026学年河北省职教高考研究联合体第四次联合考试数学试题

2025-2026学年河北省职教高考研究联合体第四次联合考试 数学试题 2026-04 说明: 一、本试卷共4页，包括三道大题30个小题，共120分.考试时间120分钟.其中第一道大题（20个小题）为选择题. 二、答题前请仔细阅读答题纸上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题.在答题纸上与题号相对应的答题区域内答题，写在试卷、草稿纸上或答题纸非题号对应的答题区域的答案一律无效.不得用规定以外的笔和纸答题，不得在答题纸上做任何标记. 三、做选择题时，如需改动，请用橡皮将原选涂答案擦干净，再选涂其他答案. 四、考试结束后，将本试卷与答题纸一并交回. 一、选择题（本大题共20小题，每小题3分，共60分.在每小题所给出的四个选项中，只有一个符合题目要求） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意分别求出集合M和集合N，根据交集的定义即可求解. 【详解】因为集合， 又由解得或， 所以集合或， 则. 故选：B. 2. 已知，则下列各式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据不等式的基本性质即可求解. 【详解】对于A，，则，即，故A错误； 对于B，，则，所以，即，故B错误； 对于C，因为，则，则，故C正确； 对于D，因为，则，故D错误. 故选：C. 3. 不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据含绝对值不等式的解法求解即可. 【详解】因为， 所以或, 解得或， 所以原不等式的解集为， 故选：D. 4. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 根据函数的定义域得出的取值范围，即函数的定义域． 【详解】因为函数的定义域为， 所以，则， 所以， 则函数的定义域为. 故选：A. 5. 若复数，则（ ） A. B. C. D. 20 【答案】C 【解析】 【分析】根据共轭复数的概念，复数模长公式即可求解. 【详解】因为，所以， 故， 则 故选：C. 6. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二倍角的正余弦关系即可求解. 【详解】联立，解得， 所以 故选：D. 7. 已知点是圆上一点，且直线经过圆心，则下列各项中的点一定为圆上一点的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆具有对称性求解点关于直线的对称点即可. 【详解】因为圆关于直径所在的直线对称， 所以点关于直线的对称点一定在圆上. 设点关于直线的对称点为， 所以点与对称点的中点为， 且该中点在直线上，即， 因为点与对称点连线的斜率为， 且该直线与直线垂直，即， 则，可得， 解得1，故点必在圆上. 故选：B. 8. 已知，则由小到大的排列顺序为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题可知，根据对数函数和指数函数的单调性即可求解. 【详解】因为，又，所以， 则，即；，即； ，即， 所以. 故选：B 9. 已知数列的通项公式为，其前项和为，则下列描述正确的是（ ） A. 数列是递增数列，的最小值为 B. 数列是递增数列，的最大值为30 C. 数列是递减数列，的最小值为30 D. 数列是递减数列，的最大值为 【答案】A 【解析】 【分析】先判断出数列是递增的等差数列，再利用前n项和公式即可得解. 【详解】因为，所以是公差为5的等差数列. 因为公差大于0，所以数列为递增数列. 令，解得， 又因为为递增数列，所以数列前3项为负，第4项为0，从第5项开始为正， 所以为的最小值. 故选：A. 10. 已知抛物线的顶点是坐标原点，准线方程为，在该抛物线上有一个动点，则动点与点的最小距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据准线方程求出抛物线方程，再设出抛物线上动点的坐标，最后根据两点间距离公式及二次函数的性质求出最小距离. 【详解】准线方程为，即， 则，得，则， 故该抛物线的方程为， 设抛物线上的动点，则， 所以， 所以当时，． 故选：C . 11. 已知向量，则（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】方法一：根据向量夹角余弦值的公式求出，再根据特殊角的三角函数值即可求解. 方法二：由题意可得与共线且方向相反即可求解. 【详解】方法一：因为向量， ， 又，所以. 方法二：因为向量， 则，所以与共线且方向相反， 所以. 故选：D. 12. 若随机变量，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二项分布的期望与方差公式即可求解. 【详解】因为随机变量，则， 所以，则. 故选：B. 13. 若正三棱锥的侧棱与底面边长相等，则该棱锥侧棱与底面所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】过正三棱锥的顶点向底面作垂线，垂足为 O，连接，可得是侧棱与底面所成的角，根据正棱锥的性质，在中可求解. 【详解】如图所示：正三棱锥， 设底面是边长为的等边三角形，侧棱. 过顶点向底面作垂线，垂足为O，则O是等边的中心， 连接，可得是侧棱与底面所成的角. 在等边中，由正弦定理可得： 外接圆的直径，解得. 在中，. 故选：A. 14. 河北承德避暑山庄的古建筑檐角常被设计成三角形造型，现有一个三角形檐角框架，角所对的边分别是，满足，则的形状是（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形或直角三角形 D. 等边三角形 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意结合正弦定理以及正弦的和角公式化简，即可求解. 【详解】由，得， 又因为，所以， 所以，则， 即，解得， 又，所以， 则，所以， 同理，所以是等边三角形. 故选：D. 15. 某技师学院共有名教职工，其中不到周岁的教职工有人，在周岁内的教职工有人，周岁及以上的教职工有人.采用分层抽样的方法从中抽出名教职工统计他们的血型情况.若抽取周岁的教职工人，则抽取周岁及以上的教职工的人数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据分层抽样的概念建立比例关系求值即可. 【详解】已知共有名教职工，其中不到周岁的教职工有人， 所以周岁及以上的人数为人， 用分层抽样的方法抽出的名教职工中周岁及以上的人数为人， 若抽取周岁的教职工人， 则抽取周岁及以上的教职工的人数为人. 故选：B. 16. 若的内角所对的边是，且角成等差数列，的面积为，周长为20，则（ ） A. 7 B. 10 C. D. 15 【答案】A 【解析】 【分析】先求解出角的度数，再由三角形面积公式可求解，再结合余弦定理求解即可. 【详解】∵的内角成等差数列， ∴，且， 可得， ∵， ， 又∵， 可得， 则根据余弦定理得， 即，解得. 故选：A. 17. 若的二项展开式中的各项系数和为，则实数（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】令即可解得二项式各项系数和. 【详解】由题意得，令，则各项系数和为， 则，解得. 故选：D. 18. 若函数且的图像不经过第二象限，则下列各式中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由指数函数的图象和性质判断即可. 【详解】若函数的图象不经过第二象限， 则根据指数函数的图像与性质可知，指数函数在上必须是增函数，故， 另外还需要把的图象向下平移至少1个单位长度，所以. 故选：D. 19. 已知正三角形的边长为4，用斜二测画法画出该三角形的直观图，则所得直观图的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据斜二测画法，结合三角形的面积公式即可求解. 【详解】由题意得，正三角形的边长为4，则该正三角形的高为， 由斜二测画法可得，底边长不变还是4，原三角形的高在直观图中对应的线段长为， 该线段与底边的夹角为，则所得直观图的面积为. 故选：B. 20. 已知函数是上的偶函数，且在上是增函数，若，且，则下列关系正确的是（ ） A. B. C. D. 与无大小关系 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意得出，利用偶函数及单调性的性质即可得解. 【详解】若，且，则， 又因为函数是上的偶函数，且在上是增函数， 所以在上是减函数，即， 又因为，所以， 故选：. 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 21. 已知函数则函数的定义域为_____.（用区间表示） 【答案】 【解析】 【分析】根据分段函数的定义域是各段函数自变量取值范围的并集即可解答. 【详解】已知函数 所以函数的定义域为. 故答案为：. 22. 已知数列是等比数列，若的顶点在轴上，则数列的公比为_____. 【答案】2 【解析】 【分析】由题可知，结合二次函数的定义列式即可求解. 【详解】因为在等比数列中，，所以函数为二次函数， 又因为的顶点在轴上， 所以的图像与轴只有一个交点，则， 所以，即 ， 解得，或（舍去）， 则，所以数列的公比. 故答案为：2. 23. 已知9名学生到3个计算机机房进行实训，每个机房分到3名学生，则不同的分配方法有_____种. 【答案】1680 【解析】 【分析】根据分组分配问题求解即可. 【详解】9名学生到3个计算机机房进行实训，每个机房分到3名学生， 则不同的分配方法有种. 故答案为：1680. 24. 已知一个圆锥的底面半径为，侧面积为，则该圆锥的体积为_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据圆锥的体积公式即可求解. 【详解】记圆锥母线为l， 因为圆锥的半径，侧面积，解得， 所以圆锥的高， 所以该圆锥的体积. 故答案为：. 25. 已知平面上两点，动点满足，且能构成三角形，则顶点的轨迹方程为_____. 【答案】 【解析】 【分析】利用双曲线的定义判断出动点P的轨迹，结合题意求出的值即可求解. 【详解】由题意得， 所以点的轨迹是以、为焦点的双曲线， 因为焦点在轴上，设双曲线方程为， 又，所以， 又能构成三角形，所以不能在轴上，即， 所以点的轨迹方程为. 故答案为：. 三、解答题（本大题共5小题，共45分.要写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤） 26. 已知集合，其中.若，求实数的取值范围. 【答案】 【解析】 【分析】根据集合的并运算，结合不等式的解法即可求解. 【详解】因为，所以或. 因为，所以， 所以，解得. 所以实数的取值范围为. 27. 已知函数.求: （1）函数的最小正周期； （2）函数的最小值及取最小值时对应的的取值集合. 【答案】（1）. （2）最小值为，. 【解析】 【分析】（）根据降幂升角公式，诱导公式，辅助角公式将函数进行化简，代入最小正周期公式即可得解. （）根据题意结合正弦型函数的性质即可得解. 【小问1详解】 ， ， ， ， ， 函数的最小正周期. 【小问2详解】 当时，函数的最小值为， 此时，解得， 即的取值集合为. 28. 某学校组织学生参加技能大赛，计划从3名女生和2名男生中选出3名组成参赛队.求: （1）选出的学生中至少有1名男生的概率; （2）选出的学生中女生人数的概率分布及方差. 【答案】（1）. （2）分布列见解析，方差为. 【解析】 【分析】（）根据题意结合对立事件概率的性质即可得解. （）根据题意得出的所有可能取值为，分别求出对应概率写出分布列，代入期望和方差公式即可得解. 【小问1详解】 设{选出的3名学生中至少有1名男生}， 【小问2详解】 随机变量的所有可能取值为， ；； ， 所以随机变量的分布列为下表： 1 2 3 ， . 29. 已知椭圆的短轴长为6，且上焦点到上顶点的距离与它到下顶点的距离之比为. （1）求该椭圆的标准方程； （2）已知是直线被该椭圆所截得的弦的中点，求直线的方程. 【答案】（1）. （2）. 【解析】 【分析】（）根据题意结合椭圆的性质列出方程组求出的值即可得解. （）设出坐标代入椭圆方程中，两式相减结合中点坐标公式进行化简得出直线斜率，写出直线的点斜式方程即可得解. 【小问1详解】 由题意得，解得， 故椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 设，，则，， 两式相减可得， 整理得, 因为是弦的中点，所以， 代入上式得，即直线的斜率, 所以直线的方程为，即. 30. 如图所示，在四棱锥中，底面是边长为4的菱形，，且平面为的中点.求: （1）二面角的正切值； （2）三棱锥的体积； （3）点到平面的距离. 【答案】（1）. （2）. （3）. 【解析】 【分析】（）根据题意作出辅助线，利用线面垂直的判定及性质找到二面角的平面角，求出所需线段的长度，代入正切公式即可得解. （）根据棱锥的体积公式即可得解. （）设出点到平面的距离为，结合（）代入棱锥的体积公式即可得解. 【小问1详解】 如图所示，连接交于点，取的中点，连接， 过点作于点，连接， 因为是的中点，所以，且， 因为平面，所以平面，平面，所以， 又因为且平面，所以平面， 平面，所以, 所以是所求二面角的平面角， 因为，所以，所以是的中点,所以， 因为是边长为4的等边三角形，所以， 所以， 在Rt中，， 故二面角的正切值为. 【小问2详解】 由题知，， . 【小问3详解】 在中，， 则， 设点到平面的距离为， 则， 解得，即点到平面的距离为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年河北省职教高考研究联合体第四次联合考试 数学试题 2026-04 说明: 一、本试卷共4页，包括三道大题30个小题，共120分.考试时间120分钟.其中第一道大题（20个小题）为选择题. 二、答题前请仔细阅读答题纸上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题.在答题纸上与题号相对应的答题区域内答题，写在试卷、草稿纸上或答题纸非题号对应的答题区域的答案一律无效.不得用规定以外的笔和纸答题，不得在答题纸上做任何标记. 三、做选择题时，如需改动，请用橡皮将原选涂答案擦干净，再选涂其他答案. 四、考试结束后，将本试卷与答题纸一并交回. 一、选择题（本大题共20小题，每小题3分，共60分.在每小题所给出的四个选项中，只有一个符合题目要求） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则下列各式成立的是（ ） A. B. C. D. 3. 不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 5. 若复数，则（ ） A. B. C. D. 20 6. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知点是圆上一点，且直线经过圆心，则下列各项中的点一定为圆上一点的是（ ） A. B. C. D. 8. 已知，则由小到大的排列顺序为（ ） A. B. C. D. 9. 已知数列的通项公式为，其前项和为，则下列描述正确的是（ ） A. 数列是递增数列，的最小值为 B. 数列是递增数列，的最大值为30 C. 数列是递减数列，的最小值为30 D. 数列是递减数列，的最大值为 10. 已知抛物线的顶点是坐标原点，准线方程为，在该抛物线上有一个动点，则动点与点的最小距离为（ ） A. B. C. D. 11. 已知向量，则（ ） A. 0 B. C. D. 12. 若随机变量，则（ ） A. B. C. D. 13. 若正三棱锥的侧棱与底面边长相等，则该棱锥侧棱与底面所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 14. 河北承德避暑山庄的古建筑檐角常被设计成三角形造型，现有一个三角形檐角框架，角所对的边分别是，满足，则的形状是（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形或直角三角形 D. 等边三角形 15. 某技师学院共有名教职工，其中不到周岁的教职工有人，在周岁内的教职工有人，周岁及以上的教职工有人.采用分层抽样的方法从中抽出名教职工统计他们的血型情况.若抽取周岁的教职工人，则抽取周岁及以上的教职工的人数为（ ） A. B. C. D. 16. 若的内角所对的边是，且角成等差数列，的面积为，周长为20，则（ ） A. 7 B. 10 C. D. 15 17. 若的二项展开式中的各项系数和为，则实数（ ） A. 1 B. 2 C. D. 18. 若函数且的图像不经过第二象限，则下列各式中正确的是（ ） A. B. C. D. 19. 已知正三角形的边长为4，用斜二测画法画出该三角形的直观图，则所得直观图的面积为（ ） A. B. C. D. 20. 已知函数是上的偶函数，且在上是增函数，若，且，则下列关系正确的是（ ） A. B. C. D. 与无大小关系 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 21. 已知函数则函数的定义域为_____.（用区间表示） 22. 已知数列是等比数列，若的顶点在轴上，则数列的公比为_____. 23. 已知9名学生到3个计算机机房进行实训，每个机房分到3名学生，则不同的分配方法有_____种. 24. 已知一个圆锥的底面半径为，侧面积为，则该圆锥的体积为_____. 25. 已知平面上两点，动点满足，且能构成三角形，则顶点的轨迹方程为_____. 三、解答题（本大题共5小题，共45分.要写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤） 26. 已知集合，其中.若，求实数的取值范围. 27. 已知函数.求: （1）函数的最小正周期； （2）函数的最小值及取最小值时对应的的取值集合. 28. 某学校组织学生参加技能大赛，计划从3名女生和2名男生中选出3名组成参赛队.求: （1）选出的学生中至少有1名男生的概率; （2）选出的学生中女生人数的概率分布及方差. 29. 已知椭圆的短轴长为6，且上焦点到上顶点的距离与它到下顶点的距离之比为. （1）求该椭圆的标准方程； （2）已知是直线被该椭圆所截得的弦的中点，求直线的方程. 30. 如图所示，在四棱锥中，底面是边长为4的菱形，，且平面为的中点.求: （1）二面角的正切值； （2）三棱锥的体积； （3）点到平面的距离. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $